孟天一 張玉 劉瑾 趙陽 楊倩 丁瀟 范特佳

摘 要：針對實際工程中大量存在的擋土墻、基坑開挖等平面應變問題，考慮中主應力對強度的影響，將平面應變條件下Lade-Duncan強度準則的中主應力關系代入SMP、Lade-Duncan、AC-SMP和廣義Mises強度準則中得到新的平面應變強度準則。據此建立基于各強度準則的主、被動土壓力計算公式，進而推廣至黏性土，并將主、被動土壓力理論計算值與實測值進行對比分析。結果表明，Mohr-Coulomb強度準則因其未考慮中主應力的影響，致使計算結果相比實測情況偏保守;SMP強度準則、Lade-Duncan強度準則考慮到中主應力對土壓力大小的影響，計算結果相比Mohr-Coulomb強度準則更接近實測情況;AC-SMP強度準則、廣義Mises強度準則在一定內摩擦角范圍內可以描述擋土墻的土壓力大小，但超出適用范圍時，二者均不再適用于描述擋土墻的土壓力大小;廣義Mises強度準則在適用范圍內的計算結果相比SMP強度準則、Lade-Duncan強度準則更接近實測數據。

關鍵詞：平面應變;強度準則;中主應力;土壓力

中圖分類號：TU432 ? 文獻標志碼：A ? 文章編號：2096-6717（2022）01-0020-08

收稿日期：2020-06-19

基金項目：國家自然科學基金（11802218）;陜西省科技計劃（2019JQ-432）;陜西省黃土力學與工程重點實驗室項目（LME201801）;陜西省教育廳專項科研計劃（19JK0399、20JK0670）

作者簡介：孟天一（1997- ），男，主要從事黃土力學研究，E-mail：312570571@qq.com。

張玉（通信作者），男，博士，副教授，E-mail：153673438@qq.com。

Abstract： In the engineering practice， the retaining wall and foundation pit could be regarded as a plane strain condition. Considering the influence of intermediate principal stess on the strength， we obtained the new plane strain strength criterions by substituting the intermediate principal stress relationship of Lade-Duncan strength criterion into SMP and Lade-Duncan， AC-SMP and the generalized Mises strength criterion. Based on these modified strength criterions， active and passive earth pressure models were established， and then extended to cohesive soil. The theoretical and measured values were compared and analyzed. The results show that the effect of intermediate principal stress on earth pressure is significant. The Mohr-Coulomb strength criterion fails to consider the influence of intermediate principal stress， and therefore the calculation results are more conservative than measurement. Considering the influence of the principal stress， the results of SMP and Lade-Duncan strength criterion are much closer to measurement than MC. The AC-SMP and generalized Mises strength criterion can describe the earth pressure of the retaining wall only within a certain range of friction angle， but when it exceeds the applicable range， both are no longer suitable. The calculations of the generalized Mises strength criterion， within the applicable range， are closer to actual data compared with the SMP and Lade-Duncan strength criterion.

Keywords：plane strain; strength criterion; principal stress in Lade-Duncan; earth pressure

