蔣宗鏵，田 昕，楊晉陵

（武漢大學 電子信息學院，湖北 武漢 430072）

引言

鬼成像（ghost imaging,GI）又稱為關聯(lián)成像，是量子成像的一種。與傳統(tǒng)光學成像基于光分布測量成像相比，鬼成像是基于光波能量的關聯(lián)測量，如果把世界看成一個由光子組成的量子場，那么量子場中每一個光子的狀態(tài)都能被精準地計算，通過對這些光子能量探測和計算，便能為每一個成像目標反演出我們所需的圖像，所以鬼成像能獲取很多傳統(tǒng)光學成像獲取不到的信息。鬼成像最早起源于量子糾纏光源實現(xiàn)的量子成像[1-2]，是一種利用雙光子復合探測恢復待測物體空間信息的新型成像技術。鬼成像的原理可以簡單概括為通過光學方式將場景信息復用為一維測量值，并通過關聯(lián)計算將二維目標圖像解復用的過程。最早研究者們認為糾纏光子對是實現(xiàn)鬼成像的必要條件，直到2002年Rochester 大學的Bennink 等人[3]成功使用由HeNe 激光器和振幅掩模器件組成的經(jīng)典光源完成了鬼成像實驗才打破了人們對鬼成像的傳統(tǒng)認知。隨后，研究人員也陸續(xù)用理論和實驗證明了用經(jīng)典光源實現(xiàn)鬼成像的可行性[4-7]。各種波段的電磁波如贗熱光源[8]、非相干光源[9]、X 射線[10]和太赫茲[11]等，也陸續(xù)被作為光源來實現(xiàn)鬼成像。經(jīng)過一段時間的發(fā)展，傳統(tǒng)雙臂鬼成像的弊端也逐漸被發(fā)現(xiàn)，因其具有雙臂的特點，成像系統(tǒng)更復雜，集成化難度提高；另外，由于還要多采集一路攜帶空間信息的信號，對硬件存儲和傳輸?shù)囊蟾?，在實用化方面亦受到了很大限制。因此，計算鬼成像應運而生[12-13]。計算鬼成像的出現(xiàn)，對鬼成像技術實用化起到了至關重要的推動作用。在計算鬼成像中使用空間光調制器（spatial light modulator,SLM）和數(shù)字微鏡器件對出射光進行調制。單臂式計算鬼成像不同于傳統(tǒng)雙臂鬼成像，不需要帶有電荷耦合元件陣列探測器的參考光路，僅需要一個帶有桶探測器的信號光路，因此簡化了實驗裝置，減少了實驗過程，同時也降低了鬼成像實驗的復雜度。近年來，計算鬼成像陸續(xù)涌現(xiàn)出大量相關應用，如遙感[14]、光學加密[15]和三維重建[16]等。

在鬼成像領域中，Katz 等人[17]引入了壓縮感知方法[18-19]，他們利用壓縮感知的算法突破了Nyquist-Shannon 采樣頻率極限，讓數(shù)據(jù)能同時被壓縮和采集。但利用傳統(tǒng)壓縮感知算法成像質量仍然較低，隨著全變分正則化（total variation regularization,TV）方法的出現(xiàn)，其重構的結果較傳統(tǒng)壓縮感知的結果更精確，重構圖片也會保持一定的光滑性。TV 重構的圖像可能會存在邊緣細節(jié)上的一些模糊，只能利用局部信息對重建圖像進行優(yōu)化，所以有時并不能達到比較符合預期的重建效果。

