樊 成，王布宏，田繼偉

（空軍工程大學(xué)信息與導(dǎo)航學(xué)院，西安 710077）

0 引言

隨著我國經(jīng)濟(jì)社會的不斷發(fā)展，航空網(wǎng)絡(luò)作為航空運(yùn)輸?shù)膶?shí)現(xiàn)載體愈加重要。然而航空網(wǎng)絡(luò)由于其特殊性，容易受天氣、人為因素以及惡意網(wǎng)絡(luò)攻擊影響，如何優(yōu)化航空網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)、降低突發(fā)事件對功能運(yùn)行的影響，逐漸成為人們關(guān)心的重點(diǎn)。航空網(wǎng)絡(luò)是由機(jī)場節(jié)點(diǎn)和航線邊組成的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，當(dāng)某一機(jī)場節(jié)點(diǎn)或航線邊發(fā)生故障時，該機(jī)場流量就會向其他機(jī)場分流，繼而引起其他機(jī)場的服務(wù)功能異常，甚至造成大范圍的航班延誤及整個航空網(wǎng)絡(luò)癱瘓，這種現(xiàn)象符合級聯(lián)故障的傳播特性。因此利用級聯(lián)故障模型對航空網(wǎng)絡(luò)抗毀性進(jìn)行分析，研究故障的動力學(xué)傳播特性，可以為航空網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)優(yōu)化及抗毀性提升提供指導(dǎo)。

在級聯(lián)故障模型方面，Motter 等［1］最早提出了“負(fù)載-容量”ML（Motter-Lai）模型，假設(shè)節(jié)點(diǎn)的負(fù)載和容量存在線性關(guān)系，并提出了基于最短路徑的流量重分配算法。Wang等［2］提出了WK（Wang-Kim）模型，將節(jié)點(diǎn)的容量定義為負(fù)載的單調(diào)遞增函數(shù)，對高負(fù)載的節(jié)點(diǎn)分配更多的容量。隨著研究的深入，人們發(fā)現(xiàn)實(shí)際網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)的容量和負(fù)載并非是線性關(guān)系，而是非線性關(guān)系，繼而Dou 等［3］提出了非線性負(fù)載容量模型，對網(wǎng)絡(luò)不同節(jié)點(diǎn)分配不同的容量，在網(wǎng)絡(luò)成本上比線性模型更具優(yōu)勢。針對加權(quán)網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)故障抗毀性問題，崔文巖等［4］提出一種節(jié)點(diǎn)度和介數(shù)相關(guān)的邊權(quán)重模型，發(fā)現(xiàn)特定參數(shù)組合可以增強(qiáng)網(wǎng)絡(luò)的魯棒性。邢彪等［5］從網(wǎng)絡(luò)的局部信息入手，提出了一種基于節(jié)點(diǎn)度及鄰居節(jié)點(diǎn)強(qiáng)度的加權(quán)網(wǎng)絡(luò)模型。針對社團(tuán)網(wǎng)絡(luò)，李浩敏等［6］研究了多社團(tuán)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)應(yīng)對級聯(lián)故障的抗毀性；陸靖橋等［7］則從網(wǎng)絡(luò)中的社團(tuán)結(jié)構(gòu)入手，提出了一種考慮社團(tuán)理論的級聯(lián)故障模型，使研究不再局限于單個節(jié)點(diǎn)或節(jié)點(diǎn)簡單的鄰居關(guān)系。在失效節(jié)點(diǎn)的負(fù)載分配策略方面，目前已有不少基于固定因素分配策略，具體包括基于全局信息的負(fù)載重分配［8］、基于負(fù)載最近鄰偏好分配［9］、節(jié)點(diǎn)容量或容量和初始負(fù)載的差值［10］和基于可調(diào)負(fù)載重分配范圍與負(fù)載重分配異質(zhì)性的等［11］，然而這類固定的負(fù)載重分策略沒有考慮節(jié)點(diǎn)失效時其鄰居節(jié)點(diǎn)的實(shí)時負(fù)載處理能力。梁倬騫等［12］將節(jié)點(diǎn)負(fù)載看成是動態(tài)變化的過程，提出了基于節(jié)點(diǎn)實(shí)時處理能力的負(fù)載重分配策略，能夠有效提高網(wǎng)絡(luò)的抗毀性；針對相依網(wǎng)絡(luò)，李從東等［13］對多層耦合網(wǎng)絡(luò)對級聯(lián)失效的魯棒性進(jìn)行了仿真分析；劉鳳增等［14］則對相依網(wǎng)絡(luò)應(yīng)對級聯(lián)失效的恢復(fù)策略進(jìn)行了研究。此后，級聯(lián)故障模型逐漸應(yīng)用于各類實(shí)際網(wǎng)絡(luò)，如Sch?fer 等［15］從故障發(fā)生的瞬間狀態(tài)和穩(wěn)定狀態(tài)兩方面對電力網(wǎng)絡(luò)應(yīng)對級聯(lián)失效的魯棒性進(jìn)行了分析；郭曉成等［16］將級聯(lián)失效應(yīng)用于指揮信息系統(tǒng)，并提出了對應(yīng)的防御策略；李成兵等［17］將級聯(lián)失效應(yīng)用于城市交通網(wǎng)絡(luò)，研究了蓄意攻擊下城市交通網(wǎng)絡(luò)的抗毀性。

