王爍

摘 ?要：依據(jù)課程改革思路，為落實(shí)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的基本要求，2021年全國各地中考試題結(jié)合數(shù)與代數(shù)學(xué)習(xí)領(lǐng)域，在考查數(shù)與式的相關(guān)內(nèi)容上進(jìn)行了積極探索，不僅有效地考查了數(shù)與式的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想方法，還注重培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和創(chuàng)新能力.結(jié)合2021年全國部分中考試題中數(shù)與式部分試題，對主要考點(diǎn)和解題方法進(jìn)行總結(jié)，欣賞部分試題的精彩解法，對常見的錯(cuò)解進(jìn)行分析，并給出教學(xué)建議.

關(guān)鍵詞：數(shù)與式;解法分析;中考試題;教學(xué)建議

一、試題分析

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）將初中數(shù)學(xué)分為四部分：數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率、綜合與實(shí)踐. 初中數(shù)學(xué)中數(shù)與代數(shù)的內(nèi)容分為三部分：數(shù)與式、方程與不等式、函數(shù). 數(shù)的概念是學(xué)生認(rèn)識和理解數(shù)的開始，從自然數(shù)逐步擴(kuò)充到有理數(shù)、實(shí)數(shù)，學(xué)生不斷增加數(shù)的理解和運(yùn)用. 數(shù)的運(yùn)算伴隨著數(shù)的形成與發(fā)展不斷豐富，從最基本的自然數(shù)的四則運(yùn)算到有理數(shù)的乘方、開方運(yùn)算. 字母的引入和代數(shù)式的出現(xiàn)，是數(shù)及其運(yùn)算的進(jìn)一步抽象. 代數(shù)式及其運(yùn)算的考查要借助現(xiàn)實(shí)情境和簡單問題中數(shù)量關(guān)系的分析，理解用字母表示數(shù)的意義，形成整式、分式和根式的概念，建立數(shù)感和符號意識，能熟練、準(zhǔn)確地進(jìn)行各種運(yùn)算，提升運(yùn)算能力和推理能力. 下面選取2021年全國各地中考試題中關(guān)于數(shù)與式的部分試題的考查要求和解題特點(diǎn)加以分析.

1. 關(guān)注有理數(shù)的考查

初中階段引入負(fù)數(shù)，既是實(shí)際的需要，用以刻畫現(xiàn)實(shí)世界中具有相反意義的量，又是數(shù)學(xué)自身將數(shù)集擴(kuò)充為有理數(shù)集的需要. 這部分知識點(diǎn)比較多，包括相反數(shù)、絕對值等概念，會用數(shù)軸上的點(diǎn)表示有理數(shù)，比較有理數(shù)的大小，掌握有理數(shù)加減、乘除和乘方運(yùn)算法則和運(yùn)算律，以及科學(xué)記數(shù)法，等等. 在2021年各地中考試題中，有理數(shù)的考查主要是以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，難度不大.

例1 （安徽卷）[-9]的絕對值是（ ? ?）.

（A）[9] （B）[-9]

（C）[19] （D）[-19]

答案：A.

【評析】此題主要考查絕對值的概念. 選項(xiàng)的設(shè)計(jì)考慮將絕對值、倒數(shù)、負(fù)倒數(shù)等易混淆的知識點(diǎn)編寫進(jìn)來，正確理解絕對值的定義是關(guān)鍵，學(xué)生要明確一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，即可得到[-9]的絕對值是9.

例2 （四川?涼山州卷）下列數(shù)軸表示正確的是（ ? ?）.

答案：D.

【評析】此題考查數(shù)軸的概念：規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸. 數(shù)軸常見的錯(cuò)誤：沒有正方向、沒有原點(diǎn)、單位長度不統(tǒng)一，數(shù)字排列順序錯(cuò)誤等. 選項(xiàng)A和選項(xiàng)B都不符合數(shù)軸右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大的特點(diǎn)，屬于數(shù)字排列順序錯(cuò)誤，選項(xiàng)C沒有原點(diǎn)，選項(xiàng)D符合數(shù)軸的定義，滿足數(shù)軸的三要素.

例3 （山東?泰安卷）下列各數(shù)：[-4]，[-2.8]，0，[-4]，其中比[-3]小的數(shù)是（ ?）.

（A）[-4] （B）[-4]

（C）0 （D）[-2.8]

答案：A.

【評析】此題主要考查比較有理數(shù)的大小，熟知有理數(shù)的比較大小的法則是解答的關(guān)鍵. 根據(jù)正數(shù)大于負(fù)數(shù)，正數(shù)大于0，負(fù)數(shù)小于0，兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對值大的反而小. 可得[-4<-3<-2.8<0<-4]. 故比[-3]小的數(shù)為[-4].

