高慧芬 周小芳 黃學勤

1) (長治學院物理系，長治 046011)

2) (華南理工大學物理與光電學院，廣州 510640)

界面態(tài)具有巨大的實際應用價值，因此尋找界面態(tài)是一個既有科學意義也有應用前景的課題.在本文中，我們通過把二維正方晶格聲子晶體的結(jié)構(gòu)單元進行傾斜，構(gòu)造出具有線性狄拉克色散的斜方晶格體系.狄拉克色散引起體能帶Zak 相位的π 躍變，使得位于狄拉克錐投影能帶兩邊的帶隙具有不同符號的表面阻抗，從而導致由正方晶體體系與由其“傾斜”的斜方晶格體系構(gòu)成的界面處存在確定性的界面態(tài).

1 引言

界面態(tài)是指束縛在兩種不同材料界面處傳播的態(tài)，其態(tài)分布沿著垂直于界面方向呈指數(shù)衰減.由于局域的場增強效應和亞波長特性，界面態(tài)擁有許多有趣的現(xiàn)象，并具有實際的應用價值[1-4].近年來，受電子體系拓撲態(tài)研究的啟發(fā)[5，6]，拓撲聲學的概念也應運而生，并引起廣泛關(guān)注[7].作為經(jīng)典波體系的典型代表，聲子晶體是由質(zhì)量密度和彈性模量周期性排列而成的人工周期性結(jié)構(gòu)晶體[8].由于其宏觀尺寸，易于制備樣品和實驗測量，是一個研究拓撲物態(tài)的良好平臺.根據(jù)體系體能帶的閉合情況，傳統(tǒng)拓撲聲子晶體可分為聲學拓撲絕緣體和聲學拓撲半金屬[9-21].聲學拓撲絕緣體主要包括:聲學陳數(shù)拓撲絕緣體[9-12]、聲學量子自旋霍爾拓撲絕緣體[13]、聲學能谷拓撲絕緣體[14，15]和聲學自旋陳數(shù)拓撲絕緣體[16];而聲學拓撲半金屬主要包括:聲學狄拉克半金屬[17]、聲學外爾半金屬[18，19]和聲學節(jié)線簡并拓撲半金屬[20，21].根據(jù)體邊對應關(guān)系，這些體系體能帶的拓撲特性導致了不受缺陷和無序影響的拓撲邊界態(tài)的出現(xiàn).這些邊界態(tài)在信號處理、聲多功能器件設計等方面都具有潛在的應用價值.

線性狄拉克錐能帶關(guān)系首次在石墨烯中被發(fā)現(xiàn)，并伴隨著許多奇特的輸運現(xiàn)象，如Zitterbewegung顫動[22]、Klein 隧穿等[23].由于狄拉克點擁有π Berry相位，隨著參數(shù)的變化，體系從帶隙的打開到關(guān)閉(出現(xiàn)狄拉克點)，再到帶隙的打開，這個變化過程往往會伴隨拓撲相變的發(fā)生，于是，也可利用它來實現(xiàn)界面態(tài).研究表明，根據(jù)體能帶Zak 相位與表面阻抗的關(guān)系，構(gòu)成界面的兩個體系體能帶Zak相位的躍變能導致界面態(tài)的出現(xiàn)，這些體系包括:布里淵區(qū)中心處存在類狄拉克點體系[24]、正反結(jié)構(gòu)構(gòu)成體系[25]、原結(jié)構(gòu)與其平移結(jié)構(gòu)構(gòu)成體系等[26].眾所周知，蜂巢結(jié)構(gòu)體系由于對稱性的保證，具有確定性的線性狄拉克點.通過改變最近鄰相互作用，可以實現(xiàn)狄拉克在對稱性線方向上的移動.利用狄拉克點的這種移動，可以實現(xiàn)贗磁場，從而實現(xiàn)朗道能級[27，28].

本工作將研究正方晶格體系中由對稱性保證的二次型狄拉克點，通過“傾斜”正方晶格形成斜方晶格，導致二次型狄拉克點演變成一對線性狄拉克點.體能帶在經(jīng)過線性狄拉克點時發(fā)生能帶翻轉(zhuǎn)，導致能帶的幾何相位出現(xiàn)π 的躍變.于是，被狄拉克點投影能帶分隔開的兩部分帶隙具有相反的表面阻抗虛部，從而保證由正方晶格與斜方晶體體系構(gòu)成的界面處一定存在界面態(tài).該界面態(tài)同時也能通過單一結(jié)構(gòu)單元體能帶的幾何相位來解釋.值得一提的是，這些界面態(tài)的實現(xiàn)并不需要改變結(jié)構(gòu)單元中散射體的材料參數(shù)和幾何形狀，只需要通過將正方晶格傾斜為斜方晶格即可獲得，這極大方便了樣品的制備和實驗的測量.

