張 波，榮 超，江彥偉，疏許健

（1. 華南理工大學(xué)電力學(xué)院，廣東省廣州市 510641；2. 福州大學(xué)電氣工程與自動化學(xué)院，福建省福州市 350108）

0 引言

無線電能傳輸（wireless power transfer，WPT）技術(shù)自19 世紀90 年代被提出以來，一直受到國內(nèi)外的密切關(guān)注。近10 年來，WPT 技術(shù)從機理研究到產(chǎn)業(yè)化都取得了長足的發(fā)展。特別是2007 年，美國麻省理工學(xué)院的Soljacic 教授受光學(xué)傳播原理的啟發(fā)，提出了基于磁耦合諧振的WPT 技術(shù)，使發(fā)射側(cè)與接收側(cè)產(chǎn)生能量交換和振蕩，形成一個能量最大傳輸通道，實現(xiàn)了2 m 距離下60 W 的功率傳輸，效率達到40%［1］。該技術(shù)突破了感應(yīng)WPT 技術(shù)的理念，具有傳輸距離較遠、靈活性較高、傳輸功率等級較寬、能量只在同諧振頻率的物體間高效傳輸、不同諧振頻率之間基本無能量交換、對傳輸介質(zhì)依賴小以及對電磁環(huán)境影響小等優(yōu)點［2］，可以說是WPT 技術(shù)的一個里程碑式進展，極大激發(fā)了全球WPT 技術(shù)研究的熱潮。

美國斯坦福大學(xué)的范汕洄教授于2017 年在Nature 雜志上發(fā)表了基于量子宇稱-時間（paritytime，PT）對稱原理的WPT 技術(shù)，實現(xiàn)了0.7 m 范圍內(nèi)約19 mW 恒定功率和90%以上恒定傳輸效率的穩(wěn)定電能傳輸［3］。PT 對稱原理也稱為鏡像對稱原理，它通過控制使發(fā)射側(cè)與接收側(cè)互為鏡像，構(gòu)建了一個具有PT 對稱結(jié)構(gòu)的非厄米傳輸系統(tǒng)。在強耦合區(qū)域內(nèi)，該系統(tǒng)具有純實數(shù)特征根，可實現(xiàn)增益和損耗之間的平衡。因此，系統(tǒng)的傳輸功率和效率在強耦合區(qū)域內(nèi)對傳輸距離變化不敏感，即傳輸功率和效率在強耦合區(qū)內(nèi)保持恒定不變［2］。該技術(shù)雖然傳輸功率極小，但在WPT 領(lǐng)域引入了一個新的理念，為WPT 的機理研究打開了一扇新的大門，也是量子理論在WPT 技術(shù)中的首次應(yīng)用，可以說是繼2007 年磁耦合諧振WPT 技術(shù)后，又一個里程碑式的進展。

雖然磁耦合諧振和PT 對稱理論促進了WPT技術(shù)的進步和發(fā)展，但仍存在不少固有瓶頸問題。例如，磁耦合諧振WPT 技術(shù)對諧振頻率十分敏感，但諧振電感和電容的阻抗隨材料、頻率、工作環(huán)境、工作壽命而發(fā)生變化，會導(dǎo)致失諧，無法實現(xiàn)電能高效的無線傳輸。因此，諧振頻率的穩(wěn)定控制是諧振WPT 的關(guān)鍵。此外，近距離傳輸會出現(xiàn)功率分裂現(xiàn)象，導(dǎo)致傳輸特性對負載和距離的變化十分敏感，無法穩(wěn)定傳輸功率。PT 對稱WPT 技術(shù)要求發(fā)射側(cè)與接收側(cè)固有頻率一致，同樣面臨接收側(cè)失諧或負載的變化影響系統(tǒng)性能的難題。在大功率應(yīng)用中還要解決PT 對稱WPT 系統(tǒng)的電源問題，這些均導(dǎo)致其難以進一步的產(chǎn)業(yè)化。為此，探索和發(fā)現(xiàn)WPT的新機理任重道遠，也是實現(xiàn)更遠距離、更大功率、更高效率的WPT 技術(shù)的必由之路。

目前，關(guān)于WPT 機理的研究均集中在基于整數(shù)階的數(shù)學(xué)模型上，然而越來越多的研究發(fā)現(xiàn)實際生活中的電感和電容均是分數(shù)階的。此時，基于分數(shù)階微積分的建模方法才可以更加準確地分析出分數(shù)階電路系統(tǒng)所具備的特性。特別是，當(dāng)分數(shù)階階數(shù)偏離整數(shù)階階數(shù)較大時，如果繼續(xù)使用傳統(tǒng)整數(shù)階模型來分析，不僅會使結(jié)果失準，而且難以挖掘出分數(shù)階電路系統(tǒng)所獨有的特性。分數(shù)階微積分理論已經(jīng)在建模和控制等方面體現(xiàn)出了整數(shù)階系統(tǒng)無法比擬的優(yōu)勢，但在WPT 領(lǐng)域還未被深入研究。本課題組受實際電感和電容的分數(shù)階本質(zhì)和分數(shù)階微積分理論的啟發(fā)，提出了一種新型的基于分數(shù)階電路原理的WPT 技術(shù)，在國家自然科學(xué)基金重點項目支持下開展了系統(tǒng)研究。目前的研究成果表明，基于分數(shù)階微積分理論的分數(shù)階WPT 不僅涵蓋了感應(yīng)和諧振WPT，且在特定條件下具有PT 對稱WPT 的特性，能夠在中距離范圍內(nèi)實現(xiàn)恒功率、恒效率的WPT，并具備抗接收側(cè)頻率失諧或負載變化、360°方位變化的獨特優(yōu)點。

