汪春華,馮焱俠

（1．西安航空學(xué)院電子工程學(xué)院，陜西西安 710077；2．西安理工大學(xué)自動(dòng)化與信息工程學(xué)院，陜西西安 710048）

1 引言

時(shí)間序列分析方法在金融、工業(yè)領(lǐng)域的數(shù)據(jù)分析中具有重要的應(yīng)用價(jià)值。該方法根據(jù)系統(tǒng)有限長(zhǎng)度的觀察數(shù)據(jù)，建立可反映序列中隱含的動(dòng)態(tài)依存關(guān)系的數(shù)學(xué)模型[1-2]。然而常見(jiàn)的時(shí)間序列具有一定的隨機(jī)和波動(dòng)性。隨機(jī)性一般可看作是噪聲干擾項(xiàng)，通常認(rèn)為是傳感器產(chǎn)生的隨機(jī)噪聲。為了提高時(shí)間序列處理和分析的準(zhǔn)確性，需要對(duì)噪聲進(jìn)行去除。

時(shí)間序列中的去噪方法包括傳統(tǒng)的中值濾波、均值濾波以及維納濾波、卡爾曼濾波等。其中維納濾波和卡爾曼濾波基于時(shí)間序列的自相關(guān)性，具有較好的去噪效果，但僅適用于平穩(wěn)時(shí)間序列。小波變換也可用于噪聲的去除，通過(guò)對(duì)序列進(jìn)行時(shí)間尺度的分解，尋找不同時(shí)間尺度下的特性，具有較高的準(zhǔn)確性，其缺點(diǎn)是需要設(shè)定基函數(shù)[3]。

近年來(lái)，時(shí)間序列分解技術(shù)得到了廣泛關(guān)注。這里，經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(EMD)將具有不同時(shí)間尺度的信號(hào)逐級(jí)分解，不需要復(fù)雜的遞推迭代和矩陣運(yùn)算，其缺點(diǎn)是易產(chǎn)生虛假分量和模態(tài)混疊等[4]。集合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(EEMD)在采樣頻率較高時(shí)去噪性能優(yōu)于EMD，缺點(diǎn)是存在端點(diǎn)效應(yīng)等問(wèn)題[5]。變分模態(tài)分解(VMD)采用非遞歸的形式，假設(shè)每個(gè)模態(tài)具有各自中心頻率，尋找可再現(xiàn)輸入信號(hào)所有模式的集合[6]。VMD分解的缺點(diǎn)是無(wú)法確定分解的模態(tài)，影響了時(shí)間序列分解的可靠性。

本文結(jié)合改進(jìn)VMD 方法和維納濾波實(shí)現(xiàn)時(shí)間序列隨機(jī)噪聲的去除。首先，提出基于余量序列和其它固有模態(tài)分量之間的互相關(guān)性，建立VMD 模態(tài)個(gè)數(shù)估計(jì)模型；其次，采用VMD方法對(duì)序列分解，實(shí)現(xiàn)平穩(wěn)化并去除高頻噪聲；然后采用維納濾波對(duì)各模態(tài)序列消噪；最后就仿真和實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)提出的去噪模型進(jìn)行驗(yàn)證。

2 VMD分解

2.1 VMD原理

VMD 將原始時(shí)間序列數(shù)據(jù)分解為若干個(gè)固定模態(tài)分量(IMF)，每個(gè)IMF 都為調(diào)頻調(diào)幅子序列，將各個(gè)IMF解調(diào)到各自的基頻帶寬上以實(shí)現(xiàn)各個(gè)模態(tài)帶寬之和最小，且滿足模態(tài)重構(gòu)組合之后近似等于原始信號(hào)[6]。VMD求解包括變分構(gòu)造和變分求解．

a)變分構(gòu)造

假設(shè)通過(guò)分解得到K個(gè)模態(tài)分量uk(t)，k=1，2，…，K，以各個(gè)模態(tài)所占帶寬之和最小為目標(biāo)，尋找最優(yōu)IMF分量。