2 聲子晶體的體能帶

首先構(gòu)造晶格常數(shù)為a的二維正方晶格聲子晶體，其由半徑R0.15a的橡膠圓柱置于水中所構(gòu)成.需要指出的是在數(shù)值模擬中，沒有考慮橡膠的黏彈性.聲子晶體的體能帶如圖1(a)所示.由于受C4v對稱性的保護，在布里淵區(qū)的M點會出現(xiàn)二重簡并的二次型色散關(guān)系，如圖1(a)中的第一和第二條能帶所示.為了形象展示這種色散關(guān)系，圖1(b)畫出了M點附近的三維能帶結(jié)構(gòu).Chong 等[29]的研究工作表明:M點的二重簡并點是一個二次型狄拉克點，具有 2π 的Berry 相位.如果通過拉伸或壓縮體系來破壞C4v對稱性，二次型狄拉克點就會轉(zhuǎn)變成一對線性狄拉克點.

圖1 (a) 二維正方晶格聲子晶體的能帶結(jié)構(gòu)，插圖是原胞示意圖;(b) M 點附近的三維能帶結(jié)構(gòu)，對應于圖(a)中的虛線區(qū)域.橡膠與水的質(zhì)量密度和聲速分別為:ρ=1.3×103 kg/m3，v=500 m/s ;ρ0=1.0×103 kg/m3，v0=1500 m/sFig.1.(a) Bulk band structure of a two-dimensional phononic crystal with a square lattice，consisting of a rubber cylinder in water.Inset:the unit cell.(b) 3 D bulk band structure around the M point，corresponding to the dashed region in (a).Here，the lattice constant and the radius of the cylinder are a=1 m，and R=0.15a，respectively.The mass densities and sound velocity of the rubber and water are:ρ=1.3×103 kg/m3，v=500 m/s ;and ρ0=1.0×103 kg/m3，v0=1500 m/s，respectively.

本工作中，在保持原胞邊長不變的前提下，把正方晶體體系傾斜成斜方晶格體系，從而打破體系的C4v對稱性，如圖2(a)中的左插圖所示.對于傾斜角α70°時，聲子晶體的體能帶如圖2(a)所示.其中，在K1-Γ方向上，K1點附近存在二重簡并的線性色散關(guān)系，其放大圖如圖2(a)中的右插圖所示.這個線性狄拉克點產(chǎn)生機理與文獻[29]一樣.斜方晶格的第一布里淵區(qū)如圖2(b)所示.圖2(c)是狄拉克點附近的三維色散關(guān)系.

圖2 (a) 傾斜角 α=70° 的斜方晶格體系的能帶結(jié)構(gòu)，左插圖是二維斜方晶格聲子晶體的原胞，右插圖表示虛線區(qū)域的放大能帶結(jié)構(gòu);(b)斜方晶格的第一布里淵區(qū);(c) 線性狄拉克點附近的三維能帶結(jié)構(gòu)，對應圖(a)中的虛線區(qū)域Fig.2.(a) Bulk band structure of an oblique lattice with the tilted angle α=70°，Inset:the unit cell (left);the enlarged band structure around the Dirac point near K1 point (right);(b) first Brillouin zone of the oblique lattice;(c) 3D bulk band structure around the Dirac point，corresponding to the dashed region in (a).

由于線性狄拉克點的特性，我們不禁要問:如果把體能帶沿某一方向(例如:x方向)作投影，狄拉克錐的投影能帶將把帶隙分成左右兩部分，這兩部分帶隙的特性是一樣的嗎? 眾所周知，在無損耗體系中，以體系的某一方向構(gòu)造一界面，導帶具有實的表面阻抗，即:I m(Z(ω，k//))0，而帶隙則具有純虛數(shù)的表面阻抗，即:I m(Z(ω，k//))／0 .換句話說，線性狄拉克錐分隔開的這兩部分帶隙具有相同符號的I m(Z(ω，k//))嗎?如果不是，那么根據(jù)界面態(tài)的表面阻抗理論，只要滿足ZU(ω，k//)+ZL(ω，k//)0，則界面處一定存在界面態(tài).其中，ZL(ω，k//) 和ZU(ω，k//)分別表示在某一特定頻率ω和平行于界面的波矢k//的情況下，界面兩邊體系的表面阻抗.也就是說，通過利用狄拉克錐兩邊不同符號的表面阻抗，有可能構(gòu)造出界面態(tài).