為便于理解分數(shù)階WPT 機理，本文首先簡要介紹了分數(shù)階微積分理論的基本定義和發(fā)展歷程。然后，介紹了分數(shù)階元件的基本特性，并分析了2 類基本分數(shù)階電路。接著，基于耦合模理論，分別介紹了分數(shù)階非自治、自治WPT 機理，并從原理、結(jié)構(gòu)和特性等方面與現(xiàn)有整數(shù)階WPT 系統(tǒng)比較，從而直觀地了解分數(shù)階WPT 技術(shù)的特點。最后，對分數(shù)階WPT 技術(shù)尚需攻克的問題、可能的研究方向和發(fā)展前景進行了展望。

1 分數(shù)階微積分理論

分數(shù)階微積分是相對于傳統(tǒng)的整數(shù)階微積分提出的，將傳統(tǒng)的整數(shù)階微積分運算階次推廣為分數(shù)［4］。長久以來，分數(shù)階微積分一直停留在純數(shù)學(xué)的理論推導(dǎo)上。因缺乏物理等背景學(xué)科的推動，分數(shù)階微積分的發(fā)展也較為緩慢。隨著人類對自然科學(xué)的深入認識，許多物理過程及現(xiàn)象無法用經(jīng)典的整數(shù)階微積分來表征，分數(shù)階微積分開始展現(xiàn)出其獨有的價值，被廣泛用來描述具有分數(shù)階特性的對象，更準確地揭示眾多物理系統(tǒng)及過程的本質(zhì)特征和物理機理。

1.1 發(fā)展歷程

分數(shù)階微積分的誕生可以追溯到Leibniz 和Newton 創(chuàng) 造 微 分 學(xué) 的 時 代［5］。 在Leibniz 與L′Hospital 來往的信件中，2 人討論了如果微分階次為1/2 會發(fā)生什么，而Leibniz 回信道:這將導(dǎo)出一個自相矛盾的論點，總有一天人們可以由它導(dǎo)出有用的結(jié)論。這一天正是1695 年9 月30 日，也就是分數(shù)階微積分的誕生之日。最早對分數(shù)階微積分作出理論貢獻的是Euler 和Lagrange，Euler 在1730 年對微分階次為分數(shù)的情形給出了自己的解釋［6］，而Lagrange 則是在1772 年給出了整數(shù)階微分運算階次的可疊加性，但未給出該性質(zhì)是否適用于分數(shù)階微分運算的明確結(jié)論［7］。

1822 年，F(xiàn)ourier 給出了分數(shù)階微分的傅里葉定義［8］。一直到1823 年，Abel 首次應(yīng)用分數(shù)階微積分求解等時曲線的積分方程。1847 年，Riemann 在Liouville 的工作基礎(chǔ)上，進一步研究分數(shù)階微積分的定義，提出將泰勒級數(shù)展開推廣函數(shù)融入分數(shù)階微積分定義中，并于1853 年提出了定積分形式的分數(shù)階微積分定義［9］。隨著分數(shù)階微積分理論的進一步發(fā)展，Grünwald 在1867 年消除了Liouville 方法的限制，采用差商的極限，給出了q階導(dǎo)數(shù)的定積分解析式。而Letnikov 在不知道Grünwald 分數(shù)階微積分定義式的情況下，于1868 年用同樣的方法得到了另一種表達式，即被廣泛應(yīng)用的Grünwald-Letnikov（GL）定義。1890 年，Krug 在將柯西積分公式推廣到任意階時，發(fā)現(xiàn)Riemann 和Liouville 的定積分下限不同，并形成了第1 個較為完整的Riemann-Liouville（RL）分數(shù)階微積分定義。1967 年，Caputo給出了更便于應(yīng)用的分數(shù)階微積分的定義。

1.2 基本定義

在300 多年的發(fā)展歷史中，分數(shù)階微積分被眾多研究者從不同角度給出了不同的定義，但無論是哪一種定義都有其局限性，故至今還沒有一個統(tǒng)一的定義。較為常用且廣泛被認可的定義有GL 定義、RL 定義和Caputo 定義。

分數(shù)階GL 定義通過對整數(shù)階微分的差分近似遞推公式求極限得到［8］，其微分定義表達式為:

分數(shù)階Caputo 定義解決了RL 分數(shù)階微積分定義中的分數(shù)階初值問題［10］，具有較為明確的物理意義，被廣泛應(yīng)用在工程領(lǐng)域。分數(shù)階Caputo 微分定義表達式為:

式中:0≤n-1＜α＜n。

由上述分數(shù)階微分的定義表達式可知，分數(shù)階微分與整數(shù)階微分存在明顯的差異，函數(shù)f（t）的整數(shù)階導(dǎo)數(shù)只取決于函數(shù)f（t）在自變量t的極小鄰域內(nèi)的狀態(tài)，而其分數(shù)階導(dǎo)數(shù)不僅與t時刻的狀態(tài)有關(guān)，還依賴于初始時刻t0到t時刻這個過程的狀態(tài)，即分數(shù)階的記憶特性。

