趙旭東，王 姍，魏俊潮

(1.運(yùn)城師范高等專科學(xué)校 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)系，山西 運(yùn)城 044000；2.揚(yáng)州大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 揚(yáng)州 225002)

本文中，R表示一個(gè)有單位元1的結(jié)合環(huán)。設(shè)a∈R，若存在b∈R，滿足

a=aba；b=bab；ab=ba，

則稱a是R的群可逆元，且稱b為a的群逆元。由文獻(xiàn)[1]知b是唯一的，記為a#。從而有

a=aa#a；a#=a#aa#；aa#=a#a。

用R#表示R的全體群可逆元的集合。

設(shè)*:R→R的一個(gè)雙射，若滿足條件：

(a*)*=a；(a+b)*=a*+b*；(ab)*=b*a*，?a,b∈R，

則稱R為一個(gè)對(duì)合環(huán)或*-環(huán)。

設(shè)R為*-環(huán)，a∈R，若存在c∈R，使得

a=aca；c=cac；(ac)*=ac；(ca)*=ca，

則稱a為R的Moore-Penrose可逆元，簡稱為MP-可逆元，稱c為a的Moore-Penrose逆元[2]，簡稱MP-逆，記為a+，由文獻(xiàn)[3]知c是唯一的。因此有

a=aa+a；a+=a+aa+；(aa+)*=aa+；(a+a)*=a+a。

用R+表示R的全體MP可逆元的集合。

設(shè)R為*-環(huán)，a∈R+。若a+=a*，則稱a為部分等距元[4]。用RPI表示R的全體部分等距元的集合。關(guān)于部分等距元的研究還可參見文獻(xiàn)[5-10]。

設(shè)R為*-環(huán)，a∈R#∩R+，若a#=a+，則稱a為EP元[11]。用REP表示R的全體EP元的集合。

設(shè)R為*-環(huán)，a∈R#∩R+，若a#=a+=a*，則稱a為強(qiáng)EP元[4,12]。用RSEP表示R的強(qiáng)EP元的集合。

文獻(xiàn)[4]定理2.1及定理2.2給出了部分等距元的很多刻畫，而定理2.3給出了部分等距的EP元，即強(qiáng)EP元的很多等價(jià)刻畫。本文主要目的是繼續(xù)刻畫部分等距元及強(qiáng)EP元。

引理1 設(shè)a∈R#∩R+。 1)若(a*)2=a+a*，則a∈RPI；2)若(a*)2=a*a+，則a∈RPI。

證明1)由于(a*)2=a+a*=a+(a+)*a*a*，

上式右乘(a#)*，得a*=a+(a+)*a*=a+，從而a∈RPI。

2)類似可證。

定理1 設(shè)a∈R#∩R+，則a∈RPI當(dāng)且僅當(dāng)(a#)*(a+)2=a+(a#)*a*。

證明先證必要性。假設(shè)a∈RPI，故a+=a*，從而

(a#)*(a+)2=(a#)*(a*)2=(a2a#)*=a*,

a+(a#)*a*=a*(a#)*a*=(aa#a)*=a*,

于是(a#)*(a+)2=a+(a#)*a*。

再證充分性。假設(shè)(a#)*(a+)2=a+(a#)*a*，兩邊右乘a*，得

(a#)*(a+)2a*=a+a*

給上式兩邊取*得

a(a+)*(a+)*a#=a(a+)*

再給上式同時(shí)左乘a#，注意到a(a+)*=a(a+aa+)*=a2a+(a+)*，則有

(a+)*(a+)*a#=(a+)*,

然后左乘aa*得

a(a+)*a#=a,

再同時(shí)右乘a，注意到(a+)*a#=(a+)*a+aa#，則有

a(a+)*=a2，

于是上式取*得 (a*)2=a+a*，由引理1知a∈RPI。

類似于定理1，可得如下定理。

定理2 設(shè)a∈R#∩R+，則a∈RPI當(dāng)且僅當(dāng)(a+)2(a#)*=a*(a#)*a+。

引理2 設(shè)a∈R#∩R+，x∈R，1)若(a+)2x=0，則a+x=0；

2)若x(a+)2=0，則xa+=0。

證明1)因?yàn)?a+)2x=0，所以a*a+x=(a*aa+)a+x=0，于是

a*a*(a+)*a+x=a*a+x=0，從而a*(a+)*a+x=(a#)*a*a*(a+)*a+x=0,所以有a+x=0。

同理可證2)。

定理3 設(shè)a∈R#∩R+，則a∈RPI當(dāng)且僅當(dāng)(a#)*(a+)2=a*(a#)*a+。

證明先證必要性

由于a∈RPI，故a+=a*，從而(a#)*(a+)2=(a#)*a*a+=a*(a#)*a+。

再證充分性。 假設(shè) (a#)*(a+)2=a*(a#)*a+，兩邊左乘(a*)2得a*(a+)2=(a*)2a+=(a*)2a(a+)2,由引理2知a*a+=(a*)2aa+=(a*)2,再由引理1可知a∈RPI。

