王昌輝 張紅杰 趙俊 王騰

(1.中國石油大學(華東)石油工程學院 2.中聯(lián)煤層氣有限責任公司-臨興神府項目指揮部)

0 引 言

水力壓裂作為一種能夠有效改善儲層條件的油氣增產手段，在過去的幾十年間發(fā)展迅速，并廣泛應用于致密氣、煤層氣及頁巖氣等非常規(guī)油氣資源的開發(fā)和增產當中[1-4]，其中水力裂縫的幾何形態(tài)是評價水力壓裂操作的關鍵。因此，能夠精確預測和控制水力裂縫的幾何形態(tài)是水力壓裂設計的主要內容。

早期的K.PERKINST等[5]和J.GEERTSMA等[6]提出了經典的PKN和KGD模型，他們假設巖石發(fā)生線彈性變形，流體在裂縫擴展方向發(fā)生一維線性流動，為以后的壓裂模擬奠定了基礎；徐加祥等[7]基于線彈性理論對縫間干擾進行了研究；D.KUMAR等[8]使用位移不連續(xù)方法模擬水力壓裂在地層中的起裂與擴展，得到裂縫周圍的應力分布；ZOU J.P.等[9]通過擴展有限元方法發(fā)現(xiàn)，儲層各向異性對裂縫的擴展有很大的影響；連志龍等[10]通過推導裂縫內部的壓降方程，模擬了地應力和流體特性等因素對水力裂縫擴展的影響。以上學者雖然對水力壓裂進行了大量研究，但其研究都基于線彈性理論，忽視了地層中的塑性變形對裂縫擴展的影響。

范白濤等[11]在對水力裂縫進行研究時發(fā)現(xiàn)，塑性變形顯著影響裂縫形態(tài)；姚軍等[12]通過研究發(fā)現(xiàn)，傳統(tǒng)的線彈性斷裂力學對于塑性地層的裂縫擴展不再適用，以彈塑性斷裂力學建立的擴展方法來描述塑性地層的裂縫擴展尤為重要。對于塑性地層的水力壓裂，部分學者對其進行了研究。WANG H.Y.[13-14]提出了非平面裂縫擴展模型來研究脆塑性地層中裂縫的起裂與擴展；M.NASSIR等[15]利用全牛頓彈塑性方法對三維地質模型進行求解，得出高應力差會增大水力壓裂的體積；WANG Y.等[16-17]和B.S.AADN?Y等[18]分別采用線彈性-軟化模型和理想彈塑性本構模型建立了起裂壓力解析模型，但他們并未對裂縫的擴展形態(tài)做進一步的解釋，同時將初始地應力考慮為各向同性，這對于實際彈塑性地層并不適用。

雖然上述學者的研究提高了人們對于塑性地層中水力裂縫擴展的認識，但是對于塑性應變對裂縫形態(tài)的影響研究不足，沒有考慮各因素對塑性應變的影響，對于塑性地層中裂縫形態(tài)擴展的解釋也不足。鑒于此，本文在前人研究的基礎上，對彈塑性地層中的水力壓裂進行數(shù)值模擬，通過與現(xiàn)場壓裂數(shù)據進行對比，驗證了模型的正確性；同時還利用工程實例進行參數(shù)分析，研究了抗拉強度和壓裂液排量對塑性應變及裂縫形態(tài)的影響。研究結果對于該區(qū)塊生產井的水力壓裂具有一定的指導意義。

1 彈塑性地層水力壓裂數(shù)學模型

水力壓裂數(shù)值模擬是一個復雜的流固耦合過程，它包括儲層巖石變形、裂縫擴展以及擴展過程中的流體流動，需要對其建立非線性耦合方程進行分析。在水力裂縫擴展過程中往往會產生塑性應變，而傳統(tǒng)的線彈性斷裂理論無法對其進行準確地描述，因此有必要利用彈塑性理論進行分析。假定儲層為各向均質理想彈塑性體，采用摩爾-庫倫模型描述水力裂縫擴展的塑性變形，其屈服函數(shù)通過主應力的形式表述為：

(1)

式中：σ1、σ3分別為最大、最小主應力，MPa；φ為內摩擦角，(°)；C0為儲層巖石的內聚力，MPa。

其塑性勢函數(shù)為：

(2)

式中：ψ為儲層巖石的膨脹角，(°)。

圖1 Cohesive單元模型起裂及擴展示意圖

在內聚力前端為未開裂區(qū)域，隨著壓裂液的不斷泵入，內聚力前端應力逐漸增大，當應力達到某一臨界值時，未開裂區(qū)起裂，裂縫繼續(xù)向前擴展。這里裂縫的起裂標準采用最大正應力準則，即任意方向上所受的力大于該方向所承受應力的臨界值時，Cohesive單元發(fā)生損傷，裂縫起裂，具體表達式為：

