陳正軒， 陸 靜，2， 潘 坤

（1.廣西科技大學(xué)， 廣西柳州 545006； 2.廣西汽車零部件與整車技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 廣西柳州 545006）

0 引言

多孔材料具有很多良好的特性， 在各領(lǐng)域內(nèi)得到了廣泛的應(yīng)用。對(duì)多孔介質(zhì)結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性進(jìn)行研究分析，具有一定的理論和工程意義。在多孔介質(zhì)材料的研究中，Biot 首先建立了分析多孔材料的經(jīng)典理論[1]，在此基礎(chǔ)上，學(xué)者對(duì)經(jīng)典Biot 理論進(jìn)行了簡(jiǎn)化，提出了更易理解應(yīng)用的修正Biot 理論[2]。 結(jié)合Biot 理論，向宇等[3]建立了多孔介質(zhì)矩形薄板的精細(xì)積分模型， 分析了多孔介質(zhì)矩形薄板的的振動(dòng)特性。 陸靜等[4]將Boit 理論與經(jīng)典彈性薄殼理論相結(jié)合， 建立了一種分析流體飽和多孔旋轉(zhuǎn)薄殼振動(dòng)的新模型。對(duì)于結(jié)構(gòu)模型的求解，常用的有解析法[5]，解析求解方法僅能求解簡(jiǎn)單的模型， 隨著有限元軟件的發(fā)展，數(shù)值解法在結(jié)構(gòu)模型的研究分析中多有出現(xiàn)，數(shù)值方法對(duì)于中低頻段的問題求解較為精確， 對(duì)高頻段問題的求解則具有一定的局限性。

本文以多孔介質(zhì)梁為研究對(duì)象， 考慮多孔介質(zhì)梁內(nèi)部骨架和流體之間的耦合作用， 導(dǎo)出多孔介質(zhì)梁的一階常微分動(dòng)力學(xué)控制方程， 利用精細(xì)積分方法對(duì)模型動(dòng)力學(xué)控制方程進(jìn)行求解， 與多孔介質(zhì)梁的有限元仿真模型進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了多孔介質(zhì)梁精細(xì)積分模型的有效性。

1 多孔介質(zhì)梁控制方程的建立

如圖1 所示，梁的長(zhǎng)、寬、高分別為a、l、h。 結(jié)構(gòu)模型由多孔材料組成。

圖1 多孔介質(zhì)梁示意圖

1.1 多孔介質(zhì)梁的本構(gòu)關(guān)系

基于 Biot 理論，不考慮y 方向的變形、內(nèi)力和應(yīng)力，得到多孔介質(zhì)梁的本構(gòu)關(guān)系[3]：

1.2 多孔介質(zhì)梁固體骨架的幾何方程

1.3 多孔介質(zhì)梁骨架的運(yùn)動(dòng)方程

式中，ρ11—固體相對(duì)密度；ρ12—固體和流體的耦合密度。

1.4 多孔介質(zhì)梁內(nèi)部流體的運(yùn)動(dòng)方程和本構(gòu)方程

記u^f， w^f為內(nèi)部流體沿x，z 向的位移變量，uf，wf為內(nèi)部流體形心沿x，z 向的位移變量。對(duì)于多孔介質(zhì)梁內(nèi)部流體，其運(yùn)動(dòng)方程：

2 多孔介質(zhì)梁的控制方程

2.1 多孔介質(zhì)梁一階常微分控制方程

2.2 一階常微分控制方程求解

圖2 插值示意圖

式中，方程個(gè)數(shù)為10M，但未知狀態(tài)向量個(gè)數(shù)是為10（M+1），引入多孔介質(zhì)梁模型的邊界條件，代入式（35），即可解出全部的未知狀態(tài)向量。

3 有限元仿真驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文建模和計(jì)算的正確性， 采用如表1 的主要參數(shù)，邊界條件為兩端簡(jiǎn)支，在Abaqus 中對(duì)多孔介質(zhì)梁進(jìn)行仿真， 與采用齊次擴(kuò)容精細(xì)積分方法在同樣參數(shù)條件下得到的多孔介質(zhì)梁固有頻率進(jìn)行比較， 如表2所示，由表中數(shù)據(jù)可知，采用精細(xì)積分法所得到的多孔介質(zhì)梁的前五階固有頻率和Abaqus 中仿真得到的結(jié)果較為接近，誤差均小于10%，驗(yàn)證了本文方法的正確性。

表1 多孔介質(zhì)梁的材料參數(shù)

表2 多孔介質(zhì)梁固有頻率的比較

4 結(jié)論

本文基于Biot 理論， 考慮了多孔介質(zhì)梁的固體骨架和流體的耦合作用， 推導(dǎo)出了多孔介質(zhì)梁的一階常微分控制方程，用精細(xì)積分法對(duì)控制方程進(jìn)行了求解，得到多孔介質(zhì)梁的固有頻率，與有限元仿真得到的結(jié)果比較，驗(yàn)證了此建模方法的正確性，并且，此建模方法對(duì)模型邊界條件和頻段范圍有著較好的適用性。