值得注意的是，3 種定義并不是在任何情況下都完全等價。適用于工程領(lǐng)域的Caputo 微分定義在分析Buck 變換器時，其結(jié)果與實驗結(jié)果是不相符的，而由RL 微分定義推導(dǎo)出的模型則更準確且符合實際情況［11］。此外，文獻［12］通過研究分數(shù)階RLCα串聯(lián)電路階躍響應(yīng)，證明了RL 微分定義對分數(shù)階電路的動態(tài)描述更準確且更加適用于分數(shù)階電路的時域分析。

1.3 應(yīng)用

21 世紀是分數(shù)階微積分理論被廣泛應(yīng)用的元年，分數(shù)階微積分系統(tǒng)又被稱為“21 世紀系統(tǒng)”，其在各個工程領(lǐng)域都取得了成功的應(yīng)用，包括電化學(xué)、生物醫(yī)學(xué)、控制理論、電氣工程等。

在電化學(xué)領(lǐng)域，分數(shù)階微積分理論的首次應(yīng)用源于1971 年Ichise 等人利用分數(shù)階微積分研究電化學(xué)中擴散過程的傳遞函數(shù)［13］。隨后，Isabel 等人利用電解過程模擬分數(shù)階電容，研究影響容抗的因素［14］，Krishna 等人通過在電極上覆蓋聚甲基丙烯酸甲酯薄膜的方法構(gòu)造了一種恒相位元件，其阻抗特性在特定頻段內(nèi)近似等于0.1 階分抗元件［15］。在生物醫(yī)學(xué)領(lǐng)域，早在1933 年，Cole 就給出了生物體細胞膜電導(dǎo)的分數(shù)階表征形式［4］。在控制領(lǐng)域，分數(shù)階微積分因其特有的“記憶特性”，相對于整數(shù)階具有更加精確的控制效果，被大量應(yīng)用于反饋控制、信號及圖像處理、系統(tǒng)觀測等方面。1960 年，Manabe首次提出了分數(shù)階控制的理念。隨后，Oustaloup 創(chuàng)立了非整數(shù)階魯棒（CRONE）控制［16］，這種CRONE控制器比傳統(tǒng)比例-積分-微分（PID）控制器更具優(yōu)勢，且物理含義更明確，是目前工業(yè)控制領(lǐng)域應(yīng)用最廣泛的分數(shù)階控制方法之一。1999 年，Podlubny 提出了分數(shù)階PIλDμ控制器［8］，在傳統(tǒng)PID 控制器的基礎(chǔ)上增加了能夠影響系統(tǒng)性能的微分和積分階次，具有更好的響應(yīng)效果和穩(wěn)定性，為分數(shù)階控制理論的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。

在電氣工程領(lǐng)域，1961 年，Carlson 和Halijak 首次提出了分數(shù)階電容模型［17］。1994 年，Westerlund發(fā)現(xiàn)整數(shù)階微分不能精確描述電容特性，利用分數(shù)階模型可以更好地描述電容［18］。此后，大量研究將整數(shù)階電路模型推廣到分數(shù)階電路領(lǐng)域，Radwan 等人研究了基于分數(shù)階元件的阻抗匹配網(wǎng)絡(luò)和分數(shù)階RCα、RLβ、LβCα、RLβCα電路的基本特性［19］，提出了分數(shù)階濾波器的實現(xiàn)方法，并討論了分數(shù)階濾波器的基本性質(zhì)。此外，分數(shù)階混沌電路［20］、分數(shù)階DCDC 變換器［21-22］、分數(shù)階振蕩電路等新型電路也受到了廣泛的研究。

2 分數(shù)階元件及電路

在經(jīng)典電路理論中，理想的電感和電容的伏安特性都是滿足整數(shù)階微積分的，這一簡單的數(shù)學(xué)關(guān)系也廣泛地應(yīng)用在電氣工程領(lǐng)域。但在現(xiàn)實世界中，整數(shù)階元件是不存在的，只是用整數(shù)階來近似，采用整數(shù)階微積分來分析電路存在固有的不精確性。因此，應(yīng)用分數(shù)階微積分能夠更準確地描述自然界中各種復(fù)雜的物理特性和過程，還可以利用分數(shù)階元件的特性提高電路的性能，發(fā)現(xiàn)新的電路特性。因此，分數(shù)階微積分拓寬了電路研究、分析和應(yīng)用的思路。

2.1 分數(shù)階元件特性分析

不同于整數(shù)階元件，分數(shù)階電容和電感的電氣符號如圖1 所示。

圖1 分數(shù)階電容和電感的電氣符號Fig.1 Electrical symbols for fractional-order capacitance and inductance

由分數(shù)階電路理論可知，分數(shù)階電容和電感的伏安特性可被描述為:

式中:α和β分別為分數(shù)階電容和電感的階數(shù)，且滿足0＜α，β＜2；vC和iC分別為分數(shù)階電容兩端電壓和流過的電流；vL和iL分別為分數(shù)階電感兩端電壓和流 過 的 電 流；Cα和Lβ分 別 為 分 數(shù) 階 電 容 和 電 感 的值，其單位分別為F/s1-α和H/s1-β。