擋土墻、基坑開挖等問題?？珊喕癁槠矫鎽儐栴}，在平面應變條件下，中主應力對土壓力有顯著影響。Rankine土壓力理論是基于Mohr-Coulomb 強度準則提出的，二者沿用至今，但均未考慮中主應力對土體本身強度的影響，與實測結果相比，計算出的主動土壓力偏大，被動土壓力偏小，這已被眾多試驗結果證實[1]。學者們通過不斷的試驗和研究已取得一定成果[2-4]：通過廣義虎克定律計算出了中主應力表達式，結合雙剪統(tǒng)一強度理論主應力型表達式推導出了Rankine主、被動土壓力計算式;在平面應變條件下，結合Lade-Duncan強度準則和等效內摩擦角求解出了土體的主動土壓力，提出了計算土壓力的新公式;基于SMP強度準則中主應力條件，計算出了各強度準則下的主、被動土壓力。SMP強度準則、Lade-Duncan強度準則、AC-SMP強度準則、廣義Mises強度準則等考慮到中主應力對土強度的貢獻[5-8]，在描述同一土體強度時，各種強度準則均能在其各自的適用范圍內有效描述土的強度大小，但選取的中主應力表達式不同，計算結果與實測數據存在一定差異[9]。根據以上研究發(fā)現，SMP強度準則適用于無黏性土，Lade-Duncan強度準則是根據砂土真三軸試驗成果的曲線擬合得到的，AC-SMP強度準則和廣義Mises強度準則更適用于黃土[10]。Lade-Duncan強度準則中主應力條件與實際情況最為相符，筆者依據Lade-Duncan強度準則下的中主應力條件推導了幾種平面應變強度準則，提出了無黏性土和黏性土平面應力狀態(tài)下的主、被動土壓力計算公式，并將其與實測數據進行對比分析，驗證了基于各個平面應變強度準則所推導的主、被動土壓力計算公式的適用范圍及準確性。

1 土的常用強度準則

土的強度準則實質上反映的是土單元在破壞時的應力條件與土性參數之間所滿足的關系。目前，針對土建立的強度準則包括Mohr-Coulomb準則、SMP準則、Lade-Duncan準則、廣義Mises準則、軸對稱壓縮空間滑動面（AC-SMP）準則[11]。

1）Mohr-Coulomb強度準則

3 基于各強度準則的無黏性土主、被動土壓力系數分析

3.1 主動土壓力系數分析

依據將Lade-Duncan強度準則下的中主應力代入不同強度準則得到的大、小主應力關系，可以得出基于各強度準則的主動土壓力系數Ka。整理各強度準則得到的主動土壓力系數Ka隨內摩擦角φ的變化規(guī)律，如圖1所示。

由圖1可以看出，依據平面應變條件下各強度準則得到的主動土壓力系數隨著內摩擦角的增大呈非線性減小趨勢，主動土壓力系數從小到大依次為AC-SMP強度準則、廣義Mises強度準則、Lade-Duncan 強度準則、 SMP強度準則、Mohr-Coulomb 強度準則，基于各強度準則得到的主動土壓力系數均小于 Mohr-Coulomb強度準則計算得到的主動土壓力系數。當φ>40°時，廣義Mises強度準則所計算出的主動土壓力系數趨近于0，且隨著內摩擦角的增大，主動土壓力系數會有小于0的情況出現，此時該強度準則不適用于計算土壓力。當0<φ<20°時，AC-SMP強度準則能夠有效描述土壓力大小。當φ>20°時，AC-SMP強度準則所計算出的主動土壓力系數變化速率較大，且隨著內摩擦角的增大，主動土壓力系數會有趨于0的情況出現，此時該強度準則不適用于計算土壓力。由此可以看出，各強度準則在考慮了中主應力影響的條件下計算出的主動土壓力系數均小于Mohr-Coulomb強度準則。這表明Mohr-Coulomb強度準則在應用中趨于保守，未完全發(fā)揮出土體自身的強度特性。其余準則在其各自的適用范圍內更趨近于實際情況，土體自身強度得到了有效的發(fā)揮。

3.2 被動土壓力系數分析

與主動土壓力系數計算方法相同，可得出基于各強度準則的被動土壓力系數Kp。整理各強度準則得到的被動土壓力系數Kp隨內摩擦角φ的變化規(guī)律，如圖2所示。

由圖2可以看出，依據平面應變條件下各強度準則得到的被動土壓力系數隨著內摩擦角的增大呈非線性增大趨勢，基于各強度準則得到的被動土壓力系數均大于Mohr-Coulomb強度準則計算的被動土壓力系數，被動土壓力系數從小到大依次為Mohr-Coulomb 強度準則、SMP強度準則、Lade-Duncan強度準則、廣義Mises強度準則、AC-SMP強度準則。當φ>30°時，廣義Mises強度準則所計算出的被動土壓力系數隨著內摩擦角的增大而快速增大，

