李 聰，王德倫

（大連理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，遼寧大連 116024）

0 引言

軸承目前被廣泛應(yīng)用于各類機(jī)械產(chǎn)品，例如高端精密加工機(jī)床等各種高端重大設(shè)備中[1-2]。軸承已經(jīng)成為了機(jī)械設(shè)備的基礎(chǔ)與核心部件，其可靠性和回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的精度與主機(jī)的可靠性和工作精度息息相關(guān)[3-4]。而軸承的回轉(zhuǎn)精度又受到多種因素的影響。因此，建立軸承回轉(zhuǎn)誤差模型，研究各種因素對(duì)軸承回轉(zhuǎn)精度的影響，對(duì)提高軸承回轉(zhuǎn)精度，指導(dǎo)軸承設(shè)計(jì)制造與裝配具有重要理論意義。

楊小高等[5]研究了加工誤差因素對(duì)油膜軸承的影響。涂文兵[6]從表面波紋度的角度分析了對(duì)軸承振動(dòng)的影響。張魁[7]以圓柱滾子軸承為研究對(duì)象，研究了元件波紋度對(duì)圓柱滾子軸承振動(dòng)特性的影響。河南科技大學(xué)石文祥[8]研究了軸承旋轉(zhuǎn)的精度，分析了滾道幾何誤差與軸承回轉(zhuǎn)精度二者之間的關(guān)系。王寶坤，陳觀慈等[9]建立了圓柱滾子軸承二自由度靜力學(xué)模型，研究了軸承元件幾何誤差對(duì)軸承回轉(zhuǎn)精度以及載荷分布的影響。吳柏華等[10]分析了工況條件對(duì)于軸承回轉(zhuǎn)精度的影響。上述研究分析了多種影響因素對(duì)于軸承靜態(tài)與動(dòng)態(tài)精度的影響，但是大多是從三自由度軸承模型的角度對(duì)軸承回轉(zhuǎn)精度進(jìn)行分析，且對(duì)軸承的角擺誤差分析較少，對(duì)于軸承各元件幾何誤差對(duì)于軸承回轉(zhuǎn)精度影響研究較少。在建立軸承回轉(zhuǎn)精度模型時(shí)大都對(duì)于軸承元件幾何誤差進(jìn)行簡(jiǎn)化處理，或者直接將零件進(jìn)行理想化建模，缺少對(duì)于真實(shí)幾何誤差對(duì)于軸承回轉(zhuǎn)精度的研究。

綜上，本文以深溝球軸承為例，基于軸承零件幾何運(yùn)動(dòng)方程與力平衡方程，將軸承零件的物理屬性、幾何誤差與工況載荷因素考慮在內(nèi)，建立深溝球軸承六自由度回轉(zhuǎn)誤差模型。

1 軸承回轉(zhuǎn)精度模型建立

1.1 軸承溝道幾何形狀描述

深溝球軸承的溝道曲面可以看作是滾道截面繞軸承軸線旋轉(zhuǎn)得到的圓弧輪廓[11]。因此滾道的曲面輪廓上任一點(diǎn)Pij都可以通過(guò)3 個(gè)參數(shù)進(jìn)行描述：圓弧點(diǎn)處的軸向截面角θ、圓弧點(diǎn)夾角φ與圓弧點(diǎn)處的曲率半徑。因此，可以通過(guò)擬合實(shí)際誤差滾道各截面的采樣點(diǎn)來(lái)描述深溝球軸承滾道的幾何形狀。

設(shè)點(diǎn)Pij(xij,yij,zij)是軸承軸向截面滾道上的一點(diǎn)，如圖1 所示。用測(cè)量?jī)x對(duì)軸承滾道輪廓進(jìn)行采樣，得到其坐標(biāo)值。設(shè)該截面的溝道曲率中心坐標(biāo)為（a，b，c），則有:

圖1 軸承溝道擬合原理

式中：L為溝道曲率中心到外圈軸線的距離；θ為軸向截面的夾角；Z為溝道曲率中心在固定坐標(biāo)系下的軸向坐標(biāo)。

令Pij(xij,yij,zij)為在軸承(φ,θ)處截面溝道曲面處坐標(biāo)，r為在該點(diǎn)處測(cè)得的曲率半徑。再由上面求得的在軸承θ處截面的曲率中心坐標(biāo)，便可得到誤道曲面G的函數(shù)如下：

1.2 空間運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系的建立

以外滾道建立全局固定坐標(biāo)系Of Xf Yf Zf和內(nèi)滾道建立局部坐標(biāo)系On Xn Yn Zn，以滾動(dòng)體圓心建立滾動(dòng)體坐標(biāo)系Og Xg Yg Zg，坐標(biāo)系原點(diǎn)分別為Of, On, Og，如圖2 所示。

圖2 軸承空間坐標(biāo)系建立

1.3 滾道曲面建立

通過(guò)圓度儀測(cè)量得到滾道幾何誤差數(shù)據(jù)，對(duì)測(cè)量得到的數(shù)據(jù)點(diǎn)(θ,φ,r)進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，轉(zhuǎn)化為參數(shù)平面與（x，y，z）對(duì)應(yīng)關(guān)系，然后進(jìn)行曲面擬合，如圖4所示。

圖3 內(nèi)滾道幾何誤差檢測(cè)

圖4 內(nèi)滾道誤差放大1 000倍后滾道曲面

式中：Pij為各個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)；Bi,3(φ)、Bj,3(θ)分別為節(jié)點(diǎn)向量φ、θ的3階樣條基函數(shù)。

滾道曲面及其法線如圖5 所示。內(nèi)滾道局部坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)在固定坐標(biāo)系下的方向矢量為ROn，在固定坐標(biāo)系下點(diǎn)P的坐標(biāo)可用下式表示：

圖5 滾道曲面及其法線

對(duì)上式求偏導(dǎo)，便可求得點(diǎn)P在兩個(gè)方向上的切向量為：

通過(guò)對(duì)兩個(gè)切向量進(jìn)行叉乘然后單位化，便可求得點(diǎn)P處的法向量如下：

同樣的方法對(duì)外溝道曲面進(jìn)行曲面擬合。外溝道曲面在固定坐標(biāo)系Of Xf Yf Zf下的誤差曲面方程和以及任一點(diǎn)的法向量如下：

1.4 幾何位移方程

（1）滾動(dòng)體與外滾道位移方程建立

滾動(dòng)體與外滾道位姿關(guān)系如圖6 所示?；A(chǔ)坐標(biāo)系Of Xf Yf Zf固定于軸承外滾道，外滾道曲面由前面的曲面擬合已知為ΣPnf，已知滾動(dòng)體在基礎(chǔ)坐標(biāo)系下的初始位置為Rg(xg,yg,zg)，由公式可求得滾動(dòng)體與外滾道的近似接觸角φ：

圖6 滾動(dòng)體與外滾道位姿關(guān)系

位置角θ：

由近似接觸角φ與近似位置角θ可在外滾道擬合曲面P搜索確定最大接觸點(diǎn)Rw，定義接觸位置變形量為δw，接觸點(diǎn)的單位方向矢量為Nw，則滾動(dòng)體與外滾道的位移方程為：

由方程可以求得δw，若δw＜0，則滾動(dòng)體與外滾道未接觸，若δw＞0，則滾動(dòng)體與外滾道接觸，且變形量為δw。

（2）滾動(dòng)體與內(nèi)滾道位移方程建立

滾動(dòng)體與內(nèi)滾道位姿關(guān)系如圖7所示。

圖7 滾動(dòng)體與內(nèi)滾道位姿關(guān)系

坐標(biāo)系On Xn Yn Zn固定于軸承內(nèi)滾道，內(nèi)滾道曲面已知為ΣPnf。已知滾動(dòng)體在基礎(chǔ)坐標(biāo)系下的位置為Rgf:(xg,yg,zg)，根據(jù)坐標(biāo)變換矩陣可求得滾動(dòng)體在運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系下坐標(biāo)：