3 聲子晶體的界面態(tài)

正方晶格沿x方向的投影能帶如圖3(a)所示.首先通過把該聲子晶體與水構(gòu)成一個沿x方向的界面，可以計算此時投影能帶不同區(qū)域的表面阻抗.由圖3(a)可見，在導帶的投影區(qū)域，I m(Z)0，而在第一和第二帶隙區(qū)域，I m(Z) 分別小于0 和大于0.然后利用同樣的方法，計算α70°時的斜方晶格聲子晶體沿x方向的投影能帶，如圖3(b)所示.類似地，在導帶的投影區(qū)域，I m(Z)0，第一帶隙區(qū)域的 I m(Z) 還是小于0;不同的是，在斜方晶格中的第二帶隙被狄拉克錐投影分成兩個區(qū)域，其中，左邊區(qū)域的 I m(Z) 仍然大于0，而右邊區(qū)域的Im(Z)則小于0.這驗證了我們之前提出的設想:狄拉克錐把原來的帶隙分成兩個性質(zhì)不同的帶隙.需要指出的是:對于給定的k//，在 I m(Z(ω，k//))＜0 帶隙中，隨著頻率的增大，I m(Z(ω，k//)) 從0 到 -∞單調(diào)遞減，而在 I m(Z(ω，k//))＞0 的帶隙中，Im(Z(ω，k//))隨頻率增大從 +∞單調(diào)遞減到0[24，25].此外，正方晶格和斜方晶格體系在頻率 9 50 Hz 附近具有兩個共同的帶隙，左邊共同帶隙的 I m(Z(ω，k//)) 都大于0，而右邊共同帶隙具有相反符號的 I m(Z(ω，k//)) .因此，如果把這兩個體系沿著x方向構(gòu)成一個界面(如圖3(d)左圖所示)，界面處一定存在界面態(tài).圖3(c)是界面態(tài)的投影色散，其中粉色線表示界面態(tài)的色散.同時，圖3(d)右圖顯示了處于頻率937.4 Hz 的界面態(tài)聲壓場本征態(tài)分布.由圖中可清晰看出，聲壓場局域在界面上，并沿垂直于界面的方向指數(shù)衰減.

圖3 (a) 正方晶格聲子晶體沿x 方向的投影能帶;(b) 傾斜角 α=70° 的斜方晶格聲子晶體沿x 方向的投影能帶，Im(Z) 表示表面阻抗的虛部;(c) 由上述兩個聲子晶體構(gòu)成的沿x 方向界面的界面態(tài)色散關(guān)系，粉色線表示界面態(tài)色散;(d)正方晶格和斜方晶格聲子晶體構(gòu)成的沿x 方向的界面(左圖)，頻率為 9 37.4 Hz 的界面態(tài)本征聲壓場分布(右圖)Fig.3.(a)Projected band structures along the kx direction of the phononic crystals with a square lattice;(b) projected band structures along the k x direction of phononic crystals with an oblique lattice of α=70°，Im(Z) represents the imaginary part of surface impedance;(c)interface state dispersion along the k x direction of the interface constructed by two phononic crystals with the square and oblique lattices，the pink lines denote the interface states;(d) the interface constructed by two phononic crystals with the square and oblique lattices(left)，the eigen pressure field distribution of the interface state at 9 37.4 Hz(right) .

除了利用表面阻抗理論來判定界面態(tài)的存在與否，還可利用體能帶的幾何相位來預測界面態(tài)的存在[30].這樣就可以通過體系的一個結(jié)構(gòu)單元的信息來預測界面態(tài)的存在性，不需要構(gòu)造實際的界面結(jié)構(gòu)來進行相應的全波數(shù)值模擬，節(jié)省了計算內(nèi)存和時間.基于前期的研究可知，兩個相鄰帶隙符號的比值與體能帶的Zak 相位之間的關(guān)系可表示為[30]

其中，Zi(ω，k//) 和Zi-1(ω，k//) 分別是兩個相鄰帶隙的表面阻抗，φi是這兩個帶隙之間體能帶的Zak相位.因為最低帶隙 I m(Z(ω，k//)) 總是負的，所以只要知道每條體能帶的Zak 相位，相應地就可以通過(1)式來確定其他帶隙 I m(Z(ω，k//)) 的符號.固定k//kx，可以得到體系沿ky方向的體能帶.根據(jù)圖2(a)體能帶中狄拉克點的位置，可以分別得到k//＜kD，x(狄拉克點左邊)和k//＞kD，x(狄拉克點右邊)的體能帶，如圖4(a)和4(b)所示.最低能帶的Zak 相位都是π，而第二條能帶的Zak 相位則分別是0 和π，這是由于從k//＜kD，x變化到k//＞kD，x時，經(jīng)歷了能帶的翻轉(zhuǎn)，從而導致Zak 相位的跳變.利用(1)式，就可得到第二和第三帶隙Im(Z(ω，k//))的符號.對于k//＜kD，x情況，第三帶隙的I m(Z(ω，k//))＞0，而對于k//＞kD，x情況，Im(Z(ω，k//))＜0.同時也計算了正方晶格固定k//kx情況下的體能帶以及相應的Zak 相位，如圖4(c)所示.其最低兩個帶隙的 I m(Z(ω，k//))＜0，而最高帶隙的 I m(Z(ω，k//))＞0 .這些結(jié)果與圖3中通過全波數(shù)值模擬得到的結(jié)果完全一致.仔細比較圖4(b)和4(c)，可以發(fā)現(xiàn)在頻率 9 50 Hz 附近，兩個體能帶存在共同帶隙，而且對應 I m(Z(ω，k//)) 的符號正好相反.因此，可以判斷它們之間一定存在界面態(tài).

