宋經(jīng)遠(yuǎn) 邵萬仁 賈東兵 金文棟 杜桂賢

(中國航發(fā)沈陽航空發(fā)動機(jī)研究所,遼寧 沈陽 110066)

作為一種新型的結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法,結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化與傳統(tǒng)的結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法相比,其思想核心是基于給定的結(jié)構(gòu)邊界約束、載荷和材料用量等條件,通過分析技術(shù)和優(yōu)化算法尋找出給定約束條件下最佳的結(jié)構(gòu)分布形態(tài),即達(dá)到目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)取值。伴隨著計算機(jī)技術(shù)和優(yōu)化算法的快速發(fā)展,結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于船舶工程、航空航天和汽車等工程領(lǐng)域,實(shí)現(xiàn)關(guān)鍵零部件結(jié)構(gòu)的輕量化和功能化設(shè)計需求。

魏浩林等人基于遺傳算法,以最大變形為約束條件,以體積最小為目標(biāo)函數(shù),采用結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化對飛機(jī)發(fā)動機(jī)支撐架進(jìn)行輕量化設(shè)計[1]。趙長峰采用變密度法拓?fù)鋬?yōu)化方法,為今后對無人機(jī)機(jī)架結(jié)構(gòu)進(jìn)行設(shè)計提供了思路和參考[2]。王雁根據(jù)現(xiàn)有尺寸優(yōu)化和拓?fù)鋬?yōu)化方法,提出了協(xié)同優(yōu)化設(shè)計方法,可同時考慮筋條在整體和局部的布局,為工程實(shí)際應(yīng)用提供指導(dǎo)[3-4]。劉小剛基于連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型,采用固體各向同性材料懲罰(SIMP)模型插值的變密度法對結(jié)構(gòu)進(jìn)行了拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計[5-6]。李英磊等人系統(tǒng)介紹了結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化的方法,主要包括均勻化、變密度、漸進(jìn)結(jié)構(gòu)、變厚度、獨(dú)立連續(xù)映射和水平集拓?fù)鋬?yōu)化算法[7]。

基于以上分析,本文將以工程典型構(gòu)件擴(kuò)張調(diào)節(jié)片為例,基于結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化的思想,根據(jù)設(shè)定的載荷和邊界條件等工況,以最小化柔度和最小化質(zhì)量為目標(biāo)函數(shù),采用Altair Inspire 和HyperMesh 等軟件實(shí)現(xiàn)擴(kuò)張調(diào)節(jié)片的結(jié)構(gòu)優(yōu)化和強(qiáng)化,為該結(jié)構(gòu)的輕量化設(shè)計提供理論基礎(chǔ)和技術(shù)指導(dǎo)。

1 擴(kuò)張調(diào)節(jié)片結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型

1.1 最小化質(zhì)量的數(shù)學(xué)模型

為了實(shí)現(xiàn)擴(kuò)張調(diào)節(jié)片結(jié)構(gòu)的輕量化設(shè)計,在實(shí)際工程應(yīng)用中,往往以最小化質(zhì)量為目標(biāo)函數(shù)[8],建立如下所示的數(shù)學(xué)模型。

式中,ρi表示第i 個有限元單元的相對密度；ρmin表示設(shè)計變量的取值下限；u 和[u] 分別表示位移和位移的約束限；M0和M分別表示初始結(jié)構(gòu)質(zhì)量和目標(biāo)結(jié)構(gòu)質(zhì)量；f 表示約束因子。

此外,機(jī)械零部件都需要滿足一定的強(qiáng)度要求。而滿足結(jié)構(gòu)強(qiáng)度要求的結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化,即是在應(yīng)力約束下尋求結(jié)構(gòu)的某性能最優(yōu)的結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化。根據(jù)已有文獻(xiàn)[8],建立基于應(yīng)力約束的拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型,模型的具體形式如下所示。

1.2 最小化柔度的數(shù)學(xué)模型

除了以最小質(zhì)量為目標(biāo)函數(shù)的拓?fù)鋬?yōu)化模型以外,在實(shí)際工程中還有一類數(shù)學(xué)模型,即以最小化柔度為目標(biāo)函數(shù)的拓?fù)鋬?yōu)化模型。對于單工況的靜力學(xué)拓?fù)鋬?yōu)化問題,一般將剛度最大問題轉(zhuǎn)換為柔度最小化問題,因?yàn)槿岫瓤梢院徒Y(jié)構(gòu)的應(yīng)變能聯(lián)系起來,在有限元中能夠更方便求解。根據(jù)有限元節(jié)點(diǎn)位移方程可得:

式中,C 表示結(jié)構(gòu)應(yīng)變能；F 表示外力向量；U 表示節(jié)點(diǎn)的位移向量；K 表示節(jié)點(diǎn)的剛度矩陣。同時指出,根據(jù)式(1)可得如下表達(dá)式。