在傳統(tǒng)光學不能應用的極端場景，例如大霧天氣，水下等[20-21]，鬼成像都能較好地完成成像任務，但是成像質量一直是其被詬病的地方。為了提高成像質量，本文提出一種非局部廣義全變分的計算鬼成像重建方法（nonlocal generalized total variation,NLGTV），通過權重函數(shù)構建成像模型，并采取ADMM[22]（alternating direction method of multipliers）算法獲得模型的較優(yōu)解。該方法優(yōu)勢主要體現(xiàn)在：1）NLGTV 可以在重構時讓類似噪聲結構的振幅變小，這樣重構圖像邊緣會變得更加突出和銳利；2）NLGTV 使用了不同的平滑懲罰權重和非局部稀疏懲罰項，可以很好地把重構圖像的紋理與主要結構區(qū)分開來，解決了階梯效應的問題。

1 基于非局部廣義全變分的鬼成像方法

1.1 非局部廣義全變分定義

相比較于TV 而言，非局部廣義全變分模型會全局考慮圖像的信息[23]。給定輸入圖像f(x)，像素x∈Ω（ Ω代表整個圖像域）處的非局部廣義全變分被定義為所有像素y∈Ωx（ Ωx代表x周圍的圖像域）對于x的偏導數(shù)向量?w f(x,y)，即:

式中W(x,y)是權重函數(shù)，定義如下:

式中：h代 表正濾波參數(shù)；Gσ是一個標準差為 σ的高斯 核；f(x+t)代表以x為中心的大小為n×n的塊。

1.2 原理方法

空間光調制器（SLM）是提供實時或準實時的一維或二維光學傳感器件和運算器件，在此系統(tǒng)中參與對輸入光的調制。在擴束鏡與液晶空間光調制器的后面分別添加起偏器和檢偏器，由于液晶空間光調制器的工作原理是在兩片偏光板之間通過電壓控制液晶分子的轉動來進行相位調制，這樣可以使激光未被調制的部分完全消光，以保證調制后的光束在強度較高的情況下?lián)碛休^好的性能，過濾掉未曾被液晶空間光調制器調制的雜散光，減少雜散光的影響。圖1 為設計的單臂計算鬼成像測量反射式探測物示意圖。激光通過擴束準直系統(tǒng)之后由液晶空間光調制器進行強度調制，調制光被物體反射，由透鏡會聚之后被PIN 管接收，PIN 管將獲得的攜帶物體信息的激光總光強信息經(jīng)過數(shù)字模擬轉換器之后傳輸進入電腦，然后利用全局平滑懲罰權重和非局部稀疏懲罰項構建一種新型的計算鬼成像成像模型，通過ADMM 算法對成像模型進行求解，從而得到一個相比于其他重建方法細節(jié)更清晰、邊緣更突出、對比度更好的重建圖像。

圖1 計算鬼成像測量反射式探測物示意圖Fig.1 Schematic diagram of computational ghost imaging measurement for reflective detectors

實驗中輸入的調制信息是m組連續(xù)的隨機矩陣。m的計算公式為

式中：a為 矩陣的行數(shù)：b為 矩陣的列數(shù)：fs為圖像采樣率。在得到光強隨時間變化的曲線后通過切分處理得到m個光強信息，這樣可以獲得測量光強向量Sm和調制信息Pm。所以最初的計算鬼成像重建公式可寫為

