張萍，覃桂茳，楊甲山*

（1.邵陽學(xué)院 理學(xué)院,湖南 邵陽 422004；2.梧州學(xué)院 大數(shù)據(jù)與軟件工程學(xué)院,廣西 梧州 543002）

0 引言

近年來，隨著社會的進(jìn)步和科學(xué)技術(shù)的迅猛發(fā)展，在數(shù)學(xué)物理、生物醫(yī)藥、機(jī)械工程、自動控制、航天工程及金融等領(lǐng)域提出了大量由差分方程描述的數(shù)學(xué)模型。因此，學(xué)者們對差分方程定性理論（如振動性，非振動解的存在性等）的研究［1-21］興趣與日俱增，但大多工作集中在方程解的振動性研究［1-5］，對方程非振動解的存在性研究較少。本文考慮以下具有正負(fù)系數(shù)和多變時滯的高階非線性中立型差分方程：

其 中，n≥n0；n0≥0，m≥1，l≥1為 給 定 的 整 數(shù)，d≥2為 偶 數(shù)；Δ為 向 前 差 分：Δx(n)=x(n+1)-x(n)，Δk x(n)=Δ[Δk-1x(n)]。考慮以下條件：

（H1）時滯τ(n)，σi(n)，λj(n)∈N且均為有界序列（i=1，2，…，m；j=1，2，…，l。下同，略）。

（H2）A(n)，P(n)，Qi(n)，qj(n)均為實(shí)數(shù)序列，且A(n)≠0，Qi(n)≥0，qj(n)≥0。

（H3）fi(u)，gj(u)∈C(R，R)，且當(dāng)u≠0時ufi(u)＞0，ugj(u)＞0。

（H4）函數(shù)fi，gj滿足fi(0)=0，gj(0)=0及 局部利普希茨（Lipschitz）條件，即存在常數(shù)α＞0和Lfi＞0，Lgj＞0，使得對?0≤x≤α，0≤y≤α，有

（H5）存在正整數(shù)n1≥n0，使得

式（1）包含了許多典型的差分方程，如

對于這些典型方程非振動解的存在性，已有一些研究成果。文獻(xiàn)［6］研究了具正負(fù)系數(shù)的常時滯二階差分方程（E1）非振動解的存在性，在p≥0時，對任意n≥n1及任意常數(shù)α＞0，均在條件

下得到該方程“一定存在有界的最終正解”的結(jié)論；文獻(xiàn)［7］研究了具正負(fù)系數(shù)的常時滯高階差分方程（E2）非振動解的存在性，但也要求條件（C1）成立；文獻(xiàn)［8］雖然改進(jìn)了文獻(xiàn)［7］的條件，未要求條件（C1）成立，但要求中立項(xiàng)系數(shù)恒為常數(shù)，即P(n)≡p0。

對中立項(xiàng)系數(shù)不是常數(shù)且方程為多變時滯的情形，文獻(xiàn)［9-10］研究了具正負(fù)系數(shù)的一類二階差分方程（E3）非振動解的存在性，遺憾的是，其要求“σi≥λj≡λ且至少有一個i使得σi＞λ，且 最 終 不 恒為0”，而且沒有給出當(dāng)中立項(xiàng)系數(shù)P(n)≤-1時方程（E3）存在有界最終正解的條件；文獻(xiàn)［11-12］進(jìn)一步研究了具正負(fù)系數(shù)的高階差分方程（E4）及（E5）的非振動解的存在性，放棄了較為苛刻的條件（C1），得到式（E4）及式（E5）存在有界最終正解的條件，遺憾的是條件

也較強(qiáng)，且式（E4）是單時滯的，而式（E5）又是常時滯的。

綜上可知，已有文獻(xiàn)對具有正負(fù)系數(shù)的差分方程正解的存在性研究成果是不完善的。

本文利用Banach空間的不動點(diǎn)原理并結(jié)合分析技巧，得到了具正負(fù)系數(shù)和多變時滯的高階差分方程（式（1））存在有界最終正解的條件，放棄了以上文獻(xiàn)普遍用到的較為苛刻的條件（如條件（C1）或（C2）和（C3）），旨在彌補(bǔ)上述研究的不足，使這些研究結(jié)果成為了本文的特例。

1 主要結(jié)果及證明

定理1若條件（H1）～（H5）滿足，且下列條件之一成立：

（A1）存在正常數(shù)p，使得0≤P(n)≤p＜1；

（A2）存在常數(shù)p0，使得|P(n)|≤p0≤1/3；

（A3）存在負(fù)常數(shù)p，使得-1＜p≤P(n)＜0；

（A4）存 在 負(fù) 常 數(shù)p1，p2，使 得-∞＜p1≤P(n)≤p2＜-1；

（A5）存在正常數(shù)p1，p2，使得1＜p1≤P(n)≤p2＜+∞；

則式（1）一定存在一個有界的最終正解。

證明為方便，記由于τ(n)，σi(n)，λj(n)均為有界序列，故記

情形A1由式（2）和式（3），可選取充分大的正整 數(shù)N1，N1≥max{n1，μ}，使 得 當(dāng)n≥N1時 條 件（A1）成立，并且以下兩式也同時成立：

