邵士凱，王姝，趙淵潔

(河北科技大學(xué)電氣工程學(xué)院，石家莊 050018)

隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，四旋翼無人機(jī)因其機(jī)械結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、安全可靠等特點(diǎn)受到人們的廣泛關(guān)注，在軍用和民用領(lǐng)域均有實(shí)際的應(yīng)用價(jià)值，如環(huán)境監(jiān)測(cè)、探測(cè)敵方位置信息、災(zāi)后搜尋及救援工作等[1-3]。同時(shí)，作為一個(gè)操作方便的戰(zhàn)術(shù)應(yīng)用平臺(tái)，無人機(jī)的跟蹤控制引起了世界各國(guó)科研團(tuán)隊(duì)的關(guān)注[4-5]。四旋翼無人機(jī)(unmanned aerial vehicle,UAV)是一個(gè)強(qiáng)耦合、非線性、具有4個(gè)控制輸入和6個(gè)狀態(tài)變量的欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，機(jī)身易受到氣流等外界環(huán)境的影響。學(xué)者們針對(duì)四旋翼無人機(jī)的跟蹤控制問題開展了大量研究。對(duì)于傳統(tǒng)的比例積分微分(proportional-integral-differential，PID)控制方法[6]，該方法具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單的優(yōu)點(diǎn)，但是PID控制方法難以達(dá)到具有復(fù)雜模型和高精度無人機(jī)模型的控制要求。線性二次型調(diào)節(jié)器[7]對(duì)姿態(tài)和位置控制有較好效果，但只適用于系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處的情況。為了克服線性方法的局限性，學(xué)者們針對(duì)無人機(jī)的抗擾動(dòng)問題提出相應(yīng)控制方法，包括滑?？刂品椒╗8]、自適應(yīng)控制方法[9]、反步控制方法[10]等。其中，滑模控制方法對(duì)非線性系統(tǒng)具有良好的控制效果，在多種控制問題中表現(xiàn)出優(yōu)異的性能。鄭峰嬰等[11]提出了一種積分滑?？刂破鞣椒▉砀纳崎]環(huán)系統(tǒng)對(duì)干擾的不敏感及魯棒性，該方法不僅能保留滑?？刂扑哂械膬?yōu)點(diǎn)，還消除了滑?？刂茝某跏紶顟B(tài)到滑模面的過程，但會(huì)引起“抖振”現(xiàn)象，主要原因是不連續(xù)符號(hào)函數(shù)項(xiàng)的增益大于總擾動(dòng)的上界。為解決這一問題，常用方法是對(duì)符號(hào)項(xiàng)進(jìn)行光滑處理來削弱抖振，但這會(huì)改變滑?？刂频墓逃薪Y(jié)構(gòu)，降低其控制精度。干擾觀測(cè)器可實(shí)時(shí)估計(jì)干擾量并將其前饋至控制器中實(shí)現(xiàn)對(duì)干擾的抑制，且不需要引入符號(hào)函數(shù)項(xiàng)。近年來許多學(xué)者對(duì)干擾觀測(cè)器進(jìn)行研究以提高滑?？刂频男阅?，如非線性干擾觀測(cè)器[12]、自適應(yīng)干擾觀測(cè)器[13]、擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器[14]。干擾狀態(tài)觀測(cè)器能夠?qū)Ω鞣N不確定項(xiàng)和外界干擾等構(gòu)成的總擾動(dòng)進(jìn)行估計(jì)和補(bǔ)償，且不需要較大的符號(hào)函數(shù)項(xiàng)，在保證魯棒性的同時(shí)顯著削弱抖振現(xiàn)象。研究發(fā)現(xiàn)擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器不僅能夠?qū)倲_動(dòng)進(jìn)行補(bǔ)償估計(jì)，同時(shí)也可以作為未知角速度的觀測(cè)器，因此不需要設(shè)計(jì)額外的狀態(tài)觀測(cè)器來解算未知的角速度信息，能夠保證在角速度敏感器故障的情況下繼續(xù)研究無人機(jī)的跟蹤控制問題，也體現(xiàn)了控制算法簡(jiǎn)單能耗低的優(yōu)點(diǎn)。文獻(xiàn)[15]提出了一種基于擴(kuò)展干擾觀測(cè)器的自適應(yīng)魯棒控制器，擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測(cè)器將外界干擾擴(kuò)張成新的狀態(tài)變量，利用輸出反饋觀測(cè)擴(kuò)張的狀態(tài)。文獻(xiàn)[16]針對(duì)感應(yīng)電機(jī)直接轉(zhuǎn)矩控制系統(tǒng)中存在的干擾，結(jié)合擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器和有限時(shí)間控制提出一種復(fù)合控制方法來提高系統(tǒng)的抗干擾能力。文獻(xiàn)[17]考慮帶攻擊角度約束的制導(dǎo)系統(tǒng)模型，提出了一種超螺旋擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器并結(jié)合動(dòng)態(tài)面控制設(shè)計(jì)一種新型制導(dǎo)律，能使系統(tǒng)狀態(tài)全局有限時(shí)間收斂。需要注意的是，文獻(xiàn)[15-17]中系統(tǒng)均為有限時(shí)間收斂穩(wěn)定，但是該收斂時(shí)間依賴于系統(tǒng)的初始狀態(tài)，在初始條件不確定的情況下會(huì)影響系統(tǒng)性能。相比于有限時(shí)間控制，固定時(shí)間不僅能提升系統(tǒng)的控制精度，使系統(tǒng)具有強(qiáng)魯棒性，而且系統(tǒng)的收斂時(shí)間獨(dú)立于系統(tǒng)的初始狀態(tài)。

