白笑羽， 王 薊,2*， 孫旭東， 賈蘇蒙， 郭欣宇， 張永熙， 王國政

(1． 長春理工大學 物理學院， 吉林 長春 130022； 2． 鵬城實驗室 數(shù)學與理論部， 廣東 深圳 518000)

1 引 言

自相似拋物線型脈沖是指由于光纖中的色散、非線性效應、增益的共同作用，脈沖會產(chǎn)生很高的線性啁啾，且能量被顯著放大，脈沖的形狀呈現(xiàn)拋物線型[1]。

從理論角度出發(fā)，通過求解非線性薛定諤方程的自相似漸近解，能夠得出自相似光纖放大的典型特征及脈沖的演化條件。由于其脈沖呈拋物線形狀，故在傳輸過程中能夠很好地抵御光波分裂。自相似脈沖的放大及傳輸過程只與入射脈沖的初始能量有關(guān)，因而易獲得較高的能量輸出。拋物線型脈沖放大時積累的啁啾是線性正啁啾，有利于后續(xù)的脈沖壓縮[2]。2000年，F(xiàn)ermann等首次證明，脈沖在足夠長的正色散增益光纖中傳輸及放大時，其包絡形狀最終會演化成拋物線型。隨后他們將實驗中產(chǎn)生的拋物線型脈沖進行了壓縮，得到了70 fs的超短脈沖輸出，峰值功率高達80 kW[3]。2008年，南開大學涂成厚等首次給出了實現(xiàn)脈沖自相似演化的具體條件，同時研究了增益系數(shù)對脈沖自相似演化形成和放大傳輸?shù)挠绊慬4]。2010年，Ortac等搭建了一套孤子-自相似子光纖激光器(Soliton-similariton fiber laser)。這是自相似脈沖放大技術(shù)在摻鉺光纖激光器中的首次實現(xiàn)，他們最終獲得了能量為3.1 nJ、脈沖寬度110 fs的激光輸出[5]。2015年，Liu等設(shè)計了一套通過預啁啾管理的摻鐿光纖自相似放大器，輸出重復頻率75 MHz，輸出脈沖經(jīng)光柵對壓縮至60 fs，平均功率高達100 W[6]。2018年，Song等報道了關(guān)于皮秒脈沖自相似放大系統(tǒng)的數(shù)值模擬和實驗研究。該系統(tǒng)得到了30 MHz的重復頻率，66 fs的脈沖寬度，平均功率為6.1 W[7]。2020年，賀明洋等基于自相似光纖激光放大技術(shù)，選用大模場增益光纖，最終得到中心波長1 030 nm、重復頻率40 MHz、平均功率34 W、脈沖寬度50 fs的高質(zhì)量脈沖輸出，對應峰值功率17 MW[8]。

本文模擬了孤子型脈沖在一段高正色散摻鉺光纖中被預先整形為拋物線型，然后經(jīng)主放大器進行自相似放大，最后使用一段負色散的普通單模光纖對放大后的脈沖進行壓縮的過程。

2 非線性薛定諤方程及自相似拋物型脈沖漸近解

脈沖在光纖放大器中的演化可以用帶有常增益系數(shù)且不考慮光纖吸收損耗和高階色散的非線性薛定諤方程描述[3,9]：

(1)

我們暫不考慮增益飽和以及增益帶寬限制的影響，Ψ(z,T)為延時系中的慢變脈沖包絡，γ為非線性參量，g為放大器平均分布增益系數(shù)，β2為群速度色散參量。在群速度色散β2>0時，只要傳輸距離足夠長，非線性薛定諤方程就存在一種帶有線性啁啾的自相似漸近解[3]。

經(jīng)推導可以得出脈沖相位項：

(2)

其中φ0為任意常數(shù)，進而可得脈沖時域強度：

(3)

以及脈沖峰值強度：

(4)

公式(3)說明脈沖具有拋物線型的時域形狀，并且隨著傳輸距離的增大仍然可以保持該形狀。公式(2)和(4)表示隨著傳輸距離的增長，脈沖寬度和脈沖的峰值功率都呈指數(shù)增長[10]。在放大器的參數(shù)固定不變時，自相似的放大過程只與入射脈沖的初始能量Uin有關(guān)，不受入射脈沖形狀、寬度等參數(shù)影響[11-12]。根據(jù)靜態(tài)相位理論，脈沖頻譜強度可以表示為：