然而，現(xiàn)有的方法對于節(jié)點(diǎn)失效的設(shè)定大多是確定性的，即一旦負(fù)載超過最大容量就立即失效，由于航空網(wǎng)絡(luò)的特殊性，節(jié)點(diǎn)大多具有冗余容量，即使發(fā)生過載也不會立即失效，而是具備一定的超額負(fù)載調(diào)度能力；另外現(xiàn)有級聯(lián)故障模型與航空網(wǎng)絡(luò)適應(yīng)性不夠高，一些參數(shù)的選取設(shè)置并未參照航空網(wǎng)絡(luò)實(shí)際情況，并且缺少網(wǎng)絡(luò)抗毀性與網(wǎng)絡(luò)成本的關(guān)系分析。為了解決以上問題，本文提出了一種考慮過載狀態(tài)及失效概率的航空網(wǎng)絡(luò)的級聯(lián)故障非線性模型，以過載系數(shù)λ來描述節(jié)點(diǎn)的冗余容量功能，以權(quán)重系數(shù)θ來描述網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的異質(zhì)性，以失效概率p來描述不同節(jié)點(diǎn)發(fā)生故障的不確定性（該不確定性由人為干預(yù)的強(qiáng)弱或保護(hù)資源的多少決定），以容量系數(shù)α、β描述節(jié)點(diǎn)負(fù)載和容量的非線性關(guān)系，采用基于節(jié)點(diǎn)實(shí)時剩余容量的負(fù)載重分配策略，使所提模型更貼近于實(shí)際交通網(wǎng)絡(luò)中失效的情況，并引入網(wǎng)絡(luò)成本的概念，分別從理論分析和仿真實(shí)驗(yàn)兩方面，對網(wǎng)絡(luò)抗毀性提升及網(wǎng)絡(luò)成本與其他參數(shù)的關(guān)系進(jìn)行了研究，提出了航空網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)化方向，使研究結(jié)果具有較強(qiáng)的實(shí)用價(jià)值，對于航空網(wǎng)絡(luò)抵御級聯(lián)故障、增強(qiáng)抗毀性存在著重要的理論和現(xiàn)實(shí)意義。

1 考慮失效概率的航空網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)故障模型

1.1 級聯(lián)故障過程

考慮到航空網(wǎng)絡(luò)的機(jī)場節(jié)點(diǎn)具備超額負(fù)載處置能力，當(dāng)流量超過負(fù)載后，該節(jié)點(diǎn)不會立刻癱瘓，而是會降低節(jié)點(diǎn)的流量處置效率；此后隨著進(jìn)入該機(jī)場節(jié)點(diǎn)的流量不斷增加，其失效的概率逐漸增大，直至最終失效，此時該節(jié)點(diǎn)就會向與其通航的機(jī)場節(jié)點(diǎn)分配航班流量。因此，可以將航空網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)故障過程分為以下三個階段（如圖1 所示）：

圖1 考慮失效概率的級聯(lián)故障過程Fig.1 Cascading failure process considering failure probability

1）正常工作。在該階段，航空網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)依據(jù)空管調(diào)度，在正常的負(fù)載范圍內(nèi)工作。

2）負(fù)載傳播。當(dāng)網(wǎng)絡(luò)中某一節(jié)點(diǎn)受到攻擊而失效時，為保持該節(jié)點(diǎn)航班運(yùn)輸?shù)睦^續(xù)運(yùn)行，該節(jié)點(diǎn)的負(fù)載會分流給其鄰居節(jié)點(diǎn)，這是第一輪傳播過程；此時，有的節(jié)點(diǎn)由于負(fù)載超過其最大工作量而失效，將航班流量分配給鄰居節(jié)點(diǎn)，有的節(jié)點(diǎn)負(fù)載并未超過其最大工作量而處于過載狀態(tài)，通過調(diào)度將超載航班流量分配至其余節(jié)點(diǎn)，該節(jié)點(diǎn)并不失效，這是第二輪傳播過程。

3）失效結(jié)束。當(dāng)網(wǎng)絡(luò)不再出現(xiàn)新的失效節(jié)點(diǎn)，所有節(jié)點(diǎn)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，級聯(lián)故障過程結(jié)束。

