寇子琦， 劉海， 李壯飛， 王濱生， 宋天舒， 侯鋼領(lǐng),3

（1.中核四○四有限公司第二分公司，蘭州 732850；2.哈爾濱工程大學(xué)，航天與建筑工程學(xué)院，哈爾濱 150001；3.哈爾濱工程大學(xué)煙臺研究(生)院，山東 煙臺 265599）

0 引言

矩形水箱結(jié)構(gòu)廣泛地應(yīng)用在航空航天、交通運(yùn)輸、建筑橋梁和化工機(jī)械等眾多領(lǐng)域。隨著工藝改進(jìn)、結(jié)構(gòu)優(yōu)化和力學(xué)性能提升等方面需要，變截面水箱結(jié)構(gòu)的應(yīng)用日益廣泛[1]。與等截面矩形水箱結(jié)構(gòu)相比，變截面水箱結(jié)構(gòu)具有受力合理、安全可靠、經(jīng)濟(jì)性好等優(yōu)點(diǎn)，但其在變截面處存在應(yīng)力突變、中心軸不連續(xù)等特點(diǎn)[2]，導(dǎo)致該結(jié)構(gòu)理論力學(xué)面臨諸多困難。矩形水箱結(jié)構(gòu)力學(xué)性能分析是該類結(jié)構(gòu)應(yīng)用和相關(guān)行業(yè)規(guī)范的理論依據(jù)[3]。等截面水箱結(jié)構(gòu)的力學(xué)分析始于經(jīng)典的板殼理論。根據(jù)水箱結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，F(xiàn)aupel應(yīng)用卡式定理的彈性變形法，提出了剛性框架模型，實(shí)現(xiàn)了該結(jié)構(gòu)簡化力學(xué)分析[4]。針對剛性框架模型僅使用于長寬比大于4的情況，曾昭景等通過邊界位移連續(xù)，建立了矩形水箱結(jié)構(gòu)的正向板、側(cè)向板的板組合分析模型[5]。該模型具有適合各種長寬比，可以給出在典型荷載作用下的理論近似解等優(yōu)點(diǎn)。但該方法還沒有推廣到變截面矩形水箱結(jié)構(gòu)。

針對變截面水箱結(jié)構(gòu)力學(xué)分析，國內(nèi)外眾多學(xué)者進(jìn)行了廣泛的研究。在理論分析方面，Pope應(yīng)用結(jié)構(gòu)的對稱性，研究了變厚度薄板的力學(xué)性能[6]。Gangnon等應(yīng)用Mindlin板理論，結(jié)合有限條方法，考慮剪切變形的影響，完成了變厚度矩形厚板力學(xué)分析[7]。Kashtalyan和Nemish考慮了可變厚度正交各向異性板的三維彎曲，并給出了該類結(jié)構(gòu)的雙三角級數(shù)解[8]。Tash和Neya應(yīng)用位移勢能函數(shù)，解決線性變厚度板的力學(xué)分析，但沒有考慮變截面板的突變性[9]?；趪鴥?nèi)外研究成果，針對變截面水箱結(jié)構(gòu)具有變截面處應(yīng)力突變和中心軸不連續(xù)峰分析難點(diǎn)，在曾昭景提出的板組合分析模型的基礎(chǔ)上，文中提出在變厚度板的變截面處的上部板、下部板施加不同的附加彎矩，應(yīng)用經(jīng)典板理論的分段求解法和轉(zhuǎn)角變形連續(xù)性，給出了各種工況及其組合作用下該結(jié)構(gòu)的理論近似解。結(jié)合某工程實(shí)例，與有限元數(shù)值模擬比較，驗(yàn)證文中方法具有較好的計(jì)算精度。

