陰文蔚

（中鐵第五勘察設計院集團有限公司，北京 102600）

1 引言

斜拉橋具有造型優(yōu)美、結構簡潔、跨越能力強、造價經(jīng)濟等特點，近年來在橋梁工程中得到越來越廣泛的應用和發(fā)展。斜拉橋是由主梁、主塔和斜拉索組成的組合體系結構，拉索的存在使得斜拉橋成為“牽一索而動全橋”的高次超靜定結構。由于索力是可以調(diào)整的，不同的索力對應斜拉橋結構不同的受力狀態(tài)，故可以通過優(yōu)化求解找到一組索力，使得斜拉橋的各項受力指標得到設計者期望的合理值，上述求解過程即為斜拉橋的索力優(yōu)化。

2 斜拉橋索力優(yōu)化方法

斜拉橋常用的索力優(yōu)化方法主要有3 種，即指定受力狀態(tài)的索力優(yōu)化、索力的無約束優(yōu)化和索力的有約束優(yōu)化。

斜拉橋索力優(yōu)化的指定受力狀態(tài)法主要包括剛性支承連續(xù)梁法和零位移法。剛性支承連續(xù)梁法就是將索梁交接點視為剛性連接，按常規(guī)梁求出這些剛性支承的反力，再根據(jù)斜拉索的豎向分力與剛性支點反力相等確定索內(nèi)力，該內(nèi)力即為優(yōu)化后的索力。零位移法以索梁交點處位移為零為優(yōu)化目標，求解結構在荷載作用下成橋狀態(tài)對應的索力，該過程即為基于零位移法的斜拉橋成橋索力優(yōu)化。

斜拉橋索力的無約束優(yōu)化法主要包括彎曲能量最小法和彎矩最小法。彎曲能量最小法是以結構的彎曲應變能最小作為優(yōu)化目標，對梁、塔等的軸向、彎曲剛度作相應調(diào)整后求解荷載作用下結構的效應，得到一組優(yōu)化索力，將優(yōu)化問題轉變?yōu)榻Y構的一次分析問題。彎矩最小法是以結構彎矩平方和最小為優(yōu)化目標，求解荷載作用下斜拉索的索力，其缺點是無法考慮構件截面特性對優(yōu)化結果的影響。

斜拉橋索力的有約束優(yōu)化法主要包括用索量最小法和最大偏差最小法[1]。用索量最小法是以斜拉索的用量最小作為優(yōu)化目標，用設計者所關心的控制截面的內(nèi)力、位移等效應的合理取值作為約束條件進行優(yōu)化求解。最大偏差最小法以可行域中參量與期望值的最大偏差達到最小作為優(yōu)化目標，作為一個隱式約束優(yōu)化問題最后可歸結為一個線性規(guī)劃問題[2]。

綜上，指定受力狀態(tài)法力學概念明確，程序實現(xiàn)較為簡單并均可歸結為求解一組線性方程組，但該方法基于梁的受力狀態(tài)建立數(shù)學模型，未考慮塔的影響，也無法對塔的受力狀態(tài)做出評判。無約束的彎曲能量最小法和彎矩最小法的優(yōu)點在于對判斷成橋狀態(tài)是否合理給出了一個既明確又便于數(shù)學表達的目標函數(shù)，但其缺點是缺乏必要的限制、約束條件而導致最終不能得到理想的結果。有約束優(yōu)化的用索量最小法其難點在于選擇合理的約束條件，約束條件選擇的優(yōu)劣直接決定了優(yōu)化結果的合理性。

對于一個承載結構來說，合理的受力狀態(tài)下其內(nèi)力、應力、位移等效應值應當在由結構體系和材料性能確定的合理的取值范圍內(nèi)，故合理的受力狀態(tài)并非由單一的指標確定的，所以用某個單一的性能指標進行優(yōu)化是很難獲得合理的成橋索力的?；诖耍墨I[2]的作者提出了基于影響矩陣的索力優(yōu)化法。

3 基于影響矩陣的索力優(yōu)化法

影響矩陣法是以斜拉橋索、梁、塔的控制截面的內(nèi)力、位移等多種效應值作為優(yōu)化目標，利用影響矩陣進行多目標優(yōu)化，求解得到成橋狀態(tài)下滿足上述優(yōu)化目標的一組索力，該方法克服了上述優(yōu)化法目標單一的缺點，實現(xiàn)多目標下優(yōu)化結果的統(tǒng)一。

3.1 基本定義

受調(diào)向量：斜拉橋索、梁、塔控制截面上m 個相互獨立的元素所組成的列向量[3]。該列向量的元素可以是截面內(nèi)力、應力或位移。這些元素在優(yōu)化過程中接受調(diào)整，最終達到設計師期望的目標狀態(tài)。受調(diào)向量記為：

式中，bi為第i 個獨立的受調(diào)元素。

施調(diào)向量：為使受調(diào)向量相應發(fā)生變化而定義的可實施調(diào)整的l 個獨立元素所組成的列向量(l≤m)，記為：

式中，xi為第i 個獨立的施調(diào)元素。

施調(diào)元素一般為桿件內(nèi)力。

影響向量：施調(diào)向量中第j 個元素xj發(fā)生單位變化時引起受調(diào)向量B 相應的變化向量，記為：

式中，c1j,c2j,…,cmj分別為第j 個施調(diào)元素xj發(fā)生單位變化時相應m 個受調(diào)元素對應發(fā)生的變化量。

影響矩陣：l 個施調(diào)向量分別發(fā)生單位變化，引起的l 個影響向量依次排列形成的矩陣，記為：

在影響矩陣[C]中，其元素可取為內(nèi)力、應力或位移，影響矩陣是這些力學元素混合組成的矩陣，根據(jù)線性疊加原理，影響矩陣[C]、受調(diào)向量B 與施調(diào)向量X 之間建立如下關系：

