一、單項選擇題(本大題共8小題，每小題5分，計40分)

1. 已知集合A={x|y=lg(x-2)},B={x|x2-4x<0},則(RA)∩B=( )

(A)(-∞,2] (B)(0,2]

(C)(2,4) (D)[2,+∞)

3.已知函數(shù)y=f(x)的部分圖象如圖所示,則函數(shù)y=f(x)的解析式可能是( )

(C)y=sinx-xex(D)y=sinx-xcosx

(A)-2 (B)1 (C)2 (D)8

6.某學校社會實踐小組共有5名成員,該小組計劃前往三個紅色教育基地進行“學黨史,頌黨恩,跟黨走”的主題宣講志愿服務.若每名成員只去一個基地,每個基地至少有一名成員前往,且甲、乙兩名成員前往同一基地,丙、丁兩名成員前往不同基地,則不同的分配方案總數(shù)有( )

(A)86種 (B)64種 (C)42種 (D)30種

(A)x>y>z(B)z>x>y

(C)x>z>y(D)y>z>x

8.由倍角公式cos 2x=2cos2x-1,可知cos 2x可表示為cosx的二次多項式,對cos 3x,我們有cos 3x=cos(2x+x)=cos 2xcosx-2sinxcosxsinx=4cos3x-3cosx,故cos 3x也可以表示為cosx的三次多項式.一般地,存在一個n次多項式Pn(t),使得cosnx=Pn(cosx),這些多項式Pn(t)稱為切比雪夫(P.L.Tschebyschelf)多項式.(提示:18°×3=90°-18°×2)

如圖,在等腰?ABC中,已知∠ABC=54°,AB=AC,且?ABC的外接圓半徑OC=1,結合上述知識,可得BC=( )

二、選擇題(本題共4小題,每小題5分,計20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分)

(C)函數(shù)g(x)為奇函數(shù)

10.已知(1-2x)2 021=a+a1x+a2x2+…+a2 021x2 021,則( )

(A)展開式中所有項的系數(shù)和為-1

(B)展開式中二項系數(shù)最大項為第1 010項

(D)a1+2a2+3a3+…+2 021a2 021=2 021

11.若實數(shù)x,y滿足x>y>0,則使得x-y<1成立的一個充分不必要條件是( )

(A)x+y<1

(B)log2x-log2y<1

(C)sinx-siny<1

(D)4x-2·4y<0

12.觀察如下數(shù)陣:

第1行 1 2

第2行 1 3 2

第3行 1 4 3 5 2

第4行 1 5 4 7 3 8 5 7 2

… …

第n行 1x1x2… … … … … … …xk2

該數(shù)陣特點:在第n行每相鄰兩數(shù)之間都插入它們的和得到第n+1行的數(shù),n∈N*.設第n行數(shù)的個數(shù)為an,第n行的所有數(shù)之和為Sn,則( )

(A)an+1=2an-1

(B)Sn+1=3Sn-3

(C)Sn=3[(n-1)2+1]

(D)k=2n-1-1

三、填空題(本題共4小題,每小題5分,計20分)

14.寫出滿足條件“函數(shù)y=f(x)在(0,+∞)單調增,且f(xy)=f(x)+f(y)”的一個函數(shù)f(x)=______.

四、解答題(本題共6小題,計70分.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

17.(本小題滿分10分)為推動實施健康中國戰(zhàn)略,樹立國家大衛(wèi)生、大健康觀念,手機APP也推出了多款健康運動軟件,如“微信運動”,某運動品牌公司140名員工均在微信好友群中參與了“微信運動”,且公司每月進行一次評比,對該月內每日運動都達到10 000步及以上的員工授予該月“運動達人”稱號,其余員工均稱為“參與者”.下表是該運動品牌公司140名員工2021年1月-5月獲得“運動達人”稱號的統(tǒng)計數(shù)據(jù):

月份12345 “運動達人”員工數(shù)1201051009580

(2)為了進一步了解員工們的運動情況,選取了員工們在3月份的運動數(shù)據(jù)進行分析,統(tǒng)計結果如下:

運動達人參與者合計 男員工60m80 女員工n2060 合計10040140

請補充上表中的數(shù)據(jù)(直接寫出m,n的值),并根據(jù)上表判斷是否有95%的把握認為獲得“運動達人”稱號與性別有關?