(5)

其中，ωp(z)為脈沖頻譜寬度，其表達式如公式(6)所示：

(6)

從公式(5)和(6)可知，自相似脈沖的頻譜呈拋物線型，且隨著傳輸距離的增長，頻譜寬度呈指數(shù)增長[10]。根據(jù)上述分析，可以發(fā)現(xiàn)自相似脈沖在時域以及頻域都呈拋物線型。隨著傳輸距離的增長，脈沖的峰值功率、時域及頻域的寬度都呈指數(shù)增長。此外，其線性啁啾量不受傳輸距離影響。

上述分析過程是基于β2γ>0，目前已知的稀土摻雜光纖γ均大于0，也就是基于β2>0的前提，可以得到上述自相似脈沖放大理論。

3 自相似脈沖演化仿真模擬

仿真模擬使用的軟件是MATLAB，模擬過程通過改變器件尾纖長度、增益光纖長度、小信號增益系數(shù)這些參數(shù)，研究光纖放大器中的色散、非線性效應、增益對輸出脈沖及光譜的影響。整個過程是在預放大器中使用高正色散的摻鉺光纖，目的是將脈沖初步整形為拋物線型；然后在主放大器中將功率放大；最后使用一段單模光纖完成脈沖壓縮。圖1為光纖放大器的主要結(jié)構(gòu)，信號光源是一個孤子鎖模摻鉺光纖激光器，信號光經(jīng)過隔離器(ISO1)，與泵浦光同時經(jīng)波分復用器(WDM1)耦合進增益光纖(EDF1)，再由隔離器(ISO2)輸出便完成一級預放大，隨后使用雙向泵浦進行主放大過程，最后經(jīng)過一段單模光纖(SMF)完成脈沖壓縮。

圖1 摻鉺光纖放大器結(jié)構(gòu)圖

信號光源為基于碳納米管可飽和吸收體鎖模的孤子型摻鉺光纖激光器，中心波長為1 550 nm，平均輸出功率1.2 mW，重復頻率43 MHz，脈沖寬度600 fs，脈沖形狀為雙曲正割型，信噪比為45 dB。預放大級使用的摻鉺光纖主要參數(shù)為：峰值吸收率80 dB/m@1 530 nm，模場直徑4.3 μm@1 550 nm，色散值D=-48 ps/(km·nm)，可以計算出β2=61 ps2/km，根據(jù)摻鉺光纖的經(jīng)驗值，其非線性折射率為n2=2.2×10-20m2/W，主放大級所使用的摻鉺光纖與預放大級相同。脈沖壓縮光纖主要參數(shù)為：模場直徑為10.4 μm@1 550 nm，色散值D=18 ps/(km·nm)，計算得到β2=-22.96 ps2/km。

4 結(jié)果與討論

4.1 預放大級仿真結(jié)果分析

如圖2所示，在預放大過程中，增益光纖的長度對脈沖的演變結(jié)果有影響。在色散和自相位調(diào)制的共同作用下，增益光纖越長，脈沖就會展得越寬。但模擬數(shù)據(jù)圖2顯示，脈沖呈現(xiàn)頂端逐漸平緩且兩側(cè)越來越陡峭的類似拋物線的形狀。結(jié)果顯示，隨著增益光纖長度的增加，脈沖形狀從信號光的雙曲正割型逐步演化為拋物線型，模擬結(jié)果與理論分析一致[8]。

注2 不同增益光纖長度下預放大級的脈沖變化

脈沖被放大的同時，其光譜也具有良好的拋物線形狀，才能為后續(xù)的主放大過程提供有利條件。因此，我們進一步模擬了信號脈沖經(jīng)過不同長度增益光纖時的情況。如圖3所示，我們對強度進行了歸一化處理。通過改變增益光纖的長度，觀察光譜的演變，隨著增益光纖長度逐漸增加，光譜不斷被展寬。增益光纖長度由1 m增加至2.6 m，光譜寬度由4.1 nm展寬至10.9 nm，脈沖寬度由600 fs展寬至1 406 fs?？梢园l(fā)現(xiàn)，在增益光纖長度為2.4 m時，光譜的形狀也呈現(xiàn)出類似拋物線的形狀。增益光纖長度增加至2.6 m后，光譜產(chǎn)生了畸變。故我們采用在增益光纖長度為2.4 m時的類拋物型脈沖作為信號，進行后續(xù)的主放大模擬。

