宋音

（諸暨市第二高級中學(xué)，浙江諸暨 311800）

數(shù)學(xué)方法是驗證規(guī)律運動的可行方法。因此，現(xiàn)如今很多地理問題的描述方式，是采用以數(shù)學(xué)公式為基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)建模形式。本文討論的地球表面兩點間最短路徑問題，也是一種規(guī)律運動。學(xué)生在學(xué)習(xí)課本知識時對書本中“最短路徑是球面上經(jīng)過兩點的大圓劣弧段長”結(jié)論存在疑惑，但是學(xué)生沒有方法驗證這個結(jié)論是否正確。本文將嘗試用數(shù)學(xué)公式，采用Matlab工具進行數(shù)學(xué)建模，驗證地球表面兩點間最短路徑是否是過球心的大圓劣弧線段，給學(xué)生尋找更加直觀簡單的學(xué)習(xí)最短路徑方法。

一、材料準(zhǔn)備

（一）光滑地球模型

假設(shè)地球表面為光滑曲面，沒有地形起伏和海陸差異，O為該球的球心。

（二）數(shù)學(xué)建模工具

本文采用數(shù)學(xué)建模工具Matlab R2016a軟件，以編程形式，實現(xiàn)數(shù)學(xué)公式模型，驗證本文猜想。Matlab軟件是廣泛運用于數(shù)學(xué)建模、仿真和涉及的數(shù)學(xué)軟件。因此本文利用Matlab軟件來判斷該結(jié)論的可行性和實用性。

二、模型理論驗證

在光滑曲面上任取兩點作為起終點，其中A為起點，B為終點，AB之間的曲線路徑是經(jīng)過AB兩點的圓上曲線。本文假設(shè)有三個不同圓心的圓，具有三條不同路徑，路徑長度也不一樣，效果圖如圖1。通過觀察圖1，本文可以利用球的對稱性，用來建立統(tǒng)一的坐標(biāo)系來比較三條路徑長度。

在構(gòu)建統(tǒng)一的坐標(biāo)系之前，本文先考慮如何計算AB點之間曲線長度問題。根據(jù)圖3以及圓的相關(guān)數(shù)學(xué)知識，可以了解AB兩點之間的劣弧長度就是扇形ABO的弧線長度，該長度根據(jù)扇形的弧線計算公式(1)可得。

式中θ指扇形弧線所對角的弧度值，r為扇形所在圓的半徑。

觀察圖1和圖2，本文發(fā)現(xiàn)點A與點B是關(guān)于線DCO對稱的，將點A與點B用投影在面OCD上，這樣就可以將扇形ABO的半徑和弧度的問題在面DCO中解決，如圖3所示。根據(jù)扇形的知識可知，扇形角度θ可以采用直角三角形反余弦函數(shù)求解，求解公式如式子(2)。因此，本文只需要線段OC和半徑OD的值，就能求解弧線ADB的值大小。

圖1 三個不同圓心的曲線路徑

圖2 AB之間弧線的示意圖

圖3 對稱剖面平面DCO

式中AO的值為扇形所在圓的半徑，CO為直角三角形直角邊的長度。

通過面DCO剖分球體后，得到如圖4所示的結(jié)果。其他不同的圓在面DCO的投影都是一條直線。從圖4可以看出，只要找到不同直線的圓心所在位置，利用點C的位置，就可以求解不同圓心O與點C之間的線段距離。同時找到經(jīng)過點C的直線與以DO為半徑的圓所相交的兩點之間直線長度，即不同圓的直徑，可得出不同圓的半徑值。點的位置，采用坐標(biāo)系的形式表示。本文采用直角坐標(biāo)系構(gòu)建坐標(biāo)位置。綜上所述，求解點A與B的最短路徑問題，轉(zhuǎn)換為求解經(jīng)過點C的不同斜率直線與固定大小的圓所截取線段的問題。

圖4 平面DCO中ABC點位置

三、模型構(gòu)建

本文在直角坐標(biāo)系中，構(gòu)建經(jīng)過定點A的不同斜率直線與固定圓所截取的線段，該線段的中點為圓心，線段長度為圓直徑，點AB在以該圓心和半徑所構(gòu)成的圓上扇形弧線長度就是該圓上AB點之間的弧線路徑長度。通過比較不同弧線長度大小，選出最短的弧線所在圓的圓心是否是球心來驗證本文猜想。