引理3 設(shè)a∈R#∩R+，則a*(a#)*a+=a+=a+(a#)*a*。

證明由于

a*(a#)*a+=(aa#)*a+aa+=(a+a2a#)*a+=(a+a)*a+=a+aa+=a+。

同理可證a+(a#)*a*=a+。

推論1 設(shè)a∈R#∩R+，則下列條件等價(jià)：

1)a∈RPI；2)(a#)*(a+)2=a+；3)(a+)2(a#)*=a+。

證明這是定理2，定理3及引理3的直接推論。

引理4 設(shè)a∈R#∩R+，1)若a+(a#)*(a+)2=(a+)2，則(a#)*(a+)2=a+；

2)若(a+)2(a#)*a+=(a+)2，則(a+)2(a#)*=a+。

證明1)由于(a#)*=a+a(a#)*，因此由(a+)2=a+(a#)*(a+)2知

(a+)2=(a+)2a(a#)*(a+)2。

故由引理2知a+=a+a(a#)*(a+)2=(a#)*(a+)2。

同理可證2)。

定理4 設(shè)a∈R#∩R+，則a∈RPI當(dāng)且僅當(dāng)a+=a+(a#)*a+。

證明先證必要性。因?yàn)閍∈RPI，所以由推論7可知(a#)*(a+)2=a+,兩邊左乘a+得：a+(a#)*(a+)2=(a+)2，由引理2知a+(a#)*a+=a+。

再證充分性。假設(shè)a+=a+(a#)*a+，則(a+)2=a+(a#)*(a+)2，由引理4知 (a#)*(a+)2=a+，由推論1知a∈RPI。

引理5 設(shè)a∈R#∩R+，若a+a=(a#)*a+，則a∈RPI。

證明因?yàn)閍+a=(a#)*a+，所以a+=a+aa+=(a#)*a+a+，由推論1知a∈RPI。

觀察定理4，可得如下方程

x=x(a#)*a+

(1)

定理5 設(shè)a∈R#∩R+，則a∈RPI當(dāng)且僅當(dāng)方程(1)在集合xa={a,a#,a+,a*,(a#)*,(a+)*}中至少有一個(gè)解。

證明先證必要性。若a∈RPI，則由定理4知x=a+為一個(gè)解。

再證充分性

1)若x=a為解，則a=a(a#)*a+，左乘a+得a+a=(a#)*a+，由引理5知，a∈RPI；

2)若x=a#為解，則a#=a#(a#)*a+，左乘a2得a=a(a#)*a+，由1)知a∈RPI；

3)若x=a+為解，則a+=a+(a#)*a+，由定理4知a∈RPI；

4)若x=a*為解，則a*=a*(a#)*a+，由引理3知a*=a+，故a∈RPI；

5)若x=(a#)*為解，則(a#)*=(a#)*(a#)*a+，左乘(a*)2得a*=a*(a#)*a+，由4)知a∈RPI；

6)若x=(a+)*為解，則(a+)*=(a+)*(a#)*a+，左乘a*得a+a=a+a(a#)*a+=(a#)*a+，由引理5，a∈RPI。

定理6 設(shè)a∈R#∩R+，則a∈RSEP當(dāng)且僅當(dāng)方程x=(a#)*xa#在xa中至少有一個(gè)解。

證明先證必要性。假設(shè)a∈RSEP，則a#=a+=a*，則x=a為一個(gè)解。

再證充分性

1)若x=a為解，則a=(a#)*aa#，

右乘a得a2=(a#)*a，左乘a+a得a+a3=a+a(a#)*a=(a#)*a=a2，故a∈REP，從而a=(a#)*aa#=(a#)*aa+=(a#)*，從而a∈RSEP；

2)若x=a#為解，則a#=(a#)*a#a#，右乘a2得a=(a#)*aa#，由1)知a∈RSEP；

3)若x=a+為解，則a+=(a#)*a+a#，右乘a+a得a+=a+a+a，故aa+=aa+a+a，取*得aa+=a+a2a+，從而a=a+a2，故a∈REP。于是a#=a+，由2)知a∈RSEP；

4)若x=a*為解，則a*=(a#)*a*a#，右乘a+a得a*=a*a+a，取*得a=a+a2，故a∈REP，從而a*=(a#)*a*a#=(a#)*a*a+，由引理3知a*=a+。從而a∈RSEP；

5)若x=(a#)*為解，則(a#)*=(a#)*(a#)*a#，取*得a#=(a#)*a#a#，由2)知a∈RSEP；

6)若x=(a+)*為解，則(a+)*=(a#)*(a+)*a#，取*得a+=(a#)*a+a#，由3)知a∈RSEP。