蔣宗鏵，田 昕，楊晉陵

（武漢大學(xué) 電子信息學(xué)院，湖北 武漢 430072）

引言

鬼成像（ghost imaging,GI）又稱為關(guān)聯(lián)成像，是量子成像的一種。與傳統(tǒng)光學(xué)成像基于光分布測(cè)量成像相比，鬼成像是基于光波能量的關(guān)聯(lián)測(cè)量，如果把世界看成一個(gè)由光子組成的量子場(chǎng)，那么量子場(chǎng)中每一個(gè)光子的狀態(tài)都能被精準(zhǔn)地計(jì)算，通過(guò)對(duì)這些光子能量探測(cè)和計(jì)算，便能為每一個(gè)成像目標(biāo)反演出我們所需的圖像，所以鬼成像能獲取很多傳統(tǒng)光學(xué)成像獲取不到的信息。鬼成像最早起源于量子糾纏光源實(shí)現(xiàn)的量子成像[1-2]，是一種利用雙光子復(fù)合探測(cè)恢復(fù)待測(cè)物體空間信息的新型成像技術(shù)。鬼成像的原理可以簡(jiǎn)單概括為通過(guò)光學(xué)方式將場(chǎng)景信息復(fù)用為一維測(cè)量值，并通過(guò)關(guān)聯(lián)計(jì)算將二維目標(biāo)圖像解復(fù)用的過(guò)程。最早研究者們認(rèn)為糾纏光子對(duì)是實(shí)現(xiàn)鬼成像的必要條件，直到2002年Rochester 大學(xué)的Bennink 等人[3]成功使用由HeNe 激光器和振幅掩模器件組成的經(jīng)典光源完成了鬼成像實(shí)驗(yàn)才打破了人們對(duì)鬼成像的傳統(tǒng)認(rèn)知。隨后，研究人員也陸續(xù)用理論和實(shí)驗(yàn)證明了用經(jīng)典光源實(shí)現(xiàn)鬼成像的可行性[4-7]。各種波段的電磁波如贗熱光源[8]、非相干光源[9]、X 射線[10]和太赫茲[11]等，也陸續(xù)被作為光源來(lái)實(shí)現(xiàn)鬼成像。經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的發(fā)展，傳統(tǒng)雙臂鬼成像的弊端也逐漸被發(fā)現(xiàn)，因其具有雙臂的特點(diǎn)，成像系統(tǒng)更復(fù)雜，集成化難度提高；另外，由于還要多采集一路攜帶空間信息的信號(hào)，對(duì)硬件存儲(chǔ)和傳輸?shù)囊蟾?，在?shí)用化方面亦受到了很大限制。因此，計(jì)算鬼成像應(yīng)運(yùn)而生[12-13]。計(jì)算鬼成像的出現(xiàn)，對(duì)鬼成像技術(shù)實(shí)用化起到了至關(guān)重要的推動(dòng)作用。在計(jì)算鬼成像中使用空間光調(diào)制器（spatial light modulator,SLM）和數(shù)字微鏡器件對(duì)出射光進(jìn)行調(diào)制。單臂式計(jì)算鬼成像不同于傳統(tǒng)雙臂鬼成像，不需要帶有電荷耦合元件陣列探測(cè)器的參考光路，僅需要一個(gè)帶有桶探測(cè)器的信號(hào)光路，因此簡(jiǎn)化了實(shí)驗(yàn)裝置，減少了實(shí)驗(yàn)過(guò)程，同時(shí)也降低了鬼成像實(shí)驗(yàn)的復(fù)雜度。近年來(lái)，計(jì)算鬼成像陸續(xù)涌現(xiàn)出大量相關(guān)應(yīng)用，如遙感[14]、光學(xué)加密[15]和三維重建[16]等。