1 工程概況

防護(hù)水箱是某退役核設(shè)施的外圍護(hù)結(jié)構(gòu)，發(fā)揮著生物屏蔽，熱屏蔽和承重結(jié)構(gòu)等作用。該結(jié)構(gòu)平面為正方形，箱體由內(nèi)板、外板和肋板等鋼板焊接制成。鋼板采用A3低碳鋼，材料力學(xué)性能采用文獻(xiàn)[10]相關(guān)規(guī)定，基礎(chǔ)采用混凝土筏板。外板與外側(cè)防護(hù)砂廊接觸，內(nèi)板與堆芯結(jié)構(gòu)相連，該結(jié)構(gòu)剖面圖見圖1。其中水箱由不同厚度的上部水箱和下部水箱組成，屬于變截面水箱結(jié)構(gòu)。上部水箱和下部水箱的截面厚度分別為H1和H2，H1和H2之比約為1:2。水箱各個(gè)部件之間采用焊接連接，屬于超靜定結(jié)構(gòu)。

圖1 防護(hù)水箱結(jié)構(gòu)示意圖

2 變截面水箱結(jié)構(gòu)的理論分析

2.1 水箱結(jié)構(gòu)計(jì)算模型

該水箱箱體屬于中空結(jié)構(gòu)，如圖2所示。與結(jié)構(gòu)整體尺寸相比，中空結(jié)構(gòu)厚度為小尺寸變量。根據(jù)文獻(xiàn)[11,12]的彎曲等效剛度法，將中空結(jié)構(gòu)等效為板的彎曲剛度。采用公式如下：

圖2 箱體板橫斷面尺寸

式中，E為彈性模量；H為水箱外緣厚度；h為水箱內(nèi)緣厚度；n為肋板板條數(shù)；t為截面肋板板厚；a為板長；μ為泊松比。

應(yīng)用文獻(xiàn)力法分析，將水箱結(jié)構(gòu)等效為板組合模型，4個(gè)面沿著各自的棱邊切開。相鄰板連接處等效為鉸接相連和約束彎矩組合，如圖3所示。此時(shí)，水箱結(jié)構(gòu)是正向板、側(cè)向板的組合，并將水箱結(jié)構(gòu)分析等效為板分析。

圖3 水箱結(jié)構(gòu)簡化模型

在上部板①、下部板②交界位置，板截面厚度成階梯型變化，也就是板截面發(fā)生變化的地方。以x、x+dx坐標(biāo)面截出的微元體為例，如圖4所示。采取如下等效處理：

圖4 變截面微元體

（2） 兩截面高度比H1:H2為1:2。則按等截面求解時(shí)，只需將左截面施加的合力矩取半。同理，合剪力也是如此。

采用上述等效后，變截面板處轉(zhuǎn)化為經(jīng)典薄板理論的中性軸偏移型板。因此，分別進(jìn)行正向板、側(cè)向板的力學(xué)分析，并通過位移邊界的連續(xù)，可以給出變截面水箱結(jié)構(gòu)的理論解。

2.2 正向板位移函數(shù)

正向板為兩對邊簡支一邊固定和一邊自由（SSCF）的連續(xù)板，承受線性荷載q（工況1）、側(cè)向沿線分布力矩 M（x）（工況 2）和沿 x=±a/2 承受力矩 M（y）（工況3）3個(gè)工況的組合，如圖5所示。此時(shí)，正向板撓度wf表示為：

圖5 正向板受力分解圖

（1） 工況1，線性均載q作用。在矩形板承受橫向荷載q時(shí)，板結(jié)構(gòu)微分方程為：

將橫向載荷q（x,y）表示為三角級數(shù)成級數(shù)形式：

式中，am（x）為 q 在區(qū)間[0,d]的傅里葉系數(shù)。

應(yīng)用分段求解法，將正向板分成上板①和下板②兩部分單獨(dú)求解。將式（4）代入式（3），得到分段撓度表達(dá)式

式中，Am、Hm。均為待定常數(shù)；DⅠ為上板彎曲剛度；DⅡ?yàn)橄掳鍙澢鷦偠取?/p>

上述式（5）、式（6）在滿足板周邊邊界條件外[13]，還需保證在y=b處具有連續(xù)性，連續(xù)性條件見表1所示：

表1 線性荷載下變截面連續(xù)性條件

因此，可得到線性荷載作用下SSCF變厚度連續(xù)板的撓度表達(dá)式。此時(shí)，上板①和下板②在x=0,a處的轉(zhuǎn)角分別為：

式（7）、式（8）中的 S0、S01、S1、S2、S3、S4分別為 1、y、的傅里葉展開系數(shù)；S02、S03、S5、S6、S7、S8亦為上述 6 個(gè)非圓函數(shù)在區(qū)間[0,c]上對的傅里葉展開系數(shù)。