式中：< >代表求算術平均值：R(x,y)為物體的反射率。將（4）式和（5）式關聯(lián)就可獲得重構圖像u(x,y)。

基于非局部廣義全變分約束，可以將新的成像模型表示為如下式所示優(yōu)化問題：

其中第1 項為數(shù)據(jù)保真項，第2 項是先驗規(guī)范化項，λ>0用于平衡數(shù)據(jù)保真項和先驗項。

本文采用ADMM 算法將上述優(yōu)化問題分解成易于處理的子問題。通過引入輔助變量c（該變量被約束為u），將該優(yōu)化問題改寫為

其增廣拉格朗日形式L(u,c,z)如下式所示：

式中：μ為正則化參數(shù)；z代表相關的拉格朗日乘數(shù)。基于ADMM 算法，可以得到如下子問題：

1)u迭代問題

通過采用迭代重加權策略[24-25]，（9）式的解為

式中O(x,y)為權重矩陣，其計算方式為

式中ε是一個微小值，避免除數(shù)為零。

2)c迭代問題

通過求解（10）式中對c的導數(shù)，并令其為零，可得到c的解為

3)z迭代問題

通過（11）式直接更新z。這樣NLGTV 的重建算法的偽代碼如表1所示。

表1 NLGTV 的圖像重建算法偽代碼Table 1 Pseudo code of NLGTV image reconstruction algorithm

2 基于非局部廣義全變分的計算鬼成像方法的仿真實驗

本節(jié)的工作主要是進行了仿真實驗來驗證所提方法的有效性。為了量化方法的性能，引入了2 個量化指標：1）峰值信噪比（peak signal-noiseratio,PSNR），它描述兩幅圖像之間每個像素的差異；2）結構相似度（structural similarity,SSIM），它衡量重建圖像與真實圖像的結構相似性。

本工作將所提方法與其他6 種常用的重建算法進行了比較，即：差分鬼成像（differential ghost imaging,DGI）法[26]、梯度下降（gradient descent,GD）法、共軛梯度下降（conjugate gradient descent,CGD）法、交替投影（alternating projection,AP）法[27]、稀疏表示（sparse representation）法[28]及全變分正則化法（TV）[29]。仿真時設置所用Cameraman 圖的分辨率為48×48 pixel，采樣率為0.5，仿真1 的結果如圖2所示。為了進一步驗證結論的普適性，分別采用了如下幾種方法進行參數(shù)的改變：1）仿真2 更換了仿真圖片，將仿真圖片由Cameraman 圖更換為Lena 圖，采樣率和分辨率與仿真1 保持一致，重建效果如圖3所示；2）仿真3 改變了原圖的采樣率，改變后的分辨率為48×48 pixel，采樣率為1，重建效果如圖4所示；3）仿真4 改變了原圖的分辨率，改變后的分辨率為64×64 pixel，采樣率為0.5，重建效果如圖5所示。

圖2 仿真1 不同算法的視覺比較結果Fig.2 Visual comparison results of different algorithms for simulation 1

圖3 仿真2 不同算法的視覺比較結果Fig.3 Visual comparison results of different algorithms for simulation 2

圖4 仿真3 不同算法的視覺比較結果Fig.4 Visual comparison results of different algorithms for simulation 3

圖5 仿真4 不同算法的視覺比較結果Fig.5 Visual comparison results of different algorithms for simulation 4

從圖2（b）和圖2（c）中可以直觀地看出DGI和GD 這兩種方法重建的圖像被噪聲掩蓋，整個圖像畫面細節(jié)幾乎全部丟失。圖2（g）的TV 方法重建的效果雖然相較于前幾個方法的效果有了明顯的提升，重建結果更準確，但是整個圖像邊緣呈現(xiàn)出階梯效應。而圖2（h）的本文方法在保證噪聲最少的同時，圖像對比度相較之前的方法也有所提升，圖像細節(jié)更加豐富，相較于TV 也并未出現(xiàn)明顯的階梯效應。

Lena 圖的細節(jié)部分更加豐富，更適合觀察算法對細節(jié)部分的處理。從圖3 可以看出在其他方法均存在大量噪聲的情況下，只有圖3（g）的TV 方法和圖3（h）的本文方法重建圖像的對比度較好，噪聲較少，且所提方法較TV 細節(jié)更加豐富，整體主觀視覺效果更佳。

從圖4 可以看出，在設置原圖采樣率為1 這種比較極端的情況下，所有方法的重建效果都有不同程度的提升。特別是圖4（d）中CGD 重建還原程度明顯提高，但其重建時迭代次數(shù)多，噪聲也沒有完全去除。圖4（h）中本文方法基于非局部梯度先驗可減少迭代次數(shù)，重建圖像的噪聲也更小。

