李娟

（南京審計(jì)大學(xué)金審學(xué)院基礎(chǔ)部，江蘇 南京 210023）

0 引言

SEVINA等［1］在描述具有小斜面生長(zhǎng)中的晶體表面時(shí)提出了一類高階對(duì)流Cahn-Hilliad型方程?？紤]高階對(duì)流Cahn-Hilliard型方程的周期初邊值問(wèn)題：

其中，x、t分別為空間和時(shí)間，u為界面斜率，ε與原子通量的沉積強(qiáng)度成正比，整體對(duì)流項(xiàng)εuux來(lái)自于堆積原子的法向沖擊，uxxxxxx來(lái)自于曲率微分正則化，其他項(xiàng)表示表面擴(kuò)散作用下表面能的各向異性。

高階對(duì)流Cahn-Hilliard型方程在材料模擬中具有重要作用。KORZEC等［2］研究了該方程的穩(wěn)態(tài)解；KORZEC等［3］利用Galerkin方法研究了方程弱解的存在性。由于高階非線性發(fā)展方程較難求解析解，故研究數(shù)值算法具有一定意義。

因?qū)Ω唠A對(duì)流Cahn-Hilliard方程的相關(guān)數(shù)值研究較少，故本文先探究六階非線性發(fā)展方程相場(chǎng)模型的數(shù)值方法。WISE等［4］和HU等［5］分別基于凸分解方法討論了晶體相場(chǎng)模型的時(shí)間方向一階、空間方向二階的穩(wěn)定數(shù)值格式和二階非線性三層差分格式；GOMEZ等［6］和ZHANG等［7］分別討論了能量穩(wěn)定的數(shù)值格式和二階差分格式；由于非線性格式迭代運(yùn)算耗費(fèi)時(shí)間較多，YANG等［8］、CAO等［9］和李娟［10］分別討論了晶體相場(chǎng)模型的線性化數(shù)值算法。高階對(duì)流Cahn-Hilliard型方程較之于晶體相場(chǎng)模型，前者具有非線性對(duì)流項(xiàng)和擴(kuò)散項(xiàng)，且導(dǎo)數(shù)達(dá)到四階，這對(duì)模型數(shù)值算法的建立及理論分析均帶來(lái)了實(shí)際困難。為解決這些問(wèn)題，需改寫方程中的非線性項(xiàng)。本文利用中心差商對(duì)其進(jìn)行離散，一方面方便差分格式線性化，另一方面，在差分格式的理論分析中避免對(duì)非線性項(xiàng)差商的估計(jì)，這在一定程度上降低了分析難度。

為豐富高階非線性發(fā)展方程的數(shù)值算法，研究了高階對(duì)流Cahn-Hilliard型方程的線性化差分方法。首先，建立二階收斂的線性化差分格式；其次，利用能量分析方法和數(shù)學(xué)歸納法對(duì)差分格式進(jìn)行理論分析，證明差分格式解的唯一性和L2范數(shù)下的收斂性。再次，利用數(shù)值算例驗(yàn)證差分格式的有效性。最后，給出了小結(jié)和展望。

1 差分格式的建立

為建立二階線性化差分格式，引入以下記號(hào)：正整數(shù)M，N，時(shí)間區(qū)間[0，T]。記xi=ih，tk=kτ，Ωh={xi|0≤i≤M}，Ωτ={tk|0≤k≤N}，Uh={v|v={vi}，vi=vi+M}。對(duì)任意網(wǎng)格函數(shù)v∈Uh，記

對(duì)定義在Ωτ上的網(wǎng)格函數(shù)w=(w0，w1，w2，…，wN)，記

對(duì)式（1）和式（2）在周期[0，L]上建立差分格式。用網(wǎng)格函數(shù)Uki表示問(wèn)題的精確解在點(diǎn)(xi，tk)處的值。由泰勒公式，有

其中，ut(xi，0)由式（1）和式（2）確定，并記

因uux=3u2)ux]xxx，故式（1）等價(jià)于

其中，f(u)=1-3u2。分別在點(diǎn)和(xi，tk)處對(duì)式（5）應(yīng)用帶積分型余項(xiàng)的泰勒公式，可得

假設(shè)式（1）和式（2）的精確解適當(dāng)光滑，則存在正常數(shù)c0，使得

在式（6）～式（8）中，用數(shù)值解代替精確解，并略去小量項(xiàng)，可得以下線性化隱式差分格式：

綜上，對(duì)式（1）和式（2）建立了線性化隱式差分格式，即式（10）～式（12）。第0層的數(shù)值解由初值條件式（12）給出；式（10）為關(guān)于第1層數(shù)值解u1的變 系 數(shù) 線 性 方 程 組；當(dāng)uk-1，uk（k≥1）已 知 時(shí)，式（11）為關(guān)于第k+1層數(shù)值解uk+1的變系數(shù)非齊次線性方程組，利用線性方程組理論可求得該時(shí)間層的數(shù)值解。

2 差分格式的理論分析

利用能量分析法討論差分格式的唯一可解性和收斂性。為便于分析，定義內(nèi)積和范數(shù)，并給出一些引理。

對(duì)任意的u，v∈Uh，定義

引理1［11］對(duì)任意的u，v∈Uh，存在

由引理1和內(nèi)積定義，可知

從而有

引理2對(duì)任意的u，v∈Uh，有

引理3［4］設(shè)v，∈Uh，對(duì)任意的正數(shù)α＞0，有

記

定理1假設(shè)式（1）和式（2）的解適當(dāng)光滑，則式（10）～式（12）是唯一可解的，且按L2-范數(shù)收斂于問(wèn)題的精確解，收斂階為O(τ2+h2)。即存在正常數(shù)c，當(dāng)時(shí)，有

