黃書華

(1.成都市勘察測繪研究院，四川 成都 610081； 2.四川省城市信息化測繪工程技術(shù)研究中心，四川 成都 610081)

1 引 言

多面函數(shù)擬合法最早由美國Hardy教授于1971年提出[1]，其基本思想是任何一個圓滑的數(shù)學(xué)表面總可以用一系列有規(guī)則的數(shù)學(xué)表面的總和以任意精度逼近。1977年美國將此法應(yīng)用于大地測量、擬合重力異常、求大地水準(zhǔn)面差距、計算垂線偏差等研究工作，1978年又將此法用于地殼形變分析[2]。隨著研究的不斷深入，國內(nèi)很多學(xué)者也開始了相關(guān)研究并將該方法應(yīng)用到了其他相關(guān)領(lǐng)域[3～7]。隨著GPS以及我國北斗衛(wèi)星系統(tǒng)的不斷完善，衛(wèi)星定位技術(shù)引發(fā)了平面定位改革，實現(xiàn)了平面位置的高效、高精度測定。但是使用衛(wèi)星定位技術(shù)測得的大地高(H)并不能取代各類工程建設(shè)所需的正常高(h)，正常高的獲取仍然需采用費時、費力的古老水準(zhǔn)測量方法獲得。如何將大地高轉(zhuǎn)換為正常高，很多測繪工作者對此做了大量研究。其中一種行之有效的方法就是通過測量均勻分布點位的大地高和正常高，由公式ξ=H-h求得這些點位的高程異常值，然后通過數(shù)學(xué)模型擬合其他未知點的高程異常值，再結(jié)合這些未知點的大地高求得需要的正常高。由于精度有限，目前此法一般只能達到四等水準(zhǔn)測量的精度要求[8，9]，但這仍然可以避免許多繁重的外業(yè)水準(zhǔn)測量工作。

本文首先結(jié)合GPS高程擬合介紹了多面函數(shù)擬合的原理及方法，然后通過具體的實例，結(jié)合自己編制的應(yīng)用程序，對比分析了不同核函數(shù)及光滑因子對多面函數(shù)GPS高程擬合結(jié)果的影響。

2 多面函數(shù)擬合GPS高程原理及方法

多面函數(shù)的一般形式可表示為：

(1)

其中：αj為待求參數(shù)，Q(x，y，xj，yj)是核函數(shù)，n為核函數(shù)的個數(shù)。核函數(shù)Q(x，y，xj，yj)是關(guān)于x、y的二次函數(shù)，其中(xj，yj)為已知點坐標(biāo)。使用多面函數(shù)擬合法兩個最重要的問題是核函數(shù)和光滑因子的選取，從理論上來說任何核函數(shù)只要其解唯一都可以應(yīng)用[2]，但是在實際應(yīng)用中發(fā)現(xiàn)對于具體的模型，核函數(shù)選取是否合理對多面函數(shù)的擬合效果有較大的影響；另一個影響多面函數(shù)擬合效果的因素是核函數(shù)中光滑因子的選取，文獻[9]建議光滑因子宜選取一小正數(shù)或零，而馬洪濱等提出了一種距離相關(guān)的光滑因子求解方法，即認(rèn)為光滑因子宜取已知點集合與未知點集合中距離最遠兩點的距離值[10]。常用的核函數(shù)有以下3種類型：

正雙曲面函數(shù)：

Q(x，y，xj，yj)=[(x-xj)2+(y-yj)2+δ]1/2

(2)

反雙曲面函數(shù)：

Q(x，y，xj，yj)=[(x-xj)2+(y-yj)2+δ]-1/2

(3)

三次曲面函數(shù)：

Q(x，y，xj，yj)=[(x-xj)2+(y-yj)2+δ]3/2

(4)

以上三式中δ即為光滑因子，起到調(diào)節(jié)核函數(shù)大小的作用。

采用GPS測量所獲得的高程坐標(biāo)是在WGS-84橢球下的大地高，然而我國采用的是正常高系統(tǒng)[8]，因此由GPS測得的大地高并不能直接應(yīng)用于工程實踐中，然而兩者之間存在如下轉(zhuǎn)換公式：

h=H-ξ

(5)

其中h表示正常高，H表示大地高，ξ表示高程異常。若想由大地高求得每個待求點的正常高，就必須知道該點對應(yīng)的ξ值，實際情況下是不可能實地測量每一點的ξ值。實際生產(chǎn)中的做法是在測區(qū)選取一定數(shù)量均勻分布的水準(zhǔn)重合點，采用GPS測量獲得這些點大地高的同時，對這些點進行相應(yīng)精度的水準(zhǔn)測量得到正常高，這樣就可以求得這些點的高程異常值。利用這些公共點的ξ值，可以采用擬合的方法求得其他未知點的高程異常值。