式（4）經(jīng)過拉氏變換，且令s=jω可得分數(shù)階電容阻抗ZC(jω)和電感的阻抗ZL(jω)表達式為:

可見，分數(shù)階元件的阻抗參數(shù)不只有電抗分量，還有電阻分量。在頻域內(nèi)，分數(shù)階電容可以等效為整 數(shù) 階 電 阻Re，Cα=cos(απ/2)/(ωαCα)和 整 數(shù) 階 電容Ce，Cα=ωα-1Cα/sin(απ/2)的串聯(lián)組合。同理，分數(shù)階電感可以等效為整數(shù)階電阻Re，Lβ=ωβLβcos(βπ/2) 和 整 數(shù) 階 電 感Le，Lβ=ωβ-1Lβ/sin(βπ/2)的串聯(lián)組合。這暗示了分數(shù)階元件在階數(shù)不為1 時，能夠發(fā)出或吸收能量。

式中:T=2π/ω。

結(jié)合上述分析，當(dāng)階數(shù)α＜1 時，分數(shù)階元件含有正電阻分量，故平均功率P＞0，消耗能量；當(dāng)階數(shù)α＞1 時，則發(fā)出能量；當(dāng)階數(shù)α=1 時，其平均功率P=0，為純?nèi)菪詿o源元件，即整數(shù)階電容。根據(jù)電容 儲 能 公 式W=0.5Ce，CαU2，其 中U為 等 效 電 容 上的電壓幅值，結(jié)合式（5）可知分數(shù)階電容中的電場能量為W=ωα-1CαU2Csin(πα/2)。同理，參照以上分析，分數(shù)階電感也具有類似的性質(zhì)。

2.2 分數(shù)階元件的構(gòu)造方法

現(xiàn)有的電感和電容元件本質(zhì)上具有分數(shù)階特性，Carlson 和Halijak 早在1961 年就提出了分數(shù)階電容模型，隨后，Westerlund 發(fā)現(xiàn)整數(shù)階微分無法精確描述電容的特性，并通過實驗測出了不同電介質(zhì)下分數(shù)階電容的階數(shù)，還指出電感實際上也是分數(shù)階的。如今，已有大量文獻證明電感和電容具有分數(shù)階特性，并通過不同方式構(gòu)造出了不同階數(shù)的電感和電容元件。

目前，分數(shù)階元件的主要構(gòu)造方法有5 種:1）基于阻抗函數(shù)的連分式分解法［23］，利用現(xiàn)有無源器件（如電感、電容）的串并聯(lián)來近似構(gòu)造階數(shù)固定且小于1 的分數(shù)階元件，一旦分數(shù)階元件的階數(shù)、容值（感值）以及工作頻率改變時，則需要重新設(shè)計各電感和電容的參數(shù)，甚至整體電路結(jié)構(gòu)；2）基于電化學(xué)方法［24］，即選擇不同分形結(jié)構(gòu)的電極表面面積、不同電介質(zhì)材料等，構(gòu)造階數(shù)小于1 的分數(shù)階電容，一旦封裝完成，很難調(diào)節(jié)分數(shù)階電容的階數(shù)和容值；3）基于硅工藝技術(shù)，如利用場效應(yīng)晶體管構(gòu)造階數(shù)固定的分數(shù)階電容，現(xiàn)有文獻均只涉及階數(shù)小于1 的分數(shù)階電容的構(gòu)造［25］；4）基于運算放大器電路，可構(gòu)造階數(shù)大于1 的分數(shù)階元件，但僅限于小功率場合的應(yīng)用［26］；5）基于電力電子功率變換器［27-28］，如半橋逆變器等，構(gòu)造任意階數(shù)的大功率分數(shù)階元件，階數(shù)和容值（感值）可根據(jù)需要通過控制任意調(diào)節(jié)，適用于多種功率等級。

分數(shù)階元件的構(gòu)造為分數(shù)階元件、電路及系統(tǒng)的特性分析和實際應(yīng)用提供了技術(shù)支撐和基礎(chǔ)。

2.3 分數(shù)階電路

分數(shù)階電路可以按非自治與自治電路進行分類。在自治電路中，系統(tǒng)的激勵源不顯含時間t，而不具備這種條件的電路被稱作非自治電路?；镜姆謹?shù)階電路一般是由分數(shù)階電感Lβ、分數(shù)階電容Cα和電阻R串并聯(lián)組合而成的。分數(shù)階非自治RLβCα串聯(lián)電路如圖2 所示。

圖2 分數(shù)階非自治RLβCα串聯(lián)電路Fig.2 Fractional-order non-autonomousRLβCαseries circuit

圖2 中，us為外加激勵電源，u為分數(shù)階電容兩端的電壓，i為流過回路的電流。該分數(shù)階RLβCα非自治串聯(lián)電路的電壓方程可表示為:

電路輸入阻抗Z可表示為:

當(dāng)圖2 所示分數(shù)階非自治RLβCα串聯(lián)電路發(fā)生諧振時，即輸入阻抗虛部為0，可得該電路的諧振角頻率為:

由式（10）可知，分數(shù)階RLβCα非自治串聯(lián)電路的諧振頻率不僅取決于感值Lβ和容值Cα，還可以通過控制分數(shù)階電容的階數(shù)α和分數(shù)階電感的階數(shù)β來調(diào)節(jié)。

