傅惠民， 付越帥， 李子昂

（北京航空航天大學(xué)小樣本技術(shù)研究中心， 北京 100191）

0 引言

在機電產(chǎn)品壽命試驗、生物試驗、外場調(diào)查等工程實際中，由于受試驗條件限制和一些無法預(yù)料的因素影響，試驗中經(jīng)常出現(xiàn)中止數(shù)據(jù)，從而形成不完全數(shù)據(jù)，其中隨機截尾的不完全數(shù)據(jù)一直是工程上統(tǒng)計分析的難題。目前， 主要采用極大似然方法對不完全數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分析[1]，但是無法進行高置信度的可靠性評估和壽命預(yù)測。對此，文獻[2]建立了不完全數(shù)據(jù)的秩分布，給出平均秩和百分位秩公式， 解決了百分位值和百分率的置信區(qū)間估計問題，在此基礎(chǔ)上，文獻[3]提出一種不完全數(shù)據(jù)最佳線性無偏估計方法，文獻[4]給出一種區(qū)間統(tǒng)計量及其分布，用于區(qū)間刪失數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析，文獻[5]建立一種不完全數(shù)據(jù)可靠性評估和壽命預(yù)測方法。 本文進一步從理論上推導(dǎo)出指數(shù)分布不完全數(shù)據(jù)的可靠度和可靠壽命單側(cè)置信下限公式，并在形狀參數(shù)或其下限已知的情況下，建立了兩參數(shù)Weibull 分布的可靠度和可靠壽命單側(cè)置信下限公式， 從而可以根據(jù)隨機截尾不完全數(shù)據(jù)對機電產(chǎn)品進行高精度小樣本可靠性評估。

1 指數(shù)分布不完全數(shù)據(jù)可靠性評估方法

設(shè)產(chǎn)品壽命t 服從平均壽命為θ 的指數(shù)分布，對應(yīng)的概率密度函數(shù)f（t，θ）和可靠度函數(shù)R（t，θ）分別為

上述是基于式（7）和式（8）進行證明的，如果基于式（7）和式（9）進行證明，則證明過程中的置信度均需改為置信水平。 也就是說，無論基于式（8）還是式（9），下式均成立

此時，式（23）只與產(chǎn)品由r 個失效數(shù)據(jù)t1，t2，…，tr和n-r個未失效數(shù)據(jù)tr+1，tr+2，…，tn組成的不完全壽命數(shù)據(jù)有關(guān)，而與原先選取的試驗至t0時刻的產(chǎn)品試樣數(shù)據(jù)無關(guān)。 由此可知，式（3）成立，且滿足式（4）。

根據(jù)式（23）和置信限曲線的等同性可知，當(dāng)給定時間t 時，根據(jù)產(chǎn)品由r 個失效數(shù)據(jù)t1，t2，…，tr和n-r 個未失效數(shù)據(jù)tr+1，tr+2，…，tn組成的不完全壽命數(shù)據(jù)，可以求得該產(chǎn)品置信水平為γ 的可靠度R（t）單側(cè)置信下限RL，γ由式（5）給出，且滿足式（6）。 至此，式（3）和式（5）證畢！

上面的證明過程巧妙之處在于： 首先通過引入一個試驗至t0時刻的產(chǎn)品試樣， 得到客觀真實的而不是人為主觀的先驗分布式（7）～式（9），然后再令t0→0，移除其在后驗分布中的影響，得到只與r 個失效數(shù)據(jù)t1，t2，…，tr和n-r 個未失效數(shù)據(jù)tr+1，tr+2，…，tn組成的不完全數(shù)據(jù)有關(guān)的可靠壽命單側(cè)置信下限式（23），即式（3）。

定時截尾和定數(shù)截尾數(shù)據(jù)是不完全數(shù)據(jù)的兩種特殊情況。 與它們的計算公式相比，對于定時截尾情況是相同的：定時截尾可靠壽命單側(cè)置信下限公式與式（3）完全相同，可靠度單側(cè)置信下限公式與式（5）完全相同，并且均滿足置信水平γ 的要求。 對于定數(shù)截尾情況略有差別：定數(shù)截尾可靠壽命和可靠度單側(cè)置信下限公式即為將式（3）和式（5）中的χ2γ（2r+2）替換為χ2γ（2r）后的表達式，其給出的是置信度， 而本文給出的是置信水平， 略偏于保守，但是兩種公式均成立。

2 Weibull 分布不完全數(shù)據(jù)可靠性評估方法

對于機電產(chǎn)品壽命t 服從兩參數(shù)Weibull 分布的情況，工程實際中形狀參數(shù)α 或其下限α0通?？赏ㄟ^以往試驗數(shù)據(jù)等獲得， 例如波音公司統(tǒng)計得到： 鋁合金結(jié)構(gòu)α0＝4；鈦合金結(jié)構(gòu)α0＝3；鋼結(jié)構(gòu)α0＝2.2。 因此，下面給出形狀參數(shù)α 或其下限α0已知情況的Weibull 分布不完全數(shù)據(jù)可靠性評估方法。

2.1 形狀參數(shù)已知時的可靠性評估方法

設(shè)產(chǎn)品的一組隨機截尾的不完全壽命數(shù)據(jù)，其中有r個失效數(shù)據(jù)t1，t2，…，tr和n-r 個未失效數(shù)據(jù)tr+1，tr+2，…，tn，則可以證明，該產(chǎn)品置信水平為γ、可靠度為R 的可靠壽命單側(cè)置信下限為

式（24）和式（26）證畢！

2.2 形狀參數(shù)下限已知時的可靠性評估方法

對于形狀參數(shù)α 未知但其下限α0已知的情況，可以證明，當(dāng)給定的可靠度R 滿足

對比式（24）和式（39），可知式（34）給出的tRL，γ的置信水平仍為γ。 進一步還可證明，式（38）不等式右邊部分為形狀參數(shù)α 的單調(diào)減函數(shù)，所以當(dāng)式（33）成立時，式（38）和式（39）也必然成立，從而式（34）成立。 證畢！

同樣方法，可以證明式（36）成立（略）。

3 算例

已知某零部件的疲勞壽命N 服從兩參數(shù)Weibull 分布，且形狀參數(shù)α=3.8。 表1 列出了該零部件的一組不完全壽命數(shù)據(jù)，其中總試樣數(shù)n=6，失效數(shù)r=1，下面采用本文方法對該零部件進行可靠性評估。

表1 某零部件不完全壽命數(shù)據(jù)

根據(jù)式（24），可求得該零部件置信水平γ=0.95、可靠度R=0.999 的可靠壽命單側(cè)置信下限NRL，γ為

4 結(jié)論

采用可靠性更新方法， 從理論上推導(dǎo)出指數(shù)分布不完全數(shù)據(jù)的可靠度和可靠壽命單側(cè)置信下限公式， 并在形狀參數(shù)或其下限已知的情況下，給出了兩參數(shù)Weibull分布的可靠度和可靠壽命單側(cè)置信下限公式， 從而建立一種機電產(chǎn)品不完全數(shù)據(jù)可靠性評估方法， 可以根據(jù)隨機截尾不完全數(shù)據(jù)對機電產(chǎn)品進行高精度小樣本可靠性評估。