陳業(yè)豐，陳得良

(長沙理工大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 長沙 410114)

鋼筋砼梁結(jié)構(gòu)作為重要的承重結(jié)構(gòu)，在現(xiàn)代土木工程中應(yīng)用廣泛，但它在制造和服役過程中極易產(chǎn)生裂紋。裂紋的存在將對結(jié)構(gòu)剛度、強度、穩(wěn)定性及使用壽命產(chǎn)生很大影響。就含裂紋砼結(jié)構(gòu)的靜、動力學(xué)問題，Hamed E.等在考慮砼和預(yù)應(yīng)力筋材料非線性的基礎(chǔ)上，運用虛功變分原理推導(dǎo)了含裂紋預(yù)應(yīng)力梁的控制方程，通過數(shù)值算例研究了裂紋對預(yù)應(yīng)力梁固有頻率的影響；王丹生等在結(jié)構(gòu)振動波傳播理論的基礎(chǔ)上，把裂紋看作彎曲彈簧，利用斷裂力學(xué)理論分析了單裂紋砼梁裂紋深度和位置對梁動力特性的影響；余志剛等采用勒讓德正交多項式作為形函數(shù)，利用能量原理建立梁的高階有限元動力模型，提出了識別斜梁裂紋的計算方法；易偉建等利用Hilbert-Huang變換對含裂紋梁的脈沖錘擊試驗的跨中加速度進行分析，識別梁的非線性動力特征；陳得良等考慮裂紋應(yīng)力強度因子和柔度系數(shù)的關(guān)系及鋼筋約束，基于Timoshenko梁理論建立含裂紋梁動力學(xué)方程，用三角級數(shù)展開分析方程，分析了裂紋深度、密集度、鋼筋約束對梁固有頻率的影響；劉峰引入裂紋強度因子，建立FRP加固具單裂紋梁的控制方程，研究了單裂紋對FRP加固梁動力響應(yīng)的影響；Roberto Capozucca對具裂紋PRC/RC梁的振動問題進行試驗研究，結(jié)果表明具裂紋鋼筋砼梁非線性對梁的動力響應(yīng)有很大影響。該文同時考慮鋼筋、碳纖維布的約束效應(yīng)和含裂紋區(qū)域應(yīng)力集中效應(yīng)，利用Hamilton原理建立控制方程，采用Galerkin方法進行數(shù)值分析，研究裂紋數(shù)量、深度對跨中最大位移的影響和裂紋間距、深度及縱向鋼筋和碳纖維布對加固梁位移響應(yīng)的影響。

1 加固梁受迫振動控制方程的建立

圖1為具多裂紋碳纖維布加固梁模型，加固梁的尺寸為L×2d×2b，As1、As2為受拉、受壓鋼筋的橫截面面積，za1、za2分別為受拉、受壓鋼筋的形心距離中性軸的距離，梁底兩端粘貼一層厚度為t的碳纖維布。設(shè)有i條裂紋分布于梁底，第i條裂紋的深度為ai，其與z軸的距離為xci，Psin(wt)為加固梁受到的正弦外力荷載。為方便研究，作如下假定：1)碳纖維布、砼、鋼筋都視為均質(zhì)彈性材料；2)應(yīng)變沿梁截面高度線性變化；3)裂紋微小且不閉合；4)不考慮碳纖維布、砼、鋼筋之間的剪切效應(yīng)。

圖1 碳纖維布加固具多裂紋RC梁簡支模型

對于碳纖維布加固具多裂紋RC梁，其位移模式假設(shè)為：

(1)

式中：n為梁底裂紋數(shù)量；j=f、s、c，分別表示碳纖維布、鋼筋、砼；u和w分別為微小單元體在x、z方向的位移；Tsφi(x,z)表示裂紋區(qū)應(yīng)力集中效應(yīng)；Ts=1、0分別表示梁上是否存在裂紋，由于裂紋對應(yīng)力、應(yīng)變的影響主要作用于砼上，j=c時Ts=1，j=f、s時Ts=0；φi(x,z)為第i條裂紋對砼的影響因子函數(shù)，在x=xci和裂紋尖端處得到最大值，沿x軸向裂紋兩端呈指數(shù)衰減[見式(2)]。

e-α/d|x-xci|

(2)