圖4 傾斜角 α=70° 的斜方晶格聲子晶體在 k x=0.6 π/a (a) 和 k x=0.85 π/a (b)時沿 ky 方向的體能帶;(c) 在kx=0.85 π/a時，正方晶格聲子晶體沿 ky 方向的體能帶，其中紅色區(qū)域和藍色區(qū)域分別表示 I m(Z)＜0 和Im(Z)＞0Fig.4.Bulk band structures along the ky direction of the phononic crystal with an oblique lattice with α=70° forkx=0.6 π/a(a) and k x=0.85 π/a (b);(c) bulk band structures along the k x direction of the phononic crystal with a square lattice for kx=0.85 π/a.The red and blue regions represent I m(Z)＜0 and I m(Z)＞0，respectively.

在上述討論中，選擇了傾斜角α70°的斜方晶格.事實上，對于固定大小的圓柱體，傾斜角α可以從20°到90°變化.圖5 是由α50°的斜方晶格與正方晶格構(gòu)成的界面的界面態(tài)色散，除了發(fā)現(xiàn)由于狄拉克點引起的界面態(tài)(粉色線)之外，在低頻處還存在額外的界面態(tài)色散(綠色線).該界面態(tài)色散的存在同樣可以由體能帶的Zak 相位來解釋.

圖5 由 α=50° 斜方晶格與正方晶格聲子晶體構(gòu)成的沿x 方向界面的界面態(tài)色散，紅色線和綠色線分別表示兩個共同帶隙中的界面態(tài)色散Fig.5.Interface state dispersion along the k x direction of the interface constructed by two phononic crystals with the square and oblique lattices with α=50°，the red line and the green line represent the interface state dispersion in the two common band gaps，respectively.

基于能帶翻轉(zhuǎn)的思路，本文結(jié)論可以拓展到固體-固體體系中.將鐵柱子置于環(huán)氧樹脂中進行周期性排列，構(gòu)成晶格常數(shù)為a1 m 的二維聲子晶體.其中，鐵柱子的半徑R0.215a，鐵與環(huán)氧樹脂的質(zhì)量密度分別為:ρFe7.7×103kg/m3;ρEP1.18×103kg/m3，它們的縱波聲速和橫波聲速分別為:vl-Fe5850 m/s，vt-Fe3230 m/s ;vl-EP2605 m/s，vt-EP1068 m/s .正方晶格和斜方晶格(α70°)結(jié)構(gòu)的體能帶如圖6(a)和6(b)所示.二次型狄拉克點和線性狄拉克點仍然存在.同樣將這兩種聲子晶體構(gòu)成沿x方向的界面，雖然共同帶隙很小，但是界面態(tài)仍然存在，如圖6(c)左圖的粉色線所示.此外，圖6(c)右圖清晰地展示了頻率為529.6 Hz 的界面態(tài)本征位移場分布.

圖6 鐵柱子在環(huán)氧樹脂中周期性排列構(gòu)成二維聲子晶體 (a) 二維正方晶格聲子晶體的能帶結(jié)構(gòu);(b) 傾斜角α=70°的斜方晶格體系的能帶結(jié)構(gòu);(c)由上述兩個聲子晶體構(gòu)成的沿x 方向界面的界面態(tài)色散關(guān)系(左)，粉色線表示界面態(tài)色散，頻率為 5 29.6 Hz 的界面態(tài)本征位移場分布(右)Fig.6.Two-dimensional phononic crystals are constructed by steel cylinders in epoxy:(a) Bulk band structure of a square lattice;(b) bulk band structure of an oblique lattice with the tilted angle α=70° ;(c) the interface state dispersion along the k x direction of the interface constructed by these two phononic crystals(Left)，the pink line denotes the interface states，the eigen displacement field distribution of the interface state at 5 29.6 Hz(right) .

4 結(jié)論

本文提出了在二維正方晶格聲子晶體與其傾斜結(jié)構(gòu)所形成的界面處一定存在界面態(tài).該界面態(tài)的存在既可以通過表面阻抗的理論來解釋，也可以通過單一結(jié)構(gòu)單元體能帶的Zak 相位來判定.界面態(tài)作為波傳輸能量的重要途徑，具有廣泛的應用前景.這種構(gòu)造確定性界面態(tài)的方法可以推廣到其他的經(jīng)典波體系中.