3.2 基本思想

基于影響矩陣的斜拉橋索力優(yōu)化法取拉索的索力作為施調(diào)向量，取墩、梁、塔的截面內(nèi)力、應力或位移作為受調(diào)向量。索力優(yōu)化結果其實質(zhì)就是當受調(diào)向量達到目標值時基于影響矩陣所確定的施調(diào)向量的取值，故受調(diào)向量目標值的確定是求解合理成橋索力的關鍵[4]。前文已述，一個受力狀態(tài)的合理應當是在荷載作用下結構的內(nèi)力、應力、位移等效應值的合理。對于一個優(yōu)化問題來說就是受調(diào)向量目標值的合理，因此，優(yōu)化問題的關鍵就是如何在數(shù)目繁多的效應指標中找到一組數(shù)值作為優(yōu)化目標。為避免優(yōu)化目標選擇的盲目性，提高優(yōu)化效率，該目標約束應具備如下幾個條件：

1）優(yōu)化目標是該結構受力工況下荷載效應的真實存在，這是優(yōu)化成功的前提條件；

2）約束指標的選取及其取值應有利于求解，即求解過程迭代次數(shù)少；

3）施調(diào)向量的個數(shù)應不大于受調(diào)向量的個數(shù)，這是確保數(shù)學模型有解的必要條件。

前文已述，無約束的彎曲能量最小法其優(yōu)點在于可以推導出一個既便于數(shù)學表達又符合設計師要求習慣的目標函數(shù)，故可以通過該方法快速獲得慣性截面的一組最小彎矩值，再以此彎矩為優(yōu)化目標利用基于影響矩陣的多約束優(yōu)化法進行索力優(yōu)化。索力優(yōu)化完成后查看各效應值的變化情況，根據(jù)首次優(yōu)化結果并結合優(yōu)化的側重點調(diào)整目標后再次優(yōu)化，直至得到理想的結果。

4 實例分析

4.1 工程背景

某獨塔中央索面預應力混凝土斜拉橋，采用墩塔梁固結體系，跨徑組合為2×98 m，橋面寬度為35.3 m。主梁采用單箱5 室箱梁，斜拉索錨固區(qū)主梁高3.4 m，主塔總高為71.4 m，結構總體布置如圖1 所示。

圖1 橋型總體布置圖(單位：cm)

全橋共13 對、26 根拉索，結合本橋斜拉索沿順橋向對稱的特點，將模型中關于主塔中心線對稱的索合并為一組，故歸并后模型共13 組索，從邊墩向主塔方向編號依次為S1～S13。

4.2 優(yōu)化過程分析

如前文所述，首次優(yōu)化可采用成橋狀態(tài)下斜拉索錨固點主梁的彎矩值作為優(yōu)化目標，該彎矩值可采用無約束的彎曲最小能量法計算得到。利用該方法求解彎矩時梁和塔的彎曲剛度不變，抗拉、壓剛度調(diào)整為無窮大[5]（一般通過放大塔、梁、索截面面積104～106倍實現(xiàn)），計算所得彎矩即為首次優(yōu)化目標彎矩。按照上述方法修改、放大截面面積，經(jīng)計算，本橋拉索錨固點主梁彎矩值如表1 所示。

從表1 彎矩計算結果可以看出，受無索區(qū)的影響，兩側邊索錨固點主梁彎矩較大，除此之外，成橋狀態(tài)下拉索錨固點主梁的彎矩值在-2 500～-3 500 kN 范圍內(nèi)，以此范圍彎矩值為優(yōu)化目標進行首次優(yōu)化。經(jīng)計算，優(yōu)化結果如圖2～圖3 所示。

表1 拉索錨固處主梁彎矩匯總表

圖2 第1 次優(yōu)化斜拉索索力圖

圖3 第1 次優(yōu)化后主梁彎矩圖

從圖2 中可以看出索力分布符合長索索力大、短索索力小的分布原則，S1 和S13 號索受無索區(qū)及墩、塔約束的影響出現(xiàn)較大突變，故該位置采用彎矩作為優(yōu)化的目標顯然是不合理的，修改索力突變拉索的優(yōu)化目標為其索力期望值進行二次優(yōu)化，優(yōu)化結果如圖4～圖6 所示。

圖4 第2 次優(yōu)化后斜拉索索力圖

圖5 第2 次優(yōu)化后主梁彎矩圖

圖6 第2 次優(yōu)化后主梁豎向位移圖

從圖4～圖6 中可以看出，經(jīng)過二次優(yōu)化后索力分布較為均衡，主梁受力均勻且承受較小的彎矩，主梁最大位移為5 mm，各項受力指標均較為合理，是一個理想的優(yōu)化方案。

5 結語

本文優(yōu)化方法概念明確、計算簡便，可快速確定斜拉橋成橋索力，有效避免了索力優(yōu)化的盲目性。經(jīng)實例驗證采用本文方法優(yōu)化后斜拉橋索力分布、結構受力及變形等結果均較為理想，具有較高的工程應用價值。

需要說明的是，上述優(yōu)化的成橋狀態(tài)只是一個初步、大致合理的成橋狀態(tài)，在此基礎上還要考慮活載引起的彎矩可行域及預應力的影響后繼續(xù)優(yōu)化，方能確定最終的合理成橋狀態(tài)。由于該步驟需要結合工程實際情況及優(yōu)化的側重點來確定，在此本文不做進一步的闡述。