1)對(duì)模態(tài)分量uk(t)進(jìn)行Hilbert變換，得到各個(gè)IMF的解析信號(hào)和對(duì)應(yīng)的單邊譜：

其中，δ(t)表示單位沖擊信號(hào)。

2)假設(shè)每個(gè)模態(tài)的中心頻率為ωk，對(duì)其乘指數(shù)項(xiàng)使其頻譜調(diào)制到各自的基頻：

3)計(jì)算K個(gè)模態(tài)信號(hào)帶寬，通過(guò)求解上述調(diào)制后信號(hào)梯度的2范數(shù)得到變分約束問(wèn)題：

其中，ωk和uk(t)分別表示模態(tài)中心頻率和模態(tài)分量IMF，f(t)表示原始信號(hào)。

b)變分求解

結(jié)合拉格朗日乘子法以及二次乘法算子交替算法，將變分約束問(wèn)題變換成非約束問(wèn)題，首先，對(duì)約束問(wèn)題引入拉格朗日乘法算子θ(t)和懲罰因子C，則非約束問(wèn)題如下：

式中，懲罰因子可使信號(hào)重構(gòu)時(shí)有較高精度，拉格朗日乘法算子使得約束條件更加嚴(yán)格。

對(duì)式(4)采用乘法算子交替算法進(jìn)行求解，然后利用2范數(shù)下Parseval/Plancherel 傅里葉等距法變換到頻域，最終可得到其二次問(wèn)題的解為：

VMD中所求的各個(gè)模態(tài)和中心頻率在頻域內(nèi)迭代，最終通過(guò)傅里葉逆變換從頻域得到時(shí)域解；各個(gè)模態(tài)的中心頻率作為其功率譜的中心，不斷循環(huán)迭代[7-10]。這里，拉格朗日乘法算子的更新公式如下所示：

這里，當(dāng)學(xué)習(xí)因子τ為非零值時(shí)，可保證得到的各個(gè)模態(tài)具有較高的重構(gòu)精度。

2.2 改進(jìn)VMD算法

作為一種非遞歸分解方式，VMD的分解模態(tài)個(gè)數(shù)需要人為設(shè)定，這種分解個(gè)數(shù)非自適應(yīng)問(wèn)題是VMD的一個(gè)缺陷。當(dāng)設(shè)定的模態(tài)個(gè)數(shù)過(guò)小時(shí)，出現(xiàn)欠分解，信號(hào)中的多個(gè)時(shí)間尺度的分量可能出現(xiàn)在同一個(gè)模態(tài)中；反之當(dāng)模態(tài)個(gè)數(shù)過(guò)大時(shí)，某個(gè)模態(tài)分量可能存在于多個(gè)模態(tài)分量中，出現(xiàn)頻譜斷裂現(xiàn)象。目前對(duì)于模態(tài)個(gè)數(shù)估計(jì)尚缺乏通用且準(zhǔn)確的方法[11-12]。

互相關(guān)系數(shù)可以表示兩個(gè)時(shí)間序列的相關(guān)程度。當(dāng)兩個(gè)時(shí)間序列相似度越高，含有的頻率成分越接近，互相關(guān)系數(shù)越接近于1[13-18]。當(dāng)分解模態(tài)個(gè)數(shù)最優(yōu)時(shí)，使用VMD 對(duì)序列進(jìn)行分解之后，得到的余量可視為噪聲，除去余量的其它模態(tài)序列不具有高頻噪聲分量，且余量與其它IMF 之間不相關(guān)[19]?；诖耍疚牟捎没ハ嚓P(guān)系數(shù)來(lái)確定模態(tài)個(gè)數(shù)K。假設(shè)經(jīng)VMD 分解得到的余量序列為c(n)，其它模態(tài)分量重構(gòu)的序列為f(n)，則二者的互相關(guān)函數(shù)為：

其中，N為序列模態(tài)個(gè)數(shù)，m為時(shí)間間隔。對(duì)Rcf(m)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化得到標(biāo)準(zhǔn)互相關(guān)函數(shù)：

其中，Rcc(0)和Rff(0)分別為兩個(gè)模態(tài)序列的自相關(guān)函數(shù)。由于時(shí)間間隔m為1時(shí)，序列之間的相關(guān)性最大，故本文取時(shí)間間隔m為1時(shí)互相關(guān)函數(shù)的值作為互相關(guān)系數(shù)，以此確定最優(yōu)模態(tài)分解個(gè)數(shù)，即：