由此可得

設(shè)集合B由所有有界實(shí)數(shù)序列x=構(gòu)成，即

B={x=x(n)|x(n)是有界實(shí)數(shù)，n≥N1-μ}，并在B上定義范數(shù)：

顯 然B為Banach空 間。再 記 集 合B1=顯然，B1是B的有界閉凸子集。在B1上定義映照T1：B1→B：

易知T1為連續(xù)映照?，F(xiàn)任取x∈B1，利用條件（H4）及式（4），由式（7）可推得

利用條件（H4）及式（5），由式（7）同樣可推得

另任取x(1)，x(2)∈B1，由式（7）并分別利用條件（H4）及式（6），可推得

即

于是由0＜p＜1可知，T1為 壓 縮映照。因 此T1一定有唯一的不動點(diǎn)x∈B1，使得T1x=x。再由B1的定義及式（7），知此不動點(diǎn)是有界的，并且最終滿足

移項(xiàng)，然后求一次差分，可得

式（8）兩邊同乘A(n)后再求一次差分，并由式（9）可得

一般地，有

這 里N(0)=1，k=2，3，…，d-1。注 意 到d是 偶數(shù)，所以有

對上式再求一次差分，得

即

說明該不動點(diǎn){x(n)}是式（1）的一個有界的最終正解。

情形A2存在常數(shù)p0，使得|P(n)|≤p0≤1/3。由式（2）和式（3），可選取充分大的正整數(shù)N2，N2≥max{n1，μ}，使得下列兩式同時成立：

于是有

令B={x=x(n)|x(n)是有界的實(shí)數(shù)，n≥N2-μ}，

定義映照T2：B2→B：

類似于情形A1，分別有

其余證明類似于情形A1，所以在情形A2下，式（1）也有一個有界的最終正解。

情 形A3存在 負(fù) 常數(shù)p，使 得-1＜p≤P(n)＜0。由式（2）和式（3），可選取充分大的正整數(shù)N3，N3＞max{n1，μ}，使得下列兩式同時成立：

于是有

令B={x=x(n)|x(n)是有界的實(shí)數(shù)，n≥N3-μ}，

定義映照T3：B3→B：

其余證明完全類似于情形A1，此證略。

情形A4存在負(fù)常數(shù)p1，p2，使得-∞＜p1≤P(n)≤p2＜-1。由式（2）和式（3），選取充分大的正 整 數(shù)N4，N4＞max{n1，μ}，使 得 下 列 兩 式 同 時成立：

于是有

令B={x=x(n)|x(n)是有界的實(shí)數(shù)，n≥N4-μ}，

定義映照T4：B4→B：

其余證明完全類似于情形A1，此證略。

情 形A5存 在 正 常 數(shù)p1，p2，，使 得1＜p1≤P(n)≤p2＜+∞。由式（2）和式（3），可選取充分大的正整數(shù)N5，N5＞max{n1，μ}，使得下列兩式同時成立：

于是有

令B={x=x(n)|x(n)是有界的實(shí)數(shù)，n≥N5-μ}，

定義映照T5：B5→B：

其余證明完全類似于情形A1，此證略。

定理1證畢。

注1當(dāng)d≥2且為奇數(shù)時，用完全類似的方法可以證明定理1的結(jié)論也成立。如對情形A1，只需將映照T1：B1→B修改為

其余部分證明完全相同。

注2對 二 階 方 程，若 式（1）中，d=2，A(n)≡1，P(n)≡p0，m=1，l=1，f(x)=x，g(x)=x，并且τ(n)≡τ0，σ(n)≡σ0，λ(n)≡λ0，則由定理1的情形A1、情形A5，便可得到文獻(xiàn)［6］中的所有定理，但本文放棄了文獻(xiàn)［6］中對任意n≥n1均有αQ（n）-R（n）≥0的條件，而且還給出了其他情形的結(jié)果。此外，文獻(xiàn)［9-10］的結(jié)果顯然也是本文的特例，但本文的條件更為寬松，并且給出了P(n)≤-1的結(jié)果。

注3對高階方程，若式（1）中，A(n)≡1，m=1，l=1，f(x)=x，g(x)=x，并且τ(n)≡τ0，σ(n)≡σ0，λ(n)≡λ0，則由定理1便可得到文獻(xiàn)［7］中的所有結(jié)果，但本文放棄了文獻(xiàn)［7］中對任意n≥n1均 有αQ（n）-R（n）≥0的 條 件。進(jìn) 一 步，若P(n)≡p0，則由定理1便可得到文獻(xiàn)［8］的定理6～定理9，但本文增加了中立項(xiàng)系數(shù)P(n)在0附近振蕩的情形，即|P(n)|≤1/3時的結(jié)果。此外，文獻(xiàn)［11-12］的結(jié)果顯然也是本文的特例，但本文定理中的條件較文獻(xiàn)［11-12］的條件（C2）和（C3）更寬松。因此，本文定理推廣并改進(jìn)了已有文獻(xiàn)的相關(guān)結(jié)論。

注4當(dāng)中立項(xiàng)系數(shù)P(n)在±1附近振蕩時，情況較為復(fù)雜，此時式（1）是否存在有界的最終正解，有待進(jìn)一步研究。