張鐵建，于正林，張茂云，唐晨

（長春理工大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，長春 130022）

0 引言

非球面光學(xué)零件憑借其在光學(xué)系統(tǒng)中可有效地矯正系統(tǒng)像差，擴(kuò)大系統(tǒng)的視場角度，減輕系統(tǒng)整體質(zhì)量和縮小系統(tǒng)體積等作用，被廣泛應(yīng)用于各高精尖科技領(lǐng)域[1]。非球面面形檢測技術(shù)作為其加工工藝的一部分，如何準(zhǔn)確、快速、高效地檢測出非球面零件的面形信息，是許多專家學(xué)者一直重點(diǎn)研究的難題。

根據(jù)檢測手段的不同，主要分為機(jī)械接觸式測量和光學(xué)非接觸式測量[2]。光學(xué)非接觸式測量方法眾多且測量精度可到達(dá)納米級別，但光學(xué)測量很容易受到空氣介質(zhì)和灰塵的影響，對于被測零件的面形精度要求較高，且設(shè)備成本較高，一般應(yīng)用在精密拋光階段對最終成型的零件進(jìn)行測量。而接觸式測量具有更高的適用性，雖然存在測頭接觸變形誤差和劃傷零件表面的風(fēng)險，但是該方法得到的數(shù)據(jù)可靠且抗干擾能力強(qiáng)，故在實(shí)際加工過程中接觸式測量更加可靠，主要應(yīng)用于零件的精磨階段[3]。

本文在非球面零件成型銑磨階段應(yīng)用接觸式觸發(fā)測頭對非球面面形進(jìn)行測量，針對測量過程中觸發(fā)式測頭預(yù)行程誤差進(jìn)行分析，通過對測桿彎曲變形和測球變形的受力分析，建立預(yù)行程誤差模型，通過對觸發(fā)力的理論推導(dǎo)，精確計算出預(yù)行程誤差值，研究預(yù)行程誤差補(bǔ)償方法。

1 觸發(fā)式測頭

根據(jù)測量需求，測頭的基本使用要求有：具有良好柔順性，即當(dāng)測頭接觸零件表面時，測頭受到較小的測量觸發(fā)力就可以使測桿發(fā)生偏移產(chǎn)生信號，并允許測頭在離開零件表面前有時間減速；良好的可重復(fù)性，即使探針在不接觸零件時始終返回到初始狀態(tài)。

圖1所示為觸發(fā)式測頭三維模型圖，該測頭將觸發(fā)方式與機(jī)械結(jié)構(gòu)完全獨(dú)立，消除由于長期使用帶來的磨損誤差，可以提高測頭的可重復(fù)性。圖2所示為測桿定位機(jī)構(gòu)，該機(jī)構(gòu)主要采用推力軸承只能限制一個軸向自由度，而對其它5個自由度無限制的原理。

圖1 觸發(fā)式測頭三維圖

圖2 測桿定位機(jī)構(gòu)圖

當(dāng)測頭處于“零”位狀態(tài)時，軸承板受彈簧緩沖機(jī)構(gòu)提供的彈簧預(yù)緊力和3個均勻分布的小球提供的支持力牢牢固定在測頭中線的位置上，此時光源發(fā)射光線通過測桿的小孔經(jīng)預(yù)先設(shè)定好的45°反射板，根據(jù)光線反射原理，入射角等于反射角，光線正好可以射至傳感器接收端。當(dāng)測頭接觸工件時，隨著接觸力的增加，直到觸發(fā)力打破測頭內(nèi)部平衡測桿發(fā)生偏移，導(dǎo)致光線射到反射板的入射角度改變，從而反射光線無法經(jīng)預(yù)設(shè)線路到達(dá)傳感器，測頭檢測到下降沿信號，并將此時工作電路狀態(tài)變化狀態(tài)傳出。當(dāng)測頭離開工件，觸發(fā)力消失，由于測桿的偏轉(zhuǎn)非常小和3個小球的定位效果，測桿又回歸“零”位，等待下一次測量。