在鬼成像領(lǐng)域中，Katz 等人[17]引入了壓縮感知方法[18-19]，他們利用壓縮感知的算法突破了Nyquist-Shannon 采樣頻率極限，讓數(shù)據(jù)能同時(shí)被壓縮和采集。但利用傳統(tǒng)壓縮感知算法成像質(zhì)量仍然較低，隨著全變分正則化（total variation regularization,TV）方法的出現(xiàn)，其重構(gòu)的結(jié)果較傳統(tǒng)壓縮感知的結(jié)果更精確，重構(gòu)圖片也會(huì)保持一定的光滑性。TV 重構(gòu)的圖像可能會(huì)存在邊緣細(xì)節(jié)上的一些模糊，只能利用局部信息對(duì)重建圖像進(jìn)行優(yōu)化，所以有時(shí)并不能達(dá)到比較符合預(yù)期的重建效果。

在傳統(tǒng)光學(xué)不能應(yīng)用的極端場(chǎng)景，例如大霧天氣，水下等[20-21]，鬼成像都能較好地完成成像任務(wù)，但是成像質(zhì)量一直是其被詬病的地方。為了提高成像質(zhì)量，本文提出一種非局部廣義全變分的計(jì)算鬼成像重建方法（nonlocal generalized total variation,NLGTV），通過(guò)權(quán)重函數(shù)構(gòu)建成像模型，并采取ADMM[22]（alternating direction method of multipliers）算法獲得模型的較優(yōu)解。該方法優(yōu)勢(shì)主要體現(xiàn)在：1）NLGTV 可以在重構(gòu)時(shí)讓類似噪聲結(jié)構(gòu)的振幅變小，這樣重構(gòu)圖像邊緣會(huì)變得更加突出和銳利；2）NLGTV 使用了不同的平滑懲罰權(quán)重和非局部稀疏懲罰項(xiàng)，可以很好地把重構(gòu)圖像的紋理與主要結(jié)構(gòu)區(qū)分開(kāi)來(lái)，解決了階梯效應(yīng)的問(wèn)題。

1 基于非局部廣義全變分的鬼成像方法

1.1 非局部廣義全變分定義

相比較于TV 而言，非局部廣義全變分模型會(huì)全局考慮圖像的信息[23]。給定輸入圖像f(x)，像素x∈Ω（ Ω代表整個(gè)圖像域）處的非局部廣義全變分被定義為所有像素y∈Ωx（ Ωx代表x周圍的圖像域）對(duì)于x的偏導(dǎo)數(shù)向量?w f(x,y)，即:

式中W(x,y)是權(quán)重函數(shù)，定義如下:

式中：h代 表正濾波參數(shù)；Gσ是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差為 σ的高斯 核；f(x+t)代表以x為中心的大小為n×n的塊。

1.2 原理方法

空間光調(diào)制器（SLM）是提供實(shí)時(shí)或準(zhǔn)實(shí)時(shí)的一維或二維光學(xué)傳感器件和運(yùn)算器件，在此系統(tǒng)中參與對(duì)輸入光的調(diào)制。在擴(kuò)束鏡與液晶空間光調(diào)制器的后面分別添加起偏器和檢偏器，由于液晶空間光調(diào)制器的工作原理是在兩片偏光板之間通過(guò)電壓控制液晶分子的轉(zhuǎn)動(dòng)來(lái)進(jìn)行相位調(diào)制，這樣可以使激光未被調(diào)制的部分完全消光，以保證調(diào)制后的光束在強(qiáng)度較高的情況下?lián)碛休^好的性能，過(guò)濾掉未曾被液晶空間光調(diào)制器調(diào)制的雜散光，減少雜散光的影響。圖1 為設(shè)計(jì)的單臂計(jì)算鬼成像測(cè)量反射式探測(cè)物示意圖。激光通過(guò)擴(kuò)束準(zhǔn)直系統(tǒng)之后由液晶空間光調(diào)制器進(jìn)行強(qiáng)度調(diào)制，調(diào)制光被物體反射，由透鏡會(huì)聚之后被PIN 管接收，PIN 管將獲得的攜帶物體信息的激光總光強(qiáng)信息經(jīng)過(guò)數(shù)字模擬轉(zhuǎn)換器之后傳輸進(jìn)入電腦，然后利用全局平滑懲罰權(quán)重和非局部稀疏懲罰項(xiàng)構(gòu)建一種新型的計(jì)算鬼成像成像模型，通過(guò)ADMM 算法對(duì)成像模型進(jìn)行求解，從而得到一個(gè)相比于其他重建方法細(xì)節(jié)更清晰、邊緣更突出、對(duì)比度更好的重建圖像。