3 VMD-維納濾波的去噪模型

3.1 維納濾波

維納濾波是基于最小均方誤差基礎(chǔ)上，基于時(shí)間序列相關(guān)性以及噪聲與信號(hào)之間的非相關(guān)性設(shè)計(jì)濾波器。維納濾波適用于加性噪聲的去除，通過(guò)設(shè)計(jì)濾波器的傳遞函數(shù)使得輸出盡可能接近原信號(hào)。維納濾波器一般采用變換域求解方法，在最小均方誤差基礎(chǔ)上，求解傳遞函數(shù)。理論上，任何信號(hào)都可認(rèn)為是白噪聲產(chǎn)生的，如圖1所示。假設(shè)白噪聲的自相關(guān)序列為：

圖1 信號(hào)的白噪聲產(chǎn)生模型

則信號(hào)s(n)自相關(guān)序列的z變換為：

圖2是維納濾波的Z域求解框圖。很顯然，其濾波函數(shù)可寫為：

圖2 維納濾波的Z域求解

對(duì)于實(shí)際的因果信號(hào)，其最優(yōu)濾波函數(shù)可寫為：

維納濾波的優(yōu)點(diǎn)是最小均方誤差意義下的最優(yōu)濾波器。其缺點(diǎn)是要求時(shí)間序列為平穩(wěn)序列，對(duì)于非平穩(wěn)信號(hào)的濾波效果較差。本文建立VMD-維納濾波的去噪模型，首先采用VMD分解原信號(hào)，消除非平穩(wěn)性，然后采用維納濾波去噪。

3.2 預(yù)測(cè)流程

本文結(jié)合改進(jìn)VMD 和維納濾波實(shí)現(xiàn)時(shí)間序列去噪的流程如下：

1)采用互相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式(9)，確定VMD 分解的最優(yōu)模態(tài)個(gè)數(shù)。

2)采用VMD 對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行分解，實(shí)現(xiàn)平穩(wěn)化并消除高頻的余量序列。

3)采用維納濾波的公式(13)對(duì)各模態(tài)序列分別進(jìn)行濾波。

4)對(duì)濾波后的模態(tài)序列進(jìn)行重構(gòu)，即為去噪后信號(hào)。

4 結(jié)果與分析

選取平均絕對(duì)誤差(MAE)作為評(píng)價(jià)濾波性能指標(biāo)，如下所示：

式中，yi與分別表示原始信號(hào)和濾波后信號(hào)，N表示總的樣本數(shù)。

通過(guò)仿真信號(hào)來(lái)驗(yàn)證本文提出方法的有效性。原信號(hào)包含四個(gè)不同頻率的正弦信號(hào)，并添加一個(gè)均值為0方差為0．8 的高斯白噪聲。然后，對(duì)該仿真信號(hào)進(jìn)行VMD分解，當(dāng)分解個(gè)數(shù)K依次為2，3，4，5，6，7，8時(shí)，不同K下余量與模態(tài)重構(gòu)信號(hào)的互相關(guān)系數(shù)如圖3所示。從圖中可看到當(dāng)K=7時(shí)，互相關(guān)系數(shù)均為最小值，因此最優(yōu)的模態(tài)個(gè)數(shù)設(shè)為7。

圖3 不同K對(duì)應(yīng)的互相關(guān)系數(shù)

接下來(lái)，分析模態(tài)個(gè)數(shù)K對(duì)VMD 濾波結(jié)果的影響。采用上述仿真信號(hào)，分別添加方差為0．8的均勻分布噪聲和高斯白噪聲。表1和表2分別給出了均勻分布白噪聲和高斯白噪聲時(shí)，不同模態(tài)個(gè)數(shù)K下單純采用VMD方法的濾波結(jié)果的誤差比較。從表1可以看出，對(duì)于包含了四個(gè)頻率的時(shí)間序列，VMD中的互相關(guān)系數(shù)取最小值時(shí)的最優(yōu)模態(tài)個(gè)數(shù)為K=7，此時(shí)濾波誤差MAE 也取最小值。表2高斯白噪聲的濾波結(jié)果與此類似。表1和表2的結(jié)果驗(yàn)證了基于互相關(guān)系數(shù)的模態(tài)個(gè)數(shù)估計(jì)模型的正確性。