圖1（a）中標(biāo)叉節(jié)點(diǎn)是初始時刻受攻擊而失效的節(jié)點(diǎn)，其余為正常節(jié)點(diǎn)。圖1（b）中顯示初始節(jié)點(diǎn)失效后，向其鄰居節(jié)點(diǎn)分配流量。此時，部分節(jié)點(diǎn)接收流量后負(fù)載超過最大容量但在允許范圍內(nèi)而處于過載狀態(tài)（填充），部分節(jié)點(diǎn)接收流量后負(fù)載超過最大容量且超出冗余范圍和失效（標(biāo)叉），部分處于正常狀態(tài)。圖1（c）顯示了經(jīng)過第一輪傳播過程后，出現(xiàn)了新的過載節(jié)點(diǎn)和失效節(jié)點(diǎn)，這些節(jié)點(diǎn)又開始向鄰居節(jié)點(diǎn)分配流量，同時上一輪中處于過載狀態(tài)的節(jié)點(diǎn)經(jīng)過流量調(diào)配后，恢復(fù)為正常狀態(tài)。

1.2 航空網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)故障模型

通過復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論和圖論知識構(gòu)建航空網(wǎng)絡(luò)圖集合G={V，E}，其中V={v1，v2，…，vN}為機(jī)場節(jié)點(diǎn)構(gòu)成的點(diǎn)集合；E={e1，e2，…，em}為節(jié)點(diǎn)之間航線組成的邊集合；網(wǎng)絡(luò)的連接情況用鄰接矩陣A={aij}(1≤i，j≤N)表示，若節(jié)點(diǎn)vi到vj有航線則aij=1，反之a(chǎn)ij=0。

1）節(jié)點(diǎn)的初始負(fù)載。

為了有效定義航空網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)負(fù)載，考慮到網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)重要性不僅與節(jié)點(diǎn)本身有關(guān)，還有其鄰居節(jié)點(diǎn)相關(guān)，因此本文將節(jié)點(diǎn)的初始負(fù)載定義為節(jié)點(diǎn)度和鄰居節(jié)點(diǎn)度的乘積［18］：

其中：Li為節(jié)點(diǎn)i的初始負(fù)載；ki為節(jié)點(diǎn)i的度值；Γi為節(jié)點(diǎn)i鄰居節(jié)點(diǎn)的集合；θ為權(quán)重系數(shù)，用來調(diào)節(jié)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)負(fù)載分布的參數(shù)，其值越大，說明網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)之間的負(fù)載差異越大，負(fù)載分布越不均勻，網(wǎng)絡(luò)的異質(zhì)性越強(qiáng)。

2）節(jié)點(diǎn)的最大容量。

本文假設(shè)節(jié)點(diǎn)容量與負(fù)載成非線性關(guān)系，因此定義節(jié)點(diǎn)i的最大容量為：

其中：Li為節(jié)點(diǎn)初始負(fù)載；α≥0、β≥0 為容量系數(shù)，調(diào)節(jié)機(jī)場最大吞吐量的大小，當(dāng)α=1 時，為ML 模型關(guān)于容量和負(fù)載關(guān)系的假設(shè)。容量系數(shù)越大，網(wǎng)絡(luò)應(yīng)對級聯(lián)故障的能力就越強(qiáng)，然而在現(xiàn)實(shí)網(wǎng)絡(luò)中，機(jī)場的最大吞吐量越大，其所花費(fèi)代價(jià)也就越大，占用的資源也就越多，因此容量系數(shù)α和β不能無限制增大。

3）節(jié)點(diǎn)的過載系數(shù)和失效概率。

針對航空網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)具備冗余容量，且對超額負(fù)載具備一定調(diào)度能力的實(shí)際，本文引入了失效概率這一概念。具體而言，當(dāng)節(jié)點(diǎn)的負(fù)載小于其最大容量時，節(jié)點(diǎn)不會失效；當(dāng)節(jié)點(diǎn)的負(fù)載超過其最大容量但在一定的允許范圍內(nèi)時，節(jié)點(diǎn)以一定的概率失效；當(dāng)節(jié)點(diǎn)的負(fù)載超過其最大容量并且超出規(guī)定的允許范圍，節(jié)點(diǎn)立刻失效。公式表示如下：

其中：pi為節(jié)點(diǎn)i的失效概率；λiCi為節(jié)點(diǎn)i的冗余容量?？紤]到現(xiàn)實(shí)情況下，越繁忙的機(jī)場節(jié)點(diǎn)越需要投入成本增加其冗余容量，從而保證其在高峰時段的航班處置能力；相反一些航班數(shù)較少的機(jī)場，并不需要增加過多的冗余容量。因此冗余量應(yīng)該與節(jié)點(diǎn)本身的航班量成正比，因此λ可定義為：

節(jié)點(diǎn)i的失效概率為：

其中：pi為Li單調(diào)遞增函數(shù)，Li超出Ci的值越大，節(jié)點(diǎn)越容易失效；ω>0 為分布系數(shù)，用來描述節(jié)點(diǎn)對失效概率的敏感程度，因?yàn)樵诓煌闆r下，節(jié)點(diǎn)對于超額負(fù)載存在著不同的處理能力。有時節(jié)點(diǎn)處理額外負(fù)載的能力弱，即使負(fù)載小范圍增長，失效概率也可能增長較快；相反有時節(jié)點(diǎn)的失效概率對小范圍的負(fù)載增長并不敏感。