在靜力學(xué)工況中,以單元密度為設(shè)計變量,模型體積為約束條件,將最小柔度作為目標(biāo)函數(shù),根據(jù)文獻(xiàn)[9],可以建立如下所示的數(shù)學(xué)模型。

式中,xi表示單元的相對密度；C 表示結(jié)構(gòu)的總體柔度；U 表示位移矩陣；F 表示外力向量；p 表示懲罰因子；K 表示結(jié)構(gòu)剛度矩陣；ui表示單元位移向量；k0表示單元初始剛度矩陣；V0表示結(jié)構(gòu)的初始體積；表示體積分?jǐn)?shù)約束上限；vi表示單元初始體積；xmin表示設(shè)計變量下限,目的是為了防止單元剛度矩陣出現(xiàn)奇異現(xiàn)象。

2 擴(kuò)張調(diào)節(jié)片結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化基本流程

2.1 模型載荷的施加

在進(jìn)行結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化之前,需要根據(jù)擴(kuò)張調(diào)節(jié)片結(jié)構(gòu)在實(shí)際工作過程中所承受載荷工況來施加載荷,因此本小節(jié)主要討論擴(kuò)張調(diào)節(jié)片結(jié)構(gòu)模型載荷的施加。本文通過Altair Inspire 軟件施加變化的壓強(qiáng)載荷,載荷施加后的效果如圖1 所示。在模型下表面的壓強(qiáng)中,最左端的數(shù)值為250.77KPa,右端最小為153.4KPa,此外壓強(qiáng)分布滿足梯度變化,本次仿真中所施加的壓強(qiáng)數(shù)值滿足實(shí)際載荷分布。

2.2 以最小化質(zhì)量為目標(biāo)的拓?fù)鋬?yōu)化

本小節(jié)主要討論以最小化質(zhì)量為目標(biāo)函數(shù)開展結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化,通過數(shù)值研究發(fā)現(xiàn)當(dāng)截斷值取0.35 時,可得到最佳拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果,結(jié)果如圖2 所示。通過圖2 可知,當(dāng)采用最小化質(zhì)量為目標(biāo)函數(shù)時,結(jié)構(gòu)的拓?fù)浣Y(jié)果只包含了整體的傳力路徑,結(jié)構(gòu)的細(xì)微特征被忽略,如在底板四周的材料均為較低密度數(shù)值。此外,在支撐結(jié)構(gòu)中部區(qū)域,底板附件的材料均被刪除。

2.3 以最小化柔度為目標(biāo)的拓?fù)鋬?yōu)化

本小節(jié)主要討論以最小化柔度為目標(biāo)函數(shù)開展結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化。由上所述,以最小化質(zhì)量為目標(biāo)函數(shù),帶來的影響是忽略了結(jié)構(gòu)的細(xì)微特征,這給底板的強(qiáng)度帶來了影響,所以接下來探究最小化柔度為目標(biāo)函數(shù)的拓?fù)鋬?yōu)化。優(yōu)化中的約束采用體積分?jǐn)?shù)控制,通過保證在已知體積分?jǐn)?shù)的約束下,獲得結(jié)構(gòu)的最大剛度,來實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化。在這個過程中,需要探索的是具體的體積分?jǐn)?shù)約束值,最大、最小成員尺寸約束和拔模等加工約束的影響,本節(jié)將分兩種情況分別進(jìn)行討論。

第一種情況,以最小化整體柔度為目標(biāo)函數(shù),約束采用體積分?jǐn)?shù)約束,其上限為0.2,最大成員尺寸設(shè)置為6mm,目的是充分離散結(jié)構(gòu),最大程度實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)減重。最小成員尺寸為3mm,防止出現(xiàn)“棋盤格”現(xiàn)象。此外,由于約束和載荷的對稱,給模型添加對稱和拔模約束。整個過程迭代44步,最終的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果如圖3 所示。結(jié)果表明,受對稱和拔模約束的限制,設(shè)計區(qū)域出離散程度較低的現(xiàn)象,即出現(xiàn)材料的大量堆積,這為結(jié)構(gòu)的減重帶來了挑戰(zhàn)。因此對于該模型,對稱和拔模約束的施加,不利于結(jié)構(gòu)的減重優(yōu)化。

第二種情況,以最小化柔度為目標(biāo)函數(shù),體積分?jǐn)?shù)約束上限為0.2,將最小成員尺寸減小為1mm,將最大成員尺寸擴(kuò)大為6mm。最小成員尺寸主要是用于控制“棋盤格”現(xiàn)象,實(shí)現(xiàn)對拓?fù)浣Y(jié)果的小特征控制,即為小特征尺寸的下限值。最大成員尺寸的作用是防止材料的堆積,作為大特征尺寸的上限值。整個計算過程持續(xù)35 步,優(yōu)化結(jié)果如圖4 所示。可發(fā)現(xiàn)當(dāng)減小最小成員尺寸后,底板結(jié)構(gòu)的四周小特征較多。結(jié)果表明,通過減小最小成員尺寸能夠保留更多的細(xì)小特征,為結(jié)構(gòu)的再設(shè)計提供更準(zhǔn)確的指導(dǎo)。