2 預(yù)行程誤差建模

在實(shí)際測量過程中，由于測頭自身機(jī)械響應(yīng)的滯后，當(dāng)接觸到被測零件表面時并不會立即發(fā)出觸發(fā)信號，故從測頭接觸到被測零件表面到被觸發(fā)這一過程被稱為測頭的預(yù)行程誤差。由于影響測頭預(yù)行程誤差的因素眾多，如測桿彎曲位移誤差和測球接觸位移誤差等，為了精確計算測頭預(yù)行程誤差，針對不同誤差源進(jìn)行數(shù)學(xué)建模對誤差進(jìn)行定量分析是十分必要的[4-5]。

2.1 觸發(fā)過程中測頭機(jī)構(gòu)受力分析

對測頭模型進(jìn)行簡化分析，觸發(fā)式測頭觸發(fā)機(jī)構(gòu)可近似看成彈簧提供的預(yù)緊力和3個均勻分布在機(jī)架上的小球?qū)y桿固定，當(dāng)接觸工件時，測桿受力使測桿具有X、Y方向及Z軸正方向偏移的能力，因此可以完成XY平面任意方向及Z軸正方向的測量。如圖3所示，A、B、C為3個接觸球副對稱分布在軸承座上，設(shè)測桿為Z軸且豎直向上為Z軸正方向，與測桿垂直的平面為XY平面且OA方向?yàn)閄軸正方向，忽略探針自重的影響，測桿長度為L，彈簧預(yù)緊力Fs作用在軸承板中心點(diǎn)，方向與Z軸正方向相反，F(xiàn)（θ，γ）為測頭與被測零件表面接觸時的觸發(fā)力，θ為測量觸發(fā)力在XY平面內(nèi)與X軸正方向的夾角，γ為測量觸發(fā)力與Z軸正方向的夾角。

圖3 觸發(fā)式測頭受力圖

根據(jù)非球面零件的子午線檢測原理可知，測頭與非球面表面接觸點(diǎn)實(shí)際上就是過非球面母線上各點(diǎn)的坐標(biāo)。非曲面零件測量模型如圖4所示，為非球面零件測量模型圖，從圖中可以看出，非球面零件表面被測點(diǎn)切線與X軸夾角α和測量觸發(fā)力方向與Z軸夾角γ相等。根據(jù)非球面零件一般表達(dá)式可以計算出角α。故角γ可以表示為

圖4 測量模型分析圖

1）測桿彎曲位移誤差。

實(shí)際測量中，在接觸測量力的作用下測桿會發(fā)生微小的彎曲變形情況，從而在測量過程中會產(chǎn)生由測桿彎曲變形影響帶來的誤差，下面對測桿彎曲位移誤差進(jìn)行分析。

圖5 測桿彎曲變形示意圖

2）測頭接觸變形誤差。

當(dāng)測頭接觸到被測零件表面時，在測量接觸力的作用下測頭與被測零件表面產(chǎn)生接觸變形，從而在測量過程中會產(chǎn)生測頭接觸變形誤差。

與被測零件表面局部構(gòu)建的接觸受力變形示意圖如圖6所示。設(shè)測球半徑為r1，非球面零件的等效半徑為r2，由于r2>>r1，可以將被測件接觸處看作平面，也就可以將圖6中的球與球接觸變成球與面接觸的問題，即曲率1/r2=0，所以相對曲率半徑r滿足1/r=1/r1+1/r2，即r=r1。