式中：m、α為常數(shù)，分別表示裂紋周圍砼應(yīng)力豎向線性變化的斜率和裂紋尖端周圍砼應(yīng)力衰減情況，m按式(3)計算，α的取值為1.276；階躍函數(shù)u(d-ai-z)表示忽略微小裂紋對中性軸以上砼應(yīng)力、應(yīng)變的影響，表達式見式(4)；xci、ai為梁上第i條裂紋與z軸的距離和深度。

(3)

(4)

利用Hamilton 能量原理建立碳纖維布加固具多裂紋RC梁的動力學(xué)控制方程，采用變分原理可得：

(5)

式中：U、T、V表示多裂紋加固梁的總應(yīng)變能、總動能、總外力勢能；t為時間變量。

對于細長梁，砼梁、鋼筋、碳纖維布的動能為：

(6)

式中：j=f、s、c，分別表示碳纖維布、鋼筋、砼；Aj、ρj、Vj分別表示對應(yīng)材料的截面面積、密度和體積。

砼、鋼筋、碳纖維布的應(yīng)變能為：

(7)

式中：Ef、Ec、Es分別為碳纖維布、砼、鋼筋的楊氏彈性模量；f(x)、fsi(x)、ff(x)按式(8)計算。

(8)

式中：zsi(i=1,2)、zf分別表示鋼筋和碳纖維布距中性軸的距離。

梁的外力勢能V為:

(9)

式中：q(x,t)為分布荷載。

將式(6)～(9)代入式(5)，并進行分部積分，得：

(10)

式中：α1、α2按式(11)計算。

(11)

2 方程求解

碳纖維布加固具多裂紋RC簡支梁模型的邊界條件為：在x=0和x=l處，δw=0，δw″=0。對w進行變量分離，設(shè)：

(12)

將式(12)代入式(10)，得：

(13)

式(13)兩邊同時乘以sin(jπx/l)，并沿梁長積分，得：

(14)

式中：δ(x-l/2)按式(15)計算。

(15)

將式(14)寫成矩陣形式：

(16)

式中：M、K、Q分別為方程的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣和廣義力矩陣，按式(17)～(19)計算；T=[T1,T2,…,Tn]T為n階列向量。

(17)

(18)

(19)

式中：[I]為n×n單位矩陣。

3 計算結(jié)果與分析

建立一碳纖維布加固具多裂紋RC梁模型，分析其在簡諧荷載作用下的動力響應(yīng)。梁長l=2 m，梁半高d=0.1 m，梁半寬b=0.05 m；砼的彈性模量Ec=2.4×104MPa，鋼筋的彈性模量Es=2.1×105MPa，F(xiàn)RP的彈性模量Ef=2.1×105MPa；砼的密度ρc=2 450 kg/m3，鋼筋的密度ρs=7 850 kg/m3，碳纖維布的密度ρf=1 550 kg/m3；碳纖維布厚度t=0.23×10-3m；受拉、受壓鋼筋截面面積As1、As2均為157×10-6m2。

3.1 裂紋數(shù)量和深度對梁跨中最大位移的影響

在加固梁跨中處作用大小P=1 kN、頻率為10 Hz的正弦載荷，裂紋均布于梁下側(cè)，裂紋深度a分別為0.01、0.03、0.05 m，梁跨中處最大位移見圖2。

圖2 裂紋數(shù)量對梁跨中最大位移的影響

由圖2可知：隨著碳纖維布加固梁上裂紋數(shù)量n和裂紋深度a的增加，梁跨中最大位移增大；相同裂紋數(shù)量下，隨著裂紋深度增加，梁跨中最大位移增大，但增幅變?。涣鸭y深度較小時，隨著裂紋數(shù)量增加，梁跨中最大位移增大；裂紋深度較大時，隨著裂紋數(shù)量增加，梁跨中最大位移趨向指數(shù)增大。