當(dāng)電路的諧振頻率固定時，根據(jù)式（10）可得到不同階數(shù)下分數(shù)階電容值為:

諧振狀態(tài)下，電路的輸入阻抗可表示為:

分析式（12）可知，階數(shù)α、β的取值不同，輸入阻抗表現(xiàn)的電阻特性也不同。假設(shè)電感為整數(shù)階，即β=1，則當(dāng)階數(shù)α大于某一值αC時，分數(shù)階非自治RLβCα串聯(lián)電路表現(xiàn)為負電阻，當(dāng)階數(shù)α小于αC時，該電路表現(xiàn)為正電阻，而當(dāng)α等于αC時，輸入阻抗為0，相當(dāng)于電路短路。綜上所述，分數(shù)階非自治RLβCα串聯(lián)電路的階數(shù)應(yīng)遠離αC，根據(jù)式（12）可得這一臨界階數(shù)αC為:

不同于整數(shù)階系統(tǒng)，分數(shù)階電路在沒有激勵源的情況下依然可以自發(fā)達到穩(wěn)態(tài)，對應(yīng)的電路被稱為分數(shù)階自治電路。分數(shù)階自治RLβCα串聯(lián)電路如圖3 所示［29］。

圖3 分數(shù)階自治RLβCα串聯(lián)電路Fig.3 Fractional-order autonomousRLβCαseries circuit

根據(jù)基爾霍夫電壓定律可得如下電壓方程:

式（14）是一類典型的分數(shù)階常微分方程，通過求解該式可以得到電路電壓及電流。值得注意的是，該方程的數(shù)值解法已經(jīng)得到了廣泛且深入的研究，例如，基于GL 定義的離散數(shù)值解法。

為了進一步得到分數(shù)階RLβCα串聯(lián)電路的自諧振頻率和電路約束條件，列出其阻抗方程為:

式中:I(jω)為回路電流i對應(yīng)的相量。若式（15）中電流I（jω）有非零解，則回路阻抗須等于零，即

在自治的分數(shù)階RLβCα串聯(lián)電路中，諧振頻率不僅取決于分數(shù)階電容值Cα和電感值Lβ，還由分數(shù)階電容和電感的階數(shù)α和β所決定。在基于負電阻效應(yīng)的分數(shù)階回路中，分數(shù)階電感值Lβ和電容值Cα須能自動調(diào)節(jié)，以滿足式（17）所示的約束條件。

3 分數(shù)階非自治WPT 機理

根據(jù)系統(tǒng)動力學(xué)方程是否隨時間t變化，分數(shù)階WPT 同樣可以分為分數(shù)階非自治WPT 和分數(shù)階自治WPT。本章將對分數(shù)階非自治WPT 的電路結(jié)構(gòu)、模型和特性進行討論和分析。

3.1 系統(tǒng)電路及其耦合模型

分數(shù)階非自治WPT 系統(tǒng)電路的構(gòu)成方式多樣，包括:1）完全采用分數(shù)階元件構(gòu)成；2）采用分數(shù)階元件與整數(shù)階元件混合。因此，按照串聯(lián)-串聯(lián)型、串聯(lián)-并聯(lián)型、并聯(lián)-串聯(lián)型和并聯(lián)-并聯(lián)型4 種拓撲形式排列組合，有4×34=324 種基本電路結(jié)構(gòu)［30］，顯然比整數(shù)階的串聯(lián)-串聯(lián)型、串聯(lián)-并聯(lián)型、并聯(lián)-串聯(lián)型和并聯(lián)-并聯(lián)型4 種基本電路結(jié)構(gòu)豐富得多。

圖4 串聯(lián)-串聯(lián)型分數(shù)階非自治電路WPT 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)Fig.4 Structure of WPT system based on fractionalorder non-autonomous circuit of series-series type

根據(jù)文獻［31-32］，其等效的耦合模方程可表示為:

3.2 恒流輸出特性

由等效耦合模方程式（18）可知，通過調(diào)節(jié)分數(shù)階元件的階數(shù)，分數(shù)階非自治WPT 系統(tǒng)可以靈活地實現(xiàn)感應(yīng)式和諧振式WPT 系統(tǒng)的切換。值得注意的是，通過求解式（18）可得諧振狀態(tài)下分數(shù)階非自治WPT 系統(tǒng)的接收端模式a2為:

由式（19）可知，當(dāng)發(fā)射端分數(shù)階電容階數(shù)α1被控制為式（20）所示數(shù)值α0時，接收端模式幅值|a2|=F/κ。根據(jù)耦合模理論中模式的定義可知|a2|與負載電流I2成正比，即當(dāng)α1=α0時，負載電流I2僅與耦合強度有關(guān)，而不受負載因素的影響。此時，負載電阻變化時，仍然可以保持恒流輸出。這一特性具有應(yīng)用潛力且非常適用于需要恒流供電的負載。

根據(jù)式（18）至式（20）可進一步得到恒流輸出時分數(shù)階非自治WPT 系統(tǒng)的輸出功率Po和效率η分別為:

在系統(tǒng)保持恒流輸出時，分數(shù)階非自治WPT系統(tǒng)的輸出功率與負載電阻呈現(xiàn)如附錄A 圖A1 所示的線性關(guān)系，從而克服了整數(shù)階諧振式WPT 的輸出電流隨負載電阻增大而減小的問題。此外，分數(shù)階非自治WPT 系統(tǒng)傳輸效率隨著負載電阻的增加先上升后下降，此時存在一個最優(yōu)的負載電阻RL=R2(R1R2+ω2M2)/R1使得傳輸效率達到最大。