基于此，現(xiàn)對(duì)角速度不可測(cè)的四旋翼無人機(jī)姿態(tài)輸出反饋進(jìn)行了研究，提出一種固定時(shí)間的擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器，用于同步估計(jì)未知角速度和綜合擾動(dòng)，并根據(jù)觀測(cè)器輸出提出了基于齊次性理論的固定時(shí)間控制器。

1 數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

1.1 齊次性說明

為了清楚分析齊次性，考慮一般非線性系統(tǒng)，可表示為

(1)

令r=[r1,r2,…,rn]T∈Rn為加權(quán)向量，ri>0,i=1,2,…,n。對(duì)于任意常數(shù)λ>0,x∈Rn,擴(kuò)張映射向量Λr(x)=[λr1x1,λr2x2,…,λrnxn]T∈Rn。

引理1[18]如果對(duì)于任意的λ>0,x∈Rn，有fi(Λrx)=λk+rifi(x)，則向量f(x)∈Rn為關(guān)于權(quán)重向量r∈R的k齊次度向量場(chǎng)。

1.2 四旋翼動(dòng)力學(xué)模型

四旋翼無人機(jī)的動(dòng)力學(xué)模型如圖1所示。四旋翼無人機(jī)是一個(gè)包含6自由度、4個(gè)控制輸入的欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，具有多變量、強(qiáng)耦合、非線性、對(duì)干擾敏感等特點(diǎn)。四旋翼姿態(tài)模型為[20]

fi(i=1,2,3,4)為4個(gè)螺旋槳所產(chǎn)生的升力；ob-xbybzb為機(jī)體坐標(biāo)系；o-xyz為地球固連坐標(biāo)系

(2)

式(2)中：Θ=[φ,θ,ψ]為歐拉角；φ、θ、ψ分別為四旋翼無人機(jī)的滾轉(zhuǎn)角、俯仰角、偏航角；J為四旋翼無人機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；τ為螺旋槳在機(jī)體軸上產(chǎn)生的力矩向量；Δ(t)為外界干擾；ω=[p,q,r]為機(jī)體旋轉(zhuǎn)的角速率；t為時(shí)間；斜對(duì)稱矩陣ω×及矩陣W分別定義為

(3)

式(3)中：p、q、r為機(jī)體旋轉(zhuǎn)的角速率。

(4)