此時該強度準則不適用于計算土壓力。當0<φ<20°時，AC-SMP強度準則能夠有效描述土壓力大小。當φ>20°時，AC-SMP強度準則所計算出的被動土壓力系數隨著內摩擦角的增大而快速增大，顯然，AC-SMP強度準則在φ>20°時不適用于計算土壓力。其余各強度準則的被動土壓力系數計算結果增長速度均較為平緩，且未出現明顯偏差，能較好地反映出被動土壓力。

根據主、被動土壓力系數與內摩擦角的關系可以看出，Mohr-Coulomb強度準則、SMP強度準則、Lade-Duncan強度準則均能較好地描述擋土結構上土壓力的大小;當φ>30°時，廣義Mises準則所計算的主、被動土壓力系數已出現較大偏差，不再適用于文中條件下的土壓力計算;當φ>20°時，AC-SMP強度準則所計算出的主動土壓力系數已出現較大偏差，且被動土壓力系數隨著內摩擦角變化的斜率發(fā)生轉折，顯然已偏離實際情況，不再能準確反映該條件下的土壓力。

4 平面應變條件下基于各強度準則的黏性土主動與被動土壓力

基于以上各強度準則得到的無黏性土的平面應變主、被動土壓力公式，其主應力狀態(tài)經式（21）的變換，即可將不同平面應變土壓力從無黏性土推廣至黏性土，建立黏性土的土壓力計算公式。

5 平面應變土壓力理論算例與分析

5.1 無黏性土土壓力驗證

試驗采用無黏性的松散砂土[15]，內摩擦角φ=34°，容重γ=19.56 kN/m3。擋墻由雜木板制成，厚5 cm、高1 m、寬1 m，并用兩肋加強，以滿足剛度要求。圖3給出了試驗時測得的主動土壓力值，其中，h為墻高，Pa為墻體水平土壓力。將砂土土性參數帶入基于各個強度準則得到的主動土壓力表達式，即可計算出各強度準則條件下?lián)鯄Σ煌疃忍幍闹鲃油翂毫χ?，其與實測土壓力曲線的比較如圖3所示。

從圖3可以看出，依據平面應變條件下各強度準則計算的主動土壓力值隨著深度的增加均線性增大，主動土壓力計算結果從小到大依次為廣義Mises強度準則、Lade-Duncan強度準則、SMP強度準則、Mohr-Coulomb強度準則，規(guī)律明顯。

實測主動土壓力值遠小于基于Mohr-Coulomb強度準則的計算值，說明Mohr-Coulomb強度準則的計算結果過于保守，不利于提高工程經濟性。開挖深度越深，基于各強度準則的主動土壓力值差異越大，當開挖深度小于0.5 m時，Lade-Duncan強度準則、SMP強度準則的計算結果與實測值較為吻合;隨著開挖深度繼續(xù)增大，SMP強度準則的計算結果和實測值較為接近?；趶V義Mises強度準則的計算結果在整體上和實測值最為接近;基于Mohr-Coulomb強度準則計算的主動土壓力值最大，在應用于設計時過于保守，未能充分發(fā)揮土的自身強度;基于Lade-Duncan強度準則、SMP強度準則、廣義Mises強度準則得到的主動土壓力均體現了平面應變條件下中主應力對土強度的貢獻，能較好地反映擋墻上的應力狀態(tài)，與實測土壓力值更為接近，其中基于廣義Mises強度準則得到的主動土壓力與實測土壓力值最為接近。

5.2 黏性土土壓力驗證

某基坑深7.1 m，采用樁徑為800 mm的懸臂樁支護，樁長12.70 m?？由顑韧翆臃植技案魍翆拥耐列灾笜艘妶D4[16]。

依據黏性土的主動土壓力計算公式和各個土層的土性參數，可計算出基于各強度準則的不同土層深度處的主動土壓力，將其整理后列于表1，沿基坑各土層上、下界面的土壓力變化曲線見圖5。