表1 模態(tài)個(gè)數(shù)對(duì)濾波結(jié)果的影響(均勻分布噪聲)

表2 模態(tài)個(gè)數(shù)對(duì)濾波結(jié)果的影響(高斯白噪聲)

分別選取中值濾波、均值濾波、維納濾波、EMD-維納濾波與本文VMD-維納濾波方法作比較。表3和表4分別給出了添加了均勻分布噪聲和高斯白噪聲后這幾種方法的濾波結(jié)果，可看出，本文提出VMD-維納濾波模型的去噪效果最佳，優(yōu)于傳統(tǒng)的維納濾波以及EMD-維納濾波方法，表明本文提出方法的性能。這是因?yàn)?，基于互相關(guān)系數(shù)可以準(zhǔn)確得到模態(tài)個(gè)數(shù)，改進(jìn)VMD模型既消除了模態(tài)間的混疊并去除了原時(shí)間序列的高頻噪聲，同時(shí)實(shí)現(xiàn)了模態(tài)序列的平穩(wěn)化；在此基礎(chǔ)上采用維納濾波，保證了濾波的效果。

表3 不同方法濾波性能比較(均勻分布噪聲)

表4 不同方法濾波性能比較(高斯白噪聲)

接下來(lái)以實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)去噪模型進(jìn)行驗(yàn)證。實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)為陜西省某區(qū)域區(qū)的電力負(fù)荷數(shù)據(jù)。首先采用VMD 方法進(jìn)行分解，確定模態(tài)集合中的余量，然后計(jì)算不同模態(tài)個(gè)數(shù)K下的除余量后各分量負(fù)荷序列的互相關(guān)系數(shù)。圖4為K取不同值時(shí)，余量序列與各模態(tài)分量之間的互相關(guān)系數(shù)，從中可以看出，不同K下得到的互相關(guān)系數(shù)均小于0．3，而當(dāng)K取4時(shí)，余量和負(fù)荷模態(tài)重構(gòu)后的互相關(guān)系數(shù)最小。因此，最優(yōu)模態(tài)個(gè)數(shù)為4。

圖4 不同K的模態(tài)分量的互相關(guān)系數(shù)

最后，將余量去除后的負(fù)荷序列進(jìn)行重構(gòu)，然后采用維納濾波進(jìn)行濾波得到濾波序列，經(jīng)過(guò)VMD-維納濾波后的負(fù)荷曲線較平滑，去除了原始實(shí)測(cè)序列中由于傳感器附加的隨機(jī)噪聲干擾，有利于序列的后續(xù)建模分析。

5 結(jié)束語(yǔ)

提出了一種基于改進(jìn)VMD 和維納濾波的時(shí)間序列去噪方法，得到如下結(jié)論：

1)針對(duì)傳統(tǒng)VMD模型存在的模態(tài)個(gè)數(shù)難以確定問(wèn)題，基于余量序列與模態(tài)之間的互相關(guān)性確定最優(yōu)模態(tài)個(gè)數(shù)，提升了時(shí)間序列模態(tài)分解的可靠性。

2)針對(duì)維納濾波僅適合平穩(wěn)信號(hào)的特點(diǎn)，首先采用VMD 分解，一方面消除了原始序列的非平穩(wěn)性，同時(shí)降低了模態(tài)之間的頻率混疊，并消除了原序列中的高頻噪聲；然后采用維納濾波對(duì)各模態(tài)進(jìn)行濾波，有效提升了去噪的性能。

最后需要指出的是，本文建立的去噪模型針對(duì)的是具有一定隨機(jī)分布的白噪聲。而實(shí)際中的時(shí)間序列可能還包括一些異常點(diǎn)(野值點(diǎn))，這些野值點(diǎn)也極大地影響序列分析的可靠性，下一步將改進(jìn)方法以提高模型的適用性。