4）負(fù)載的重分配策略。

重分配策略分為兩類：一類是失效節(jié)點(diǎn)的負(fù)載重分配；另一類是處于過載狀態(tài)節(jié)點(diǎn)的超額負(fù)載重分配。對于失效節(jié)點(diǎn)的負(fù)載分配，主要依據(jù)其相鄰節(jié)點(diǎn)的負(fù)載占比進(jìn)行分配［19］，假設(shè)節(jié)點(diǎn)j失效，那么分配到相鄰節(jié)點(diǎn)i的容量為：

此時，節(jié)點(diǎn)i收到節(jié)點(diǎn)j分配的流量后，處于過載狀態(tài)，并未失效，但超額負(fù)載需要盡快分配至其余節(jié)點(diǎn)，使得系統(tǒng)能夠保持正常的運(yùn)轉(zhuǎn)效率。

對于超額負(fù)載分配采用基于鄰域節(jié)點(diǎn)實(shí)時剩余容量的分配策略［20］，節(jié)點(diǎn)i到其相鄰節(jié)點(diǎn)m的分配比例為：

那么節(jié)點(diǎn)i分配到節(jié)點(diǎn)m的容量為：

5）網(wǎng)絡(luò)成本。

網(wǎng)絡(luò)中每個節(jié)點(diǎn)的成本定義為其容量與負(fù)載的比值：

那么整個網(wǎng)絡(luò)成本Cost為：

當(dāng)Cost=1 時，說明網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)容量與負(fù)載相同，網(wǎng)絡(luò)處于初始成本下；當(dāng)Cost>1 時，說明節(jié)點(diǎn)的容量超過負(fù)載，此時網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建就具有了成本。實(shí)際的航空網(wǎng)絡(luò)不會無限地?cái)U(kuò)容，其構(gòu)建和維護(hù)受到成本的限制，因此引入網(wǎng)絡(luò)成本的概念。

6）網(wǎng)絡(luò)抗毀性指標(biāo)。

抗毀性指標(biāo)用來衡量網(wǎng)絡(luò)應(yīng)對級聯(lián)故障的能力，定義為網(wǎng)絡(luò)在達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)時失效節(jié)點(diǎn)與總節(jié)點(diǎn)的比值：

其中：Nf為網(wǎng)絡(luò)達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)后失效節(jié)點(diǎn)個數(shù)；N為網(wǎng)絡(luò)總節(jié)點(diǎn)數(shù)。G越小，說明網(wǎng)絡(luò)應(yīng)對級聯(lián)故障的能力越強(qiáng)，抗毀性越高。

1.3 模型應(yīng)對級聯(lián)故障的理論分析

為了在級聯(lián)故障大范圍傳播前進(jìn)行阻斷，需要在故障發(fā)生時就進(jìn)行阻斷。假設(shè)網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)j首先出現(xiàn)故障，向其相鄰節(jié)點(diǎn)i傳播流量，這就包括兩種情況：

1）當(dāng)ΔLji+Li≤Ci，節(jié)點(diǎn)i自身流量與節(jié)點(diǎn)j所分配流量之和小于其最大容量，此時節(jié)點(diǎn)i仍正常工作。

2）當(dāng)Ci<ΔLji+Li≤δCi，節(jié)點(diǎn)i自身流量與節(jié)點(diǎn)j分配流量之和大于其最大容量，但處于冗余容量范圍內(nèi)，此時節(jié)點(diǎn)i進(jìn)入過載狀態(tài)，但并未失效。

針對第一種情況：將式（1）、（2）和（6）代入ΔLji+Li≤Ci，經(jīng)推導(dǎo)可到：

由貝葉斯公式可知：

其中：p(k′|kj)表示度為節(jié)點(diǎn)j，其鄰接節(jié)點(diǎn)中含有度為k′的節(jié)點(diǎn)的條件概率。又由小世界和無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中沒有度相關(guān)性，所以p(k′|kj)=k′p(k′)/，因此可得：

將式（14）代入式（12），化簡得到：

又因Cost=，結(jié)合式（15），可得第一種情況下網(wǎng)絡(luò)成本與網(wǎng)絡(luò)各參數(shù)的關(guān)系：

對于情況2），Ci<ΔLji+Li≤δCi，同理可推導(dǎo)得：

通過上述分析，可以看出在滿足網(wǎng)絡(luò)抗毀性條件下，網(wǎng)絡(luò)成本與網(wǎng)絡(luò)的度平均數(shù)、過載系數(shù)、權(quán)重系數(shù)和容量系數(shù)的關(guān)系，這也說明了可以通過合理配置優(yōu)化參數(shù)，使網(wǎng)絡(luò)對級聯(lián)故障具有強(qiáng)魯棒性的情況下降低網(wǎng)絡(luò)成本。