式中：Bfn為由基礎(chǔ)坐標(biāo)系向內(nèi)圈運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系的坐標(biāo)變換矩陣；ROn為內(nèi)滾道局部坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)在固定坐標(biāo)系下的方向矢量。

由下式可求得滾動(dòng)體與內(nèi)滾道的位置角θ：

并可以求得內(nèi)滾道在該位置角下在運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系的曲率中心坐標(biāo)(Xin,Yin,Zin)，進(jìn)而求得初始接觸角φ：

由初始接觸角φ與初始位置角θ可在內(nèi)滾道擬合曲面ΣPnf搜索確定最大接觸點(diǎn)Rnn，定義接觸位置變形量為δn，接觸點(diǎn)的單位方向矢量為Nnn，則滾動(dòng)體與內(nèi)滾道的位移方程為：

由方程可以求得δn，若δn＞0，則滾動(dòng)體與內(nèi)滾道接觸，且變形量為δn。

滾動(dòng)體與接觸點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系On Xn Yn Zn下的單位方向矢量為Nnn，通過(guò)坐標(biāo)變換方程轉(zhuǎn)化為固定坐標(biāo)系Of Xf Yf Zf下的單位方向矢量為Nn：

式中：Bnf為由內(nèi)圈運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系向基礎(chǔ)坐標(biāo)系的坐標(biāo)變換矩陣。

（3）保持架與滾動(dòng)體位移方程

本部分只考慮保持架兜孔與滾動(dòng)體間的法向力與摩擦力，并且假設(shè)保持架始終保持著理想轉(zhuǎn)動(dòng)，保兜孔與滾動(dòng)體的位置關(guān)系如圖8所示。

圖8 保持架兜孔與滾動(dòng)體的位置關(guān)系系

保持架質(zhì)心Rb、滾動(dòng)體質(zhì)心Rgi和兜孔質(zhì)心Rhi三者的幾何位移方程如下：

兜孔與滾動(dòng)體i在接觸點(diǎn)的法矢為兩者質(zhì)心的矢量差Nb，變形量δbi等于兜孔半徑與滾動(dòng)體半徑差減去滾動(dòng)體質(zhì)心與兜孔質(zhì)心的距離的差值，且變形量δbi等于結(jié)果的絕對(duì)值，如下所示：

式中：Rb為保持架質(zhì)心位置；rb為保持架兜孔半徑；rg為滾動(dòng)體半徑；Rp為兜孔半徑與滾動(dòng)體半徑差值減去滾動(dòng)體質(zhì)心和兜孔質(zhì)心的距離的值；δbi為接觸點(diǎn)處的彈性變形量。

1.5 受力平衡方程

內(nèi)滾道與滾動(dòng)體受力如圖9 所示。基于前文的幾何位移方程，建立內(nèi)滾道和滾動(dòng)體的力平衡方程組。

圖9 內(nèi)滾道與滾動(dòng)體受力示意圖

滾動(dòng)體與內(nèi)外滾道之間的接觸剛度Kn可由下式求得：

式中：為根據(jù)曲率差函數(shù)值通過(guò)查表得到的參數(shù)；Σρ為曲率和函數(shù)值。

由幾何位移方程可求得各滾動(dòng)體與軸承內(nèi)外圈的接觸情況與變形量δw、δn，則可求得各滾動(dòng)體與內(nèi)外滾道的法向接觸力與摩擦力：

根據(jù)位移方程求得各接觸位置的變形量，便可分別列出滾動(dòng)體與內(nèi)滾道的力平衡方程組。某一滾動(dòng)體i受內(nèi)外滾道和保持架的作用力，建立該滾動(dòng)體的力平衡方程如下：