例4 （云南卷）某地區(qū)2021年元旦的最高氣溫為[9℃]，最低氣溫為[-2℃]，那么該地區(qū)這天的最低氣溫比最高氣溫低（ ? ?）.

（A）[7℃] （B）[-7℃]

（C）[11℃] （D）[-11℃]

答案：C.

【評析】此題考查有理數(shù)的減法，用最高溫度減去最低溫度，再利用減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)進(jìn)行計(jì)算，將[9--2]轉(zhuǎn)化為[9+2]即可得出結(jié)果.

例5 （天津卷）計(jì)算[-5×3]的結(jié)果等于（ ? ?）.

（A）[-2] （B）[2]

（C）[-15] （D）[15]

答案：C.

【評析】此題考查有理數(shù)的乘法，兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，再把絕對值相乘. 有理數(shù)的乘法運(yùn)算步驟第一步先確定積的符號，第二步再把[-5]的絕對值與[3]的絕對值相乘，結(jié)果等于[-15].

例6 （甘肅?武威卷）中國疫苗撐起全球抗疫“生命線”！中國外交部數(shù)據(jù)顯示，截至2021年3月底，我國已無償向80個(gè)國家和3個(gè)國際組織提供疫苗援助. 預(yù)計(jì)2022年中國新冠疫苗產(chǎn)能有望達(dá)到50億劑，約占全球產(chǎn)能的一半，必將為全球抗疫做出重大貢獻(xiàn). 數(shù)據(jù)“50億”用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ? ?）.

（A） [5×108] （B） [5×109]

（C） [5×1010] （D） [50×108]

答案：B.

例7 （浙江?嘉興卷）2021年5月22日，我國自主研發(fā)的“祝融號”火星車成功到達(dá)火星表面. 已知火星與地球的最近距離約為55 000 000千米，數(shù)據(jù)55 000 000用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ? ?）.

（A） [55×106] （B） [5.5×107]

（C） [5.5×108] （D） [0.55×108]

答案：B.

【評析】這兩道題主要考查科學(xué)記數(shù)法，題目的設(shè)計(jì)關(guān)注實(shí)際背景，讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的緊密聯(lián)系. 這兩道題知識難度不大，但從一個(gè)側(cè)面考查學(xué)生思維的全面性、縝密性. 科學(xué)記數(shù)法的表達(dá)形式為a × 10n的形式，其中1 ≤[a]< 10，n為整數(shù). 確定n的值一般有兩種方法：方法1，利用整數(shù)的位數(shù)來求n，n等于原數(shù)的整數(shù)位數(shù)減1;方法2，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動的位數(shù)，小數(shù)點(diǎn)向左（或右）移動了幾位，n就等于幾.

2. 關(guān)注實(shí)數(shù)的考查

初中階段引入算術(shù)平方根、平方根、立方根等概念，數(shù)的范圍從有理數(shù)擴(kuò)充到實(shí)數(shù)，學(xué)生要知道有理數(shù)的運(yùn)算，以及運(yùn)算律、運(yùn)算性質(zhì)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然成立. 2021年各地中考試題關(guān)于實(shí)數(shù)的考查內(nèi)容包括無理數(shù)與實(shí)數(shù)的含義，乘方與開方互為逆運(yùn)算的關(guān)系，立方與開立方互為逆運(yùn)算的關(guān)系，會用有理數(shù)估計(jì)一個(gè)無理數(shù)的大致范圍，了解近似數(shù)，進(jìn)一步建立數(shù)感與符號意識. 各地中考試題中，實(shí)數(shù)的考查形式有選擇題、填空題和解答題，難度不大.

例8 （浙江?金華卷）實(shí)數(shù)[-12]，[-5]，2，[-3]中，為負(fù)整數(shù)的是（ ? ?）.

（A） [-12] （B） [-5]

（C）2 （D） [-3]

答案：D.

【評析】此題考查實(shí)數(shù)的分類，實(shí)數(shù)的分類通常有兩種：一種是按概念分類，有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù);另一種是按性質(zhì)分類，實(shí)數(shù)包括正實(shí)數(shù)、0、負(fù)實(shí)數(shù). 負(fù)整數(shù)屬于整數(shù)，整數(shù)屬于有理數(shù). [-12]是負(fù)分?jǐn)?shù)不是整數(shù);[-5]是負(fù)無理數(shù)不是有理數(shù);2是正整數(shù)不是負(fù)數(shù);[-3]是負(fù)數(shù)且是整數(shù)，所以[-3]為負(fù)整數(shù).

