寇子琦， 劉海， 李壯飛， 王濱生， 宋天舒， 侯鋼領,3

（1.中核四○四有限公司第二分公司，蘭州 732850；2.哈爾濱工程大學，航天與建筑工程學院，哈爾濱 150001；3.哈爾濱工程大學煙臺研究(生)院，山東 煙臺 265599）

0 引言

矩形水箱結構廣泛地應用在航空航天、交通運輸、建筑橋梁和化工機械等眾多領域。隨著工藝改進、結構優(yōu)化和力學性能提升等方面需要，變截面水箱結構的應用日益廣泛[1]。與等截面矩形水箱結構相比，變截面水箱結構具有受力合理、安全可靠、經(jīng)濟性好等優(yōu)點，但其在變截面處存在應力突變、中心軸不連續(xù)等特點[2]，導致該結構理論力學面臨諸多困難。矩形水箱結構力學性能分析是該類結構應用和相關行業(yè)規(guī)范的理論依據(jù)[3]。等截面水箱結構的力學分析始于經(jīng)典的板殼理論。根據(jù)水箱結構特點，F(xiàn)aupel應用卡式定理的彈性變形法，提出了剛性框架模型，實現(xiàn)了該結構簡化力學分析[4]。針對剛性框架模型僅使用于長寬比大于4的情況，曾昭景等通過邊界位移連續(xù)，建立了矩形水箱結構的正向板、側向板的板組合分析模型[5]。該模型具有適合各種長寬比，可以給出在典型荷載作用下的理論近似解等優(yōu)點。但該方法還沒有推廣到變截面矩形水箱結構。

針對變截面水箱結構力學分析，國內(nèi)外眾多學者進行了廣泛的研究。在理論分析方面，Pope應用結構的對稱性，研究了變厚度薄板的力學性能[6]。Gangnon等應用Mindlin板理論，結合有限條方法，考慮剪切變形的影響，完成了變厚度矩形厚板力學分析[7]。Kashtalyan和Nemish考慮了可變厚度正交各向異性板的三維彎曲，并給出了該類結構的雙三角級數(shù)解[8]。Tash和Neya應用位移勢能函數(shù)，解決線性變厚度板的力學分析，但沒有考慮變截面板的突變性[9]?；趪鴥?nèi)外研究成果，針對變截面水箱結構具有變截面處應力突變和中心軸不連續(xù)峰分析難點，在曾昭景提出的板組合分析模型的基礎上，文中提出在變厚度板的變截面處的上部板、下部板施加不同的附加彎矩，應用經(jīng)典板理論的分段求解法和轉角變形連續(xù)性，給出了各種工況及其組合作用下該結構的理論近似解。結合某工程實例，與有限元數(shù)值模擬比較，驗證文中方法具有較好的計算精度。

1 工程概況

防護水箱是某退役核設施的外圍護結構，發(fā)揮著生物屏蔽，熱屏蔽和承重結構等作用。該結構平面為正方形，箱體由內(nèi)板、外板和肋板等鋼板焊接制成。鋼板采用A3低碳鋼，材料力學性能采用文獻[10]相關規(guī)定，基礎采用混凝土筏板。外板與外側防護砂廊接觸，內(nèi)板與堆芯結構相連，該結構剖面圖見圖1。其中水箱由不同厚度的上部水箱和下部水箱組成，屬于變截面水箱結構。上部水箱和下部水箱的截面厚度分別為H1和H2，H1和H2之比約為1:2。水箱各個部件之間采用焊接連接，屬于超靜定結構。

圖1 防護水箱結構示意圖

2 變截面水箱結構的理論分析

2.1 水箱結構計算模型

該水箱箱體屬于中空結構，如圖2所示。與結構整體尺寸相比，中空結構厚度為小尺寸變量。根據(jù)文獻[11,12]的彎曲等效剛度法，將中空結構等效為板的彎曲剛度。采用公式如下：