同理，在固定坐標(biāo)系下，內(nèi)滾道的力平衡方程如下：

式中：(Fnx,Fny,Fnz)(Fwx,Fwy,Fwz)分別為滾子與內(nèi)外滾道接觸力在固定坐標(biāo)系下X、Y、Z方向的分力；(Tnx,Tny,Tnz)(Twx,Twy,Twz)分別為滾子與內(nèi)外滾道摩擦力在固定坐標(biāo)系下X、Y、Z方向的分力；(Fx,Fy,Fz,Mx,My)為內(nèi)圈的載荷；Fg為滾子對(duì)內(nèi)滾道的反作用力；Tg為滾子對(duì)內(nèi)滾道的反向摩擦力；Rn為滾子與內(nèi)滾道接觸點(diǎn)的矢量在XY平面投影的長(zhǎng)度；θi為各滾子的位置角。

2 模型求解

上述方程組中的滾動(dòng)體的位置Rgi與內(nèi)外溝道的誤差曲面ΣP以及滾道在固定坐標(biāo)系下的位姿有關(guān)，而且載荷接觸剛度Kn為非線性，因此無(wú)法求解精確數(shù)值解，需要通過(guò)優(yōu)化求解，過(guò)程如下。

（1）首先擬合得到滾道誤差曲面的擬合方程Σpw和ΣPnf，并給定滾動(dòng)體初始值(xgi,ygi,zgi)與內(nèi)滾道的初始位姿( xn,yn,zn,αn,βn)。

（2）通過(guò)軸承各元件間的位移方程，求解出滾動(dòng)體質(zhì)心位置Rgi以及內(nèi)滾道的質(zhì)心位置Rn，各滾動(dòng)體與內(nèi)外圈滾道和保持架的接觸情況，發(fā)生接觸位置處的變形量與法矢(δni,Nni,δwi,Nwi)。

（3） 根 據(jù) （2） 求 得 的 接 觸 變 形 量 與 方 向(δni,Nni,δwi,Nwi)，求得接觸力與摩擦力，代入滾動(dòng)體受力平衡方程，計(jì)算力不平衡量，根據(jù)平衡量修正滾動(dòng)體位姿參數(shù)(xgi,ygi,zgi)，返回第（2）步。當(dāng)不平衡量滿足精度要求時(shí)停止迭代。

（4）第（3）步的所有滾動(dòng)體不平衡量精度均滿足要求后，根據(jù)位移方程，確定滾動(dòng)體與內(nèi)滾道的接觸變形量與接觸點(diǎn)法矢(δni,Nni)。

（5）根據(jù)（4）求得的變形量與方向(δni,Nni)求得各滾子對(duì)內(nèi)圈的接觸力與摩擦力，代入內(nèi)圈受力平衡方程，根據(jù)力不平衡量修正內(nèi)圈位姿參數(shù)( xn,yn,zn,αn,βn)，返回第（2）步。直至內(nèi)圈不平衡量達(dá)到求解精度，最終計(jì)算求得的內(nèi)圈位姿即為該角度下的求解結(jié)果。

3 算例分析

以6312 深溝球軸承為例，其參數(shù)如表1 所示。通過(guò)改變滾動(dòng)體直徑誤差與徑向游隙研究對(duì)回轉(zhuǎn)精度的影響，評(píng)價(jià)指標(biāo)為基于不變量的評(píng)價(jià)方法[12]。使用Matlab 編寫模型程序，計(jì)算得到軸承回轉(zhuǎn)精度情況。

表1 6312軸承參數(shù)

（1）不考慮元件誤差純徑向載荷回轉(zhuǎn)精度

不考慮元件誤差純徑向載荷回轉(zhuǎn)精度如圖10 所示。再由作圖法得到軸承在承受純徑向載荷下的軌跡圖，得到理論值，與程序計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，如表2所示。