例9 （北京卷）已知432 = 1 849，442 = 1 936，452 = 2 025，462 = 2 116. 若n為整數(shù)，且n <[2 021]< n + 1，則n的值為（ ?）.

（A）43 ? （B）44

（C）45 ? ? （D）46

答案：B.

【評析】此題考查對無理數(shù)的估算，根據(jù)乘方與開方互為逆運(yùn)算的關(guān)系，將[2 021]平方后，觀察2 021的范圍. 求[2 021]在哪兩個(gè)相鄰的整數(shù)之間，轉(zhuǎn)化為估計(jì)2 021在哪兩個(gè)相鄰整數(shù)的完全平方數(shù)之間. 根據(jù)已知條件中的信息，可得1 936 < 2 021 < 2 025. 開方可得[44<2 021<45].

例10 （四川·資陽卷）若[a=73]，[b=5]，[c=2]，則a，b，c的大小關(guān)系為（ ? ?）.

（A）[b<c<a] （B）[b<a<c]

（C）[a<c<b] （D）[a<b<c]

答案：C.

【評析】此題考查對無理數(shù)的估算，并進(jìn)行無理數(shù)與有理數(shù)的大小比較. 根據(jù)立方根和平方根的概念，可得[83=2]，[4=2]. 把2作為比較大小的橋梁，根據(jù)[73<83]，[5>4]，可得[73<2<5].

例11 （安徽卷）計(jì)算：[4+-10=]______.

答案：3.

例12 （重慶卷）計(jì)算：[9-π-10=]________.

答案：2.

【評析】這兩道題考查算數(shù)平方根的概念和零指數(shù)冪的性質(zhì). 根據(jù)算數(shù)平方根的定義，可得4的算術(shù)平方根等于2，9的算術(shù)平方根等于3. 根據(jù)零指數(shù)冪的性質(zhì)，可得任何一個(gè)非0數(shù)的零次冪等于1，可得[4+-10=2+1=3]，[9-π-10=3-1=2].

例13 （江蘇·連云港卷）計(jì)算：[83+-6-22].

答案：4.

例14 （浙江·溫州卷）（1）計(jì)算：[4×-3+][-8-9+70].

（2）化簡：[a-52+12a2a+8].

答案：（1） [-6].

（2）略.

【評析】這兩道題考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，題目簡潔，難度不大，卻內(nèi)涵豐富. 每道題都包含多種運(yùn)算，解題時(shí)需要明確每一種運(yùn)算的方法和運(yùn)算順序，先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減.

3. 關(guān)注代數(shù)式的考查

在初中階段用字母表示數(shù)是建立數(shù)感與符號意識的重要過程，是學(xué)習(xí)和認(rèn)識數(shù)學(xué)的一次飛躍. 形成代數(shù)式、整式、分式和根式的一系列概念，學(xué)會各類運(yùn)算，貫穿于學(xué)習(xí)數(shù)與代數(shù)的始終. 在2021年各地的中考試題中，代數(shù)式的運(yùn)算是重點(diǎn)考查的內(nèi)容. 按照對字母進(jìn)行的運(yùn)算，把代數(shù)式進(jìn)行分類：整式中，對字母只實(shí)施加法、減法、乘法和乘方運(yùn)算;分式中，除對字母實(shí)施加法、減法、乘法和乘方運(yùn)算外，以對字母實(shí)施除法運(yùn)算（形式上表現(xiàn)為分母含有字母）為主要特征;根式中，除了對字母實(shí)施加法、減法、乘法、除法和乘方運(yùn)算外，還對字母實(shí)施開方運(yùn)算（形式上表現(xiàn)為根號下含有字母）為主要特征.

代數(shù)式的運(yùn)算考查內(nèi)容包括代數(shù)式的化簡與求值;整式的加法、減法、乘法運(yùn)算;因式分解是整式的一種恒等變形，將整式變換成乘積的形式，提取公因式法和公式法是實(shí)施因式分解的基本方法;分式與二次根式的加、減、乘、除運(yùn)算，其本質(zhì)是恒等變形. 這部分試題有利于培養(yǎng)學(xué)生的分類思想、轉(zhuǎn)化思想、整體思想，有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感與符號意識，提高學(xué)生的運(yùn)算能力.

例15 （天津卷）計(jì)算[4a+2a-a]的結(jié)果等于

.

答案：[5a].

例16 （山東?泰安卷）下列運(yùn)算正確的是

（ ?）.