(3)

在內聚區(qū)尖端不斷向前擴展的過程中，內聚區(qū)尾端處的各處損傷也在逐步演化。當損傷演化達到一定程度時，裂縫面完全脫開，便形成了自由裂縫區(qū)。本文采用基于能量法的BK準則對Cohesive單元的損傷演化進行描述，其表達式為：

(4)

Cohesive單元在模擬裂縫擴展過程中，縫內的流體會分為法向流和切向流，如圖2所示。從圖2可以看出，在自由裂縫區(qū)流體以切向流的方式流動，而流體在內聚區(qū)以法向流的方式進行流動。水力裂縫不斷擴展，其裂縫寬度要遠遠小于縫長和縫高，因此縫內流體切向流動可以看作是在非常窄的通道中發(fā)生的層流，可以用潤滑理論[19]很好地描述這一行為，其控制方程為：

圖2 Cohesive單元中的流體流動

(5)

式中：ω為裂縫寬度，m；pf為縫內壓力，MPa；qf為裂縫中流體的流量，m3/s；μf為壓裂液的動態(tài)黏度，mPa·s。

泵壓的升高，縫壁面的應力增大，導致壓裂液不斷向地層濾失，從而影響有效應力，因此流體的濾失不可忽略。這里用流體在裂縫中的法向流表示上、下縫壁面的濾失[20]，其表達式為：

qt=ct(pf-pt)

(6)

qb=cb(pf-pb)

(7)

式中：qt和qb分別為上、下縫壁面的濾失體積量，m3/s；ct和cb分別為上、下縫壁面的濾失系數(shù)，m3/(Pa·s)；pt和pb分別為上、下縫壁面的孔隙壓力，MPa。

2 水力壓裂模型驗證

本文使用有限元軟件ABAQUS來模擬水力壓裂。為簡化模型，做出如下假設：

(1)采用平面模型來模擬無限大地層；

(2)地層為均質且各向同性的理想彈塑性多孔介質；

(3)地層初始飽和度為1，即孔隙內完全充滿流體。

2.1 幾何參數(shù)

采用ABAQUS軟件建立彈塑性地層水力壓裂二維平面擴展模型?？紤]到邊界效應，模型尺寸為500 m×250 m，視為無限大地層，如圖3所示。地層的彈性模量為41.05 GPa，泊松比為0.25，抗拉強度設置為0.1 MPa，斷裂能為4 000 N/m。地層看作各向均質同性的彈塑性土體，摩擦角為21.28°，膨脹角為25°，巖石的內聚力為0.85 MPa，在x方向作用最大水平主應力σH為10.35 MPa，在y方向作用水平最小主應力σh為7.20 MPa，在z方向作用垂直地應力σv為8.28 MPa。為防止數(shù)值模擬因為排量的迅速增大導致不收斂，壓裂排量在100 s內從0勻速增加到4.63×10-4m3/s，之后在這個排量上進行壓裂，隨著排量的增加會造成射孔段的憋壓。當縫內凈壓力達到巖石的破裂壓力時，巖石破裂，裂縫開始沿著最大主應力的方向進行擴展。

2.2 網格和邊界條件

對平面模型進行網格劃分，如圖3所示。土體單元采用考慮平面孔隙滲流的CPE4P單元，裂縫采用Cohesive單元進行模擬。為減少不必要的計算時間以及保證模型計算的穩(wěn)定性，采用過渡網格的形式。調節(jié)網格種子的疏密程度，即靠近裂縫周圍的網格密集，遠離裂縫的網格稀疏。在X和Y方向施加位移約束，孔隙比為34%，利用soils模塊進行水力壓裂的流固耦合分析。

圖3 二維平面應變模型網格劃分圖

2.3 模型可行性驗證

為了驗證ABAQUS軟件模擬水力壓裂的可行性，將該模型得到的井底壓力曲線與M.ROOSTAEI等[21]在弱固結砂巖中的數(shù)值模擬結果進行對比。文獻[21]基于平面應變假設，將地層視為各向均質，建立500 m×250 m的二維平面應變有限差分模型，模型最大水平主應力σH為10.35 MPa，最小水平主應力σh為7.20 MPa，垂向地應力為8.28 MPa，彈性模量為1.785 GPa，泊松比為0.3。