因?yàn)閐et(W)=secθ，則當(dāng)θ≠(2k-1)π/2，k∈Z，W是可逆的，k為任意整數(shù)。

假設(shè)四旋翼為剛體且結(jié)構(gòu)對(duì)稱，則模型可整理為

(5)

式(5)中：

(6)

針對(duì)姿態(tài)跟蹤問題，定義：

(7)

相應(yīng)地，對(duì)式(7)求導(dǎo)有

(8)

式中：Θd=[φd,θd,ψd]T為期望的姿態(tài)歐拉角，其中φd、θd、ψd分別為四旋翼無人機(jī)期望的滾轉(zhuǎn)角、俯仰角、偏航角；Μd為期望姿態(tài)歐拉角的導(dǎo)數(shù)；M為實(shí)際歐拉角的變化率；D為綜合擾動(dòng)。

為實(shí)現(xiàn)姿態(tài)跟蹤控制，通常存在如下假設(shè)[21]。

2 輸出反饋控制

圖2 控制結(jié)構(gòu)框圖

2.1 擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器設(shè)計(jì)

固定時(shí)間擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器用來對(duì)未知角速度和綜合擾動(dòng)進(jìn)行同步估計(jì)，可表示為

(9)

2.2 輸出反饋控制器設(shè)計(jì)

(10)

kv[sigα2(e2)+sigβ2(e2)]

(11)

式(11)中：控制器參數(shù)kp>0,kv>0且有：α2∈(0,1)；α1=α2/(2-α2)；β2=(4-3α2)/(3-2α2)；β1=β2/(2-β2)。

2.3 理論分析

(12)

證明穩(wěn)定性分析將分為三步。首先，證明固定時(shí)間擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器能精準(zhǔn)估計(jì)模型狀態(tài)變量及綜合擾動(dòng)。其次，證明系統(tǒng)狀態(tài)在[0,T1]時(shí)間內(nèi)有界。最后，基于齊次性理論證明控制器的收斂性。

步驟1觀測(cè)器估計(jì)誤差可表示為

(13)

則式(13)關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為

(14)

(15)

(16)

根據(jù)文獻(xiàn)[22-23]，誤差向量ξ=[ξ1,ξ2,ξ3]可以在固定時(shí)間收斂至原點(diǎn)，且收斂時(shí)間為T1。

步驟2證明系統(tǒng)狀態(tài)有界。定義Lyapunov候選函數(shù)為

(17)

(18)

ξ2ih2sigβ2(ξ1i)-ξ3ik3sigα3(ξ1i)-

(19)

令Γ=-ξ2ik2sigα2(ξ1i)-ξ2ih2sigβ2(ξ1i)-ξ3ik3sigα3(ξ1i)-ξ3ih3sigβ3(ξ1i)。

(20)

(21)

即滿足

V≤{V[e1i(0),ξ2i(0),ξ3i(0)]+L/2}e2t-L/2

(22)

根據(jù)式(22)可知，對(duì)于?t≤T1,e1i、ξ2i、ξ3i不會(huì)發(fā)散至無窮，因此可得：在時(shí)間[0,T1]內(nèi)，系統(tǒng)有界。

步驟3當(dāng)t≥T1時(shí)，采用齊次性理論證明控制器在固定時(shí)間內(nèi)的收斂性，跟蹤誤差為

(23)

定義Lyapunov函數(shù)V1為

(24)

對(duì)V1求導(dǎo)得

(25)

將式(23)代入(25)中得

=kp{e2[sigα1(e1)+sigβ1(e1)]}+

e2{-kp[sigα1(e1)+sigβ1(e1)]-

kv[sigα2(e2)+sigβ2(e2)]}

=-e2kv[sigα2(e2)+sigβ2(e2)]

=-kv(|e2|1+α2+|e2|1+β2)≤0

(26)

(27)

(28)

式中：f0為零極限下的向量場(chǎng)；f∞為無窮極限下的向量場(chǎng)。

3 仿真實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

3.1 對(duì)比仿真結(jié)果

對(duì)設(shè)計(jì)的固定時(shí)間控制器和固定時(shí)間擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器性能進(jìn)行仿真分析，同時(shí)為了更好地驗(yàn)證文中所提方案的良好性能，結(jié)合以下有限時(shí)間控制器和有限時(shí)間擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器進(jìn)行對(duì)比仿真驗(yàn)證。無人機(jī)相關(guān)參數(shù)如表1所示。