注3 不同增益光纖長度下預放大級的光譜變化

注4 增益光纖長度2.4 m時預放大級在不同增益下的脈沖變化

為觀察預放大級放大后脈沖及光譜形狀隨平均功率的增大而變化的情況，模擬了輸出功率不斷增加時脈沖及光譜形狀的演化過程。圖4、5為增益光纖長度2.4 m時，不同輸出功率下脈沖及光譜的變化。由圖4、5可見，在增益、色散、自相位調(diào)制效應的共同作用下，脈沖及光譜寬度逐漸展寬。但同時，由于放大功率增加，光譜曲線形狀發(fā)生畸變。經(jīng)過歸一化處理的圖5顯示，當輸出功率達到29 mW時，光譜頂端不再平滑，產(chǎn)生畸變，因而在進行主放大模擬時，將預放大級的輸出功率定為19 mW。

注5 增益光纖長度2.4 m時預放大級在不同增益下的光譜變化

信號脈沖在經(jīng)預放大器后，主要目的是將形狀整形為拋物線型，不過仍然要保證光譜展至合適寬度且不發(fā)生畸變。因此，通過綜合分析可知，作為預放大器，應選用2.4 m長的增益光纖，并將脈沖平均功率放大至19 mW最為合適。如圖6所示，此時的脈沖自相關(guān)曲線經(jīng)歸一化處理后又進行了拋物線擬合，脈寬被初步展寬至1.3 ps。擬合曲線也證明預放大的輸出脈沖形狀為類拋物線型。

圖6 預放大自相關(guān)模擬曲線

4.2 主放大級仿真結(jié)果分析

主放大器的主要功能是實現(xiàn)功率放大，因而采用雙向泵浦的方式，使摻鉺光纖中的鉺離子能夠充分地被激發(fā)，噪聲系數(shù)小。主放大的模擬過程中，群速度色散為正，仍然是改變器件尾纖長度、增益光纖長度、小信號增益系數(shù)這些參數(shù)，來研究光纖放大器的色散、非線性效應、增益對輸出脈沖和光譜的影響。主放大級所用的光纖參數(shù)與預放大級相同。

注7 不同增益光纖長度下主放大級的脈沖形狀

注8 不同增益光纖長度下主放大級的光譜形狀

由于自相位調(diào)制(SPM)、色散效應的影響會引起光譜展寬。在主放大過程中，要選擇最佳增益光纖長度，要求既能保證光譜展寬，又不會發(fā)生嚴重的畸變。圖7、8所示是基于預放大的輸出結(jié)果，模擬在不同長度的增益光纖中脈沖及光譜的演化過程。隨著增益光纖長度不斷增加，脈沖及光譜均不斷被展寬，脈沖頂部逐漸變得平緩。由于非線性效應的影響，這時的脈沖具有上啁啾，上啁啾脈沖的前沿頻率低于后沿，而高頻分量集中于脈沖的后部，因而就會將光譜展得越來越寬。

注9 增益光纖長度為1.5 m時主放大級在不同增益下的脈沖變化

注10 增益光纖長度為1.5 m時主放大級在不同增益下的光譜變化

增益光纖越長會累積越多的非線性相移，而使光譜展寬[13]。但在傳輸過程中，由于有限增益帶寬的限制，隨著傳輸距離逐漸變長，光譜寬度將超過增益譜寬度，則脈沖光譜各部分獲得的增益不均，脈沖的自相似特性將無法保持[14-15]。結(jié)合圖7、8分析，隨著鉺纖長度的不斷增加，脈沖以及光譜都不斷地被展寬，這符合我們此前的分析。但鉺纖長度達到2.0 m時，脈沖及光譜形狀的前、后沿發(fā)生明顯畸變，底端已經(jīng)不呈拋物線型，而且頂端也不如1.5 m時平滑。另外，群速度失配會引起波長不同的光在光纖內(nèi)傳輸時速度不同。根據(jù)時間帶寬積理論，光譜的展寬程度會影響脈沖壓縮的結(jié)果。脈沖越窄，光譜越寬，受色散效應影響越嚴重。高階色散會引入非線性啁啾，導致脈沖在展寬時發(fā)生畸變，而非線性啁啾無法得到補償，脈沖就會出現(xiàn)部分不能壓縮的基座。