圖10 不考慮元件誤差純徑向載荷回轉(zhuǎn)精度

表2 軸承回轉(zhuǎn)精度計(jì)算值與理論值比較

（2）軸承滾動(dòng)體直徑誤差對(duì)回轉(zhuǎn)精度的影響

本節(jié)主要討論多個(gè)滾動(dòng)體存在直徑誤差時(shí)，滾動(dòng)體的不同排布方式對(duì)于軸承回轉(zhuǎn)精度的影響。該部分將8個(gè)滾動(dòng)體半徑誤差分為4 組，分別為-2 μm、-1 μm、1 μm、2 μm，滾動(dòng)體進(jìn)行不同的排布如表3所示。

表3 滾動(dòng)體誤差值及其排布方式

計(jì)算得到不同排布方式下軸承的回轉(zhuǎn)精度，如圖11所示。圖中，δR0為最小球面像圓與擬合軸線的半錐頂角，來(lái)表示角擺誤差的大?。籸Rc表示徑向平移誤差的大??；ΔRu表示軸向平移誤差的大小。由圖可知，排布7的排布形式的回轉(zhuǎn)精度遠(yuǎn)大于其他排布形式，當(dāng)滾動(dòng)體存在誤差時(shí)，滾動(dòng)體排布對(duì)軸承回轉(zhuǎn)精度存在顯著影響，合理的滾動(dòng)體排布方式可使軸承角擺誤差相較于最大角擺誤差減小83.3%，可使軸向平移誤差相較于最大軸向平移誤差減小23.5%，徑向平移誤差相較于最大徑向平移誤差減小71.4%。

圖11 滾動(dòng)體排布方式對(duì)不變量精度的影響

（3）軸承徑向游隙對(duì)回轉(zhuǎn)精度的影響

本節(jié)主要討論徑向游隙對(duì)于軸承回轉(zhuǎn)精度的影響，以6312軸承為研究對(duì)象，在準(zhǔn)靜態(tài)情況下，軸承同時(shí)承受軸向預(yù)緊載荷100 N，徑向載荷300 N，通過(guò)將徑向游隙由4 μm 增加到28 μm，研究徑向游隙對(duì)回轉(zhuǎn)精度的影響。得到的結(jié)果如圖12所示。整體來(lái)看，隨著徑向游隙的增大，軸承回轉(zhuǎn)精度變差，徑向游隙為20 μm 時(shí)的角擺誤差比10 μm 時(shí)增大了890%，徑向平移誤差增大了926%，軸向平移誤差增大了434.4%，且隨著游隙的等比例增加，軸承回轉(zhuǎn)精度的降低越來(lái)越明顯，軸承回轉(zhuǎn)精度迅速變差。

圖12 徑向游隙對(duì)不變量精度的影響

4 結(jié)束語(yǔ)

本文以深溝球軸承為研究對(duì)象，基于軸承零件幾何位移方程與力平衡方程，綜合考慮了零件物理屬性、幾何誤差與工況載荷的耦合效應(yīng)，建立了深溝球軸承六自由度回轉(zhuǎn)誤差模型。本文通過(guò)算例分析滾動(dòng)體直徑誤差和軸承徑向游隙對(duì)軸承回轉(zhuǎn)精度的影響得到以下結(jié)論：多個(gè)滾動(dòng)體存在誤差時(shí)，滾動(dòng)體排布對(duì)軸承回轉(zhuǎn)精度存在顯著影響，合理的滾動(dòng)體排布方式可使軸承角擺誤差相較于最大角擺誤差減小83.3%，可使軸向平移誤差相較于最大軸向平移誤差減小23.5%，徑向平移誤差相較于最大徑向平移誤差減小71.4%；隨著徑向游隙的增大，軸承回轉(zhuǎn)精度變差，徑向游隙為20 μm 時(shí)的角擺誤差比10 μm 時(shí)增大了890%，徑向平移誤差增大了926%，軸向平移誤差增大了434.4%，且隨著游隙的等比例增加，軸承回轉(zhuǎn)精度的降低越來(lái)越明顯，軸承回轉(zhuǎn)精度迅速變差。