（2） 工況 2，彎矩 M（x）作用沿 y=b、d分布分別承受力矩如圖 5（b）所示。其撓度應(yīng)滿足如式（9）齊次微分方程式：

與工況 1 解法相似，可得 MⅠ（x）、MⅡ（x）作用下?lián)隙冉夥謩e為

式（10）、式（11）需要滿足周邊邊界條件和變截面處的連續(xù)性條件。在y=b處，連續(xù)性條件如表2所示。

表2 均勻力偶作用下變截面連續(xù)性條件

此時(shí)，上板①和下板②在x=0,a處的轉(zhuǎn)角分別為：

下板②邊緣轉(zhuǎn)角：

（3） 工況3，受未知力偶M（y）作用。

采用雙三角級數(shù)解法將力偶M（y）表示成單三角級數(shù)形式，既有與工況2過程相似，將式（14）代入（9）式，

式（15）、式（16）需要滿足周邊邊界條件和變截面處的連續(xù)性條件?？紤]結(jié)構(gòu)對稱性，在y=b處，連續(xù)性條件如表3所示：

表3 未知力偶作用下變截面連續(xù)性條件

基于此，上板①中x=±a/2處的邊緣轉(zhuǎn)角為：

下板邊緣轉(zhuǎn)角：

2.3 側(cè)向板位移函數(shù)

側(cè)向板的受力可以分解為兩部分，一是受線性載荷q作用；二是對邊簡支分布力偶M（y）作用。應(yīng)用箱體對稱，并應(yīng)用箱體外壁周圍均受線性荷載作用，因此側(cè)向壁板受力分解與正向板的工況2、工況3相同?；诖?，側(cè)向板撓度wp可以表示為：

2.4 箱體結(jié)構(gòu)的位移函數(shù)

在棱邊處，正向板的上部總轉(zhuǎn)角和下部總轉(zhuǎn)角分別為：

側(cè)向板的上部總轉(zhuǎn)角和下部總轉(zhuǎn)角分別為：

正向板和側(cè)向板在上部總轉(zhuǎn)角和下部總轉(zhuǎn)角數(shù)值相等，方向相反。即有

因此，可以計(jì)算給出各個(gè)參數(shù)。進(jìn)而可以給出撓度、彎矩和應(yīng)力等理論解。

3 計(jì)算結(jié)果驗(yàn)證與力學(xué)分析

3.1 計(jì)算結(jié)果驗(yàn)證

目前，以ANSYS、ABAQUS等為代表有限元軟件具有計(jì)算精度高，計(jì)算速度快、計(jì)算穩(wěn)定性好等優(yōu)點(diǎn)，可以分析各種復(fù)雜形狀、復(fù)雜工況結(jié)構(gòu)力學(xué)性能[14]。

采用ANSYS軟件，建立變厚度水箱結(jié)構(gòu)的有限元模型。應(yīng)用水箱結(jié)構(gòu)的對稱性取1/2水箱結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，采用shell181單元見圖6。

圖6 有限元模型

限于篇幅，選取下部板y=9.00（路徑1）和上部板y=3.43（路徑2）作為比較對象。解析解取前四項(xiàng)級數(shù)m=n=4，正向板和側(cè)向板的撓度和σx比較結(jié)果如圖7和圖8所示。

