張 雨，劉成林

（輕工過(guò)程先進(jìn)控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室（江南大學(xué)），江蘇無(wú)錫 214122）

0 引言

近些年來(lái)，多自主體系統(tǒng)的分布式協(xié)調(diào)控制引起了眾多學(xué)者的研究興趣，并得到了廣泛的應(yīng)用，如：多機(jī)器協(xié)調(diào)控制［1］、無(wú)人機(jī)編隊(duì)控制［2］、傳感器同步［3］等。

一致性問(wèn)題［4］是多自主體系統(tǒng)控制中的基本問(wèn)題，得到了深入的研究，并取得了廣泛的研究成果。自主體通過(guò)彼此協(xié)調(diào)合作進(jìn)行信息傳輸，根據(jù)控制協(xié)議改變自身的狀態(tài)，從而使得自主體的狀態(tài)值趨向于一致。此外，如果一致性的值為自主體初始狀態(tài)的平均值，則稱之為平均一致性問(wèn)題［5］。本文研究平均一致性跟蹤問(wèn)題：在控制協(xié)議約束下，每個(gè)自主體通過(guò)和相鄰自主體進(jìn)行信息傳輸最終收斂到參考輸入的平均值［6］。Liu 等［7］將干擾觀測(cè)器引入算法來(lái)抵消外部干擾，并用矩陣分析法得到固定拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)下自主體跟蹤參考輸入平均值的一致性收斂條件。鄭敏等［8］分析了自主體間存在時(shí)延的一致性問(wèn)題，運(yùn)用Routh 判據(jù)和Nyquist 判據(jù)得到強(qiáng)連通拓?fù)湎碌钠骄恢滦愿櫟臈l件。為了研究多自主體系統(tǒng)跟蹤時(shí)變參考輸入信號(hào)的平均值，Chen 等［9］提出了具有時(shí)變參考輸入的三階多自主體系統(tǒng)的一致性算法，分析出多自主體系統(tǒng)任意初始條件下追蹤參考輸入平均值的誤差大小。Kia 等［10］設(shè)計(jì)了連續(xù)時(shí)間的動(dòng)態(tài)平均一致性算法，運(yùn)用矩陣論方法得出了時(shí)變拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)下自主體跟蹤時(shí)變參考輸入平均值的誤差上界。Chen 等［11］研究了分布式不連續(xù)控制算法，采用非平滑分析和穩(wěn)定性分析給出了自主體在有限時(shí)間內(nèi)跟蹤時(shí)變參考輸入的平均值?；趦?nèi)部模型原則，Bai等［12］考察了動(dòng)態(tài)平均一致性跟蹤算法，給出了自主體跟蹤時(shí)變參考輸入平均值的充要條件。Moradian 等［13］運(yùn)用矩陣分析和微分方程分析比例-積分一致性算法在相同通信時(shí)延約束下跟蹤時(shí)變參考輸入平均值的收斂條件，該收斂性與時(shí)延相關(guān)。

由于網(wǎng)絡(luò)通信負(fù)載和帶寬的限制，多自主體系統(tǒng)間的信息傳輸數(shù)據(jù)需要進(jìn)行采樣和量化［14］。Zhang 等［15］研究了基于均勻量化器的一階多自主體系統(tǒng)的平均一致性跟蹤問(wèn)題，運(yùn)用矩陣分析得出了多自主體系統(tǒng)跟蹤定常參考輸入平均值的充要條件。Ceragioli 等［16］和Yu 等［17］采用均勻量化器分別證明了一階多自主體系統(tǒng)和混合階多自主體系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)平均一致性的收斂條件。Fang 等［18］提出了基于概率量化器的分布式控制算法，得到了在均方意義下多自主體系統(tǒng)狀態(tài)收斂到初始狀態(tài)的平均值。基于對(duì)數(shù)量化器，Wu 等［19］通過(guò)設(shè)計(jì)控制增益和量化精度實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)的平均一致性跟蹤。Liu等［20］和Bian 等［21］運(yùn)用矩陣分析證明了多自主體系統(tǒng)的平均一致性。

