馬景文,張崇岐

(1.蘭州財(cái)經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計(jì)學(xué)院,甘肅 蘭州 730030；2.廣州大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,廣東 廣州 510006)

0 引 言

混料試驗(yàn)設(shè)計(jì)是一種常見(jiàn)的、較特殊的涉及多因素的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法。在日常生產(chǎn)生活及科學(xué)實(shí)驗(yàn)中,很多產(chǎn)品的制造混合了多種成份。生產(chǎn)者或試驗(yàn)者常對(duì)產(chǎn)品的幾種感興趣的特性展開(kāi)研究,這些特性往往與產(chǎn)品成份所占總量的比例之間存在函數(shù)關(guān)系,而不受混料總量的影響?；炝蠁?wèn)題的可控變量,即每種成份在混料總量中所占的百分比,是不能任意變化的,要受某些約束的限制。這些百分比必須都是非負(fù)的,而且相加之和必須是1[1]。在q分量混料試驗(yàn)?zāi)Ｐ椭?用E(Y)表示試驗(yàn)指標(biāo)或響應(yīng)值,x1,x2,…,xq表示混料系統(tǒng)中q種成分各占的百分比,則混料試驗(yàn)設(shè)計(jì)就是要在滿足約束條件

(1)

的限制下進(jìn)行試驗(yàn),并由此定義了一個(gè)q-1維正規(guī)單純形試驗(yàn)區(qū)域

(2)

在Box等[2]提出最優(yōu)準(zhǔn)則后,Laake[3]給出了積分方差達(dá)到最小的V-最優(yōu)設(shè)計(jì),也稱(chēng)為Iλ-最優(yōu)設(shè)計(jì)。關(guān)穎男等[4]詳細(xì)研究了二階可加模型的Iλ-最優(yōu)。劉嚴(yán)[5]討論了二階Scheffe模型參數(shù)估計(jì)的Iλ-最優(yōu)設(shè)計(jì)。張小峰等[6]介紹了二階隨機(jī)變系數(shù)模型的V-最優(yōu)設(shè)計(jì)?；诖?本文將詳細(xì)討論q分量二階中心多項(xiàng)式的V-最優(yōu)設(shè)計(jì)。

1 q分量中心多項(xiàng)式

∑i

fT(x)β

(3)

本文將主要研究當(dāng)m=2時(shí),正規(guī)單純形上的q分量二階中心多項(xiàng)式混料模型：

(4)

2 V-最優(yōu)設(shè)計(jì)

(5)

這里δ2是試驗(yàn)誤差的方差[9]。對(duì)于不同的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方案來(lái)說(shuō),ξ(x)在各個(gè)點(diǎn)x是不同的,可以把回歸方程預(yù)測(cè)值方差在整個(gè)利益區(qū)域上的平均值作為衡量設(shè)計(jì)優(yōu)良性的一種標(biāo)準(zhǔn),它越小越好[10]。設(shè)

為整個(gè)單純形區(qū)域上響應(yīng)估計(jì)的積分方差。

對(duì)于模型(3),則

tr[(XTΛX)-1L]

(6)

使W在q-1維正規(guī)單純形試驗(yàn)區(qū)域Sq-1的平均值達(dá)極小值的設(shè)計(jì)稱(chēng)為V-最優(yōu)設(shè)計(jì)[11]。即

(7)

其中,B=L·Γ(q)。

3 q分量二階混料中心多項(xiàng)式V-最優(yōu)設(shè)計(jì)

引理1[12]對(duì)于混料試驗(yàn)區(qū)域Sq-1上的二階中心多項(xiàng)式模型(4),響應(yīng)估計(jì)的最優(yōu)設(shè)計(jì)駐點(diǎn)是Sq-1上的各類(lèi)中心點(diǎn)(頂點(diǎn)、中點(diǎn)和重心)。

對(duì)模型(4)采用單純形中心設(shè)計(jì),對(duì)應(yīng)的設(shè)計(jì)矩陣X見(jiàn)表1。

表1 單純形中心設(shè)計(jì)的設(shè)計(jì)矩陣XTable 1 Design matrix X for simple center design

利用引理3矩陣反演公式,求出信息矩陣M(ξ)的逆為

又可知

則根據(jù)引理3可計(jì)算：

因此，矩陣L可寫(xiě)為

其可分塊為

其中，

C2=Mα21+Jα21,

D2=2Im+Mα22+Jα22。

則矩陣M-1(ξ)L的跡為

這樣,V-最優(yōu)準(zhǔn)則下q分量二階混料中心多項(xiàng)式模型的最優(yōu)設(shè)計(jì)所對(duì)應(yīng)的測(cè)度應(yīng)是條件極小值問(wèn)題

(8)

的解。利用拉格朗日乘子法,令

(9)

結(jié)合mathematica解方程組(9),可得模型(4)的V-最優(yōu)觀測(cè)頻數(shù)的一般表達(dá)式為

4 實(shí) 例

下面考察當(dāng)q=3時(shí)模型(4)的V-最優(yōu)設(shè)計(jì)。

M-1(ξ)=

則矩陣M-1(ξ)L為

這樣由V-最優(yōu)設(shè)計(jì)準(zhǔn)則就可得如下條件極小值問(wèn)題：

結(jié)合mathematica利用拉格朗日乘子法可得到結(jié)果：

r1→0.100 723 159 750 654 081，r2→0.232 610 173 582 679 252。

因此,三分量二階中心多項(xiàng)式模型的V-最優(yōu)配置為

5 結(jié) 論

單純形-中心設(shè)計(jì)的最優(yōu)配置問(wèn)題歸結(jié)為在某種最優(yōu)標(biāo)準(zhǔn)下選擇各類(lèi)設(shè)計(jì)點(diǎn)的最優(yōu)配置比r1∶r2∶…∶rm。本文主要討論了q分量二階混料中心多項(xiàng)式的V-最優(yōu)配置,這類(lèi)低價(jià)多項(xiàng)式模型能夠較好地近似表示響應(yīng)曲面,比高階多項(xiàng)式使用起來(lái)方便,并且在多數(shù)情況下至多使用二階多項(xiàng)式模型就足夠了。因此,本文的研究是很有必要的。在本文的研究過(guò)程中主要使用了分塊矩陣運(yùn)算、拉格朗日乘子法以及軟件mathematica,這使得對(duì)于模型的V-最優(yōu)設(shè)計(jì)變得相對(duì)容易,也啟發(fā)筆者在之后相關(guān)混料試驗(yàn)最優(yōu)設(shè)計(jì)的研究中,要善于應(yīng)用已有數(shù)學(xué)知識(shí)、優(yōu)化算法以及各類(lèi)軟件。