圖7 正向板的撓度和應(yīng)力比較

圖8 側(cè)向板的撓度和應(yīng)力比較

比較結(jié)果表明，文中方法與ANSYS計(jì)算結(jié)果在水箱結(jié)構(gòu)的正向板和側(cè)向板的最大誤差僅為3.6%，計(jì)算精度很好。解析解的值均略大于數(shù)值模擬解，這是因?yàn)榱W(xué)模型的相鄰板之間采用完全簡支的條件假設(shè)，而ANSYS模型采用實(shí)際情況，考慮棱角對轉(zhuǎn)動(dòng)有一定的約束，因而使得求解的結(jié)果略大于有限元值。同樣原因，在棱角附近，理論解與數(shù)值模擬誤差較大。

3.2 力學(xué)性能分析

由于正向板的位移和應(yīng)力比側(cè)向板大，且限于文章篇幅。在此，僅給出正向板的受力性能。

圖9 正向板的撓度和應(yīng)力分布

正向板撓度從棱角到中間位置、從底部至頂部逐漸增大，最大值出現(xiàn)在箱頂中間位置，近似呈拋物體分布，數(shù)值為10.84mm。該計(jì)算結(jié)果符合三邊約束箱體的受力特點(diǎn)[15]。

箱板的應(yīng)力呈對稱分布，其中應(yīng)力σxf在箱體上部區(qū)域?yàn)閴簯?yīng)力，其余位置為拉應(yīng)力。σxf壓應(yīng)力最大值位于中心線與變截面交線下面，數(shù)值為-14.00MPa；拉應(yīng)力最大值位于容器棱邊與變厚度截面重合位置，數(shù)值為38.60MPa。應(yīng)力σyf在上部、下部的中心位置附件處均有負(fù)應(yīng)力出現(xiàn)，其余位置均為正值。σyf壓應(yīng)力最大值位于下板中心點(diǎn)，數(shù)值為-7.45MPa；而拉應(yīng)力最大值位于箱體底部中心線處，數(shù)值為32.62MPa。即容器棱邊與變厚度截面重合區(qū)域和容器底部中心線區(qū)域均為高應(yīng)力區(qū)。

4 結(jié)語

根據(jù)某退役核設(shè)施變截面水箱結(jié)構(gòu)受力分析需要，通過在變厚度板的變截面處的上部板、下部板施加不同的附加彎矩，將變截面板中心軸的不連續(xù)等效為附加彎矩，可以較好地解決該類結(jié)構(gòu)變截面處應(yīng)力突變和中心軸不連續(xù)等難點(diǎn)。主要結(jié)論有：

（1） 將變截面板中心軸的不連續(xù)等效為附加彎矩，解決了該類結(jié)構(gòu)變截面處應(yīng)力突變和中心軸不連續(xù)等難點(diǎn)。因此，通過剛度等效，附加合彎矩、綜合剪力等經(jīng)典板分析方法，可以給出了變厚度水箱體的力學(xué)分析解析解。

（2） 應(yīng)用文中方法，給出了某退役核設(shè)施變截面水箱結(jié)構(gòu)的解析解，表明了其撓度和應(yīng)力分布特點(diǎn)。正向板頂部棱角的中間位置撓度最大，是位移監(jiān)測監(jiān)控的關(guān)鍵點(diǎn)。而水箱棱邊、變厚度截面區(qū)域、和容器底部中心線區(qū)域均為高應(yīng)力區(qū)，是應(yīng)力應(yīng)變控制的關(guān)鍵部位。相關(guān)的研究結(jié)論，對水箱結(jié)構(gòu)安全評估、災(zāi)害防御和結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測提供了良好的參考價(jià)值。

（3） 理論和仿真結(jié)果表明，承重水箱關(guān)鍵點(diǎn)位置的應(yīng)力、應(yīng)變均控制在允許屈服范圍內(nèi)，但考慮到輻照、腐蝕等環(huán)境因素影響，因此在后期施工和維護(hù)中應(yīng)加強(qiáng)對關(guān)鍵點(diǎn)位置的變形和應(yīng)變檢測。