（A） [2x2+3x3=5x5]

（B） [-2x3=-6x3]

（C） [x+y2=x2+y2]

（D） [3x+22-3x=4-9x2]

答案：D.

【評析】這兩道題考查整式的加減、積的乘方、完全平方公式和平方差公式. 例15考查整式的加減，整式的加減實(shí)質(zhì)上是合并同類項(xiàng)，合并同類項(xiàng)的要點(diǎn)：一是“系數(shù)相加”;二是“字母連同它的指數(shù)不變”. 例16的選項(xiàng)A，根據(jù)同類項(xiàng)的概念，可知x2和x3不是同類項(xiàng)，不能合并. 例16的選項(xiàng)B，根據(jù)積的乘方運(yùn)算法則：積的乘方等于把積的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘，可知[-23=-8]，[-2x3=-8x3]. 例16的選項(xiàng)C，根據(jù)完全平方公式，可知[x+y2=x2+2xy+y2]. 例16的選項(xiàng)D，先把第一個(gè)括號內(nèi)的多項(xiàng)式根據(jù)加法交換律進(jìn)行變形，再根據(jù)平方差公式，得[3x+22-3x=][2+3x2-3x=4-9x2]，最后進(jìn)行判斷即可.

例17 （云南卷）按一定規(guī)律排列的單項(xiàng)式： [a2，][4a3，9a4，16a5，25a6，] …，第n個(gè)單項(xiàng)式是（ ? ?）.

（A） [n2an+1] （B） [n2an-1]

（C） [nnan+1] （D） [n+12an]

答案：A.

【評析】此題屬于單項(xiàng)式規(guī)律探索型問題，考查學(xué)生觀察、歸納、計(jì)算的能力. 解答此題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)單項(xiàng)式中系數(shù)和字母的指數(shù)的變化規(guī)律. 根據(jù)題目中給出的前五個(gè)單項(xiàng)式的特征可以發(fā)現(xiàn)：單項(xiàng)式的系數(shù)是從1開始的正整數(shù)的平方，可得系數(shù)的規(guī)律為[n2]. 字母的指數(shù)是從2開始依次加1，可得指數(shù)的規(guī)律為[n+1]，即可寫出第n個(gè)單項(xiàng)式為[n2an+1].

例18 （四川?瀘州卷）已知[10a=20]，[100b=50]，則[12a+b+32]的值是（ ? ?）.

（A）2 （B） [52]

（C）3 （D） [92]

答案：C.

【評析】此題考查冪的乘方、同底數(shù)冪的乘法、代數(shù)式求值和整體思想. 根據(jù)冪的乘方法則和同底數(shù)冪的乘法法則，可得[10a ? 100b=10a ? 102b=10a+2b=20×]

[50=1 000=103]. 得到[a+2b=3]. 將所求代數(shù)式先提取系數(shù)[12]，再整體代入，可得[12a+b+32=a+2b+32=][3+32=3].

例19 （山東·臨沂卷）分解因式：[2a3-8a=]________.

答案：[2aa+2a-2].

例20 （廣西·賀州卷）多項(xiàng)式[2x3-4x2+2x]因式分解為（ ? ?）.

（A） [2xx-12] （B） [2xx+12]

（C） [x2x-12] （D） [x2x+12]

答案：A.

【評析】這兩道題考查多項(xiàng)式的分解因式，分解因式的一般步驟是一提、二套、三查. 一提：先看有無公因式，若有則提取公因式;二套：再看是否符合完全平方公式或平方差公式的特征;三查：檢查是否分解徹底，若沒有則繼續(xù)分解因式.

例21 （湖北?十堰卷）已知[xy=2，x-3y=3]，則[2x3y-12x2y2+18xy3=]_________.

答案：36.

【評析】此題考查因式分解中提公因式法和完全平方公式法，及在代數(shù)式求值的過程中應(yīng)用整體思想. 正確應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法往往可以收到事半功倍的效果. 先將所求多項(xiàng)式因式分解，得到[2x3y-12x2y2+18xy3=]

[2xyx-3y2]. 再將已知條件[xy=2，x-3y=3]整體代入，可得[2xyx-3y2=2×2×32=36].

例22 （天津卷）計(jì)算[3aa-b-3ba-b]的結(jié)果是（ ? ?）.

（A）3 ? ? ? ? ? ? ?（B） [3a+3b]

（C）1 ? ? ? ? ? ? ?（D） [6aa-b]

答案：A.

【評析】此題考查同分母分式的減法和提公因式法分解因式. 先根據(jù)分式的減法運(yùn)算法則計(jì)算，再提取公因式，最后約分化簡即可. [3aa-b-3ba-b][=3a-ba-b][=3].

