歐陽(yáng)柏平

（廣州華商學(xué)院數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 511300）

0 引言

近年來(lái)，已有很多研究針對(duì)局部和非局部拋物方程和拋物系統(tǒng)解的全局存在性和爆破問(wèn)題。一般而言，解的全局存在性和爆破取決于方程的非線(xiàn)性、空間維數(shù)、初始數(shù)據(jù)以及邊界條件。文獻(xiàn)［1-6］考慮了三維空間中解在齊次邊界條件（Dirichlet條件和Neumann條件）和Robin邊界下的全局存在性和爆破問(wèn)題。文獻(xiàn)［7-17］研究了高維空間中解在非線(xiàn)性邊界條件下的全局存在性和爆破問(wèn)題。文獻(xiàn)［18-25］對(duì)具有時(shí)變或空變系數(shù)的局部和非局部拋物方程和拋物系統(tǒng)解的全局性和爆破進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)［26-28］考慮了其他偏微分方程解的爆破問(wèn)題。從某種程度上，非局部的數(shù)學(xué)模型比局部的數(shù)學(xué)模型更具實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，因而探討非局部的拋物方程和拋物系統(tǒng)解的全局存在性和爆破有較強(qiáng)的理論價(jià)值和實(shí)際意義。由于局部數(shù)學(xué)模型的理論和數(shù)學(xué)方法不適用于非局部數(shù)學(xué)模型，因此對(duì)于非局部數(shù)學(xué)模型的研究有較大的挑戰(zhàn)。目前，關(guān)于爆破發(fā)生時(shí)解的爆破時(shí)間上下界估計(jì)的研究，考慮上界的方法較多，而考慮下界的較少。

文獻(xiàn)［17］研究了具有時(shí)變系數(shù)的反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)爆破問(wèn)題：

在齊次Dirichlet邊界條件下，得到解在有限時(shí)間內(nèi)爆破的條件。同時(shí)推出了解的爆破時(shí)間上界估計(jì)和在二維和三維空間中解的爆破時(shí)間下界估計(jì)。

文獻(xiàn)［19］研究了具有時(shí)變系數(shù)的局部反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)爆破問(wèn)題：

在齊次Dirichlet邊界條件下，得到解的爆破條件以及在2種測(cè)度下解在高維空間中爆破時(shí)間下界估計(jì)。

文獻(xiàn)［25］研究了具有空變系數(shù)的非局部反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)爆破問(wèn)題：

其中，a(x)和b(x)是光滑有界正函數(shù)。采用微分不等式方法，得到全空間中解的爆破時(shí)間下界估計(jì)。

文獻(xiàn)［17］研究了具有吸收項(xiàng)的半線(xiàn)性?huà)佄飭?wèn)題：

在齊次Neumann邊界條件下，采用微分不等式方法和某些假設(shè)條件，得到解的全局存在性和爆破時(shí)間上界估計(jì)以及三維空間中爆破發(fā)生時(shí)解的爆破時(shí)間下界估計(jì)。

受以上文獻(xiàn)啟發(fā)，本文研究非線(xiàn)性邊界條件下具有時(shí)變系數(shù)和吸收項(xiàng)的非線(xiàn)性非局部反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)解的全局存在性和爆破問(wèn)題：

其中，Ω是高維空間Rn(n≥3)中的有界凸區(qū)域，Δ表示拉普拉斯算子。?Ω是區(qū)域Ω的邊界，t*表示可能的爆破時(shí)間。分別是u、v在邊界?Ω上的外法向量的導(dǎo)數(shù)，假設(shè)其足夠光滑。

目前，尚未發(fā)現(xiàn)關(guān)于式（1）的解的全局存在性和爆破問(wèn)題的文獻(xiàn)研究。其困難在于如何處理高維空間、非局部項(xiàng)、吸收項(xiàng)以及非線(xiàn)性邊界條件對(duì)解的全局存在性和爆破影響。采用高維空間中的Sobolev嵌入不等式以及相關(guān)的微分不等式方法，得到高維空間中非線(xiàn)性邊界條件下解的全局存在性和爆破發(fā)生時(shí)解的爆破時(shí)間的下界估計(jì)。