圖4為本文建立的水力壓裂模型井底壓力曲線與M.ROOSTAEI模型的計算結果對比。從圖4可以看出：ABAQUS模擬的井底壓力在1.2 s內迅速達到巖石的破裂壓力，為12 MPa，之后壓力驟降，穩(wěn)定在8.5 MPa；而文獻模擬的巖石破裂壓力為10.5 MPa，裂縫擴展壓力為8.45 MPa。二者在破裂壓力方面雖有一定的差距，但趨勢較為接近，裂縫擴展壓力吻合，驗證了本文模型的可行性及正確性。

圖4 本文數(shù)值模型與文獻計算結果對比

3 計算實例

LX-6井壓裂段為下石盒子組，區(qū)域局部構造不十分發(fā)育，通過鉆井取心及測井解釋發(fā)現(xiàn)該層段礦物成分以石英為主，黏土質量分數(shù)均值為18.3%，平均滲透率為0.47 mD，孔隙度為10.7%，屬于低孔低滲的致密砂巖儲層。因此有必要對其采用水力壓裂增產技術改善儲層滲流方式，以提高地層產能。表1為巖心試驗和測井解釋獲得的主要地質參數(shù)。

表1 LX-6井地質參數(shù)

圖5為LX-6井下石河子組巖心取樣。本節(jié)以LX-6井為工程背景，采用已經驗證的ABAQUS水力壓裂模型建立30 m×30 m×100 m的三維地質模型，以模擬該生產井的水力壓裂，如圖6所示。

圖5 LX-6井巖心取樣

圖6 LX-6井計算模型網格劃分示意圖

3.1 井底壓力對比

利用上述數(shù)據分別對彈性地層及彈塑性地層的水力壓裂進行數(shù)值模擬，得到兩種地層中井底壓力曲線，并與現(xiàn)場壓裂作業(yè)數(shù)據進行對比，結果如圖7所示。

圖7 彈性、彈塑性地層模擬與現(xiàn)場數(shù)據對比曲線

從圖7可以看出，彈塑性模型模擬的井底壓力與現(xiàn)場數(shù)據相差不大，而彈性模型得到的井底壓力與現(xiàn)場數(shù)據差異較大，說明將地層視為彈塑性可以很好地反映該區(qū)塊水力壓裂過程中的巖石響應。對比二者的井底壓力曲線可以看出，彈塑性模型中的巖石破裂壓力與裂縫擴展壓力均大于彈性模型。這是因為在彈塑性模型中，隨著裂縫的擴展，遠場應力與縫內流體壓力相互作用，在裂尖處發(fā)生應力集中現(xiàn)象，產生塑性變形(見圖8)，吸收部分能量，從而導致縫內憋壓。

圖8 裂尖塑性變形

3.2 裂縫擴展機理

圖9為彈性模型和彈塑性模型裂縫形態(tài)的對比結果。

圖9 彈性、彈塑性模型裂縫形態(tài)對比

從圖9可以看出，彈塑性模型的縫寬要大于彈性模型，而縫長小于彈性模型。這是因為隨著壓裂液的不斷注入，塑性應變區(qū)不斷向前擴展時，盡管發(fā)生延性卸載，但在縫壁面處積累了大量的塑性應變，阻礙了裂縫向地層深處延伸，進而使縫寬增加，導致裂縫呈現(xiàn)出短寬縫的特征。范白濤等[11]在數(shù)值模擬中也發(fā)現(xiàn)裂縫尖端出現(xiàn)塑性屈服，通過對比，他們還發(fā)現(xiàn)塑性變形會導致裂縫擴展壓力的增大，阻礙裂縫的擴展。因此，巖石的塑性變形對水力壓裂裂縫擴展的影響不可忽略，詳細研究各因素對彈塑性模型水力裂縫擴展的影響很有意義。

為了對裂縫擴展有更充分的認識，本文對彈塑性模型進行處理，隱藏裂縫周圍的土體單元，得到模擬的裂縫形態(tài)(見圖10a)。從圖10a可以看出，裂縫為豎向裂縫，這與現(xiàn)場得到的三維裂縫形態(tài)(見圖10b)一致。裂縫剖面為橢圓形，呈現(xiàn)出中間寬、兩邊窄的形態(tài)。這是因為隔層地應力相對于儲層來說較大，給裂縫向兩端擴展帶來更大的阻力。因此，裂縫寬度向上下隔層逐漸減小。對裂縫上半部分進行隱藏可以很好地看到裂縫兩側的土體位移情況，如圖11所示。

圖10 模擬的裂縫形態(tài)和現(xiàn)場觀測的裂縫形態(tài)