例23 （江蘇·蘇州卷）已知兩個(gè)不等于0的實(shí)數(shù)[a]，[b]滿足[a+b=0]，則[ba+ab]等于（ ? ?）.

（A）[-2] （B）[-1]

（C）1 （D）2

答案：A.

【評析】此題考查分式的化簡求值，主要有兩種方法. 方法1：先將[a+b=0]變形得[a=-b]. 然后將[a=-b]直接代入[ba+ab]中，可得[ba+ab=b-b+-bb=-1-1=-2]. 方法2：先將所求式子變形，得到[ba+ab=b2+a2ab]. 觀察已知條件，給出的是兩數(shù)的和的形式，觀察變形后的所求式子，分子是兩數(shù)的平方和的形式，分母是兩數(shù)的積的形式，可以考慮應(yīng)用完全平方公式，得到[ba+ab=a+b2-2abab=0-2abab=-2]. 這種方法應(yīng)用了異分母分式的加法、完全平方公式、整體代入思想. 靈活應(yīng)用配方法是解題的關(guān)鍵.

例24 （浙江·麗水卷）要使式子[x-3]有意義，則x可取的一個(gè)數(shù)是__________.

答案：4（答案不唯一，[x≥3]）.

【評析】此題是一道開放性問題，答案不唯一，考查二次根式有意義的條件，解題的關(guān)鍵是要明確二次根式有意義的條件是被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，再結(jié)合一元一次不等式，可解得[x≥3.] 在此范圍內(nèi)取一個(gè)數(shù)即可.

例25 （上海卷）下列實(shí)數(shù)中，有理數(shù)是（ ? ?）.

（A） [12] （B） [13]

（C） [14] （D） [15]

答案：C.

【評析】此題考查二次根式的化簡、無理數(shù)和有理數(shù)的定義. 化簡二次根式，使被開方數(shù)不含分母，被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式，再根據(jù)有理數(shù)的定義進(jìn)行判斷. 根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分子與分母同時(shí)乘一個(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù)或式，可得[1a=aa2=aaa>0]. 所以[12=22]，[13=33]，[15=55]，[14=12]，其中只有[14]是有理數(shù).

例26 （甘肅·武威卷）下列運(yùn)算正確的是（ ? ?）.

（A） [3+3=3] ? （B） [45-5=4]

（C） [3×2=6] （D） [32÷8=4]

答案：C.

例27 （重慶A卷）計(jì)算[14×7-2]的結(jié)果是（ ? ?）.

（A）7 ? （B） [62]

（C） [72] （D） [27]

答案：B.

例28 （浙江·杭州卷）下列計(jì)算正確的是（ ? ?）.

（A） [22=2] （B） [-22=-2]

（C） [22=±2] （D） [-22=±2]

答案：A.

例29 （山東·臨沂卷）計(jì)算[-2+2-122-]

[2+122].

答案：[-2].

【評析】這四道題考查二次根式的加、減、乘、除運(yùn)算，以及[a2]的化簡. 要求熟練掌握運(yùn)算法則，二次根式加減法的關(guān)鍵步驟是合并被開方數(shù)相同的二次根式，將系數(shù)相加減，結(jié)果仍為系數(shù)，根指數(shù)和被開方數(shù)保持不變. 二次根式乘除法的關(guān)鍵步驟是把被開方數(shù)相乘除，結(jié)果化為最簡二次根式. [a2=a=aa≥0，-aa<0][a2]的化簡過程把二次根式的問題轉(zhuǎn)化成去絕對值符號的問題. 例29根據(jù)算式的結(jié)構(gòu)特征可以逆用平方差公式簡化運(yùn)算，[-2+2-122-2+122=2+]

[2-12+2+122-12-2+12=2+22×][-1=-2].

二、解法分析

例30 （四川?涼山州卷）[81]的平方根是（ ? ?）.

（A） [±3] （B）3

（C） [±9] （D）9

答案：A.

典型解法：因?yàn)閇81]= 9，

所以求[81]的平方根就是求9的平方根，

結(jié)果為[±3]，

故選A.

【評析】這是一道易錯(cuò)題，這道題出錯(cuò)的主要原因是學(xué)生沒有準(zhǔn)確理解題意，這道題需要進(jìn)行兩步運(yùn)算，首先計(jì)算81的算術(shù)平方根，得到結(jié)果為9;再計(jì)算9的平方根，得到結(jié)果為[±3].