1 全局存在性

引理1［16］設(shè)Ω是Rn(n≥3)上的有界凸區(qū)域，則對(duì)于u∈C1(Ω)，s＞0，有

其中，

引理2［29］Sobolev不等式：

其中，C=C(n，Ω)是 與n和Ω有 關(guān)的Sobolev嵌入常數(shù)。

定理1假設(shè)

則在任何有限時(shí)間式（1）的解均有界，即式（1）是全局存在的。

證明首先，定義輔助函數(shù)：

其中，σ＞1。

運(yùn)用散度定理，對(duì)式（6）求導(dǎo)數(shù)，結(jié)合式（5），得

其中，l=min{l1，l2}。

對(duì)于式（7）右邊第2項(xiàng)，由散度定理和式（2），有

對(duì)于式（8）右邊第2項(xiàng)，由H?lder不等式和Young不等式，得

其中，ε1為正數(shù)。于是，由式（8）和式（9），得到

對(duì)于式（7）右邊第5項(xiàng)，重復(fù)式（8）～式（10）的推導(dǎo)，可得

對(duì)于式（7）右邊第3項(xiàng)，由H?lder不等式和Young不等式，有

同樣，對(duì)于式（7）右邊第6項(xiàng)，由H?lder不等式和Young不等式，有

選取合適的ε1，ε2，使得r3≤0，λ3≤0，于是，式（14）可化為

由H?lder不等式和Young不等式，得

其中，ε3，ε4，ε5，ε6，ε，ε為正數(shù)。聯(lián)立式（15）～式（23），有

其中，

由H?lder不等式，可知

聯(lián)立式（24）～式（26），得

選 取 合 適 的ε3，ε4，ε5，ε6，ε，ε，使 得σ-r5＞0，σ-λ5＞0。

設(shè)K1=min{σ-r5，σ-λ5}，

由式（27），可得

其中，C為正常數(shù)。

式（28）表明，u在φ(t)測(cè)度下對(duì)于任意的t(t＞0)都不會(huì)爆破。事實(shí)上，如果在某個(gè)時(shí)間t*爆破，即

由式（28），對(duì)任意的t∈[t0，t*)，有φ′(t)≤0，從而φ(t)≤φ(t0)。當(dāng)t→(t*)-時(shí)，取極限，有

矛盾。定理1得證。

2 解的爆破時(shí)間的下界

假設(shè)

構(gòu)造輔助函數(shù)：

定理2假設(shè)u(x，t)，v(x，t)是式（1）、式（29）在有界凸區(qū)域Ω的經(jīng)典非負(fù)解，則式（30）中定義的能量滿(mǎn)足：

因此，爆破時(shí)間t*的下界為

Θ-1是Θ的反函數(shù)。

證明運(yùn)用散度定理，對(duì)式（30）求導(dǎo)數(shù)，由式（29），得

其中，a=max{a1，a2}。于是，由式（8）和式（9），得

同理，可得

對(duì)于式（31）右邊第3項(xiàng)，由H?lder不等式和Young不等式，有

同樣，對(duì)于式（31）右邊第6項(xiàng)，由H?lder不等式和Young不等式，有

由H?lder不等式，可得

由式（16）、式（20）、式（36）～（38），可得

由H?lder不等式和式（3），有

類(lèi)似于式（41）的推導(dǎo)，由H?lder不等式、式（3）～式（4），可得

其中，

ε10，ε11，ε12為常數(shù)。聯(lián)立式（40）～式（44），得

其中，

選取合適的ε1，ε2，ε9，ε10，ε11，ε12，使得K3≤0，K4≤0。于是，式（45）可化為

其中，K(t)=1+K5(t)+K6(t)。對(duì)式（46）從0到t*積分，有

因?yàn)棣蝘＞1(i=1，2)，所以式（47）右邊積分存在。易知，Θ(t*)是單調(diào)遞增函數(shù)，于是有

其中，Θ-1是Θ的反函數(shù)。

定理2得證。