本文考察了具有時(shí)變參考輸入的多自主體系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)平均一致性跟蹤問(wèn)題。在已有的平均一致性跟蹤算法基礎(chǔ)上進(jìn)行了改進(jìn)，提出了一種新的比例-積分一致性算法，并分析了多自主體系統(tǒng)在強(qiáng)連通平衡拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)下的一致性問(wèn)題。利用Routh 判據(jù)和矩陣分析得到多自主體系統(tǒng)漸近收斂到參考輸入平均值的條件。由于自主體間信息傳輸數(shù)據(jù)進(jìn)行量化的必要性，運(yùn)用同樣方法得到了數(shù)據(jù)量化后多自主體系統(tǒng)的平均一致性跟蹤條件。

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 圖論

1.2 符號(hào)定義

R 代表實(shí) 數(shù)，b=(b1，b2，…，bn)T∈Rn×1代表n個(gè)變量bi，i∈V組成的列向量。In表示n階單位矩陣。

對(duì)于離 散時(shí)間函數(shù)q：Z →Rn×1，定義：‖q‖∞=sup{‖q(k)‖，k∈Z} 。

在本文中，若無(wú)特殊說(shuō)明，‖·‖等價(jià)于‖·‖2，代表二范數(shù)的值。

1.3 量化器

由于網(wǎng)絡(luò)通信負(fù)載和帶寬的限制，多自主體間的信息傳輸數(shù)據(jù)需要進(jìn)行采樣和量化。本文運(yùn)用均勻量化器來(lái)量化信息傳輸數(shù)據(jù)［22］，均勻量化器的量化函數(shù)定義如下：

1.4 重要引理

引理1［23］對(duì)于具有n個(gè)節(jié)點(diǎn)的有向平衡圖G～，下述結(jié)論成立：

1）0 是L的一個(gè)特征值，和1n分別為L(zhǎng)的左特征向量和右特征向量，滿足：

2）對(duì)于連通的圖G～，L有且僅有一個(gè)特征值為0。

引理2［24］對(duì)于有復(fù)系數(shù)的三次方程：

的根位于左半平面內(nèi)，當(dāng)且僅當(dāng)如下條件成立：

引理3［25］若矩陣D的特征值位于復(fù)平面的單位圓內(nèi)，則D的范數(shù)滿足如下性質(zhì)：

其中：ω∈(0，1)，τ＞1。ω和τ的取值可以借助LMI 工具箱求出：(ω，τ，Q)在取最小值時(shí)得到，且：

DTHD-H≤

2 問(wèn)題描述

假定多自主體系統(tǒng)由n個(gè)自主體構(gòu)成，自主體間都可以發(fā)送和接收信息。對(duì)于每個(gè)自主體，都可以存儲(chǔ)信息和處理信息，并且可以接收到一個(gè)隨時(shí)間變化的參考輸入信號(hào)。本文研究的核心是設(shè)計(jì)一個(gè)分布式算法，使得每個(gè)自主體漸近跟蹤參考輸入信號(hào)的平均值。即：xi(k) ∈R(i∈V)為自主體i的狀態(tài)，ui(k) ∈R(i∈V)為自主體i的參考輸入信號(hào)，本文的目標(biāo)是設(shè)計(jì)一個(gè)分布式算法，使得：

假定多自主體系統(tǒng)由n個(gè)自主體構(gòu)成，為了解決多自主體系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)平均一致性跟蹤問(wèn)題，文獻(xiàn)［9］中提出的分布式跟蹤算法如下：

其 中：xi(t) ∈R 表示自主體i(i∈V) 的狀態(tài)，pi(t) ∈R 和ηi(t) ∈R 表示自主體i(i∈V)的內(nèi)部狀態(tài)。

在文獻(xiàn)［9］中自主體xi(t)的基礎(chǔ)上，本文引進(jìn)比例環(huán)節(jié)更好地跟蹤參考輸入信號(hào)的平均值，改進(jìn)后的一致性跟蹤算法如下：