圖1 計(jì)算鬼成像測(cè)量反射式探測(cè)物示意圖Fig.1 Schematic diagram of computational ghost imaging measurement for reflective detectors

實(shí)驗(yàn)中輸入的調(diào)制信息是m組連續(xù)的隨機(jī)矩陣。m的計(jì)算公式為

式中：a為 矩陣的行數(shù)：b為 矩陣的列數(shù)：fs為圖像采樣率。在得到光強(qiáng)隨時(shí)間變化的曲線后通過(guò)切分處理得到m個(gè)光強(qiáng)信息，這樣可以獲得測(cè)量光強(qiáng)向量Sm和調(diào)制信息Pm。所以最初的計(jì)算鬼成像重建公式可寫為

式中：< >代表求算術(shù)平均值：R(x,y)為物體的反射率。將（4）式和（5）式關(guān)聯(lián)就可獲得重構(gòu)圖像u(x,y)。

基于非局部廣義全變分約束，可以將新的成像模型表示為如下式所示優(yōu)化問(wèn)題：

其中第1 項(xiàng)為數(shù)據(jù)保真項(xiàng)，第2 項(xiàng)是先驗(yàn)規(guī)范化項(xiàng)，λ>0用于平衡數(shù)據(jù)保真項(xiàng)和先驗(yàn)項(xiàng)。

本文采用ADMM 算法將上述優(yōu)化問(wèn)題分解成易于處理的子問(wèn)題。通過(guò)引入輔助變量c（該變量被約束為u），將該優(yōu)化問(wèn)題改寫為

其增廣拉格朗日形式L(u,c,z)如下式所示：

式中：μ為正則化參數(shù)；z代表相關(guān)的拉格朗日乘數(shù)?；贏DMM 算法，可以得到如下子問(wèn)題：

1)u迭代問(wèn)題

通過(guò)采用迭代重加權(quán)策略[24-25]，（9）式的解為

式中O(x,y)為權(quán)重矩陣，其計(jì)算方式為

式中ε是一個(gè)微小值，避免除數(shù)為零。

2)c迭代問(wèn)題

通過(guò)求解（10）式中對(duì)c的導(dǎo)數(shù)，并令其為零，可得到c的解為

3)z迭代問(wèn)題

通過(guò)（11）式直接更新z。這樣NLGTV 的重建算法的偽代碼如表1所示。

表1 NLGTV 的圖像重建算法偽代碼Table 1 Pseudo code of NLGTV image reconstruction algorithm

2 基于非局部廣義全變分的計(jì)算鬼成像方法的仿真實(shí)驗(yàn)

本節(jié)的工作主要是進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證所提方法的有效性。為了量化方法的性能，引入了2 個(gè)量化指標(biāo)：1）峰值信噪比（peak signal-noiseratio,PSNR），它描述兩幅圖像之間每個(gè)像素的差異；2）結(jié)構(gòu)相似度（structural similarity,SSIM），它衡量重建圖像與真實(shí)圖像的結(jié)構(gòu)相似性。

本工作將所提方法與其他6 種常用的重建算法進(jìn)行了比較，即：差分鬼成像（differential ghost imaging,DGI）法[26]、梯度下降（gradient descent,GD）法、共軛梯度下降（conjugate gradient descent,CGD）法、交替投影（alternating projection,AP）法[27]、稀疏表示（sparse representation）法[28]及全變分正則化法（TV）[29]。仿真時(shí)設(shè)置所用Cameraman 圖的分辨率為48×48 pixel，采樣率為0.5，仿真1 的結(jié)果如圖2所示。為了進(jìn)一步驗(yàn)證結(jié)論的普適性，分別采用了如下幾種方法進(jìn)行參數(shù)的改變：1）仿真2 更換了仿真圖片，將仿真圖片由Cameraman 圖更換為L(zhǎng)ena 圖，采樣率和分辨率與仿真1 保持一致，重建效果如圖3所示；2）仿真3 改變了原圖的采樣率，改變后的分辨率為48×48 pixel，采樣率為1，重建效果如圖4所示；3）仿真4 改變了原圖的分辨率，改變后的分辨率為64×64 pixel，采樣率為0.5，重建效果如圖5所示。