圖11中裂縫兩側的土體位移呈現(xiàn)出垂直于裂縫的對稱分布，并且遠離裂縫土體的位移逐漸減小。這主要是隨著壓裂液的泵入，縫內壓力增大，裂縫在垂向受到上下隔層的抑制，導致裂縫向橫向擴展，壓縮周圍土體，使得土體產生垂直于裂縫的位移。

圖11 裂縫周圍的土體位移

在對水力裂縫的擴展形態(tài)有了一定了解之后，接下來通過控制變量法對裂縫擴展進行一系列的參數(shù)敏感性分析，來研究各參數(shù)對巖石塑性變形以及水力裂縫擴展形態(tài)的影響。

3.3 抗拉強度對裂縫擴展的影響

為了探究巖石的抗拉強度對裂縫擴展的影響，采取控制變量的原則保持其他參數(shù)不變，依次改變抗拉強度為1.5、6.5和13.0 MPa，在300 s的注入時間下，得到不同抗拉強度下等效塑性應變、井底壓力、縫長及縫寬曲線，如圖12～圖16所示。

圖12 不同抗拉強度下的最大等效塑性應變曲線

圖13 不同抗拉強度下井底壓力曲線

圖14 不同抗拉強度下注入點縫寬隨時間的變化曲線

圖15 不同抗拉強度下縫長隨縫寬的變化曲線

圖16 不同抗拉強度下縫寬隨時間變化曲線

圖12為不同抗拉強度下的最大等效塑性應變曲線。由圖12可知，隨著巖石抗拉強度的增大，最大等效塑性應變增大。通過對比不同抗拉強度下的縫寬和縫長曲線可以看出，高抗拉強度的地層，裂縫長度減小，縫寬增加，巖石的破裂壓力和裂縫的擴展壓力均有所提高。這是因為巖石的塑性應變增大，裂縫向地層深處擴展受到抑制，導致縫內憋壓，隨著壓裂液的不斷泵入，裂縫向橫向擴展。因此，抗拉強度越大越容易形成短寬縫，抗拉強度越小越容易形成長窄縫。

3.4 壓裂液排量對裂縫擴展的影響

壓裂液的排量是水力壓裂過程中的一個重要參數(shù)。E.GOLOVIN等[22]發(fā)現(xiàn)高泵速會在井筒周圍產生多分支縫，隨后通過試驗觀察到縫長與排量呈負相關的關系。因此，壓裂液的排量直接控制著裂縫的擴展形態(tài)。通過控制變量的方法，改變壓裂液的排量，分別為0.001、0.005和0.010 m3/s，其他參數(shù)不變，進行300 s的數(shù)值模擬，得到不同排量下的等效塑性應變、井底壓力、縫長及縫寬曲線，如圖17～圖21所示。

圖17 不同排量下的最大等效塑性應變

圖18 不同排量下井底壓力曲線

圖19 不同排量下注入點縫寬隨時間的變化曲線

圖20 不同排量下注入點縫長隨時間的變化曲線

圖21 不同排量下注入點縫寬隨縫長的變化曲線

圖17為不同排量下的最大等效塑性應變曲線。由圖17可知，隨著排量的增加，巖石的最大等效塑性應變增大，表明裂縫的擴展受到抑制。但從圖19～圖21可以看出，高排量會使裂縫呈現(xiàn)出長寬縫的特點。結合井底壓力曲線可以看到，排量為0.010 m3/s時，裂縫擴展壓力會顯著增高，表明高排量導致的裂縫擴展大于等效塑性應變對裂縫擴展的阻礙作用。同時，由于高排量導致的等效塑性應變的增大，使得裂縫擴展必須在較高的能量下進行，這就導致了擴展壓力的增大。

4 結 論

(1)利用ABAQUS的soils模塊分別對彈性地層和彈塑性地層進行水力壓裂模擬，通過與現(xiàn)場壓力數(shù)據進行對比，發(fā)現(xiàn)將地層看作彈塑性體能夠很好地反映水力壓裂過程中的土體響應。

(2)水力壓裂裂縫擴展時會在裂尖處產生明顯的塑性應變，阻礙裂縫的擴展。增加抗拉強度，提高排量，均會使塑性應變增大。

(3)巖石的抗拉強度和壓裂液的排量能夠顯著影響裂縫的形態(tài)。巖石的抗拉強度越大，越容易形成“短寬縫”；排量越大，越容易形成“長寬縫”。但是壓裂液排量太大會造成裂縫的擴展壓力顯著提高，給壓裂作業(yè)帶來困難。

(4)巖石的破裂壓力和裂縫的擴展壓力受抗拉強度及排量的影響顯著。抗拉強度越大，排量越大，巖石的破裂壓力越大，裂縫的擴展壓力越大。