有的學(xué)生誤認(rèn)為[81]的平方根就是81的平方根，選擇了選項(xiàng)C. 有的學(xué)生誤認(rèn)為[81]的平方根就是81的算術(shù)平方根，選擇了選項(xiàng)D. 有的學(xué)生計(jì)算的是[81]的算術(shù)平方根，選擇了選項(xiàng)B.

有的學(xué)生對[a]，[-a]，[±a][a≥0]這三個(gè)符號認(rèn)識不清，混淆了平方根和算術(shù)平方根的概念. [a]表示一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根;[-a]表示一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的相反數(shù);[±a]表示一個(gè)非負(fù)數(shù)的平方根.

教學(xué)建議：對于平方根的討論，在復(fù)習(xí)過程中教師可以從一些具體的數(shù)入手，結(jié)合數(shù)學(xué)符號與文字語言進(jìn)行相關(guān)變式訓(xùn)練，注意調(diào)動學(xué)生思考的積極性，給學(xué)生留出時(shí)間總結(jié)歸納，幫助學(xué)生準(zhǔn)確理解算術(shù)平方根和平方根的概念，進(jìn)一步認(rèn)識算術(shù)平方根和平方根的聯(lián)系與區(qū)別，并能熟練運(yùn)算.

例31 （四川?自貢卷）已知[x2-3x-12=0]，則代數(shù)式[-3x2+9x+5]的值是（ ?）.

（A） 31 （B） [-31]

（C） 41 （D） [-41]

答案：B.

典型解法：

（方法1）因?yàn)閇-3x2+9x+5=-3x2-3x-12-31]，

因?yàn)閇x2-3x-12=0]，

所以[-3x2+9x+5=-3×0-31=-31].

（方法2）因?yàn)閇x2-3x-12=0]，

所以[x2-3x=12].

因?yàn)閇-3x2+9x+5=-3x2-3x+5]，

所以[-3x2+9x+5=-3×12+5=-31].

（方法3）因?yàn)閇x2-3x-12=0]，

所以[x2=3x+12].

所以[-3x2+9x+5=-33x+12+9x+5=-9x-36+][9x+5=-31].

【評析】有的學(xué)生看到已知條件[x2-3x-12=0]，會想到用求根公式解出[x=3±572]，然后再將x的值代入所求的代數(shù)式中，但是這種方法計(jì)算煩瑣，容易出錯(cuò). 我們知道當(dāng)已知條件中不易求出字母的值，或者求出的字母的值較為復(fù)雜時(shí)，可以考慮把含有字母的等式整體代入所求代數(shù)式中求值.

這道題主要考查整體代入思想，這里給出了三種解法，可以將[x2-3x-12=0]整體代入所求代數(shù)式，或者將已知條件變形為[x2-3x=12]或[x2=3x+12]再整體代入. 代入過程中，可以將所求代數(shù)式[-3x2+9x+5]整體提取系數(shù)[-3]，也可以只將二次項(xiàng)和一次項(xiàng)局部提取系數(shù)[-3]，要特別注意在變形過程中常數(shù)項(xiàng)的變化. 無論選擇哪種方法，計(jì)算過程中保持恒等變形尤為關(guān)鍵.

例32 （浙江·臺州卷）已知[a+b2=49]，[a2+b2=25]，則[ab]的值為（ ? ?）.

（A）24 （B）48

（C）12 （D） [26]

答案：C.

典型解法：（方法1）因?yàn)閇a+b2=a2+b2+2ab]，

因?yàn)閇a+b2=49]，[a2+b2=25]，

所以[49=25+2ab].

所以[ab=12].

（方法2）因?yàn)閇a+b2=a2+b2+2ab]，

所以[ab=12a+b2-a2+b2].

因?yàn)閇a+b2=49]，[a2+b2=25]，

所以[ab=49-252=12].

【評析】此題考查利用完全平方公式和整體代入法求代數(shù)式的值，牢記完全平方公式是關(guān)鍵. 這道題可以選擇直接代入法，也可以選擇將完全平方公式進(jìn)行恒等變形，再整體代入求值. 在計(jì)算過程中，有的學(xué)生漏掉了公式中[2ab]的系數(shù)2，錯(cuò)選選項(xiàng)A. 有的學(xué)生記錯(cuò)了公式中[2ab]前面的符號，無法選出正確答案.