其中：kP和kI分別表示比例系數(shù)和積分系數(shù)。

多自主體間進(jìn)行數(shù)據(jù)通信時(shí)需要進(jìn)行采樣以減輕通信負(fù)載，將式（6）中的算法采用零階保持器化為如下離散形式：

3 一致性分析

3.1 無(wú)量化情況

令自主體的跟蹤誤差為：

定理1假定多自主體系統(tǒng)式（7）的通信拓?fù)鋱D是強(qiáng)連通平衡圖，多自主體系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)平均一致性跟蹤，當(dāng)且僅當(dāng)下列條件成立：

ai和bi對(duì)應(yīng)拉普拉斯矩陣L的第i個(gè)特征值λi的實(shí)部和虛部。同時(shí)，多自主體系統(tǒng)平均一致性跟蹤誤差的有界值為：

為考察采樣間隔φ的范圍，分析矩陣M特征值的分布情況。即：

式（13）可變換為：

其中：λi為拉普拉斯矩陣L的第i個(gè)特征值。

接下來(lái)，考察方程（16）的特征值的分布：

令λi=ai+i·bi（λi中的i表示第i個(gè)智能體，i·Im(·)中的i 表示虛數(shù)單位），其中：ai表示λi的實(shí)數(shù)部分，bi表示λi的虛數(shù)部分?？梢缘玫剑?/p>

其中：p1，i、q1，i、p2，i、q2，i、p3，i和q3，i的值在定理1 中已給出。

根據(jù)引理2 可知：滿足定理1 中的條件1），2）和3）時(shí)，方程（17）的根位于左半平面。

因此，當(dāng)且僅當(dāng)定理1 中的條件1）、2）和3）都成立時(shí)，方程（17）的根位于左半平面。根據(jù)方程（16）和方程（17）的雙線性變換可知：此時(shí)方程（16）的特征值位于復(fù)平面的單位圓內(nèi)。

采樣間隔φ滿足定理1 中的條件時(shí)，矩陣M的特征值位于復(fù)平面的單位圓內(nèi)。根據(jù)引理3 可知：‖M‖k≤τωk（τ和ω的取值在定理1 中給出）。

將方程（12）進(jìn)行迭代可得：

利用范數(shù)的性質(zhì)，可得式（20）：

推論1 假定多自主體系統(tǒng)式（7）的通信拓?fù)鋱D是無(wú)向連通圖，多自主體系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)平均一致性跟蹤，當(dāng)且僅當(dāng)下列條件成立：

λi為拉普拉斯矩陣L的第i個(gè)特征值。同時(shí)，多自主體系統(tǒng)平均一致性跟蹤誤差的有界值為：

其中：ω和τ的取值在定理1中已給出。

3.2 量化情況

考慮到自主體間的信息傳輸數(shù)據(jù)進(jìn)行量化的必要性，接下來(lái)研究式（6）在數(shù)據(jù)量化后的平均一致性跟蹤問(wèn)題：

自主體間信息傳輸數(shù)據(jù)需要進(jìn)行采樣，運(yùn)用零階保持器將式（22）中的算法化為如下離散形式：

在式（23）的作用下，系統(tǒng)可寫為：

聯(lián)立式（9）和式（24），得到：

式（25）用矩陣形式表示，得到：

定理2假定多自主體系統(tǒng)式（23）的通信拓?fù)鋱D是強(qiáng)連通平衡圖，多自主體系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)平均一致性跟蹤，當(dāng)且僅當(dāng)下列條件成立：

ai和bi對(duì)應(yīng)拉普拉斯矩陣L的第i個(gè)特征值λi的實(shí)部和虛部。同時(shí)，多自主體系統(tǒng)平均一致性跟蹤誤差的有界值為：

根據(jù)定理1 中的分析可知：當(dāng)采樣間隔φ滿足定理2 中的條件1），2）和3）時(shí)，矩陣M的特征值位于復(fù)平面的單位圓內(nèi)。根據(jù)引理3 可知：‖M‖k≤τω（kτ和ω的取值在定理2 中已給出）。

將式（27）進(jìn)行迭代可得：

推論2 假定多自主體系統(tǒng)式（23）的通信拓?fù)鋱D是無(wú)向連通圖，多自主體系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)平均一致性跟蹤，當(dāng)且僅當(dāng)下列條件成立：