可見，分數(shù)階非自治WPT 系統(tǒng)憑借著具有分數(shù)階微積分特性的分數(shù)階電容或電感，極大地增加了WPT 系統(tǒng)的設(shè)計自由度。在設(shè)計該系統(tǒng)時，可以根據(jù)WPT 系統(tǒng)的運行環(huán)境和要求來選擇分數(shù)階元件的階數(shù)，從而使系統(tǒng)可以靈活地調(diào)節(jié)輸出功率和效率或恒流輸出。

4 分數(shù)階自治WPT 原理

4.1 系統(tǒng)電路及其廣義耦合模型

與分數(shù)階非自治WPT 系統(tǒng)一樣，分數(shù)階自治WPT 系統(tǒng)同樣有著豐富的拓撲結(jié)構(gòu)。對于分數(shù)階自治WPT 系統(tǒng)而言，發(fā)射電路僅有串聯(lián)拓撲形式，且至少有一個有源分數(shù)階元件；接收電路有串聯(lián)和并聯(lián)型2 種拓撲形式，故有2×(33+32×2)=90 種電路結(jié)構(gòu)。串聯(lián)-串聯(lián)型分數(shù)階WPT 系統(tǒng)電路結(jié)構(gòu)如圖5 所示［33］。

圖5 串聯(lián)-串聯(lián)型分數(shù)階自治電路WPT 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)Fig.5 Structure of WPT system based on fractionalorder autonomous circuit of series-series type

為簡化分析及說明問題，圖5 的分數(shù)階系統(tǒng)電路僅選取發(fā)射側(cè)電容為分數(shù)階電容，而其他分數(shù)階元件的階數(shù)均取1，即整數(shù)階數(shù)。根據(jù)文獻［34］，其廣義耦合模方程可以表示為:

式中:發(fā)射端總損耗率Γ2=Γ20+ΓL；Cα1的修正因子θC1=ωα1-1/sin(α1π/2)，其 他 相 關(guān) 參 數(shù) 如 表1所示。

表1 耦合模方程中的主要參數(shù)Table 1 Key parameters of coupled mode equations

4.2 系統(tǒng)特性分析

為了進一步分析該自治系統(tǒng)的頻率特性和性能，設(shè)a1=A1ejωt，a2=A2ejωt，其中A1和A2分別為a1和a2的幅值,將其代入式（23）中的分數(shù)階微分項，即可得到分數(shù)階電容所提供的等效負電阻增益系數(shù)gCα=-0.5ωe1cot(α1π/2)。因此，式（23）所示廣義耦合模方程可以整理為:

得到自治系統(tǒng)的特征頻率解后，可進一步分析系統(tǒng)在強耦合區(qū)域的效率和功率。根據(jù)耦合模理論能量關(guān)系，強耦合區(qū)域內(nèi)系統(tǒng)效率表達式為:

式中:Q1為發(fā)射線圈品質(zhì)因數(shù)且Q1=ω/(2Γ10)。根據(jù)耦合模理論可知，2.1 節(jié)中得到的分數(shù)階電容電場能量即為原邊模式對應(yīng)的能量，即W=|a1|2。結(jié)合式（27）可得強耦合區(qū)域內(nèi)系統(tǒng)輸出功率為:

由式（27）和式（28）可知，在強耦合區(qū)（k＞kC），系統(tǒng)效率和輸出功率與互感系數(shù)k和接收側(cè)諧振頻率均無關(guān)。

4.3 系統(tǒng)實現(xiàn)

分數(shù)階自治WPT 系統(tǒng)的電路原理如圖6 所示。其中，分數(shù)階電容由受控的半橋變換器構(gòu)成［27］，且其階數(shù)大于1，可向系統(tǒng)提供增益。

圖6 分數(shù)階自治WPT 系統(tǒng)的電路原理圖Fig.6 Circuit principle diagram of fractional-order autonomous WPT system

電路參數(shù)的取值如表2 所示。其中，發(fā)射側(cè)和接收側(cè)內(nèi)阻包含電容器內(nèi)阻和線圈本身的內(nèi)阻。電容器內(nèi)阻利用阻抗分析儀測量，線圈內(nèi)阻利用反射測量法獲得高頻下的內(nèi)阻值［35］。

表2 實驗電路參數(shù)Table 2 Parameters of experimental circuit

4.4 仿真與實驗分析

在接收側(cè)無失諧情況下，分數(shù)階自治WPT 系統(tǒng)的系統(tǒng)效率和輸出功率隨傳輸距離的變化曲線如圖7 所示（分數(shù)階電容階數(shù)α1取1.02）。

圖7 系統(tǒng)效率和輸出功率隨傳輸距離的變化曲線Fig.7 Variation curves of system efficiency and output power with transmission distance