教學(xué)建議：教師在復(fù)習(xí)完全平方公式時(shí)，提醒學(xué)生要牢記兩個(gè)公式的特征，[a+b2=a2+2ab+b2]，[a-b2=a2-2ab+b2]，公式的左邊是二項(xiàng)式的平方，公式的右邊是一個(gè)三項(xiàng)式，首尾兩項(xiàng)分別是二項(xiàng)式兩項(xiàng)的平方，中間一項(xiàng)是二項(xiàng)式兩項(xiàng)積的2倍. 如果公式的左邊是兩個(gè)數(shù)的和，那么右邊是它們的平方和加上它們的積的2倍;如果公式的左邊是兩個(gè)數(shù)的差，那么右邊是它們的平方和減去它們的積的2倍. 可通過口訣巧記此公式：首平方，尾平方，積的2倍在中央.

例33 （重慶卷）計(jì)算：（1）（x - y）2 + x（x + 2y）;

（2）[1-aa+2÷a2-4a2+4a+4].

答案：（1）略;

（2）[2a-2].

典型解法：（1）略.

（2）（方法1）[1-aa+2÷a2-4a2+4a+4]

=[a+2a+2-aa+2÷a+2a-2a+22]

=[2a+2 ? a+22a+2a-2]

=[2a-2].

（方法2）[1-aa+2÷a2-4a2+4a+4]

=[a+2a+2-aa+2÷a+2a-2a+22]

=[2a+2 ? a+2a-2]

=[2a-2].

（方法3）[1-aa+2÷a2-4a2+4a+4]

=[1-aa+2÷a+2a-2a+22]

=[1-aa+2 ? a+2a-2]

=[a+2a-2-aa-2]

=[2a-2].

【評析】此題考查分式的混合運(yùn)算，計(jì)算過程中常見的錯(cuò)誤有：在計(jì)算括號內(nèi)的減法時(shí)，通分的過程中1應(yīng)該轉(zhuǎn)化為[a+2a+2]，有的學(xué)生誤寫成[1a+2];在計(jì)算除法運(yùn)算時(shí)，應(yīng)該將除法轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，把除式的分子、分母顛倒位置與被除式相乘，有的學(xué)生沒有顛倒分子、分母的位置造成計(jì)算錯(cuò)誤;有的學(xué)生沒記牢平方差和完全平方公式，在計(jì)算的過程中出現(xiàn)錯(cuò)誤.

教學(xué)建議：教師在復(fù)習(xí)分式混合運(yùn)算的過程中，強(qiáng)化學(xué)生的四種意識.（1）順序意識：含有加、減、乘、除、乘方的混合運(yùn)算，先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號的先算括號里面的.（2）轉(zhuǎn)化意識：分式的除法運(yùn)算要轉(zhuǎn)化成乘法運(yùn)算，異分母分式相加減轉(zhuǎn)化為同分母分式相加減.（3）因式分解意識：若分子、分母中有多項(xiàng)式，應(yīng)先因式分解.（4）約分意識：若分子、分母中有公因式，應(yīng)先約分，最后結(jié)果要化為最簡分式或整式.

三、試題解法欣賞

例34 （四川·眉山卷）觀察下列等式：

[x1=1+112+122=32=1+11×2];

[x2=1+122+132=76=1+12×3];

[x3=1+132+142=1312=1+13×4];

……

根據(jù)以上規(guī)律，計(jì)算[x1+x2+x3+…+ x2 020-2 021=]的值為______.

答案：[-12 021].

分析：此題設(shè)計(jì)精巧，題目呈現(xiàn)形式由特殊到一般，內(nèi)容涉及分?jǐn)?shù)、分式、二次根式、有理數(shù)運(yùn)算、分式運(yùn)算、二次根式的運(yùn)算，考查學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識解決問題的能力. 解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件中數(shù)的特征找到規(guī)律，計(jì)算過程中需將[1nn+1]進(jìn)行裂項(xiàng)，然后再求和，實(shí)際上考查了學(xué)生逆向思維的能力.

解：觀察所給等式的特征，總結(jié)規(guī)律，可得[xn=1+1n2+1n+12=nn+1+1nn+1=1+1nn+1].

所以[x2 020=1+12 020×2 021].

所以[x1+x2+x3+…+x2 020-2 021=1+11×2+1+][12×3+1+13×4+…+1+12 020×2 021-2 021=2 020+][1-12+12-13+13-14+…+12 020-12 021-2 021=2 020+]

[1-12 021-2 021=-12 021.]

例35 （安徽卷）某矩形人行道由相同的灰色正方形地磚與相同的白色等腰直角三角形地磚排列而成，圖1表示此人行道的地磚排列方式，其中正方形地磚為連續(xù)排列.

【觀察思考】

當(dāng)正方形地磚只有1塊時(shí)，等腰直角三角形地磚有6塊（如圖2）;當(dāng)正方形地磚有2塊時(shí)，等腰直角三角形地磚有8塊（如圖3）;……;依此類推.

