吳榮興, 邱森, 張青艷, 鄭東

（寧波職業(yè)技術(shù)學(xué)院應(yīng)用力學(xué)研究所，浙江寧波，315800）

0 引言

聲表面波因其具有激發(fā)和接收簡(jiǎn)單、傳播能量衰減較小、檢測(cè)領(lǐng)域廣泛等優(yōu)點(diǎn)，在板型和圓柱類(lèi)結(jié)構(gòu)中獲得了廣泛的應(yīng)用[1]。高祥熙等利用超聲表面波對(duì)飛機(jī)液壓導(dǎo)管的裂紋進(jìn)行了檢測(cè)[2]。徐志祥等采用有限元仿真分析表面波在涂層平板表面的傳播規(guī)律，利用Morse小波分解多頻表面波信號(hào)，提取最大幅值單一頻率的缺陷時(shí)域信號(hào)從而確定表面缺陷位置[3]。宋大成等研究了聲表面波與一定深度范圍內(nèi)的V型裂紋的作用過(guò)程，采用有限元方法模擬了熱彈機(jī)制下，線(xiàn)性脈沖激光源激發(fā)的聲表面波信號(hào)在金屬材料中的傳輸過(guò)程，以及聲表面波與V型裂紋的相互作用[4]。吳榮興等分析了聲表面波在混凝土材料特性檢測(cè)和飛機(jī)結(jié)冰厚度檢測(cè)等應(yīng)用[5-7]。

金屬圓柱作為常見(jiàn)的結(jié)構(gòu)類(lèi)型，其表面缺陷檢測(cè)和管道類(lèi)傳感檢測(cè)一直是檢測(cè)領(lǐng)域重要的方向。聲表面波在圓柱表面?zhèn)鞑?huì)產(chǎn)生色散和相移現(xiàn)象，這與聲表面波在平板上的傳播規(guī)律不同，一定程度影響了檢測(cè)表面缺陷的位置精度[8]。徐志祥等提出通過(guò)掃描檢測(cè)點(diǎn)的方法確定缺陷的位置，給出了表面波在表面缺陷附近的傳播路徑和缺陷深度計(jì)算公式[9]。在這些分析過(guò)程中，除了極少數(shù)情況下，一般無(wú)法獲得其精確解析解，主要原因是聲表面波在空心圓柱體傳播時(shí)其邊界條件和求解過(guò)程將更加復(fù)雜。本文分析了聲表面波在空心圓柱體內(nèi)傳播的特性，為聲表面波在空心圓柱體的檢測(cè)奠定了理論基礎(chǔ)和方法。

1 基本方程

聲表面波在如圖1所示的空心圓柱體內(nèi)沿著圓周方向傳播，其內(nèi)徑、外徑和圓周轉(zhuǎn)角分別為r1、r2和θ，z軸垂直于的圓柱體橫截面，文中不考慮聲表面波沿著z軸方向傳播。當(dāng)聲表表面波沿著平板傳播時(shí)候，我們主要考慮二維截面，沿著x1方向傳播，但是在x2方向發(fā)生衰減。這里沿著圓周方向傳播，沿著半徑方向發(fā)生衰減。

圖1 空心圓柱體截面圖

各個(gè)方向的位移可以寫(xiě)為

式中ur和uθ分別是半徑r和轉(zhuǎn)角θ的函數(shù)，而勢(shì)函數(shù)φ和?必須滿(mǎn)足圓柱坐標(biāo)下的波動(dòng)方程為

式中

分別定義為彈性介質(zhì)的縱波和橫波波速，其中,λμ和ρ分別為彈性固體的拉梅常數(shù)和密度。根據(jù)彈性材料的本構(gòu)關(guān)系，應(yīng)力可以表示為

對(duì)于如圖1所示圓柱體的內(nèi)外表面，其邊界條件為

可以進(jìn)一步假設(shè)勢(shì)函數(shù)為

式中k和t分別式角波數(shù)和時(shí)間變量。將式(6)代入式(2)，省略掉e?iω t可以得到

式中的通解為

式中JM和YM分別是第一類(lèi)和第二類(lèi)貝塞爾函數(shù)，A1(A2,A3,A4)為振幅表示式，其他參數(shù)定義如下

將式(8)代入應(yīng)力表達(dá)式(4)，可以得到

可以將應(yīng)力表達(dá)式(10)代入邊界條件式(5)，可以得到振幅A1(A2,A3,A4)的線(xiàn)性齊次方程組。若這些振幅存在非零解，那么必須要求系數(shù)行列式的值必須為零，這樣就得了聲表面波在圓柱表面?zhèn)鞑サ念l散方程如下

這樣就完整建立了聲表面波在空心圓柱體傳播的頻散方程。為了進(jìn)一步分析其振動(dòng)特性，根據(jù)式(11)的計(jì)算結(jié)果，我們可以得到多個(gè)聲表面波的解，根據(jù)線(xiàn)性疊加原理，可以重寫(xiě)位移為