從圖5 可以看出在增大圖像分辨率的情況下，圖像的細節(jié)部分得到了更好的還原，圖像重建誤差減小。圖5（h）的本文方法所重建的圖像噪聲也是最小的，也并未像圖5（g）的TV 方法那樣有明顯的階梯效應，重建的視覺效果是所有方法中最佳的。

為了對實驗結果進行客觀的分析，本工作采用了PSNR 和SSIM 這2 個量化指標對結果進行了驗證。PSNR 和SSIM 定義分別為

式中：X和Y分別代表分辨率為M×N的真實圖像和重建的圖像；Imax表示X顏色的最大值；γX和 γY分別為X和Y的平均值；和分別代表X和Y的方差；δXY表示X和Y的協(xié)方差；其中l(wèi)=255 為像素的最大值，k1和k2是常數(shù)。

從（15）式可以看出，如果PSNR 值越大，則說明圖像重建的效果越好。而SSIM 取值范圍為[0,1]，它的取值越接近于1，表示圖像失真越小，圖像重建的效果越好。分析結果如表2所示。

表2 不同算法兩種評價指標的比較結果Table 2 Comparison results of two evaluation indicators for different algorithms

從表2 可以看出，在仿真實驗的4 種情況下本文方法的PSNR 值一直為最大，SSIM 值也更接近于1。在采樣率達到1 這種比較極端的情況下，其他方法特別是CGD 方法2 個指標的增長雖然也很明顯，但和所提方法相比還存在著差距，這也驗證了所提方法的有效性。

3 基于非局部廣義全變分的計算鬼成像方法的實測實驗

在仿真后，本文設計并搭建實驗光路對仿真結果進行驗證。實驗使用波長為632.8 nm 的氦氖激光器?？臻g光調制器采用的是大恒光電空間分辨率為1 024×768 pixel 的SLM-T1 系列。探測器為PIN 管，其光譜范圍為400 nm～800 nm，靈敏度為3.3 mV/μW。A/D 轉換裝置為阿爾泰公司的USB3136A，其通過USB 與電腦相連，利用Labview 上自主編寫的接收程序獲得桶探測器中對應的強度值，讓其與SLM的輸入矩陣的值一一對應，通過轉換成Matlab 上可處理的數(shù)據(jù)格式，使用Matlab 讓數(shù)據(jù)得到進一步的處理。為了較好模擬現(xiàn)實中比較惡劣的探測環(huán)境，實驗選取的激光器功率較低，PIN 管探測響應靈敏度不高，從而增加整個系統(tǒng)的探測難度。搭建的整個系統(tǒng)如圖6所示。

圖6 計算鬼成像測量反射式探測物系統(tǒng)圖Fig.6 Systematic diagram of computational ghost imaging measurement for reflective detectors

在實驗中本文選擇了“武”和“漢”字作為重建目標。在采樣率均為0.5 的情況下設置了分辨率為48×48 pixel 和32×32 pixel 的“武”字實驗1 和實驗3，分辨率為48×48 pixel 的“漢”字實驗2。為了讓PIN 管有足夠的響應時間，設置每個矩陣的調制時間為0.1 s。鑒于在仿真實驗中DGI 一直表現(xiàn)不佳，在操作實驗中將不再驗證這種方法。

以分辨率為48×48 pixel 的“武”字為例，其PIN管接收到的波形數(shù)據(jù)如圖7所示。

圖7 PIN 管接收到的數(shù)據(jù)波形Fig.7 Waveform of data received by PIN diode

首先將PIN 管的波形按照接收時間劃分成1 152 組。此時如何將近600000 個數(shù)據(jù)處理為1 152 組可用的數(shù)據(jù)是其中的難點。如圖8所示，由于在SLM 切換散斑矩陣時PIN 管的響應速度較慢，所以部分PIN 管接收到的數(shù)據(jù)強度會為0。為了避免這些數(shù)據(jù)對實驗結果造成的影響，我們取每組數(shù)據(jù)中間1/5 部分，再對其取平均值計算出1 152 組數(shù)據(jù)，處理后的數(shù)據(jù)曲線如圖8所示。這些數(shù)據(jù)就是我們需要的Sm值，而Pm值是已知的，從而就可以通過所提算法重建出圖像。