P(K2≥k)0.100.050.0250.001 k2.7063.8415.0246.635

18.(本小題滿分12分)已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{an},{bn}滿足a1=2,b1=4,且an,bn,an+1成等差數(shù)列,bn,an+1,bn+1成等比數(shù)列.

(1)求a的值;

(2)求cos∠DAE的值.

20.(本小題滿分12分)為落實立德樹人根本任務,堅持五育并舉全面推進素質教育,某校舉行了乒乓球比賽,其中參加男子乒乓球決賽的12名隊員來自高一年級3人,高二年級4人,高三年級5人.本次決賽的比賽賽制采取單循環(huán)方式,即每名隊員進行11場比賽(每場比賽都采取5局3勝制),最后根據(jù)積分選出最后的冠軍,亞軍和季軍.積分規(guī)則如下:每場比賽5局中以3∶0或3∶1獲勝的隊員積3分,落敗的隊員積0分;而每場比賽5局中以3:2獲勝的隊員積2分,落敗的隊員積1分.

(1)比賽結束后冠亞軍恰好來自不同年級的概率是多少?

(1)求證:k1k2為定值;

(2)若k1=3k3,求?FMN的周長.

22.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=lnx-ax+1,a∈R.

(1)當a=1時,求函數(shù)f(x)的最大值;

參考答案

一、單項選擇題.

1. B;2. A;3. D;4. C;5. C;

6. D;7. C;8. A.

二、多項選擇題

9. BC;10. AC;11.AD;12.ABD.

三、填空題

四、解答題

令x=6,得y=-9×6+127=73,即該運動品牌分公司6月份獲得“運動達人” 稱號的員工數(shù)為73.

(2)X的可能取值為0,1,2,3.

X0123 P1988116811627

若t=2,則直線l經過右頂點B(2, 0),與題意不符,舍去.所以t=-1,直線l的方程為x=my-1,恒過橢圓C的左焦點F′(-1, 0).

所以,FMN的周長為FM+MN+NF=FM+MF′+NF′+NF=2a+2a=4a=8.

若1-a≥0,即a≤1,則g′(x)≥1-a≥0,g(x)在[1,+∞)單調增,有g(x)≥g(1)=0.故a≤1符合題意.

綜上,實數(shù)a的取值范圍為(-∞,1].

○單談數(shù)學○

編者按

單墫，數(shù)學家，數(shù)學教育家，教授，博士生導師，我國著名數(shù)學傳播、普及和數(shù)學競賽專家。1964年揚州師范學院數(shù)學系畢業(yè)，從事數(shù)論及數(shù)學課程與教學論研究，在數(shù)學普及與數(shù)學競賽方面，傾注了大量的時間和精力，培養(yǎng)了一批活躍在我國數(shù)學教育前沿領域的專家學者。精彩的輔導講座、高水平的普及讀物，受到數(shù)學愛好者的喜愛。

作為揚州大學的杰出校友，單墫老師長期關心《初中數(shù)學教與學》、《高中數(shù)學教與學》，指導期刊選題、編輯和出版，并親自為期刊選題、編輯和出版，并親自為期刊撰稿。數(shù)十年來，單墫老師筆耕不懈，堅持每天解題。長期的解題實踐形成了“要享受到解題的樂趣”；“要有充足的信心、堅韌不拔的毅力”；“從簡單的做起”；“從不同的角度看問題”；“引入適當字母，向基本量靠攏”；“力求簡單自然，直剖核心”；“設法創(chuàng)造條件，不斷變更問題”等著名的解題原則。為了更好地傳播單墫老師的數(shù)學解題思想和實用、優(yōu)質的解題方法，本刊不定期設置“單談數(shù)學”欄目，以饗讀者。