1.4 考慮失效概率的航空網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)故障算法

2 仿真實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

2.1 實(shí)驗(yàn)說明

航班及機(jī)場數(shù)據(jù)來自國際航空運(yùn)輸協(xié)會（International Air Transport Association，IATA）2019 年的記錄。實(shí)驗(yàn)步驟如1.4 節(jié)所示，假定度值最大的節(jié)點(diǎn)首先受到攻擊而失效，觀察過載系數(shù)、權(quán)重系數(shù)、分布系數(shù)、容量系數(shù)隨著網(wǎng)絡(luò)成本變化對網(wǎng)絡(luò)抗毀性影響，所有的仿真分別進(jìn)行50 次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)。

2.2 過載系數(shù)δ對航空網(wǎng)絡(luò)抗毀性的影響

為了研究過載系數(shù)δ對網(wǎng)絡(luò)抗毀性的影響，保持其他參數(shù)固定，使δ的值變化，觀察網(wǎng)絡(luò)在不同成本下的抗毀性。實(shí)驗(yàn)中，令容量系數(shù)α=0.75，這是因?yàn)樵谇捌隍?yàn)證中α=0.75 時，網(wǎng)絡(luò)的抗毀性參數(shù)隨著δ的變化較為明顯；令權(quán)重系數(shù)θ=0.8，使得網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)負(fù)載分配差異性不至于過大；令分布系數(shù)ω=1。仿真結(jié)果如圖2 所示。

圖2 網(wǎng)絡(luò)抗毀性隨過載系數(shù)的變化Fig.2 Network invulnerability varying with overload coefficient

由圖2 分析可知，初始成本下，δ=0 表示不考慮冗余容量和失效概率，此時網(wǎng)絡(luò)的失效節(jié)點(diǎn)比例較高，隨著δ小范圍增大，網(wǎng)絡(luò)的失效節(jié)點(diǎn)比例大幅降低，當(dāng)δ=0.3 時，節(jié)點(diǎn)失效比例僅有17.59%，說明引入過載系數(shù)能夠?qū)W(wǎng)絡(luò)的抗毀性帶來較大提升；隨著網(wǎng)絡(luò)建設(shè)成本Cost的不斷增加，網(wǎng)絡(luò)的失效節(jié)點(diǎn)比例逐漸下降，但當(dāng)Cost增大到某一值后，網(wǎng)絡(luò)失效節(jié)點(diǎn)比例不會下降，這是說明當(dāng)網(wǎng)絡(luò)成本大于某一值后，網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)的最大容量遠(yuǎn)大于負(fù)載，級聯(lián)故障不會發(fā)生，增大過載系數(shù)δ，可以使曲線更早地達(dá)到這一臨界值。

同時可以看出網(wǎng)絡(luò)成本Cost=1.031 4 時，網(wǎng)絡(luò)的抗毀性指標(biāo)G與過載系數(shù)δ的變化關(guān)系最為緊密，為了更直觀地展示失效概率對航空網(wǎng)絡(luò)抗毀性的影響，將航空網(wǎng)絡(luò)在考慮失效概率和不考慮失效概率（δ=0.15，Cost=1.031 4，α=0.75，θ=0.8，ω=1）兩種情況下進(jìn)行級聯(lián)故障仿真，觀察達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)后網(wǎng)絡(luò)情況，仿真結(jié)果如圖3 所示。

圖3 不同機(jī)制下網(wǎng)絡(luò)發(fā)生級聯(lián)故障后的狀態(tài)Fig.3 Network states after cascading failure under different mechanisms

圖3（a）展示了正常工作狀態(tài)下中國航空網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，節(jié)點(diǎn)為正常運(yùn)行的機(jī)場節(jié)點(diǎn)，連線表示機(jī)場之間的航線；圖3（b）表示不考慮失效概率時，網(wǎng)絡(luò)發(fā)生級聯(lián)故障后的狀態(tài)，標(biāo)叉的表示失效的機(jī)場節(jié)點(diǎn)，此時網(wǎng)絡(luò)大部分節(jié)點(diǎn)已經(jīng)失效，且僅存的有效節(jié)點(diǎn)之間不存在航線，航空網(wǎng)絡(luò)崩潰；圖3（c）表示考慮失效概率時，網(wǎng)絡(luò)發(fā)生級聯(lián)故障后的狀態(tài)，此時網(wǎng)絡(luò)大部分節(jié)點(diǎn)仍正常工作，失效節(jié)點(diǎn)較之前已經(jīng)大幅減少；移除圖3（c）中的失效節(jié)點(diǎn)，添加正常工作節(jié)點(diǎn)之間的航線，得到圖3（d），雖然圖3（d）網(wǎng)絡(luò)航線數(shù)較圖3（a）有所減少，但大部分航線得以保留，網(wǎng)絡(luò)能夠保持正常運(yùn)行，這說明了考慮過載狀態(tài)及失效概率對航空網(wǎng)絡(luò)抗毀性的提升。