式中

通過(guò)位移表達(dá)式可以確定聲表面波的振動(dòng)模態(tài)形式，主要為對(duì)稱(chēng)振動(dòng)和反對(duì)稱(chēng)振動(dòng)模態(tài)。這里的位移表達(dá)式和平板的位移表達(dá)式存在著明顯不同，平板的位移表達(dá)式是不考慮曲率的影響，因此引用的勢(shì)函數(shù)也是不同的，其表達(dá)式為

式中kL和kT分別為單層板中縱波和橫波的波數(shù)

式中cL和cT分別為單層板的縱波和橫波波速，如式(3)所示。通過(guò)式(15)-(18)和前面的推導(dǎo)表達(dá)式比較可以明顯看出位移表達(dá)的不同，同時(shí)由于曲率的存在，聲表面波的頻率和位移都將發(fā)生改變，而這些改變對(duì)于聲表面波的檢測(cè)來(lái)說(shuō)非常重要。

2 計(jì)算結(jié)果

可以對(duì)式(11)進(jìn)行求解，這里設(shè)定的材料參數(shù)為空心圓柱鋁管，相關(guān)參數(shù)定義如下

可以進(jìn)一步定義周向?qū)Рǖ南嗨俣葹閇10]

這樣繪制了不同內(nèi)徑空心鋁圓柱體的聲表面波的頻散關(guān)系如圖2-3所示。

圖2 空心鋁圓柱的聲表面波頻散關(guān)系(r2=19mm)

圖3 空心鋁圓柱的聲表面波頻散關(guān)系(r2=18.5mm)

從圖2-4中可以觀(guān)察到隨著頻率的增加，空心鋁圓柱中的聲表面波將會(huì)出現(xiàn)一系列對(duì)稱(chēng)和反對(duì)稱(chēng)模態(tài)，這為空心圓柱體的各類(lèi)檢測(cè)提供了多模態(tài)選擇[10]。先前的研究表明低階的振動(dòng)模態(tài)通常被用來(lái)作為檢測(cè)的工作模態(tài)，例如零階對(duì)稱(chēng)和反對(duì)稱(chēng)模態(tài)，主要原因是低階模態(tài)比較容易激發(fā)和接收信號(hào)，高階模態(tài)激發(fā)和接收需要更加精確[7]。同樣發(fā)現(xiàn)隨著空心鋁圓柱體壁厚的不斷增加，在同一頻率尺度內(nèi)各種振動(dòng)模態(tài)將出現(xiàn)更多，這和平面板的結(jié)果不一致[11-12]。但是與平板中傳播的聲表面波一樣，隨著頻率的不斷增加，空心鋁圓柱體內(nèi)的聲表面波的各模態(tài)的波速都將趨于瑞利波波速[13]。

圖4 空心鋁圓柱的聲表面波頻散關(guān)系(r2=18mm)

同樣根據(jù)式（13），我們可以繪制出聲表面波在圓柱體傳播的位移圖如圖5-圖8所示。

這里需要注意的是圖5-8的縱坐標(biāo)是各階模態(tài)的歸一化位移，因?yàn)樵谟?jì)算過(guò)程中是利用振幅比來(lái)求解聲表面波的位移，因此就不存在單位。從圖5-8可以發(fā)現(xiàn)，圓柱體內(nèi)的聲表面波的位移仍然呈現(xiàn)對(duì)稱(chēng)和反對(duì)稱(chēng)模態(tài)[14]。但是由于存在一定的曲率，對(duì)稱(chēng)和反對(duì)稱(chēng)模態(tài)略顯變異，通過(guò)繪制不同曲率的位移圖表明曲率對(duì)于位移的影響較為明顯。這樣在實(shí)際工程檢測(cè)中，必須注意模態(tài)的選擇，過(guò)去的研究表明高階模態(tài)由于信號(hào)發(fā)射和接受比較困難，通常選擇低頻模態(tài)。現(xiàn)在的研究表明相比于平板，圓柱空心體的聲表面波的低階模態(tài)受曲率影響較為明顯，實(shí)際檢測(cè)時(shí)候必須考慮這些影響。

圖5 空心鋁圓柱中u1 的位移(r2=18mm)

圖6 空心鋁圓柱中u2 的位移(r2=18mm)

圖7 空心鋁圓柱中u1 的位移(r2=18mm)

圖8 空心鋁圓柱中u2 的位移(r2=18mm)

3 結(jié)論

分析了聲表面波在空心鋁圓柱體內(nèi)的傳播特性，建立了聲表面波的頻散方程。通過(guò)數(shù)值求解繪制了不同壁厚的空心鋁圓柱體的聲表面波頻散關(guān)系。計(jì)算結(jié)果表明聲表面波在空心圓柱體沿著圓周方向傳播時(shí)將會(huì)出現(xiàn)多個(gè)對(duì)稱(chēng)和反對(duì)稱(chēng)模態(tài)，同時(shí)隨著頻率的增加，各種模態(tài)的相速度都將趨于瑞利波的波速。這里建立的模型和計(jì)算結(jié)果為實(shí)際的聲表面波圓柱體檢測(cè)奠定了基礎(chǔ)。