【規(guī)律總結(jié)】

（1）若人行道上每增加1塊正方形地磚，則等腰直角三角形地磚增加的塊數(shù)為 ? ? ? ;

（2）若一條這樣的人行道一共有n（n為正整數(shù)）塊正方形地磚，則等腰直角三角形地磚的塊數(shù)為

（用含n的代數(shù)式表示）.

【問題解決】

（3）現(xiàn)有2 021塊等腰直角三角形地磚，若按此規(guī)律再建一條人行道，要求等腰直角三角形地磚剩余最少，則需要正方形地磚的塊數(shù)為多少？

答案：（1）2;

（2） [ 2n+4];

（3）1 008.

分析：解決圖形變化規(guī)律的問題，可以從“形”和“數(shù)”兩個(gè)角度入手，逐一看圖，觀察、分析、歸納圖形或數(shù)字的變化規(guī)律.

解：（1）（方法1）通過觀察和計(jì)數(shù)的方法可知，

圖2中正方形地磚的塊數(shù)為1，等腰直角三角形地磚的塊數(shù)為6;

圖3中正方形地磚的塊數(shù)為2，等腰直角三角形地磚的塊數(shù)為8;

正方形地磚的塊數(shù)為3，等腰直角三角形地磚的塊數(shù)為10;

……

依此類推，每增加1塊正方形地磚，等腰直角三角形地磚增加2塊.

（方法2）通過觀察圖2和圖3中圖形的整體特征，

可得圖3比圖2增加1塊正方形地磚和2塊等腰直角三角形地磚，

依此類推，每增加1塊正方形地磚，等腰直角三角形地磚增加2塊.

（2）（方法1）當(dāng)正方形地磚的塊數(shù)為1時(shí)，等腰直角三角形地磚的塊數(shù)為6.

由（1），可得規(guī)律：如表1，每增加一塊正方形地磚，則等腰直角三角形地磚增加2塊.

代數(shù)式[6+2n-1=2n+4].

所以當(dāng)人行道有n塊正方形地磚時(shí)，等腰直角三角形地磚有[2n+4]塊.

（方法2）通過觀察圖2和圖3的圖形特征可知，

兩幅圖的左右兩側(cè)各有1塊等腰直角三角形地磚，這2塊地磚的數(shù)量不隨正方形地磚數(shù)量的增加而變化.

除了這2塊等腰直角三角形地磚以外，當(dāng)圖中有1個(gè)正方形時(shí)，它的左右兩側(cè)共有2個(gè)8字形地磚（每個(gè)8字形地磚由上下2個(gè)等腰直角三角形地磚組成）.

當(dāng)圖中有2個(gè)正方形時(shí)，它們的周圍共有3個(gè)8字形地磚.

如表2，依此類推，當(dāng)圖中有n個(gè)正方形時(shí)，它們的周圍共有[n+1]個(gè)8字形地磚.

代數(shù)式[2+2n+1=2n+4].

所以當(dāng)人行道有n塊正方形地磚時(shí)，等腰直角三角形地磚有[2n+4]塊.

（3）令[2n+4=2 021]，

得[n=1 008.5].

因?yàn)閚是正整數(shù)，

所以當(dāng)[n=1 008]時(shí)， [2n+4=2 020，] [2 021-2 020=1.]

此時(shí)剩下1塊等腰直角三角形地磚，等腰直角三角形地磚剩余最少.

答：需要正方形地磚1 008塊.

在2021年全國中考試題中，各地命題人員關(guān)注到“數(shù)與式”內(nèi)容的思想性及可以引發(fā)深入思考的價(jià)值，設(shè)計(jì)了非常好的試題. 我們不僅通過測試結(jié)果關(guān)注學(xué)生答案的對錯(cuò)，更重要的是判斷學(xué)生思維過程是否有道理，是否合乎邏輯. 我們研究全國各地中考試題的考點(diǎn)和解法，不僅是為了研究中考本身，更是探尋教學(xué)與評價(jià)的內(nèi)涵，探索如何在教學(xué)中發(fā)揮數(shù)學(xué)的內(nèi)在力量，挖掘數(shù)學(xué)內(nèi)容所蘊(yùn)含的育人資源，提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)，發(fā)展思維能力，培育理性精神，讓學(xué)生在獲得數(shù)學(xué)知識的同時(shí)，學(xué)會思考，成為善于認(rèn)識問題和解決問題的人，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力，使學(xué)生的智慧得到發(fā)展.

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