附錄A 圖A2 為不同分數(shù)階階數(shù)條件下分數(shù)階系統(tǒng)傳輸效率和輸出隨耦合強度的變化曲線。由圖A2 可知，通過調(diào)節(jié)分數(shù)階元件的階數(shù)就可以靈活地改變臨界耦合強度以及系統(tǒng)效率和功率，這也是傳統(tǒng)整數(shù)階系統(tǒng)無法比擬的優(yōu)勢之一。值得注意的是，在期望通過增大階數(shù)來提高系統(tǒng)功率和效率的同時，臨界傳輸距離也會隨之縮短。在實際應(yīng)用時，應(yīng)根據(jù)性能要求綜合設(shè)計分數(shù)階系統(tǒng)和控制電路。

可見，分數(shù)階自治WPT 系統(tǒng)借助階數(shù)大于1 的有源分數(shù)階元件，在無需正弦激勵源的情況下仍可為負載提供能量。由于分數(shù)階元件特有的頻率特性，該系統(tǒng)可以自適應(yīng)地平衡系統(tǒng)損耗以及調(diào)節(jié)分數(shù)階系統(tǒng)的諧振頻率，從而表現(xiàn)出穩(wěn)定的傳輸特性。在WPT 新機理的研究過程中，非線性系統(tǒng)以及自治系統(tǒng)還存在很多獨有的特性有待挖掘。

5 與其他WPT 系統(tǒng)及機理比較

由前文的論述和分析可見，分數(shù)階WPT 機理是以分數(shù)階電路為基礎(chǔ)的，且與整數(shù)階WPT 機理有所不同。本章將對分數(shù)階自治WPT、諧振式WPT 和基于PT 守恒原理的WPT 系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及其特性進行比較。其中，諧振式WPT 系統(tǒng)是典型的非自治WPT 系統(tǒng)，而基于PT 守恒原理的WPT 系統(tǒng)是以自治電路為基礎(chǔ)的WPT 系統(tǒng)。從電路拓撲結(jié)構(gòu)和運行機理的角度分析，分數(shù)階WPT 系統(tǒng)完全不同于諧振式WPT 和基于PT 守恒原理的WPT系統(tǒng)。

表3 對比了3 種WPT 系統(tǒng)的電路拓撲。諧振式WPT 系統(tǒng)由高頻交流源和2 個固有諧振頻率相等的回路構(gòu)成?；赑T 守恒原理的WPT 系統(tǒng)由一個具有非線性飽和增益的負電阻為系統(tǒng)提供能量，以保證能量在增益和損耗之間平衡流動。分數(shù)階自治WPT 系統(tǒng)采用分數(shù)階元件，由階數(shù)大于1 的有源分數(shù)階元件作為系統(tǒng)的增益為負載供能。

表3 3 種WPT 系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)對比Table 3 Comparison of structures of three kinds of WPT systems

為了便于從理論上比較3 種系統(tǒng)的特性差異，本章仿真參數(shù)設(shè)定為:R1=R2=0.4 Ω，RL=9 Ω，L1=L2=100 μH。根據(jù)耦合模理論，表4 列出了3 種系統(tǒng)在強耦合區(qū)域中系統(tǒng)效率和輸出功率的表達式，并給出了分數(shù)階自治WPT 和基于PT 守恒原理的WPT 自治系統(tǒng)的強耦合區(qū)域。附錄A 圖A3 為3 種WPT 系統(tǒng)的效率和輸出功率隨耦合強度的變化曲線對比圖?？梢?，在強耦合區(qū)域，分數(shù)階WPT 系統(tǒng)與基于PT 守恒原理的WPT 系統(tǒng)均表現(xiàn)出強魯棒性，即通過系統(tǒng)本身的能量平衡機制使得效率和輸出功率保持恒定；在弱耦合區(qū)域，基于PT 守恒原理的WPT 系統(tǒng)只有諧振頻率一個穩(wěn)定解，從而與諧振式WPT 系統(tǒng)具有相同的運行特性。

表4 強耦合區(qū)域中系統(tǒng)效率和輸出功率的比較Table 4 Comparison of system efficiency and output power in strongly coupled regions

在實際WPT 系統(tǒng)中，由于互感系數(shù)和負載等因素的變化，傳統(tǒng)整數(shù)階系統(tǒng)的實際參數(shù)將偏離設(shè)計值，從而不可避免地引起失諧。因而，接收側(cè)失諧是WPT 系統(tǒng)設(shè)計需要考慮的情況之一。在強耦合區(qū)域，當(dāng)接收側(cè)的固有頻率偏離諧振頻率時，3 種系統(tǒng)的系統(tǒng)效率和輸出功率同樣表現(xiàn)出如附錄A圖A4 所示完全不同的特性。諧振式WPT 系統(tǒng)通過2 個諧振器共振使得能量可以在其之間高效傳遞，因此，當(dāng)接收側(cè)固有頻率偏移諧振點時，效率和輸出功率將急劇下降。同樣，為了保證PT 反轉(zhuǎn)不變性，基于PT 守恒原理的WPT 系統(tǒng)也必須保證接收側(cè)和發(fā)射側(cè)的固有頻率相等。由表4 所示的強耦合區(qū)域中系統(tǒng)效率和輸出功率的表達式可以看出，在諧振式WPT 系統(tǒng)和基于PT 守恒原理的WPT 系統(tǒng)中，它們均與接收側(cè)固有諧振頻率ω2有關(guān)，而在分數(shù)階自治WPT 系統(tǒng)中則與ω2和耦合強度均無關(guān)，表明分數(shù)階自治WPT 系統(tǒng)具有抗接收側(cè)失諧的特性。實際上，這得益于第2 章提到的分數(shù)階元件所特有的頻率特性。當(dāng)分數(shù)階元件的階數(shù)被控制為恒定時，其提供給分數(shù)階系統(tǒng)的有功功率和無功功率的比例將保持恒定，進而使系統(tǒng)具有穩(wěn)定的傳輸特性。另一方面，分數(shù)階自治WPT 系統(tǒng)的運行頻率取決于主電路的參數(shù)，這是與采用正弦激勵源的諧振式WPT 系統(tǒng)最顯著的不同。正是分數(shù)階特性以及自治電路的頻率特性，才使得分數(shù)階自治WPT 系統(tǒng)有著獨特的傳輸特性。

