莊林璐 周克元 毛 靚 董 姝 夏逸飛 王志君

（宿遷學(xué)院 文理學(xué)院，江蘇 宿遷 223800）

對2020 年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽A 題“回焊爐焊集成電路板時的爐溫最優(yōu)控制[1]”進(jìn)行了分析研究，使用最小二乘法擬合出各個位置的比熱容參數(shù)k，建立約束規(guī)劃模型求解出所求目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值，并畫出最優(yōu)爐溫曲線。

1 問題一的模型建立與求解

由熱量傳導(dǎo)原理分析，建立電路板加熱時溫度模型[2]：

在每個小溫區(qū)之間的5cm 間隙的溫度，根據(jù)熱量傳輸原理，間隙溫度以左右兩端溫度為端點成線性函數(shù)分布。其中k 為電路板比熱容，利用題目所給數(shù)據(jù)，使用最小二乘法（式（2））求出分段最優(yōu)k 值（圖1）。

圖1 比熱容k 曲線圖

將上述比熱容k 及題目數(shù)據(jù)帶入式（1），可計算得回焊爐中各地區(qū)的溫度，爐溫曲線見圖2。

圖2 問題一數(shù)據(jù)對應(yīng)的爐溫曲線

2 問題二的模型建立與求解

問題二為求滿足制程界限條件的最大傳送速度，將制程界限的條件轉(zhuǎn)化為約束條件，傳送速度為目標(biāo)函數(shù)，建立約束規(guī)劃模型，求目標(biāo)函數(shù)的最大值。

使用matlab 軟件[3]在限制范圍內(nèi)對傳送速度從大到小按步長進(jìn)行窮舉搜索，求出滿足制程界限條件的傳送帶最大速度為v=70.9cm/min。

3 問題三的模型建立與求解

問題三為求在滿足制程界限的條件下，如何設(shè)置各溫區(qū)溫度（±10℃溫度調(diào)節(jié)）和傳送帶傳送速度，使得爐溫曲線應(yīng)使超過217℃到峰值溫度所覆蓋的面積（圖2 中陰影部分）最小。

爐溫曲線中，超過217℃到峰值溫度所覆蓋的圖形是一個曲邊梯形，其面積計算公式為：

積分下限是爐溫曲線達(dá)到217℃左側(cè)的時間t，積分上限是最大溫度（峰值）的時間t。題目中已經(jīng)指出各溫區(qū)溫度可以進(jìn)行±10℃的溫度調(diào)節(jié)，所以將每個小溫區(qū)的溫度設(shè)為變量，滿足±10℃的溫度調(diào)節(jié)范圍的限制。

由上分析，建立約束規(guī)劃模型：

對于模型（5），對傳送速度從0 到100、各溫區(qū)溫度在限定范圍內(nèi)，使用matlab 軟件按步長進(jìn)行窮舉搜索，搜索出滿足限制條件的的最優(yōu)速度v=70.45cm/min，最優(yōu)爐溫曲線見圖3。

圖3 回焊爐爐溫曲線

4 問題四的模型建立與求解

第四問為在第三問的基礎(chǔ)之上，同時還要求以峰值溫度為中心線的兩側(cè)超過217℃的爐溫曲線應(yīng)盡量對稱。即除了需要考慮爐溫曲線超過217℃到峰值溫度所覆蓋的面積最小，還要讓以峰值溫度為中心線的兩側(cè)超過217℃的爐溫曲線應(yīng)盡量對稱。

4.1 爐溫曲線對稱性分析

爐溫曲線中，峰值中心線的兩側(cè)均有超過217℃的情況，左右兩側(cè)可能不完全對稱，取兩側(cè)同時滿足≥217℃的區(qū)域進(jìn)行分析，見圖4。

圖4 峰值中心兩側(cè)溫度時間圖

取tc=min{t中-ta，tb-t中}，以時間?t=0.1s 為步長，將時間區(qū)間[t中-tc，t中+tc]進(jìn)行分割為：

設(shè)

將F 作為衡量兩側(cè)對稱的標(biāo)準(zhǔn)，F(xiàn) 越小越對稱。

4.2 模型建立

由上分析，采用雙目標(biāo)約束規(guī)劃模型進(jìn)行求解，建立如下雙目標(biāo)規(guī)劃模型。

4.3 模型求解

對于上述雙目標(biāo)規(guī)劃模型，本文采取方法為首先求出單目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值，利用該最優(yōu)值將雙目標(biāo)函數(shù)歸一化，再加權(quán)平均為單目標(biāo)，將雙目標(biāo)規(guī)劃模型轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)規(guī)劃模型求解。[4]對于以爐溫曲線超過217℃到峰值溫度所覆蓋的面積S 為目標(biāo)函數(shù)的約束規(guī)劃模型，問題三中模型求解出面積最小值Smin=10602.14cm2。再以爐溫曲線對稱性指標(biāo)式（6）為目標(biāo)函數(shù)，采取問題三中相似算法，求解出最小值Fmin=6474.63。

求出S 和F 最小值后，對其進(jìn)行歸一化：

分別求S*和F*的最大值。

對于兩個目標(biāo)函數(shù)的權(quán)重賦值問題，根據(jù)題目內(nèi)容分析和查詢相關(guān)文獻(xiàn)資料[5，6]，主要考慮超過217℃到峰值溫度所覆蓋的面積最小，次要考慮峰值溫度為中心線的兩側(cè)超過217℃的爐溫曲線應(yīng)盡量對稱。最后，根據(jù)不同權(quán)重進(jìn)行計算，不斷優(yōu)化調(diào)整權(quán)重，使得S、F 與其最小值Smin=10602.14cm2、Fmin=6474.63 偏差都盡可能小，確定出最優(yōu)權(quán)重為63%、37%。

由上分析，建立歸一化加權(quán)單目標(biāo)規(guī)劃模型：

使用相似算法求解，得最優(yōu)傳送帶速度v=70.67cm/min，最優(yōu)爐溫曲線見圖5。

圖5 問題四最優(yōu)爐溫曲線

5 模型評價

對于回焊爐焊接的最優(yōu)爐溫曲線問題，綜合考慮超過217℃到峰值溫度所覆蓋的面積最小和峰值溫度為中心線的兩側(cè)超過217℃的爐溫曲線應(yīng)盡量對稱的問題，通過機(jī)理分析，建立了雙目標(biāo)約束規(guī)劃模型，歸一化加權(quán)為單目標(biāo)規(guī)劃模型，編程求解出最優(yōu)參數(shù)，分析嚴(yán)謹(jǐn)，模型合理準(zhǔn)確。

本文方法求出的結(jié)果也有一些缺點，例如在焊接過程中，電路板的比熱容變化無法準(zhǔn)確計算；回焊爐設(shè)定溫度與實際溫度可能有誤差，焊接過程中的導(dǎo)風(fēng)也可能會改變焊接溫度；同一批次的電路板本身也會有一定的偏差。如上這些情況都可能會影響焊接質(zhì)量。實際焊接過程中影響焊接質(zhì)量的因素可能有很多，題目中選取了兩個因素，可能不是很全面，后續(xù)還需進(jìn)一步研究，尋找更多的因素指標(biāo)，建立模型求解更合理的參數(shù)數(shù)據(jù)。