3.2 裂紋間距和深度對梁位移響應(yīng)的影響

在梁跨中作用大小P=1 kN、頻率為10 Hz的正弦載荷，裂紋數(shù)量n=5條，圖3～5為裂紋深度a分別為0.02、0.05、0.08 m時裂紋間距對多裂紋梁的動力響應(yīng)。

圖3 裂紋間距對具裂紋梁位移響應(yīng)的影響(a=0.02 m，n=5條)

圖4 裂紋間距對具裂紋梁位移響應(yīng)的影響(a=0.05 m，n=5條)

圖5 裂紋間距對具裂紋梁位移響應(yīng)的影響(a=0.08 m，n=5條)

從圖3～5可以看出：在相同裂紋數(shù)量和裂紋深度下，具裂紋梁的最大跨中位移隨著裂紋間距的減小而逐漸增大，但增幅逐漸減小；裂紋深度a分別為0.02、0.05、0.08 m時，裂紋間距l(xiāng)/12和l/6對應(yīng)的位移差值分別為3.29×10-6、1.59×10-5、2.28×10-5m。說明裂紋深度較小時，裂紋密集程度對梁位移響應(yīng)的影響較小，但隨著裂紋深度的增加，裂紋間距對位移響應(yīng)的影響逐漸增大。

3.3 鋼筋和碳纖維布對梁位移響應(yīng)的影響

在梁跨中處作用大小P=1 kN、頻率為10 Hz的正弦載荷，裂紋間距為l/8，裂紋數(shù)量n分別為3、5、7條，鋼筋和碳纖維布對梁跨中處位移響應(yīng)的影響見圖6～8。

圖6 裂紋數(shù)量n=3條時梁的位移響應(yīng)

圖7 裂紋數(shù)量n=5條時梁的位移響應(yīng)

圖8 裂紋數(shù)量n=7條時梁的位移響應(yīng)

從圖6～8可以看出：具裂紋加固梁在不考慮鋼筋約束時的位移響應(yīng)最大，同時考慮鋼筋約束作用和碳纖維布時梁的位移響應(yīng)最小，其值與不考慮碳纖維布作用時加固梁位移響應(yīng)的差值很小，可忽略不計；不考慮鋼筋約束效應(yīng)時，隨著裂紋數(shù)量的增多，加固梁的位移響應(yīng)逐漸增大，且增幅很大。對用碳纖維布加固具多裂紋RC梁進行受迫振動分析時，鋼筋的約束作用不可忽略。

4 結(jié)論

基于Euler-Bernoulli梁理論，同時考慮鋼筋和碳纖維布對砼的約束效應(yīng)，引入Tsφi(x,z)函數(shù)分析裂紋對周邊砼應(yīng)力、應(yīng)變的影響，運用Hamilton原理建立碳纖維布加固具多裂紋RC梁的動力學(xué)控制方程，用三角級數(shù)展開的數(shù)值方法對方程進行分析求解，研究裂紋數(shù)量、深度、間距及碳纖維布和鋼筋約束效應(yīng)對具裂紋梁的位移響應(yīng)，得到以下結(jié)論：

(1)裂紋深度和數(shù)量對加固梁剛度有較大影響，隨著裂紋數(shù)量和深度的增加，加固梁跨中最大位移逐漸增大。

(2)裂紋密集程度對加固梁剛度有較大影響，裂紋深度和數(shù)量相同時，裂紋間距減小會導(dǎo)致含多裂紋加固梁的位移響應(yīng)逐漸增大，且裂紋深度的增加會加大裂紋間距對位移響應(yīng)的影響。

(3)碳纖維布對位移響應(yīng)的影響比鋼筋約束效應(yīng)的影響小，對碳纖維布加固具多裂紋RC梁進行受迫振動響應(yīng)分析時，鋼筋的約束作用不可忽略。