6 結(jié)語

WPT 技術(shù)是國際上的熱點研究方向。然而，產(chǎn)品化和大規(guī)模的產(chǎn)業(yè)化還有賴于更多基于新原理、新方法的WPT 方式，分數(shù)階WPT 機理及技術(shù)的提出就是一個嘗試。目前的理論分析和實驗表明，與現(xiàn)有整數(shù)階WPT 系統(tǒng)相比，分數(shù)階WPT 系統(tǒng)具有以下優(yōu)勢:1）系統(tǒng)電路拓撲多樣，比感應(yīng)式WPT 系統(tǒng)電路拓撲更豐富，適應(yīng)面更廣；2）除了分數(shù)階非自治WPT 系統(tǒng)形式外，還有分數(shù)階自治WPT 系統(tǒng)形式，因此，可涵蓋PT 對稱WPT 技術(shù)的特性，且克服了接收側(cè)頻率和負載的變化導(dǎo)致特性劣化的瓶頸；3）分數(shù)階諧振WPT 系統(tǒng)的諧振頻率不僅取決于電感、電容值的大小，還取決于它們的分數(shù)階數(shù)，且它們之間呈非線性函數(shù)關(guān)系，因此，系統(tǒng)具有抗失諧能力強、魯棒性強等特點；4）由分數(shù)階元件構(gòu)成的阻抗補償網(wǎng)絡(luò)，不僅可以靈活調(diào)節(jié)電感、電容值，還可以控制它們的分數(shù)階數(shù)，因此，比整數(shù)階感應(yīng)WPT 補償網(wǎng)絡(luò)更靈活，效果更好?？梢姡謹?shù)階WPT 系統(tǒng)可以克服復(fù)雜的運行條件，并滿足多種傳輸特性的要求，使其在動態(tài)無線充電、高效電動汽車無線充電和一對多WPT 系統(tǒng)中有著很好的應(yīng)用前景。

然而，對分數(shù)階WPT 機理及技術(shù)的研究才開始不久，還有許多特性沒有認識清楚。例如，在特性研究方面，目前主要對分數(shù)階WPT 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)特性進行了研究，對于分數(shù)階的動態(tài)特性尤其分數(shù)階記憶特性在WPT 過程的作用還有待進一步探索。在建模方面，分數(shù)階耦合模型的建模方法是否可以沿用整數(shù)階的形式，分數(shù)階電路模型的分析方法是否存在更具一般性的理論，以及如何獲得更加精確的分數(shù)階WPT 系統(tǒng)的機理描述等關(guān)鍵性問題，都有待進一步開展深入的研究和探討。因此，分數(shù)階WPT 系統(tǒng)的研究還有一段漫長且曲折的道路要走。隨著分數(shù)階微積分原理的成熟和分數(shù)階元件構(gòu)造新方法的出現(xiàn)，分數(shù)階WPT 技術(shù)的應(yīng)用領(lǐng)域?qū)⒃絹碓綇V泛。

WPT 技術(shù)能否像特斯拉預(yù)言的那樣，在世界任何一個地方都能自由接收電能，還須突破一些思想、概念上的約束。特別是，目前將感應(yīng)WPT 技術(shù)作為一種方式的WPT 技術(shù)分類方法，可能會制約機理研究的發(fā)展。因為電磁感應(yīng)是麥克斯韋理論的通俗解釋，是電磁現(xiàn)象的基本規(guī)律，而在此基礎(chǔ)上發(fā)展起來的WPT 機理才是有效提高WPT 的技術(shù)。這可以類比于交流調(diào)速，調(diào)頻是調(diào)速的基本原理，在此基礎(chǔ)上發(fā)展起來的開環(huán)恒壓頻比（V/F）控制、矢量控制、直接轉(zhuǎn)矩控制等，才是真正實用、有效的調(diào)速技術(shù)?，F(xiàn)有感應(yīng)WPT 技術(shù)實質(zhì)上是阻抗匹配或無功補償技術(shù)的應(yīng)用。因此，將感應(yīng)WPT 技術(shù)改為基于阻抗匹配的WPT 技術(shù)更為合理。這也避免了將諧振WPT 技術(shù)與感應(yīng)WPT 技術(shù)混為一談的誤區(qū)。WPT 技術(shù)更為恰當(dāng)?shù)姆诸悜?yīng)該是阻抗匹配WPT 技術(shù)、諧振WPT 技術(shù)、PT 對稱WPT 技術(shù)以及新的WPT 技術(shù)，從而鼓勵人們大膽探索，發(fā)展出更多、更好的WPT 機理和技術(shù)，加快WPT 的發(fā)展進程。

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