圖2 箱體板橫斷面尺寸

式中，E為彈性模量；H為水箱外緣厚度；h為水箱內(nèi)緣厚度；n為肋板板條數(shù)；t為截面肋板板厚；a為板長；μ為泊松比。

應用文獻力法分析，將水箱結構等效為板組合模型，4個面沿著各自的棱邊切開。相鄰板連接處等效為鉸接相連和約束彎矩組合，如圖3所示。此時，水箱結構是正向板、側向板的組合，并將水箱結構分析等效為板分析。

圖3 水箱結構簡化模型

在上部板①、下部板②交界位置，板截面厚度成階梯型變化，也就是板截面發(fā)生變化的地方。以x、x+dx坐標面截出的微元體為例，如圖4所示。采取如下等效處理：

圖4 變截面微元體

（2） 兩截面高度比H1:H2為1:2。則按等截面求解時，只需將左截面施加的合力矩取半。同理，合剪力也是如此。

采用上述等效后，變截面板處轉化為經(jīng)典薄板理論的中性軸偏移型板。因此，分別進行正向板、側向板的力學分析，并通過位移邊界的連續(xù)，可以給出變截面水箱結構的理論解。

2.2 正向板位移函數(shù)

正向板為兩對邊簡支一邊固定和一邊自由（SSCF）的連續(xù)板，承受線性荷載q（工況1）、側向沿線分布力矩 M（x）（工況 2）和沿 x=±a/2 承受力矩 M（y）（工況3）3個工況的組合，如圖5所示。此時，正向板撓度wf表示為：

圖5 正向板受力分解圖

（1） 工況1，線性均載q作用。在矩形板承受橫向荷載q時，板結構微分方程為：

將橫向載荷q（x,y）表示為三角級數(shù)成級數(shù)形式：

式中，am（x）為 q 在區(qū)間[0,d]的傅里葉系數(shù)。

應用分段求解法，將正向板分成上板①和下板②兩部分單獨求解。將式（4）代入式（3），得到分段撓度表達式

式中，Am、Hm。均為待定常數(shù)；DⅠ為上板彎曲剛度；DⅡ為下板彎曲剛度。

上述式（5）、式（6）在滿足板周邊邊界條件外[13]，還需保證在y=b處具有連續(xù)性，連續(xù)性條件見表1所示：

表1 線性荷載下變截面連續(xù)性條件

因此，可得到線性荷載作用下SSCF變厚度連續(xù)板的撓度表達式。此時，上板①和下板②在x=0,a處的轉角分別為：

式（7）、式（8）中的 S0、S01、S1、S2、S3、S4分別為 1、y、的傅里葉展開系數(shù)；S02、S03、S5、S6、S7、S8亦為上述 6 個非圓函數(shù)在區(qū)間[0,c]上對的傅里葉展開系數(shù)。

（2） 工況 2，彎矩 M（x）作用沿 y=b、d分布分別承受力矩如圖 5（b）所示。其撓度應滿足如式（9）齊次微分方程式：

與工況 1 解法相似，可得 MⅠ（x）、MⅡ（x）作用下?lián)隙冉夥謩e為

式（10）、式（11）需要滿足周邊邊界條件和變截面處的連續(xù)性條件。在y=b處，連續(xù)性條件如表2所示。

表2 均勻力偶作用下變截面連續(xù)性條件

此時，上板①和下板②在x=0,a處的轉角分別為：

下板②邊緣轉角：

（3） 工況3，受未知力偶M（y）作用。

采用雙三角級數(shù)解法將力偶M（y）表示成單三角級數(shù)形式，既有與工況2過程相似，將式（14）代入（9）式，

式（15）、式（16）需要滿足周邊邊界條件和變截面處的連續(xù)性條件。考慮結構對稱性，在y=b處，連續(xù)性條件如表3所示：

表3 未知力偶作用下變截面連續(xù)性條件

基于此，上板①中x=±a/2處的邊緣轉角為：

下板邊緣轉角：

2.3 側向板位移函數(shù)

側向板的受力可以分解為兩部分，一是受線性載荷q作用；二是對邊簡支分布力偶M（y）作用。應用箱體對稱，并應用箱體外壁周圍均受線性荷載作用，因此側向壁板受力分解與正向板的工況2、工況3相同?；诖?，側向板撓度wp可以表示為：

2.4 箱體結構的位移函數(shù)