2.4 幾何重構(gòu)

本小節(jié)主要討論根據(jù)上述拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)構(gòu),對擴(kuò)張調(diào)節(jié)片結(jié)構(gòu)進(jìn)行幾何重構(gòu),具體措施如下所示?；贖yperMesh 軟件的OSSmooth 功能,選定優(yōu)化結(jié)果,并設(shè)定好等效密度的閾值(截斷值),生成對應(yīng)拓?fù)浣Y(jié)果的STL 文件。將STL 文件導(dǎo)入到Altair Inspire 中,采用自帶的PolyNURBS 功能實(shí)現(xiàn)模型的幾何重構(gòu)。幾何重構(gòu)后的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果如圖5 所示,整個模型部件結(jié)合為一體,減少了模型的零件數(shù)目。此外,結(jié)構(gòu)的拓?fù)浞植?滿足優(yōu)化結(jié)果的傳力路徑。重構(gòu)后的幾何模型質(zhì)量為1.79Kg,原模型約為2.4Kg,減重達(dá)到25.42%。

3 擴(kuò)張調(diào)節(jié)片結(jié)構(gòu)強(qiáng)度校核

3.1 擴(kuò)張調(diào)節(jié)片原模型強(qiáng)度校核

本小節(jié)主要對擴(kuò)張調(diào)節(jié)片原模型進(jìn)行強(qiáng)度校核,建立有限元分析模型并進(jìn)行靜力學(xué)仿真,仿真結(jié)果如圖6 所示。通過圖6(a)可知,最大位移數(shù)值為2.06mm,出現(xiàn)在未約束的端部。此外,通過位移云圖可發(fā)現(xiàn),從支架中部的左右兩邊,結(jié)構(gòu)的剛度有明顯的突變。模型的等效應(yīng)力云圖如圖6(b)所示,結(jié)構(gòu)的最大應(yīng)力出現(xiàn)在遠(yuǎn)離約束端的人字形支架底部,最大應(yīng)力數(shù)值為437.515MPa。本次強(qiáng)度校核采用的是普通鋼材,其楊氏模量210000MPa,泊松比為0.3。仿真結(jié)果顯示,結(jié)構(gòu)的最大等效應(yīng)力為437.515MPa,表明結(jié)構(gòu)在目前的約束和載荷下,已經(jīng)進(jìn)入材料塑性階段。

圖6 擴(kuò)張調(diào)節(jié)片原模型仿真結(jié)果

3.2 擴(kuò)張調(diào)節(jié)片拓?fù)鋬?yōu)化后強(qiáng)度校核

本小節(jié)主要對拓?fù)鋬?yōu)化后的模型進(jìn)行強(qiáng)度校核,建立有限元模型并進(jìn)行靜力學(xué)仿真,仿真結(jié)果如圖7 所示。通過圖7(a)可知,模型中最大位移為1.632mm,出現(xiàn)在無約束端的端部。原模型的最大位移為2.06mm,整體結(jié)構(gòu)剛度增加20.78%。拓?fù)鋬?yōu)化后模型的等效應(yīng)力仿真結(jié)果如圖7(b)。在靜力工況中,模型的最大等效應(yīng)力為334.728MPa,最大應(yīng)力位置出現(xiàn)在支架底部處。與原模型相比,最大等效應(yīng)力大幅降低,結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度大幅提高,降低了結(jié)構(gòu)在高應(yīng)力條件下疲勞損壞的概率。

圖7 擴(kuò)張調(diào)節(jié)片拓?fù)鋬?yōu)化后模型仿真結(jié)果

4 結(jié)論

4.1 本文基于拓?fù)鋬?yōu)化的基本原理,以擴(kuò)張調(diào)節(jié)片結(jié)構(gòu)為研究對象,分別以最小優(yōu)化質(zhì)量和最小優(yōu)化柔度為目標(biāo)函數(shù),建立了相應(yīng)的拓?fù)鋬?yōu)化分析模型。

4.2 闡明了最小優(yōu)化質(zhì)量為目標(biāo)函數(shù)建立拓?fù)鋬?yōu)化模型的局限性即不考慮細(xì)微結(jié)構(gòu),著重分析了以最小柔度為目標(biāo)函數(shù)的拓?fù)鋬?yōu)化分析模型,并探究了具體的體積分?jǐn)?shù)約束值,最大、最小成員尺寸約束和拔模等加工約束因素對拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果的影響。

4.3 通過對擴(kuò)張調(diào)節(jié)片拓?fù)鋬?yōu)化前后的模型進(jìn)行靜強(qiáng)度校核,通過位移云圖和等效應(yīng)力云圖對比結(jié)果,不難看出,經(jīng)過拓?fù)鋬?yōu)化后,擴(kuò)張調(diào)節(jié)片結(jié)構(gòu)的綜合力學(xué)性能有了較大提升。