（一）固定圓的建立

在直角坐標(biāo)系中，建立圓心在（25，25），半徑為10單位長度的圓。以此數(shù)據(jù)建立的圓基本方程，后續(xù)過程中本文求解直線與圓的交點問題，就可以避免數(shù)據(jù)出現(xiàn)負(fù)數(shù)情況，影響計算結(jié)果。

（二）隨機點的確立

本文采用Matlab軟件中的隨機函數(shù)，隨機抽取100個隨機樣點的x坐標(biāo)。因為隨機點坐標(biāo)（x，y）在固定圓內(nèi)，所以滿足圓數(shù)學(xué)方程。因此基于此編寫相關(guān)數(shù)學(xué)模型選取隨機點。

（三）不同直線的確立

隨機點的選取確定后，因為存在固定點，本文可以根據(jù)直線的點斜式方程建立直線方程，點斜式方程見式子(3)。但是點斜式直線方程存在一個缺點，不存在經(jīng)過固定點并且垂直于X軸的直線，因此需要補充一個垂直X軸的直線與固定圓的弧線情況。因為Matlab軟件中對于數(shù)學(xué)計算都是采用確定值計算，所以該斜率范圍0-2π內(nèi)平均選取200個相同間隔的數(shù)值，代入數(shù)學(xué)模型中計算。

式中k為斜率，（x0，y0）為固定點。

（四）模型思路

第一，選取一個隨機點及一個斜率，構(gòu)建點斜式方程，與圓的基本方程聯(lián)立，求解直線與圓的兩個交點坐標(biāo)。第二，本文采用中點坐標(biāo)公式，結(jié)合兩個交點坐標(biāo)求解中點坐標(biāo)，該坐標(biāo)即扇形所在圓的圓心坐標(biāo)。該圓的半徑由兩個交點的線段長度公式求解所得。第三，根據(jù)隨機點坐標(biāo)與圓心坐標(biāo)，求解這兩點間距離CO。再根據(jù)距離CO和半徑求解扇形弧線所對角的弧度。本文利用弧度和半徑求解扇形的弧線長度，即點A與B在這個圓的路徑長度。第四，依次重復(fù)上訴三個步驟，將剩余的斜率和隨機點組成的直線方程都計算完成，形成200個路徑長度。本文尋找出這200個長度值中最小值，該最小值所在的圓心即最短路徑所在圓的圓心。再運用相對誤差的方法驗證該圓心坐標(biāo)與固定圓圓心坐標(biāo)（25，25）的距離誤差大小。第五，本文再選取99個隨機點，重復(fù)上述四個步驟，測試總共100個隨機點的最短路徑所在圓的圓心坐標(biāo)與固定圓的誤差。

四、模型結(jié)果

從結(jié)果圖5可知，某一隨機點的不同路徑長度變化是有一定規(guī)律的，和斜率的變化有一致性。不同點的最短路徑所在圓的圓心坐標(biāo)展示在圖5(3)，可以看出，100個隨機點的最短路徑所在圓的圓心和固定圓的圓心距離相差不大，并從圖5(4)相對誤差分布圖中看出，大部分圓心與固定圓心的相對誤差是在0.01范圍內(nèi)，本次模擬中大部分隨機點的圓心坐標(biāo)相對誤差甚至小于0.005。這個結(jié)果表明任意隨機點的最短路徑所在圓心都是在固定圓的圓心。而固定圓的圓心就是假設(shè)前提下地球的球心。因此本文可以驗證，地球上任意兩點間的最短路徑就是該兩點與球心所構(gòu)成的大圓上劣弧。

圖5 組合結(jié)果圖(1)不同斜率下路徑長度；(2)斜率范圍圖；(3)不同隨機點最短路徑所在圓心分布圖；(4)不同隨機點最短路徑所在圓心與固定圓圓心相對距離誤差分布圖

五、課堂設(shè)計

根據(jù)前面驗證工作，本文可以確認(rèn)地球上任意兩點間的最短路徑是經(jīng)過兩點大圓上的劣弧長。課堂設(shè)計的思路可以參考球上大圓的數(shù)學(xué)性質(zhì)和驗證過程中采用的數(shù)學(xué)思想。