圖6 測球與被測件表面局部接觸變形示意圖

根據(jù)Hertz方程可有：

式中：a為接觸面半徑；s為局部接觸變形量；r為測球半徑；μ1、E1、μ2、E2分別為測球與被測件的泊松系數(shù)和彈性模量。

綜上所述，對造成預(yù)行程誤差的原因，測桿彎曲位移誤差和測頭接觸變形誤差進(jìn)行了建模分析，可以得到預(yù)行程：

式（10）即為觸發(fā)瞬間預(yù)行程函數(shù)模型，通過模型可以觀察出觸發(fā)式測頭預(yù)行程誤差的大小與測桿的長度L、測桿直徑D、測球半徑r、測量觸發(fā)力F（θ，γ）及材料和非球面表面被測點(diǎn)切線角有關(guān)。除非球面表面被測點(diǎn)切線角和測量觸發(fā)力的大小外，其他影響參數(shù)在測量過程中都定量，故對非球面零件測量過程中產(chǎn)生的預(yù)行程誤差只需要研究這兩個因素的影響即可。通過式（10）可以看出其對預(yù)行程影響最大的就是測量觸發(fā)力，測量觸發(fā)力與預(yù)行程成正比關(guān)系，即要想求出測頭預(yù)行程誤差必須知道測頭的觸發(fā)力。

2.2 測頭觸發(fā)力推導(dǎo)

對本課題所設(shè)計的光電式觸發(fā)測頭結(jié)構(gòu)分析可以知道，在無任何外力的作用下，測頭內(nèi)部軸承板在彈簧預(yù)緊力和3個球支撐副的作用下，牢牢固定在測頭內(nèi)部，此時激光光線正常折射到光線接收端，處于待工作狀態(tài)；當(dāng)測頭與被測零件表面接觸時，會產(chǎn)生測量接觸力，當(dāng)此測量接觸力逐漸增加直到破壞測頭內(nèi)部的平衡狀態(tài)使測桿發(fā)生偏轉(zhuǎn)，當(dāng)測桿發(fā)生一定量的偏移時，接收端接收不到激光信號，從而使測頭狀態(tài)由高變低發(fā)出觸發(fā)信號。根據(jù)上文對測頭受力情況分析可知，測頭的測量觸發(fā)力對預(yù)行程誤差影響非常大，所以必須對該力進(jìn)行理論推導(dǎo)。

如圖7所示，H為測球中心距支撐平面的距離；G為測桿自重，其方向豎直向下；Fs為測桿所受彈簧預(yù)壓力，其方向豎直向下；fs為軸承板與彈簧緩沖機(jī)構(gòu)的摩擦力；FA、FB和FC分別為小球?qū)y桿的支反力，其方向始終與測桿方向一致；fA、fB和fC分別為與各支撐點(diǎn)的摩擦力，其方向與所產(chǎn)生的運(yùn)動方向相反。

根據(jù)圖7所示受力情況，當(dāng)測頭隨著F（θ，γ）的增大，小球與軸承板產(chǎn)生相對運(yùn)動趨勢，當(dāng)某一點(diǎn)支反力為0時，此時必定至少有一個觸點(diǎn)脫離接觸。當(dāng)測量觸發(fā)力沒有達(dá)到破壞測頭內(nèi)部平衡時，測桿在空間上所受的合外力為0，合外力矩也為0。即Fx=0，F(xiàn)y=0，F(xiàn)z=0，Mx=0，My=0，Mz=0，可列出測頭觸發(fā)時關(guān)于未知量支反力FA、FB和FC的空間力學(xué)方程式：

圖7 測頭觸發(fā)受力分析示意圖

根據(jù)測頭觸發(fā)時，3個接觸球必有至少一個脫離接觸，想解式（12）、式（13）和式（14），必須分析出在不同方位角情況下各支反力的情況。根據(jù)圖7坐標(biāo)系分析，在不同的接觸方位角的情況下，對各支反力分析如表1所示。

表1 三維觸點(diǎn)接觸方位與開啟情況

根據(jù)接觸方位角θ與觸點(diǎn)開啟情況，當(dāng)θ在300°～60°之間時，F(xiàn)A=0；當(dāng)θ在60°～180°時，F(xiàn)B=0；當(dāng)θ在180°～300°時，F(xiàn)C=0。