圖2 仿真1 不同算法的視覺(jué)比較結(jié)果Fig.2 Visual comparison results of different algorithms for simulation 1

圖3 仿真2 不同算法的視覺(jué)比較結(jié)果Fig.3 Visual comparison results of different algorithms for simulation 2

圖4 仿真3 不同算法的視覺(jué)比較結(jié)果Fig.4 Visual comparison results of different algorithms for simulation 3

圖5 仿真4 不同算法的視覺(jué)比較結(jié)果Fig.5 Visual comparison results of different algorithms for simulation 4

從圖2（b）和圖2（c）中可以直觀地看出DGI和GD 這兩種方法重建的圖像被噪聲掩蓋，整個(gè)圖像畫面細(xì)節(jié)幾乎全部丟失。圖2（g）的TV 方法重建的效果雖然相較于前幾個(gè)方法的效果有了明顯的提升，重建結(jié)果更準(zhǔn)確，但是整個(gè)圖像邊緣呈現(xiàn)出階梯效應(yīng)。而圖2（h）的本文方法在保證噪聲最少的同時(shí)，圖像對(duì)比度相較之前的方法也有所提升，圖像細(xì)節(jié)更加豐富，相較于TV 也并未出現(xiàn)明顯的階梯效應(yīng)。

Lena 圖的細(xì)節(jié)部分更加豐富，更適合觀察算法對(duì)細(xì)節(jié)部分的處理。從圖3 可以看出在其他方法均存在大量噪聲的情況下，只有圖3（g）的TV 方法和圖3（h）的本文方法重建圖像的對(duì)比度較好，噪聲較少，且所提方法較TV 細(xì)節(jié)更加豐富，整體主觀視覺(jué)效果更佳。

從圖4 可以看出，在設(shè)置原圖采樣率為1 這種比較極端的情況下，所有方法的重建效果都有不同程度的提升。特別是圖4（d）中CGD 重建還原程度明顯提高，但其重建時(shí)迭代次數(shù)多，噪聲也沒(méi)有完全去除。圖4（h）中本文方法基于非局部梯度先驗(yàn)可減少迭代次數(shù)，重建圖像的噪聲也更小。

從圖5 可以看出在增大圖像分辨率的情況下，圖像的細(xì)節(jié)部分得到了更好的還原，圖像重建誤差減小。圖5（h）的本文方法所重建的圖像噪聲也是最小的，也并未像圖5（g）的TV 方法那樣有明顯的階梯效應(yīng)，重建的視覺(jué)效果是所有方法中最佳的。

為了對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行客觀的分析，本工作采用了PSNR 和SSIM 這2 個(gè)量化指標(biāo)對(duì)結(jié)果進(jìn)行了驗(yàn)證。PSNR 和SSIM 定義分別為

式中：X和Y分別代表分辨率為M×N的真實(shí)圖像和重建的圖像；Imax表示X顏色的最大值；γX和 γY分別為X和Y的平均值；和分別代表X和Y的方差；δXY表示X和Y的協(xié)方差；其中l(wèi)=255 為像素的最大值，k1和k2是常數(shù)。

從（15）式可以看出，如果PSNR 值越大，則說(shuō)明圖像重建的效果越好。而SSIM 取值范圍為[0,1]，它的取值越接近于1，表示圖像失真越小，圖像重建的效果越好。分析結(jié)果如表2所示。

表2 不同算法兩種評(píng)價(jià)指標(biāo)的比較結(jié)果Table 2 Comparison results of two evaluation indicators for different algorithms

從表2 可以看出，在仿真實(shí)驗(yàn)的4 種情況下本文方法的PSNR 值一直為最大，SSIM 值也更接近于1。在采樣率達(dá)到1 這種比較極端的情況下，其他方法特別是CGD 方法2 個(gè)指標(biāo)的增長(zhǎng)雖然也很明顯，但和所提方法相比還存在著差距，這也驗(yàn)證了所提方法的有效性。

3 基于非局部廣義全變分的計(jì)算鬼成像方法的實(shí)測(cè)實(shí)驗(yàn)