模擬結(jié)果總結(jié)：主放大級的鉺纖長度由0.5 m增加至2.0 m時，脈沖寬度由1.8 ps展寬至3.4 ps，光譜寬度由16 nm展寬至33 nm。在增益光纖長度為1.5 m時，光譜展寬至約26 nm，足以將脈沖寬度壓窄；而在增益光纖長度為2.0 m時，脈沖及光譜形狀均發(fā)生畸變，不如1.5 m時良好。圖9、10所示，此時輸出功率由30 mW增大到125 mW，脈沖寬度被展寬至3.4 ps。脈沖及光譜寬度的變化是隨著平均輸出功率的增加而展寬的。但在輸出功率放大到125 mW時，脈沖底端前、后沿發(fā)生畸變，光譜頂部畸變明顯。結(jié)合后續(xù)模擬發(fā)現(xiàn)，若將主放大輸出功率定為125 mW，脈沖壓縮結(jié)果也沒有放大到102 mW時好。

主放大器的目的是實現(xiàn)功率放大和光譜展寬，以便在后面的壓縮過程中得到窄脈沖寬度和高峰值功率。理論上，越長的增益光纖越能夠獲得寬光譜，壓縮后可以得到窄脈寬，不過也會帶來嚴重的畸變。但由于有限增益帶寬的限制以及高階色散的影響，并結(jié)合后續(xù)壓縮模擬發(fā)現(xiàn)，過長的光纖或過高的增益均會導致光譜前、后沿及頂部發(fā)生畸變，壓縮結(jié)果變差[13]。因此，主放大級采用1.5 m長的鉺纖，放大到102 mW，脈寬放大至2.8 ps。圖11為放大功率為102 mW時的歸一化脈沖自相關(guān)曲線。對曲線進行了拋物線擬合后，可見經(jīng)主放大級后脈沖仍然保持類拋物線形狀。

圖11 主放大自相關(guān)模擬曲線

4.3 自相似脈沖壓縮仿真結(jié)果分析

在脈沖功率放大、光譜展寬后，需要補償在放大過程中積累的色散，我們使用具有負色散的普通單模光纖作為脈沖壓縮器，光纖型號為SMF-28e。

在壓縮過程中，將壓縮光纖SMF-28e的長度從1 m開始逐漸加長至10 m，發(fā)現(xiàn)長度在4.4 m時得到了最窄的脈沖寬度。圖12給出了壓縮光纖4～5 m脈沖自相關(guān)演化圖，在4.4 m時，脈沖寬度由放大后的2.8 ps壓縮至最窄，脈沖形狀最好，峰值功率最高。圖13給出了此時脈沖的自相關(guān)圖，脈沖寬度為53 fs，由于高階色散帶來的非線性啁啾導致了較小的基座。

圖12 壓縮脈沖自相關(guān)模擬圖

注13 經(jīng)4.4 m單模光纖壓縮后的脈沖自相關(guān)曲線

5 結(jié) 論

本文通過仿真模擬系統(tǒng)地討論了摻鉺光纖放大器在正色散區(qū)進行自相似放大過程。首先，討論非線性薛定諤方程的漸近解，分析獲得自相似脈沖的條件以及自相似放大脈沖的特點。隨即進行數(shù)值模擬，探討飛秒種子脈沖在經(jīng)由不同長度增益光纖以及放大到不同的功率時，放大脈沖及光譜的變化。模擬的設(shè)計思路是先用正色散的摻鉺增益光纖對信號光脈沖進行預整形，使其形狀由雙曲正割型變?yōu)閽佄锞€型。經(jīng)過二次放大實現(xiàn)功率放大和光譜展寬，以期在后續(xù)的脈沖壓縮中獲得更高的輸出功率和更窄的脈沖寬度。由于自相似放大過程累積的啁啾是線性的，可以用線性的色散器件補償，因而我們選用了帶有負色散的普通單模光纖進行脈沖壓縮模擬。最終獲得平均輸出功率102 mW、脈沖寬度53 fs、峰值功率為44.8 kW的高功率超短脈沖輸出。

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