丁 佳，殷 勇*，2，陳林根，戈延林，劉 存

1.武漢工程大學(xué)光電信息與能源工程學(xué)院，湖北 武漢430205；2.武漢工程大學(xué)熱科學(xué)與動力工程研究所，湖北 武漢430205；3.武漢工程大學(xué)機電工程學(xué)院，湖北 武漢430205

19世紀(jì)初，卡諾提出了著名的卡諾循環(huán)，其效率上限為ηc=1-T2T1，只取決于高溫?zé)嵩矗═1）和低溫?zé)嵩矗═2）的溫度而與工質(zhì)無關(guān)。實際上，所有熱機的熱效率都不大于可逆卡諾熱機的熱效率。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，人們的研究已經(jīng)達(dá)到微觀納米級別，在這個尺度，量子效應(yīng)不可忽視［1］。所以基于宏觀尺寸系統(tǒng)的經(jīng)典熱力學(xué)理論不再適用于量子熱力學(xué)系統(tǒng)，量子熱力學(xué)的研究發(fā)展任重道遠(yuǎn)。

經(jīng)典循環(huán)中的工質(zhì)通常遵循經(jīng)典的傳熱規(guī)律。隨著量子信息處理技術(shù)和納米技術(shù)的發(fā)展，熱力學(xué)和量子物理學(xué)之間的聯(lián)系吸引了大多數(shù)物理學(xué)家和工程師們的興趣。在量子熱力循環(huán)中，需考慮工質(zhì)的量子特性。常見的量子工質(zhì)有自旋系統(tǒng)［2-4］、無相互作用的諧振子［5-6］、無限深方勢阱中的粒子［7-9］和無限深勢阱中的極端相對論粒子［10-11］。1984年，Kosloff［12］建立了第一個量子熱機模型。在相關(guān)文獻(xiàn)中，許多學(xué)者已經(jīng)對量子卡諾循環(huán)［13-15］、量子斯特林循環(huán)［16-18］、量子奧托循環(huán)［19-20］等量子熱力循環(huán)模型進(jìn)行了研究。Satnam等［21］建立了以囚禁于一維無限深勢阱中的無相互作用費米子為工質(zhì)的量子狄塞爾熱機循環(huán)，從理論上計算了循環(huán)的熱效率、克勞修斯不等式及無量綱功率。2000年，Bender等［22］研究了以一維無限深勢阱中單粒子為工質(zhì)的量子卡諾熱機循環(huán)，以能量源代替經(jīng)典熱源，能量源的能量本征值由薛定諤方程計算給出。在此基礎(chǔ)上，學(xué)者們發(fā)表了大量有關(guān)量子熱力學(xué)循環(huán)的論文［23-24］。

基于文獻(xiàn)［21］，本文建立1個以一維無限深方勢阱中的無相互作用的費米子為工質(zhì)的量子狄塞爾熱泵循環(huán)。該循環(huán)由2個絕熱過程、1個等壓過程和1個等勢阱寬度過程組成，運用量子熱力學(xué)的研究方法，導(dǎo)出該熱泵循環(huán)的性能系數(shù)、泵熱率與無量綱泵熱率，并對循環(huán)的性能進(jìn)行分析與優(yōu)化。

1 一維無限深方勢阱中的熱力學(xué)

假設(shè)一個質(zhì)量為m的粒子，被囚禁于寬度為L的一維無限深方勢阱中，粒子的勢能函數(shù)為U（x）。描述粒子的波函數(shù)滿足的定態(tài)薛定諤方程為：

其中ψ(x)是粒子的波函數(shù)，?是約化普朗克常量，E是粒子的能量。利用邊界條件ψ(0)=ψ(L)=0，可以得到粒子的一系列的本征態(tài)和對應(yīng)的能量本征值

一般情況下，粒子的態(tài)函數(shù)為這些本征態(tài)波函數(shù)的線性疊加，每個能級對應(yīng)的概率為pn=|ψn|2，且每個能級對應(yīng)的概率之和滿足歸一化條件

系統(tǒng)的平均能量為：

式中U類似于經(jīng)典熱力學(xué)系統(tǒng)中的熱力學(xué)能，對其求全微分，可得：

由熱力學(xué)第一定律可有

所以

對比式（6）與式（8），可得：

其中Q為量子熱，由式（9）可知，熱量的變化與粒子所處能級的概率變化相關(guān)；W為量子功，由式（10）可知，功的變化與系統(tǒng)哈密頓期望值的變化有關(guān)。

2 量子狄塞爾熱泵循環(huán)模型

量子狄塞爾熱泵循環(huán)由兩個量子定熵過程、量子定壓放熱過程和量子定容吸熱過程組成。在量子定熵過程中，粒子在每個能級上的占有幾率不發(fā)生改變，系統(tǒng)與外界沒有熱量交換，這與經(jīng)典等熵過程類似；量子定壓過程就是作用在勢阱壁上的力沒有發(fā)生改變的過程，這與經(jīng)典等壓過程中壓力保持不變也是類似；而量子等容過程表示的是勢阱的寬度保持不變，系統(tǒng)的哈密頓量的期望值未發(fā)生改變，這與經(jīng)典等容過程是類似的。在此模型中，循環(huán)工質(zhì)為一維無限深方勢阱中的N個質(zhì)量為m的費米子，整個系統(tǒng)與1個低溫?zé)嵩春?個高溫?zé)嵩瘩盥?lián)，F(xiàn)-L循環(huán)示意圖如圖1（a）所示。根據(jù)泡利不相容原理，2個費米子不能占據(jù)相同的能級。

圖1 （a）量子狄塞爾熱泵循環(huán)F-L圖，（b）不同λ1時，性能系數(shù)與截止比的關(guān)系曲線Fig.1（a）F-L diagram of quantum Diesel heat pump cycle；（b）Curves of relationship betweenεand cut-off ratio at differentλ1