在棱邊處，正向板的上部總轉角和下部總轉角分別為：

側向板的上部總轉角和下部總轉角分別為：

正向板和側向板在上部總轉角和下部總轉角數(shù)值相等，方向相反。即有

因此，可以計算給出各個參數(shù)。進而可以給出撓度、彎矩和應力等理論解。

3 計算結果驗證與力學分析

3.1 計算結果驗證

目前，以ANSYS、ABAQUS等為代表有限元軟件具有計算精度高，計算速度快、計算穩(wěn)定性好等優(yōu)點，可以分析各種復雜形狀、復雜工況結構力學性能[14]。

采用ANSYS軟件，建立變厚度水箱結構的有限元模型。應用水箱結構的對稱性取1/2水箱結構進行分析，采用shell181單元見圖6。

圖6 有限元模型

限于篇幅，選取下部板y=9.00（路徑1）和上部板y=3.43（路徑2）作為比較對象。解析解取前四項級數(shù)m=n=4，正向板和側向板的撓度和σx比較結果如圖7和圖8所示。

圖7 正向板的撓度和應力比較

圖8 側向板的撓度和應力比較

比較結果表明，文中方法與ANSYS計算結果在水箱結構的正向板和側向板的最大誤差僅為3.6%，計算精度很好。解析解的值均略大于數(shù)值模擬解，這是因為力學模型的相鄰板之間采用完全簡支的條件假設，而ANSYS模型采用實際情況，考慮棱角對轉動有一定的約束，因而使得求解的結果略大于有限元值。同樣原因，在棱角附近，理論解與數(shù)值模擬誤差較大。

3.2 力學性能分析

由于正向板的位移和應力比側向板大，且限于文章篇幅。在此，僅給出正向板的受力性能。

圖9 正向板的撓度和應力分布

正向板撓度從棱角到中間位置、從底部至頂部逐漸增大，最大值出現(xiàn)在箱頂中間位置，近似呈拋物體分布，數(shù)值為10.84mm。該計算結果符合三邊約束箱體的受力特點[15]。

箱板的應力呈對稱分布，其中應力σxf在箱體上部區(qū)域為壓應力，其余位置為拉應力。σxf壓應力最大值位于中心線與變截面交線下面，數(shù)值為-14.00MPa；拉應力最大值位于容器棱邊與變厚度截面重合位置，數(shù)值為38.60MPa。應力σyf在上部、下部的中心位置附件處均有負應力出現(xiàn)，其余位置均為正值。σyf壓應力最大值位于下板中心點，數(shù)值為-7.45MPa；而拉應力最大值位于箱體底部中心線處，數(shù)值為32.62MPa。即容器棱邊與變厚度截面重合區(qū)域和容器底部中心線區(qū)域均為高應力區(qū)。

4 結語

根據(jù)某退役核設施變截面水箱結構受力分析需要，通過在變厚度板的變截面處的上部板、下部板施加不同的附加彎矩，將變截面板中心軸的不連續(xù)等效為附加彎矩，可以較好地解決該類結構變截面處應力突變和中心軸不連續(xù)等難點。主要結論有：

（1） 將變截面板中心軸的不連續(xù)等效為附加彎矩，解決了該類結構變截面處應力突變和中心軸不連續(xù)等難點。因此，通過剛度等效，附加合彎矩、綜合剪力等經(jīng)典板分析方法，可以給出了變厚度水箱體的力學分析解析解。

（2） 應用文中方法，給出了某退役核設施變截面水箱結構的解析解，表明了其撓度和應力分布特點。正向板頂部棱角的中間位置撓度最大，是位移監(jiān)測監(jiān)控的關鍵點。而水箱棱邊、變厚度截面區(qū)域、和容器底部中心線區(qū)域均為高應力區(qū)，是應力應變控制的關鍵部位。相關的研究結論，對水箱結構安全評估、災害防御和結構健康監(jiān)測提供了良好的參考價值。

（3） 理論和仿真結果表明，承重水箱關鍵點位置的應力、應變均控制在允許屈服范圍內(nèi)，但考慮到輻照、腐蝕等環(huán)境因素影響，因此在后期施工和維護中應加強對關鍵點位置的變形和應變檢測。