證明數(shù)學(xué)歸納法。

第1步u1的唯一性。

由式（12）知，第0層的數(shù)值解u0已唯一確定，此時(shí)，式（10）為關(guān)于u1的線性方程組，欲證其唯一可解性，僅需證其對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組

僅有零解。

用u1與式（18）作內(nèi)積，可得

由柯西不等式、引理1、引理2及式（19），知

在引理3中，取α=3，可得

從而有

將式（22）代入式（20），可得

第2步u1的收斂性。

由引理1、引理2及當(dāng)α=3時(shí)的引理3，并將式（17）代入式（24），可得

從而有

當(dāng)τ≤時(shí)，由 式（26）可得

假設(shè)對(duì)第0，1，2，…，l層數(shù)值解，定理結(jié)論均成立，則當(dāng)時(shí)，有

從而有

第3步ul+1的唯一性。

當(dāng)uk、uk-1已知時(shí)，式（11）為關(guān)于uk+1的線性方程組。欲證其唯一可解性，僅需證其對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組

僅有零解。

用uk+1與式（29）作內(nèi)積，可得

由引理1、引理2及式（30），可得

由當(dāng)α=3時(shí)的引理3及式（31），可得

從 而，當(dāng)τ時(shí)，有||ul+1||2=0，即第l+1層數(shù)值解是唯一的。

第4步ul+1的收斂性。

用e-k與式（14）作內(nèi)積，可得

由引理1和式（33），可得

先估計(jì)非線性項(xiàng)：

由引理2和柯西不等式，可得

由

及引理1和柯西不等式，可知

將式（36）、式（38）代入式（34），可得

在引理3中，取α=，有

將其代入式（39），整理后可得

記Ek=||ek||2+||ek+1||2，由式（40），有

由Gronwall不等式、式（9）、式（27）及式（42），可得

即

從而有

即對(duì)第l+1層數(shù)值解，定理成立。

證畢。

3 數(shù)值算例

式（10）～式（12）在時(shí)間和空間上均為二階收斂。每個(gè)時(shí)間層僅需解一個(gè)線性方程組。設(shè){uki(h，τ)|1≤i≤M，0≤k≤N}為式（10）～式（12）的數(shù)值解，為驗(yàn)證數(shù)值誤差和收斂精度，分別定義L2-范數(shù)和L∞-范數(shù)下的誤差：

對(duì)于充分小的空間步長(zhǎng)h，定義時(shí)間收斂階：

對(duì)于充分小的時(shí)間步長(zhǎng)τ，定義空間收斂階：

KORZEC等［3］分 別 研 究 了 參 數(shù)ε=0.01，0.5，0.7，1，2，3，5時(shí)式（1）和式（2）解的演化情況。對(duì)參數(shù)ε=0.5，初 值u0(x)=sin(2πx/64)，在 周 期 區(qū) 間［0，64］，時(shí)間區(qū)間［0，T］內(nèi)，利用Matlab編程驗(yàn)證數(shù)值解的收斂性。

首先，固定空間步長(zhǎng)h，驗(yàn)證時(shí)間收斂階。取空間網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)M=2 000，時(shí)間網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)N=20，40，80，160，分別計(jì)算時(shí)刻T=5的誤差H2（h，τ），H∞（h，τ）和時(shí)間收斂階order1，order2，數(shù)值結(jié)果見(jiàn)表1。其次，固定時(shí)間步長(zhǎng)τ，驗(yàn)證空間收斂階。取時(shí)間網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)N=2 000，空間網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)M=10，20，40，80，分別計(jì)算時(shí)刻T=5時(shí)的誤差H2（h，τ），H∞（h，τ）和空間收斂階order3，order4，數(shù)值結(jié)果見(jiàn)表2。由表1和表2可知，差分格式是二階收斂的，驗(yàn)證了差分格式的有效性。

表1 當(dāng)T=5，M=2 000，ε=0.5時(shí)，差分格式在L2-范數(shù)和L∞-范數(shù)下的誤差和時(shí)間收斂階Table 1 The errors and temporal convergence orders of the difference scheme in L2-norm and L∞-norm when T=5，M=2 000，ε=0.5

表2 當(dāng)T=5，N=2 000，ε=0.5時(shí)，差分格式在L2-范數(shù)和L∞-范數(shù)下的誤差和空間收斂階Table 2 The errors and spatial convergence orders of the difference scheme in L2-norm and L∞-norm when T=5，N=2 000，ε=0.5

4 結(jié)論

研究了高階對(duì)流Cahn-Hilliard型方程的數(shù)值方法。建立了二階收斂的線性化差分格式，利用能量分析方法證明了差分格式的唯一可解性和L2范數(shù)下的收斂性，由數(shù)值算例可知，數(shù)值解在最大模意義下亦是二階收斂的。差分格式的研究方法可推廣至二維情形。對(duì)于高階對(duì)流Cahn-Hilliard型方程的差分格式算法僅研究至二階，為提高計(jì)算精度，后續(xù)將研究該問(wèn)題的高階線性化數(shù)值格式。