系統(tǒng)總的熱力學(xué)能可以表示為：

基于以上公式，可以對量子狄塞爾熱泵循環(huán)性能進(jìn)行分析與研究。

2.1 定熵壓縮過程

過程A→B為量子定熵壓縮過程。在量子等熵過程中，粒子在每個能級上的占有幾率不發(fā)生改變，勢阱中的粒子與高低溫?zé)嵩礇]有熱量交換，這與經(jīng)典定熵過程類似。所以，熱力學(xué)第一定律可表示為：

在此過程中，勢阱壁從L1位移到L3，此過程的功為：

令L1=λ1L3，由圖2可知，λ1＞1，其物理意義為該過程的壓縮比。代入式（14）可得：

2.2 定壓放熱過程

過程B→C為量子定壓放熱過程。量子定壓過程是作用在勢阱壁上的力沒有發(fā)生改變的過程，這與經(jīng)典等壓過程中壓力保持不變也是類似。由熱力學(xué)第一定律可知：

且

在此過程中，系統(tǒng)能量減少，粒子躍遷到較低的能級?？紤]粒子的概率變化從|ψn|2到|φn|2。這時作用在勢阱壁上的力為：

過程所做的功

其中λ2=L2L3，顯然有λ2＜1，該過程中內(nèi)能的變化量為：

由熱力學(xué)第一定律可知，該過程中系統(tǒng)向高溫?zé)嵩瘁尫诺臒崃繛椋?/p>

2.3 定熵膨脹過程

過程C→D為定熵膨脹過程，同理可得，系統(tǒng)對外界所做的功為：

2.4 定容吸熱過程

過程D→A為定容吸熱過程。量子等容過程表示的是勢阱的寬度保持不變，系統(tǒng)與外界沒有功的交換，系統(tǒng)的哈密頓量的期望值未發(fā)生改變，這與經(jīng)典等容過程中容積保持不變是類似的。由熱力學(xué)第一定律可知：

所以

3 熱泵循環(huán)的性能系數(shù)與無量綱泵熱率

外界對系統(tǒng)所做的總功W=WAB+WBC+WCD+WDA，所以

性能系數(shù)

該量子系統(tǒng)弛豫時間的數(shù)量級為?E，假設(shè)勢阱壁移動的平均速率為υˉ，循環(huán)周期為τ，循環(huán)中勢阱壁移動路程的總和為L=2(L1-L2)，如果τ=Lυˉ＜＜?E，可認(rèn)為系統(tǒng)狀態(tài)變化無限緩慢，循環(huán)過程可視為準(zhǔn)靜態(tài)過程［22］。結(jié)合式（19）與式（22），循環(huán)的泵熱率表示為：

4 量子狄塞爾熱泵循環(huán)的性能優(yōu)化

由式（27）可知，循環(huán)的性能系數(shù)并不取決于一維無限深方勢阱中粒子的的數(shù)量，而是壓縮比和截止比的函數(shù)。對于不同的壓縮比取值，繪出性能系數(shù)與截止比的關(guān)系曲線，如圖1（b）所示。由圖1（b）可知：對于給定的壓縮比，量子狄塞爾熱泵循環(huán)的性能系數(shù)隨著截止比的增加而增大；當(dāng)截至比一定時，壓縮比越小，性能系數(shù)越大。

由式（30）繪出無量綱泵熱率關(guān)于壓縮比與截止比的關(guān)系曲線如圖2（a）所示。從圖2（a）中可知：對于給定的壓縮比，無量綱泵熱率隨截止比的增大而減??；當(dāng)截止比一定時，壓縮比越大，無量綱泵熱率越小。

由式（32）可繪出在不同截止比時無量綱泵熱率與性能系數(shù)的關(guān)系曲線圖，如圖2（b）所示。從圖2（b）中可知：當(dāng)截止比一定時，無量綱泵熱率隨著性能系數(shù)的增加而增大；當(dāng)性能系數(shù)一定時，無量綱泵熱率隨截至比的增大而減小。

圖2 （a）無量綱泵熱率關(guān)于壓縮比和截止比的關(guān)系曲線；（b）不同λ2時，無量綱泵熱率與性能系數(shù)的關(guān)系曲線Fig.2（a）Curves of relationship between dimensionless heating load and compression ratio and cut-off ratio；（b）Curves of relationship between dimensionless heating load and cut-off ratio at differentλ2

5 結(jié) 論

以上建立的以一維無限深方勢阱中由N個無相互作用的費米子作為循環(huán)工質(zhì)的量子狄塞爾熱泵循環(huán)模型，應(yīng)用有限時間熱力學(xué)的研究方法，通過量子力學(xué)求解了體系的薛定諤方程，導(dǎo)出了循環(huán)的性能系數(shù)、無量綱泵熱率等性能參數(shù)，分析與優(yōu)化了該量子狄塞爾熱泵循環(huán)的性能，得出如下結(jié)論：（1）性能系數(shù)和無量綱泵熱率都是截止比的單調(diào)函數(shù)，性能系數(shù)隨截止比的增加而增大，無量綱泵熱率隨截止比的增加而減小。（2）無量綱泵熱率與性能系數(shù)的關(guān)系曲線為單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)性能系數(shù)一定時，無量綱泵熱率隨截止比的增大而減小。（3）當(dāng)截止比一定時，無量綱泵熱率隨性能系數(shù)的增加而增大。研究結(jié)果有助于加深對以一維無限深勢阱中由N個無相互作用的費米子為循環(huán)工質(zhì)的量子狄塞爾熱泵循環(huán)性能的理解，也能對其他量子熱力循環(huán)的性能研究提供一些理論參考。