2.3 權(quán)重系數(shù)θ對航空網(wǎng)絡(luò)抗毀性的影響

為了探究權(quán)重系數(shù)θ對網(wǎng)絡(luò)抗毀性的影響，保持其他參數(shù)固定，令δ=0.25，α=0.75，ω=1，觀察不同權(quán)重系數(shù)θ下，網(wǎng)絡(luò)性能隨網(wǎng)絡(luò)成本的變化，結(jié)果如圖4 所示。

圖4 網(wǎng)絡(luò)抗毀性隨權(quán)重系數(shù)的變化Fig.4 Network invulnerability varying with weight coefficient

從圖4 可以看出，當(dāng)整個網(wǎng)絡(luò)成本較低時，隨著權(quán)重系數(shù)θ的提升，網(wǎng)絡(luò)中各節(jié)點(diǎn)負(fù)載的異質(zhì)性逐漸提高，網(wǎng)絡(luò)應(yīng)對級聯(lián)故障的能力隨之下降，系統(tǒng)抗毀性逐漸降低；而隨著網(wǎng)絡(luò)成本的提升，網(wǎng)絡(luò)失效節(jié)點(diǎn)比例逐漸降低，當(dāng)網(wǎng)絡(luò)成本繼續(xù)增大，失效比例降至最低，抗毀性達(dá)到最大值，并且θ的提升會使到達(dá)抗毀性最大的時刻推遲。結(jié)果顯示，節(jié)點(diǎn)之間負(fù)載分配的異質(zhì)性與網(wǎng)絡(luò)的抗毀性相關(guān)。

2.4 分布系數(shù)ω對航空網(wǎng)絡(luò)抗毀性的影響

分布系數(shù)ω刻畫了網(wǎng)絡(luò)不同節(jié)點(diǎn)對超額負(fù)載的處理能力。為了研究網(wǎng)絡(luò)的抗毀性隨ω的變化，本文保持其他參數(shù)固定，即令θ=0.8，α=0.75，δ=0.1，觀察網(wǎng)絡(luò)失效節(jié)點(diǎn)比例G隨著ω及Cost的變化，結(jié)果如圖5 所示。

圖5 網(wǎng)絡(luò)抗毀性隨分布系數(shù)的變化Fig.5 Network invulnerability varying with distribution coefficient

如圖5 所示，當(dāng)Cost=1，此時網(wǎng)絡(luò)處于初始成本下，節(jié)點(diǎn)的失效比例隨著ω的增加而不斷降低；隨著網(wǎng)絡(luò)成本的增加，節(jié)點(diǎn)失效比例逐漸降低，當(dāng)超過某一臨界點(diǎn)后，網(wǎng)絡(luò)抗毀性達(dá)到最大，此時繼續(xù)增大ω或網(wǎng)絡(luò)成本Cost不會改變網(wǎng)絡(luò)的抗毀性。這是因?yàn)楫?dāng)ω較小時，即使網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的負(fù)載略有超過容量，其失效概率仍然較高；相反，當(dāng)ω較大時會相應(yīng)降低失效概率。因此，ω控制著網(wǎng)絡(luò)中各節(jié)點(diǎn)對過載負(fù)荷的敏感程度，也反映了實(shí)際航空網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)處理調(diào)配過載容量的能力。

2.5 容量系數(shù)α和β對航空網(wǎng)絡(luò)抗毀性的影響

為了探究網(wǎng)絡(luò)容量系數(shù)對網(wǎng)絡(luò)抗毀性的影響，令其他參數(shù)固定，即δ=0.25，θ=0.8，ω=1，選擇不同的α和β的值進(jìn)行仿真，結(jié)果如圖6 所示。

從圖6（a）可以看出，當(dāng)β=0.1 時，網(wǎng)絡(luò)的抗毀性隨著容量系數(shù)α的增加，處于震蕩狀態(tài)，但當(dāng)α>0.625 后，隨著α的增加，網(wǎng)絡(luò)抗毀性不斷增強(qiáng)，尤其是當(dāng)α=0.701 2 時，系統(tǒng)的魯棒性最強(qiáng)，此后繼續(xù)增大α，網(wǎng)絡(luò)抗毀性不再變化。從圖6（b）可以看出，容量系數(shù)β對網(wǎng)絡(luò)抗毀性的影響與α的影響大致相同，但β在小范圍(0～0.2)變化，就能對網(wǎng)絡(luò)抗毀性帶來較大影響，說明網(wǎng)絡(luò)抗毀性對于參數(shù)β的變化更為敏感。同時，當(dāng)網(wǎng)絡(luò)成本固定時，α的上升必然帶來β的下降，兩者呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)的關(guān)系。當(dāng)網(wǎng)絡(luò)成本變化時，α和β若同時增大時，又會使網(wǎng)絡(luò)成本急劇提升。因此，一味地提升網(wǎng)絡(luò)容量系數(shù)并不合理。