表1 系統(tǒng)參數(shù)

使其固定時(shí)間穩(wěn)定，一般用雙冪次控制u(e)=-|e|αsign(e)-|e|βsign(e),0≤α<1,β>1[24]。

有限時(shí)間控制器可表示為

(29)

有限時(shí)間擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器可表示為

(30)

當(dāng)控制器為式(10)時(shí)，分別進(jìn)行有限時(shí)間擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器[式(30)]和固定時(shí)間擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器[式(9)]對(duì)比，其對(duì)比結(jié)果如圖3所示?？梢钥闯?，有限時(shí)間和固定時(shí)間下的觀測(cè)器均可以估計(jì)上干擾的實(shí)際值，但通過局部放大圖，能更清晰地得出：固定時(shí)間觀測(cè)器的估計(jì)效果在收斂速度和控制精度上優(yōu)于有限時(shí)間觀測(cè)器，驗(yàn)證了所提固定時(shí)間擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的有效性。圖4為姿態(tài)歐拉角的跟蹤效果圖，均采用固定時(shí)間下的擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器[式(9)]，分析對(duì)比有限時(shí)間控制器[式(29)]和固定時(shí)間控制器[式(10)]分別對(duì)參考姿態(tài)值的跟蹤效果。可以看出，固定時(shí)間控制器的收斂時(shí)間以及收斂速度要優(yōu)于有限時(shí)間控制器，說明所提控制方案合理可行且效果明顯。圖5為歐拉角的估計(jì)誤差，圖5(a)、圖5(b)、圖5(c)分別表示飛機(jī)姿態(tài)滾轉(zhuǎn)角、俯仰角、偏航角的估計(jì)誤差結(jié)果，其估計(jì)誤差值在固定時(shí)間內(nèi)精準(zhǔn)且快速的收斂至零點(diǎn)。圖6為歐拉角跟蹤誤差，通過這3條曲線的收斂效果說明控制誤差能精準(zhǔn)地收斂至原點(diǎn)，同樣證明了固定時(shí)間控制器的有效性。

圖3 干擾力矩

圖4 姿態(tài)歐拉角跟蹤效果

圖5 歐拉角估計(jì)誤差

圖6 歐拉角跟蹤誤差

3.2 無人機(jī)飛行實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析

為進(jìn)一步驗(yàn)證所提控制方案的可行性，基于飛行控制器Pixhawk2.4.8進(jìn)行了四旋翼無人機(jī)F330飛行控制實(shí)驗(yàn)，四旋翼無人機(jī)沿x、y、z軸飛行的數(shù)據(jù)如圖7所示?？梢钥闯?，四旋翼無人機(jī)實(shí)際飛行軌跡基本跟隨期望飛行軌跡，滿足無人機(jī)飛行要求，則從實(shí)際實(shí)驗(yàn)證實(shí)了所提控制方案的可靠性。

圖7 飛行數(shù)據(jù)

4 結(jié)論

研究了四旋翼無人機(jī)的姿態(tài)跟蹤控制?？紤]了模型不確定和外界干擾等因素，并將其集中在一起作為綜合擾動(dòng)，設(shè)計(jì)了基于固定時(shí)間的擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器對(duì)綜合擾動(dòng)進(jìn)行估計(jì)。另外，擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器也對(duì)未知角速度進(jìn)行估計(jì)，保證系統(tǒng)估計(jì)誤差收斂至零。在此基礎(chǔ)上提出基于齊次性理論的固定時(shí)間控制器，仿真結(jié)果表明，所提控制器可以在綜合擾動(dòng)存在的情況下保證閉環(huán)跟蹤誤差收斂至零，且收斂時(shí)間獨(dú)立于系統(tǒng)初始狀態(tài)。通過Lyapunov理論和仿真分析也說明了所提方案的有效性。