由表1和圖5可知，基于廣義Mises強度準則 計算出的主動土壓力值與實測結果最為接近，基于Lade-Duncan強度準則、SMP強度準則計算的主動土壓力值在整體上與實測結果較為接近，并均小于基于Mohr-Coulomb強度準則計算的主動土壓力值。以3.8 m處不同強度準則條件下土壓力計算值與實測值為例，如表2所示，廣義Mises強度準則土壓力計算值與實測值的比值為1.306、Lade-Duncan強度準則土壓力計算值與實測值的比值為1.933、SMP強度準則土壓力計算值與實測值的比值為2.241、Mohr-Coulomb強度準則土壓力計算值與實測值的比值為2.815。計算結果表明，廣義Mises強度準則、Lade-Duncan強度準則、SMP強度準則均能表現出中主應力對土體強度的影響，其中，廣義Mises強度準則更能體現中主應力對土強度的貢獻。

6 結論

1）在平面應變條件下，依據Lade-Duncan強度準則中主應力條件，得到基于不同強度準則下大、小主應力關系，推導出不同強度準則下主、被動土壓力計算公式，并推廣至黏性土。

2）各強度準則均有其適用范圍，Mohr-Coulomb強度準則、SMP強度準則、Lade-Duncan強度準則在不同的內摩擦角條件下均能很好地描述擋土結構主、被動土壓力;廣義Mises強度準則適用于內摩擦角小于30°時的土壓力計算;AC-SMP準則適用于內摩擦角小于20°時的土壓力計算。

3）Mohr-Coulomb強度準則計算時未考慮中主應力的影響，導致計算結果偏于保守;基于廣義Mises強度準則計算的主、被動土壓力值與實測值最為接近。在考慮中主應力的條件下，各強度準則在其各自的適用范圍內均能有效地描述土的主、被動土壓力。

4）針對實際情況，在確保安全的前提下，選擇合適的強度準則進行土壓力計算，可充分發(fā)揮土的強度，達到節(jié)約成本、提高經濟效益的目的。參考文獻：

[1] 顧慰慈. 擋土墻土壓力計算手冊[M]. 北京： 中國建材工業(yè)出版社， 2005.

GU W C. Calculation of earth pressure on retaining wall [M]. Beijing： China Building Material Industry Publishing House， 2005. （in Chinese）

[2] 李廣信. 實用主義與土力學[J]. 巖土工程學報， 2018， 40（10）： 1897-1904.

LI G X. Pragmatism and soil mechanics [J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering， 2018， 40（10）： 1897-1904. （in Chinese）

[3] 路德春， 梁靖宇， 王國盛， 等. 橫觀各向同性土的三維強度準則[J]. 巖土工程學報， 2018， 40（1）： 54-63.

LU D C， LIANG J Y， WANG G S， et al. Three-dimensional strength criterion for transverse isotropic geomaterials [J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering， 2018， 40（1）： 54-63.（in Chinese）

[4] ?LI Z W， YANG X L. Active earth pressure for retaining structures in cohesive backfills with tensile strength cut-off [J]. Computers and Geotechnics， 2019， 110： 242-250.

[5] ?SATAKE M. Stress-deformation and strength characteristics of soil under three different principal stresses [J]. Proceedings of Japan Society of Civil Engineers， 1976， 23（2）： 59-70.

[6] 羅汀， 姚仰平， 松岡元. 基于SMP準則的土的平面應變強度公式[J]. 巖土力學， 2000， 21（4）： 390-393.

LUO T， YAO Y P， SONG G Y. Soil strength equation in plane strain based on SMP [J]. Rock and Soil Mechanics， 2000， 21（4）： 390-393.（in Chinese）

[7] ?WOODWARD P K. Earth pressure coefficients based on the Lade-Duncan failure criterion [J]. Engineering Structures， 1997， 19（9）： 733-737.