圖6 網(wǎng)絡(luò)抗毀性與不同容量系數(shù)的關(guān)系Fig.6 Relationship between network invulnerability and different capacity coefficients

2.6 本文所提模型與其他模型的比較

為了顯示本文所提模型的優(yōu)勢，此處對航空網(wǎng)絡(luò)在ML模型（模型1）、不考慮失效概率的非線性負(fù)載模型（模型2）和考慮過載狀態(tài)和失效概率的模型（模型3）下失效節(jié)點(diǎn)比例G與網(wǎng)絡(luò)成本Cost的關(guān)系進(jìn)行對比。為了保證結(jié)果的公平性，對于模型1，令α=1，θ=0.8；對于模型2，由于負(fù)載和容量是非線性關(guān)系，令α=1.2，θ=0.8；對于模型3，考慮了過載狀態(tài)和失效概率，令α=1.2，θ=0.8，ω=2，δ=0.1。參數(shù)β的取值范圍為0.01 到0.25 變化，觀察網(wǎng)絡(luò)失效節(jié)點(diǎn)比例隨網(wǎng)絡(luò)成本的變化，結(jié)果如圖7 所示。

圖7 航空網(wǎng)絡(luò)在三種模型下的抗毀性隨網(wǎng)絡(luò)成本的變化對比Fig.7 Comparison of aviation network invulnerability varying with network cost under three models

從圖7 可以看出：與模型1、模型2 相比，模型3 在初始網(wǎng)絡(luò)成本下G值較低，且隨著網(wǎng)絡(luò)成本的增加，模型3 的曲線下降更快，能夠更快地到達(dá)網(wǎng)絡(luò)的最大抗毀性值。這是因?yàn)楦倪M(jìn)后的模型不僅考慮了節(jié)點(diǎn)和網(wǎng)絡(luò)自身的冗余能力，還考慮了過載狀態(tài)下節(jié)點(diǎn)的失效概率問題，更好地抑制了網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)故障破壞程度，相較其他模型更適用于航空網(wǎng)絡(luò)。

隨后對三種的模型的計(jì)算復(fù)雜度進(jìn)行仿真分析，此處隨機(jī)生成了節(jié)點(diǎn)數(shù)分別為100、200、300、400，平均度為6 的無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)作為實(shí)驗(yàn)對象，初始時刻移除網(wǎng)絡(luò)中度值最大的節(jié)點(diǎn)，觀察達(dá)到平衡狀態(tài)下各模型所用的時間，結(jié)果如圖8所示。

圖8 不同網(wǎng)絡(luò)規(guī)模下模型的運(yùn)算復(fù)雜度Fig.8 Model computational complexity under different network scale

通過圖8 可以看出：模型1 與模型2 在不同網(wǎng)絡(luò)規(guī)模下的運(yùn)算時間基本相同，而模型3 因?yàn)樵黾恿诉^載狀態(tài)和失效概率的計(jì)算，因此運(yùn)算時間要高于其他模型，但總體與網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)數(shù)成線性關(guān)系。

2.7 航空網(wǎng)絡(luò)應(yīng)對級聯(lián)故障的優(yōu)化過程

為探究多參數(shù)變化對航空網(wǎng)絡(luò)抗毀性的影響，并據(jù)此尋找網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)化方向，設(shè)計(jì)如下實(shí)驗(yàn)：令過載系數(shù)δ的取值范圍為0.1～0.3，權(quán)重系數(shù)θ的取值范圍為0.7～1.2，分布系數(shù)ω取值范圍為0.5～1.5，容量系數(shù)α的取值范圍為0.6～0.9，β的取值范圍為0.05～0.2，每個系數(shù)的取值間隔為0.05，將所有參數(shù)的取值組合，共得到12 000 種情況，對每種情況下網(wǎng)絡(luò)成本與網(wǎng)絡(luò)的抗毀性進(jìn)行計(jì)算，部分計(jì)算結(jié)果如表1 所示。通過表1 可以看出，容量系數(shù)α和β對網(wǎng)絡(luò)成本的影響較大，并且兩者在網(wǎng)絡(luò)成本固定時存在負(fù)相關(guān)的關(guān)系，因此這兩個參數(shù)對網(wǎng)絡(luò)的抗毀性優(yōu)化存在最優(yōu)取值區(qū)間；過載系數(shù)θ對網(wǎng)絡(luò)抗毀性影響較大，對網(wǎng)絡(luò)抗毀性優(yōu)化存在最優(yōu)取值；當(dāng)繼續(xù)提升其他參數(shù)對網(wǎng)絡(luò)抗毀性影響不大時，提高分布系數(shù)ω，能夠在不改變網(wǎng)絡(luò)成本的條件下進(jìn)一步提升網(wǎng)絡(luò)抗毀性。