圖8 切分平均處理之后的數(shù)據(jù)波形Fig.8 Waveform of data after segmentation and averaging

實驗1、2、3 的重建結果分別如圖9、圖10、圖11所示。

圖9 實驗1 不同算法的視覺比較結果Fig.9 Visual comparison results of different algorithms for experiment 1

圖10 實驗2 不同算法的視覺比較結果Fig.10 Visual comparison results of different algorithms for experiment 2

圖11 實驗3 不同算法的視覺比較結果Fig.11 Visual comparison results of different algorithms for experiment 3

從圖9（b）、9（c）、9（e）和圖10（b）、10（c）、10（e）中可以看出，GD、CGD 和Sparse 重建的圖像噪聲過多，圖9（f）和圖10（f）的TV 重建圖像雖然也取得了一定的效果，但是整個畫面中仍然存在一些噪聲，圖像對比度也不是最佳。圖9（d）和圖10（d）的AP 雖然保證了圖像的對比度和灰度，但仍然存在一些散粒噪聲。圖9（g）和圖10（g）所示本文方法在較好地還原了圖像細節(jié)的同時能夠保證圖像的平滑和灰度，整體圖像的對比度較強，噪聲也是所有方法中最少的。

從圖11 中可以看出，在不改變圖像采樣率而降低圖像分辨率的情況下，圖11（b）、11（c）、11（e）的GD、CGD、Sparse 方法的重建效果更加不理想。圖11（f）的TV 方法“武”下面部分已經(jīng)較難辨認，圖11（d）中AP 圖像的對比度較低。只有圖11（g）即本文方法重建的圖像細節(jié)部分能較為清晰地辨認，對比度為所有方法中最高，重建效果最佳。

4 結論

在這項研究中，本文提出將非局部廣義全變分方法用于鬼成像的重建。傳統(tǒng)鬼成像重建方法要求數(shù)據(jù)采樣率高、迭代的次數(shù)較多，計算量龐大，重建出來的圖像細節(jié)部分也不一定清晰，而TV 方法重建會出現(xiàn)一定的階梯效應。本文方法利用非局部的相關性權重來設計梯度算子，重建的圖像有較好的對比度效果，且細節(jié)部分能被很好地還原，階梯效應也不明顯。在仿真中，本文利用主觀視覺評價，并引入2 個客觀評價指標PSNR 和SSIM對實驗結果進行了驗證，最后通過實驗來對所提方法進行了進一步的驗證，所示結果證實了所提方法的重建效果更好。

當然，所提方法仍然存在一些不足之處，比如實驗輸入的測量矩陣的分辨率不能過高，這也導致了所獲取的重建圖像受到分辨率的制約。因為根據(jù)（3）式，在采樣率為0.5、分辨率為128×128 pixel 的情況下，需要輸入的測量矩陣圖片數(shù)量要達到8 192 個，進一步增加分辨率將會提高實驗對計算機硬件的要求。因為要計算全局的權重因子，算法所需時間相較于TV 來說更長，如何提升算法的運行效率是未來要解決的問題之一。另外，所提方法在一些圖像細節(jié)過于豐富的地方可能會出現(xiàn)過度平滑的情況，導致一些微小細節(jié)的丟失。在未來的研究中我們會從以下幾個方面進行改進：1）進一步完善算法，通過推導得出更權威的非局部權重因子，減少重建圖像細節(jié)部分過度平滑的情況并提升算法運行的效率；2）設計更好的光路方案，對光路透鏡進行更加嚴格的篩選，并進一步設計光路，增加實驗儀器以獲得待測物體的深度和距離信息。