[8] ?READES D W， DANIEL A W， GOLDSCHEIDER M. Cubical triaxial tests on cohesionless soil. Discussions of paper by P.V. Lade and J.M. Duncan， J. Soil Mech. Found. Div. Oct. 1973： 1F， 10R. J. Geothech. Engng. Div. V100， GT9， Sept. 1974， P1065-1069 [J]. International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences & Geomechanics Abstracts，1974， 11（12）： 241.

[9] 張玉， 邵生俊， 趙敏， 等. 平面應變條件下土的強度準則在黃土工程問題中的應用研究[J]. 土木工程學報， 2018， 51（8）： 71-80.

ZHANG Y， SHAO S J， ZHAO M， et al. Application research of soil strength criterion under plane-strain condition for loess problems [J]. China Civil Engineering Journal， 2018， 51（8）： 71-80. （in Chinese）

[10] 張玉， 邵生俊， 王麗琴， 等. 平面應變條件下土的強度準則分析及驗證[J]. 巖土力學， 2015， 36（9）： 2501-2509.

ZHANG Y， SHAO S J， WANG L Q， et al. Analysis and verification of soil strength criteria in plane strain state [J]. Rock and Soil Mechanics， 2015， 36（9）： 2501-2509. （in Chinese）

[11] 陳昌祿， 邵生俊， 羅愛忠， 等. 土的靜態(tài)空間滑動面及其強度準則適應性研究[J]. 地下空間與工程學報， 2015， 11（5）： 1185-1192.

CHEN C L， SHAO S J， LUO A Z， et al. Study on the static spatially mobilized plane and its strength criterion adaptability [J]. Chinese Journal of Underground Space and Engineering， 2015， 11（5）： 1185-1192. （in Chinese）

[12] 邵生俊， 張玉， 陳昌祿， 等. 土的3σ空間滑動面強度準則及其與傳統(tǒng)準則的比較研究[J]. 巖土工程學報， 2015， 37（4）： 577-585.

SHAO S J， ZHANG Y， CHEN C L， et al. Strength criterion based on 3σ spatially mobilized plane of soils and its comparison with conventional criteria [J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering， 2015， 37（4）： 577-585. （in Chinese）

[13] 王騎虎. 巖土材料破壞準則基本特性分析[J]. 中國礦業(yè)， 2015， 24（12）： 142-146.

WANG Q H. Study on the basic characters of failure criterions of geotechnical material [J]. China Mining Magazine， 2015， 24（12）： 142-146. （in Chinese）

[14] 鄭劍岳， 朱建明， 祝恩陽. 基于SMP準則的土壓平衡盾構刀盤扭矩計算研究[J]. 地下空間與工程學報， 2017， 13（4）： 995-1000.

ZHENG J Y， ZHU J M， ZHU E Y. Torque calculation method of shield cutterhead in earth pressure balance based on SMP failure criterion [J]. Chinese Journal of Underground Space and Engineering， 2017， 13（4）： 995-1000.（in Chinese）

[15] 周應英， 任美龍. 剛性擋土墻主動土壓力的試驗研究[J]. 巖土工程學報， 1990， 12（2）： 19-26.

ZHOU Y Y， REN M L. An experimental study on active earth pressure behind rigid retaining wall [J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering， 1990， 12（2）： 19-26. （in Chinese）

[16] 謝群丹， 何杰， 劉杰， 等. 雙剪統(tǒng)一強度理論在土壓力計算中的應用[J]. 巖土工程學報， 2003， 25（3）： 343-345.

XIE Q D， HE J， LIU J， et al. Unified twin shear strength theory for calculation of earth pressure [J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering， 2003， 25（3）： 343-345.（in Chinese）

（編輯 黃廷）