（一）最短路徑問題的提出

在現(xiàn)實生活中，人們喜歡省時省力的活動，選取交通線路時也是參照這一原則。尤其是飛機航線等路徑，這些路徑不用考慮地形等其他影響路徑因素，只需要考慮路徑長度問題。所以飛機路徑是常見的最短路徑的運用場合。

（二）證明最短路徑的存在形式

那么怎樣的路線才是最短的路線呢？借用上文中的圖1與圖3，給學(xué)生講解經(jīng)過兩點間的線在球面上繪制一圈后都會形成圓形，而這個圓形路線上，最短距離肯定是選取圓上的劣弧段。而不同圓的劣弧段是不同的，所以要計算不同的圓上劣弧段長度再進行長度的比較，選取最短長度。教師可以直接將模型結(jié)論展示給學(xué)生，通過這個數(shù)學(xué)模型證據(jù)，讓學(xué)生明白這個結(jié)論是準(zhǔn)確的。

（三）最短路徑的繪制

學(xué)生如何繪制兩點間的大圓是球上兩點間最短路徑問題應(yīng)用上必不可少的能力。繪制大圓，就得明白大圓在球上的數(shù)學(xué)規(guī)律。首先是大圓的圓心一定在球心上，或者是圓心的投影點在側(cè)視圖中兩個大圓的交點上；然后大圓的繪制是利用圓內(nèi)三角形的性質(zhì)來繪制，也就是用線段連接圓心和球上兩點，形成三角形，再利用圓心和半徑繪制大圓。

繪制大圓一般分為三種情況：一是兩點在一個已知大圓上；二是兩點在同一個南/北半球；三是兩點在不同南/北半球。

第一種情況，直接采用已知大圓來尋找最短路徑就行。已知大圓如赤道、經(jīng)線圈和晨昏線等。第二種情況，繪制的最短路徑如圖6所示，繪制方法如下：連接球內(nèi)點A與點B的連線，根據(jù)扇形中垂線原理，可知點C為三角形OAB中AB邊上的中點，OD線段為AB邊的中線延長線。根據(jù)點D為一個經(jīng)線圈上點，該經(jīng)線圈使得點A點B的經(jīng)線對稱，并且點D也在OD線段上，可得點ABD在球面的一個圓上，且該圓是以點O為圓心的大圓。第三種情況，繪制最短路徑就是連接不同半球的兩點形成的圓即是大圓，其劣弧就是最短路徑。原因是不同南北半球的點連線肯定要經(jīng)過赤道，球心就是赤道的圓心，該連線形成的圓面肯定會經(jīng)過球心，所以該圓肯定是大圓。

圖6 相同南/北半球兩點間最短路徑

（四）最短路徑的應(yīng)用

新課標(biāo)中關(guān)于最短路徑的考查內(nèi)容主要集中在最短路徑的判斷、行進方向的判斷。其中最短路徑的判斷和上文中路徑的繪制是相似的，包括路徑的位置，彎曲凹凸方向等等。學(xué)生能夠理解路徑凹凸方向和球心是相反方向，球心在赤道上，所以路徑的凹凸方向都是路徑凸向高緯度地區(qū)的形狀。另一個行進方向的問題，由于最短路徑都是曲線，行進方向是有變化的，所以最短路徑的行進方向判斷要分段判讀。在經(jīng)緯網(wǎng)地圖上判讀行進方向，只需要將最短路徑投影到經(jīng)緯網(wǎng)上，然后根據(jù)投影后的行進方向在經(jīng)緯網(wǎng)上的變化來判讀。在普通地圖或者是含有指北針的地圖上判斷，需要以指北針或者“上北下南，左西右東”口訣為參照，進行行進路線的投影，然后根據(jù)投影后的行進方向變化來判讀。

六、小結(jié)與反思

本文采用圖形結(jié)合講解的方式，幫助學(xué)生理解最短路徑知識點中蘊含的數(shù)學(xué)知識，更加容易理解和記憶知識點。

本文的意義在于，本文為地理教學(xué)地圖任務(wù)中提供了有力證據(jù)，說明教材中關(guān)于地球表面任意兩點的最短路徑分布問題。同時，根據(jù)球面任意兩個大圓之間的交點都是圓上平分點規(guī)律，教師可以指導(dǎo)學(xué)生利用赤道、經(jīng)線圈和晨昏線等大圓來繪制任意兩點之間的最短路徑，增加學(xué)生的地理實踐能力。