在仿真后，本文設(shè)計(jì)并搭建實(shí)驗(yàn)光路對(duì)仿真結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證。實(shí)驗(yàn)使用波長(zhǎng)為632.8 nm 的氦氖激光器?？臻g光調(diào)制器采用的是大恒光電空間分辨率為1 024×768 pixel 的SLM-T1 系列。探測(cè)器為PIN 管，其光譜范圍為400 nm～800 nm，靈敏度為3.3 mV/μW。A/D 轉(zhuǎn)換裝置為阿爾泰公司的USB3136A，其通過(guò)USB 與電腦相連，利用Labview 上自主編寫的接收程序獲得桶探測(cè)器中對(duì)應(yīng)的強(qiáng)度值，讓其與SLM的輸入矩陣的值一一對(duì)應(yīng)，通過(guò)轉(zhuǎn)換成Matlab 上可處理的數(shù)據(jù)格式，使用Matlab 讓數(shù)據(jù)得到進(jìn)一步的處理。為了較好模擬現(xiàn)實(shí)中比較惡劣的探測(cè)環(huán)境，實(shí)驗(yàn)選取的激光器功率較低，PIN 管探測(cè)響應(yīng)靈敏度不高，從而增加整個(gè)系統(tǒng)的探測(cè)難度。搭建的整個(gè)系統(tǒng)如圖6所示。

圖6 計(jì)算鬼成像測(cè)量反射式探測(cè)物系統(tǒng)圖Fig.6 Systematic diagram of computational ghost imaging measurement for reflective detectors

在實(shí)驗(yàn)中本文選擇了“武”和“漢”字作為重建目標(biāo)。在采樣率均為0.5 的情況下設(shè)置了分辨率為48×48 pixel 和32×32 pixel 的“武”字實(shí)驗(yàn)1 和實(shí)驗(yàn)3，分辨率為48×48 pixel 的“漢”字實(shí)驗(yàn)2。為了讓PIN 管有足夠的響應(yīng)時(shí)間，設(shè)置每個(gè)矩陣的調(diào)制時(shí)間為0.1 s。鑒于在仿真實(shí)驗(yàn)中DGI 一直表現(xiàn)不佳，在操作實(shí)驗(yàn)中將不再驗(yàn)證這種方法。

以分辨率為48×48 pixel 的“武”字為例，其PIN管接收到的波形數(shù)據(jù)如圖7所示。

圖7 PIN 管接收到的數(shù)據(jù)波形Fig.7 Waveform of data received by PIN diode

首先將PIN 管的波形按照接收時(shí)間劃分成1 152 組。此時(shí)如何將近600000 個(gè)數(shù)據(jù)處理為1 152 組可用的數(shù)據(jù)是其中的難點(diǎn)。如圖8所示，由于在SLM 切換散斑矩陣時(shí)PIN 管的響應(yīng)速度較慢，所以部分PIN 管接收到的數(shù)據(jù)強(qiáng)度會(huì)為0。為了避免這些數(shù)據(jù)對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果造成的影響，我們?nèi)∶拷M數(shù)據(jù)中間1/5 部分，再對(duì)其取平均值計(jì)算出1 152 組數(shù)據(jù)，處理后的數(shù)據(jù)曲線如圖8所示。這些數(shù)據(jù)就是我們需要的Sm值，而Pm值是已知的，從而就可以通過(guò)所提算法重建出圖像。

圖8 切分平均處理之后的數(shù)據(jù)波形Fig.8 Waveform of data after segmentation and averaging

實(shí)驗(yàn)1、2、3 的重建結(jié)果分別如圖9、圖10、圖11所示。

圖9 實(shí)驗(yàn)1 不同算法的視覺(jué)比較結(jié)果Fig.9 Visual comparison results of different algorithms for experiment 1

圖10 實(shí)驗(yàn)2 不同算法的視覺(jué)比較結(jié)果Fig.10 Visual comparison results of different algorithms for experiment 2

圖11 實(shí)驗(yàn)3 不同算法的視覺(jué)比較結(jié)果Fig.11 Visual comparison results of different algorithms for experiment 3