假設(shè)有m個公共點，選擇其中n(m≥n)個均勻分布的公共點作為核函數(shù)的中心點，利用以求得公共點的ξ值，可以構(gòu)造如下方程式：

(6)

寫成矩陣形式可表示為：

(7)

至此，可以采用最小二乘法求得上式中的待求參數(shù)X：

X=(ATA)-1(ATy)

(8)

對于其他只有大地高(H)的點，同樣可以夠造核函數(shù)矩陣，利用求得的參數(shù)值求出這些點對應(yīng)的高程異常值ξ，利用式(5)就可以求出這些點的正常高h。

3 實例程序分析

由上述分析可知，采用多面函數(shù)法擬合GPS高程的關(guān)鍵是核函數(shù)及光滑因子的選取，在這兩者確立了之后，可采用聯(lián)測的公共點構(gòu)造形如式(6)的方程式求得參數(shù)值，進而求取未知點的高程異常值ξ。為了更全面的分析核函數(shù)及光滑因子對擬合效果的影響，采用C#語言編制了多面函數(shù)法擬合GPS高程的程序，其界面如圖1所示。

該程序可手動輸入已知點、待擬合點數(shù)據(jù)，也可以自通過文件形式讀入。中心點即可以通過文件的形式讀入，也可以在已有的已知點列表中選擇。在數(shù)據(jù)準(zhǔn)備好之后，可選擇相應(yīng)的核函數(shù)并輸入光滑因子，點擊“計算”按鈕可實現(xiàn)自動擬合計算，結(jié)果將增加到待擬合點列表之后。為了驗證采用多面函數(shù)法擬合GPS高程的可行性以及自編程序的高效性，現(xiàn)采用一組工程實測數(shù)據(jù)進行驗證，這些點都進行了GPS測量及水準(zhǔn)數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)如表1所示。

圖1 多面函數(shù)法擬合GPS高程程序界面

GPS測量及水準(zhǔn)測量數(shù)據(jù) 表1

選取其中均勻分布的7個點作為已知點，剩下的7個點作為待擬合點進行檢驗。由于已知點是在所有點位中均勻選取的，可將其全部作為中心點進行參數(shù)的求解，具體的點位選擇及分布如圖2所示。

圖2 中心點及待擬合點分布示意圖

應(yīng)用編制的程序可采用不同的核函數(shù)、不同的光滑因子，對實例數(shù)據(jù)進行擬合。在本例應(yīng)用中選擇某一核函數(shù)后，不斷調(diào)整光滑因子的值，總體情況來看選擇正雙曲面函數(shù)時擬合效果最佳，三次曲面函數(shù)次之，反雙曲面函數(shù)結(jié)果最差。在確定使用正雙曲面函數(shù)作為核函數(shù)之后，光滑因子取不同值對擬合結(jié)果影響如表2所示。

不同光滑因子值對正雙曲面函數(shù)擬合影響 表2

注：δ=3062是文獻[10]方法計算的已知點集合與未知點集合中距離最大的數(shù)值。

從擬合效果來看，選取δ=0時效果最佳，隨著δ的不斷增大，每個點的擬合效果都呈現(xiàn)出一定的趨勢，其中3、4、5、13、14呈減小趨勢，而6、10呈增大趨勢。本算例中結(jié)果與文獻[9]建議取δ=0相符，擬合值與實測值相比在mm級，可滿足四等水準(zhǔn)測量的要求。雖然在本例中取δ=0效果最佳，但是并不能得出一般性的結(jié)論，在使用該程序驗證其他文獻的實例時，并不是每次光滑因子取零都能獲得最佳擬合效果，如文獻[10]中建議取已知點集合與未知點集合中距離最大的值。建議在采用多面函數(shù)法進行GPS高程擬合時，先通過比較幾種常用的核函數(shù)確定出適合的核函數(shù)，而后不斷調(diào)整光滑因子，直到兩者匹配達到最好的擬合效果。

4 結(jié) 論

(1)GPS測量技術(shù)的快速發(fā)展帶來了平面位置測量方式的改革，想要充分利用GPS測量技術(shù)獲得的大地高，可利用多面函數(shù)擬合法等將其轉(zhuǎn)化為生產(chǎn)實踐需要的正常高，可代替外業(yè)四等水準(zhǔn)測量，從而降低生產(chǎn)成本；

(2)在采用多面函數(shù)法擬合GPS高程時，已知點及中心點的選取至關(guān)重要，選取均勻分布的已知點及中心點有利于提高擬合精度；

(3)在選擇光滑因子之前，宜先確定一個適合的核函數(shù)。在GPS高程擬合時，結(jié)合本文及相關(guān)文獻結(jié)論，核函數(shù)應(yīng)采用正雙曲面函數(shù)。對于光滑因子的選取，應(yīng)該在核函數(shù)確定后進行不斷調(diào)整試算，以期達到最佳擬合效果。