表1 航空網(wǎng)絡(luò)在不同參數(shù)組合下的網(wǎng)絡(luò)成本與抗毀性Tab.1 Network cost and invulnerability of aviation network with different parameter combinations

結(jié)合上面的計(jì)算結(jié)果，航空網(wǎng)絡(luò)提升級聯(lián)故障抗毀性的優(yōu)化過程可通過圖9 進(jìn)行描述。

圖9 航空網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)故障抗毀性優(yōu)化過程Fig.9 Optimization process of cascading failure invulnerability in aviation network

在考慮網(wǎng)絡(luò)整體成本的情況下，優(yōu)化對象可分為兩部分：1）對網(wǎng)絡(luò)拓?fù)溥M(jìn)行規(guī)劃，優(yōu)化航線配置，降低網(wǎng)絡(luò)各節(jié)點(diǎn)負(fù)載的異質(zhì)性；2）對參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，主要是過載系數(shù)和分布系數(shù)，使得航空網(wǎng)絡(luò)整體成本在合理區(qū)間下，優(yōu)化節(jié)點(diǎn)的冗余容量和失效概率。兩者在一定程度上可以實(shí)現(xiàn)航空網(wǎng)絡(luò)對級聯(lián)故障抗毀性的提升。

3 結(jié)語

本文在傳統(tǒng)“負(fù)載-容量”模型的基礎(chǔ)上，提出了一種考慮過載狀態(tài)和失效概率的非線性級聯(lián)故障模型，對航空網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)具有冗余容量及超額負(fù)載調(diào)配的能力進(jìn)行刻畫；在此基礎(chǔ)上，引入網(wǎng)絡(luò)成本的概念，并針對過載節(jié)點(diǎn)和失效節(jié)點(diǎn)分別設(shè)置了對應(yīng)的負(fù)載分配策略，使得級聯(lián)故障研究更符合航空網(wǎng)絡(luò)實(shí)際。隨后從理論分析和仿真實(shí)驗(yàn)兩個角度，對網(wǎng)絡(luò)抗毀性提升與網(wǎng)絡(luò)成本和模型其他參數(shù)的關(guān)系進(jìn)行了研究，并給出了提升航空網(wǎng)絡(luò)應(yīng)對級聯(lián)故障的策略，結(jié)論如下：

1）隨著過載系數(shù)δ在一定范圍的增加，網(wǎng)絡(luò)的抗毀性會逐漸增強(qiáng)；但當(dāng)δ增加一個特定值，并且網(wǎng)絡(luò)成本增大到一個臨界值后，網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)故障不再發(fā)生，繼續(xù)增大δ沒有意義。

2）當(dāng)分布系數(shù)ω<1 時，即使節(jié)點(diǎn)負(fù)載超過容量小部分，也存在很高的失效概率；隨著ω的增大，各節(jié)點(diǎn)處理過載載流量的能力增強(qiáng)，網(wǎng)絡(luò)的抗毀性逐漸增大。

3）當(dāng)網(wǎng)絡(luò)在低成本下發(fā)生大規(guī)模級聯(lián)破壞時，網(wǎng)絡(luò)的抗毀性會隨著權(quán)重系數(shù)θ的增加而減小，隨著網(wǎng)絡(luò)成本的增加，網(wǎng)絡(luò)抗毀性逐漸增強(qiáng)，直到達(dá)到最大值；但θ的提升會使到達(dá)抗毀性最大的時刻推遲。

4）隨著容量系數(shù)α、β的增大，網(wǎng)絡(luò)整體成本不斷增加，網(wǎng)絡(luò)的抗毀性也逐漸增強(qiáng)。當(dāng)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)失效比例降至最低時，繼續(xù)增加容量系數(shù)，對網(wǎng)絡(luò)抗毀性沒有影響。同時當(dāng)網(wǎng)絡(luò)成本固定不變時，容量系數(shù)α的上升必然帶來β的下降，兩者呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)的關(guān)系。

5）與傳統(tǒng)的負(fù)載容量模型相比，本文所提出的模型能夠在較低的網(wǎng)絡(luò)成本條件下，更快地降低網(wǎng)絡(luò)失效節(jié)點(diǎn)比例，使網(wǎng)絡(luò)應(yīng)對級聯(lián)故障的能力到達(dá)最大，這說明了本文所提模型的優(yōu)勢。

本文模型雖為研究航空網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)故障抗毀性提供了一定的思路和方法，但在研究過程中，對航空網(wǎng)絡(luò)和級聯(lián)故障模型還未考慮網(wǎng)絡(luò)的加權(quán)特性及失效節(jié)點(diǎn)的功能恢復(fù)問題，需要結(jié)合實(shí)際應(yīng)用背景進(jìn)行進(jìn)一步的補(bǔ)充和完善。