從圖9（b）、9（c）、9（e）和圖10（b）、10（c）、10（e）中可以看出，GD、CGD 和Sparse 重建的圖像噪聲過(guò)多，圖9（f）和圖10（f）的TV 重建圖像雖然也取得了一定的效果，但是整個(gè)畫面中仍然存在一些噪聲，圖像對(duì)比度也不是最佳。圖9（d）和圖10（d）的AP 雖然保證了圖像的對(duì)比度和灰度，但仍然存在一些散粒噪聲。圖9（g）和圖10（g）所示本文方法在較好地還原了圖像細(xì)節(jié)的同時(shí)能夠保證圖像的平滑和灰度，整體圖像的對(duì)比度較強(qiáng)，噪聲也是所有方法中最少的。

從圖11 中可以看出，在不改變圖像采樣率而降低圖像分辨率的情況下，圖11（b）、11（c）、11（e）的GD、CGD、Sparse 方法的重建效果更加不理想。圖11（f）的TV 方法“武”下面部分已經(jīng)較難辨認(rèn)，圖11（d）中AP 圖像的對(duì)比度較低。只有圖11（g）即本文方法重建的圖像細(xì)節(jié)部分能較為清晰地辨認(rèn)，對(duì)比度為所有方法中最高，重建效果最佳。

4 結(jié)論

在這項(xiàng)研究中，本文提出將非局部廣義全變分方法用于鬼成像的重建。傳統(tǒng)鬼成像重建方法要求數(shù)據(jù)采樣率高、迭代的次數(shù)較多，計(jì)算量龐大，重建出來(lái)的圖像細(xì)節(jié)部分也不一定清晰，而TV 方法重建會(huì)出現(xiàn)一定的階梯效應(yīng)。本文方法利用非局部的相關(guān)性權(quán)重來(lái)設(shè)計(jì)梯度算子，重建的圖像有較好的對(duì)比度效果，且細(xì)節(jié)部分能被很好地還原，階梯效應(yīng)也不明顯。在仿真中，本文利用主觀視覺(jué)評(píng)價(jià)，并引入2 個(gè)客觀評(píng)價(jià)指標(biāo)PSNR 和SSIM對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了驗(yàn)證，最后通過(guò)實(shí)驗(yàn)來(lái)對(duì)所提方法進(jìn)行了進(jìn)一步的驗(yàn)證，所示結(jié)果證實(shí)了所提方法的重建效果更好。

當(dāng)然，所提方法仍然存在一些不足之處，比如實(shí)驗(yàn)輸入的測(cè)量矩陣的分辨率不能過(guò)高，這也導(dǎo)致了所獲取的重建圖像受到分辨率的制約。因?yàn)楦鶕?jù)（3）式，在采樣率為0.5、分辨率為128×128 pixel 的情況下，需要輸入的測(cè)量矩陣圖片數(shù)量要達(dá)到8 192 個(gè)，進(jìn)一步增加分辨率將會(huì)提高實(shí)驗(yàn)對(duì)計(jì)算機(jī)硬件的要求。因?yàn)橐?jì)算全局的權(quán)重因子，算法所需時(shí)間相較于TV 來(lái)說(shuō)更長(zhǎng)，如何提升算法的運(yùn)行效率是未來(lái)要解決的問(wèn)題之一。另外，所提方法在一些圖像細(xì)節(jié)過(guò)于豐富的地方可能會(huì)出現(xiàn)過(guò)度平滑的情況，導(dǎo)致一些微小細(xì)節(jié)的丟失。在未來(lái)的研究中我們會(huì)從以下幾個(gè)方面進(jìn)行改進(jìn)：1）進(jìn)一步完善算法，通過(guò)推導(dǎo)得出更權(quán)威的非局部權(quán)重因子，減少重建圖像細(xì)節(jié)部分過(guò)度平滑的情況并提升算法運(yùn)行的效率；2）設(shè)計(jì)更好的光路方案，對(duì)光路透鏡進(jìn)行更加嚴(yán)格的篩選，并進(jìn)一步設(shè)計(jì)光路，增加實(shí)驗(yàn)儀器以獲得待測(cè)物體的深度和距離信息。