λi為拉普拉斯矩陣L的第i個(gè)特征值。同時(shí)，多自主體系統(tǒng)平均一致性跟蹤誤差的有界值為：

其中：ω和τ的取值在定理2中已給出。

4 仿真結(jié)果

4.1 無(wú)量化情況

研究由4 個(gè)主體構(gòu)成的多自主體系統(tǒng)式（7），其拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是強(qiáng)連通平衡圖，如圖1。在拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖中，鄰接權(quán)重分別為：a12=1，a21=a23=1，a34=1，a42=1。計(jì)算可知，拉普拉斯矩陣L的特征值為：λ1=0，λ2=1，λ3=λ4=2。

圖1 四個(gè)自主體的連接拓?fù)銯ig.1 Interconnection topology of four agents

自主體參考輸入信號(hào)為：u1(k)=sin(0.1k)，u2(k)=cos(0.2k)，u3(k)=sin(0.15k)，u4(k)=0.1k。

比例系數(shù)kP和積分系數(shù)kI選定為：kP=kI=1。初始值選定為：x(0)=p(0)=η(0)=[ 1 2 3 4 ]T。根據(jù)定理1 中的條件可得：采樣間隔的臨界值為φ=0.423 2 s。當(dāng)φ=0.2 s，圖2 和圖3 展示了時(shí)變參考輸入的有界平均一致性跟蹤。當(dāng)φ＞0.423 2 s(φ=0.424 s)時(shí)，自主體無(wú)法實(shí)現(xiàn)有界平均一致性跟蹤，如圖4。

圖2 φ=0.2 s時(shí)無(wú)量化的自主體狀態(tài)軌跡Fig.2 State trajectories of agents without quantization when φ=0.2 s

圖3 φ=0.2 s時(shí)無(wú)量化的自主體狀態(tài)誤差Fig.3 State errors of agents without quantization when φ=0.2 s

圖4 φ=0.424 s時(shí)無(wú)量化的自主體狀態(tài)誤差Fig.4 State errors of agents without quantization when φ=0.424 s

4.2 量化情況

研究均勻量化器下的多自主體系統(tǒng)式（23），選擇和例1中同樣的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)、鄰接權(quán)重和采樣間隔。選取量化間隔為δ=0.5。多自主體的初始條件和例1 中的相同，即：參考輸入信號(hào) 為u1(k)=sin(0.1k)，u2(k)=cos(0.2k)，u3(k)=sin(0.15k)，u4(k)=0.1k。比例系數(shù)kp和積分系數(shù)kI選定為：kp=kI=1。初始為x(0)=p(0)=η(0)=[ 1 2 3 4 ]T。根據(jù)定理2 中的條件可得：采樣間隔的臨界值為φ=0.423 2 s。當(dāng)φ=0.2 s，圖5 和圖6 展示了時(shí)變參考輸入的有界平均一致性跟蹤。當(dāng)φ＞0.423 2 s(φ=0.424 s)時(shí)，自主體無(wú)法實(shí)現(xiàn)有界平均一致性跟蹤，如圖7。

圖5 φ=0.2 s時(shí)量化的自主體狀態(tài)軌跡Fig.5 State trajectories of agents with quantization when φ=0.2 s

圖6 φ=0.2 s時(shí)量化的自主體狀態(tài)誤差Fig.6 State errors of agents with quantization when φ=0.2 s

圖7 φ=0.424 s時(shí)量化的自主體狀態(tài)誤差Fig.7 State errors of agents with quantization when φ=0.424 s

5 結(jié)語(yǔ)

對(duì)于具有時(shí)變參考輸入的多自主體系統(tǒng)，本文研究了自主體跟蹤參考輸入信號(hào)平均值的一致性問(wèn)題。本文在原有算法的基礎(chǔ)上，提出了一種新的比例-積分一致性跟蹤算法，采用矩陣分析和Routh 判據(jù)得到多自主體系統(tǒng)漸近跟蹤參考輸入平均值的充要條件，該條件與采樣間隔和拉普拉斯矩陣特征值有關(guān)。由于自主體間通信數(shù)據(jù)進(jìn)行量化的必要性，運(yùn)用同樣方法得到了數(shù)據(jù)量化后的多自主體系統(tǒng)的平均一致性跟蹤條件，該條件與采樣間隔和拉普拉斯矩陣特征值相關(guān)。在未來(lái)的研究工作中，考察采樣周期是時(shí)變的情況，設(shè)計(jì)和分析控制算法，更具有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。