將上述對各支反力情況分析結(jié)果代入式（11）中，即可求出在不同方位角θ情況下測量觸發(fā)力的大小，其計算結(jié)果如下：

方位角在300°～60°間時，

2.3 基于測頭預(yù)行程誤差的補(bǔ)償方法研究

根據(jù)上文對測頭預(yù)行程P的推導(dǎo)可知，將式（15）、式（16）、式（17）代入式（10），可得出在不同角度區(qū)間的測頭預(yù)行程數(shù)學(xué)模型。根據(jù)非球面零件的測量原理可知，系統(tǒng)記錄的坐標(biāo)為測球球心坐標(biāo)，用（xQi，yQi）表示，要想得到測頭與非球面零件表面接觸點(diǎn)坐標(biāo)，必須在沿接觸點(diǎn)法矢方向上對測球半徑和測頭預(yù)行程誤差值進(jìn)行補(bǔ)償，令測頭與非球面零件表面接觸點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），有：

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

為了驗(yàn)證在非球面接觸測量中觸發(fā)式測頭的預(yù)行程誤差補(bǔ)償?shù)挠行?，根?jù)非球面零件的加工工藝流程，在完成工件銑磨后，將測頭裝在機(jī)床的主軸上直接檢測非球面零件的面形輪廓。測頭沿著非球面零件的母線移動尋找待測點(diǎn)，最終可以得到若干個離散的非球面矢高數(shù)據(jù)點(diǎn)，通過這些數(shù)據(jù)點(diǎn)就可以得到非球面的一條母線輪廓。

根據(jù)前文對預(yù)行程誤差模型分析，其本質(zhì)上就是預(yù)行程誤差與測量觸發(fā)力的方位角θ、極角γ之間的關(guān)系。由于測頭自身具有對稱性的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，探究方位角對預(yù)行程誤差的影響時，只需要在完成一條非球面母線測量后，改變方位角繼續(xù)下一次測量，本實(shí)驗(yàn)每次改變10°，一共改變6次即可；而極角就是被測點(diǎn)的斜率，用X軸坐標(biāo)點(diǎn)代入式（1）即可求出極角值。

本文所測非球面零件理論加工參數(shù)如下：曲率C=1/31.788；頂點(diǎn)曲率半徑R=31.788；零件口徑D=32.4 mm，其中二次曲面系數(shù)K=-5.318285，中心厚度為6.5 mm。如圖8、圖9所示，經(jīng)實(shí)驗(yàn)測得未補(bǔ)償預(yù)行程誤差前PV值為5.5924 μm，RMS為1.3614 μm，經(jīng)過式（18）補(bǔ)償后PV值為2.3428 μm，RMS為0.3821 μm。為了驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)結(jié)果的準(zhǔn)確性，將零件移至Taylor Hobson PGI1240型輪廓儀進(jìn)行檢測，其檢測結(jié)果為PV=2.1050 μm，RMS=0.2562 μm。經(jīng)兩種檢測方式的結(jié)果對比，其PV值誤差為0.2378 μm，RMS值誤差為0.1259 μm。本實(shí)驗(yàn)所使用的方法所得結(jié)果合理。

經(jīng)實(shí)驗(yàn)證明，本文針對觸發(fā)式測頭在非球面零件面形測量中預(yù)行程誤差補(bǔ)償效果明顯，且與輪廓儀測量結(jié)果誤差在0.2 μm左右，故該預(yù)行程補(bǔ)償方法可以應(yīng)用到實(shí)際加工過程中。根據(jù)圖8、圖9可知，在非球面零件測量過程中隨著測量斜率的增大，其預(yù)行程誤差隨之增大。

圖8 未補(bǔ)償誤差數(shù)據(jù)圖

圖9 補(bǔ)償誤差后數(shù)據(jù)

4 結(jié)論

本文通過對影響觸發(fā)式測頭預(yù)行程誤差的因素進(jìn)行建模，推導(dǎo)出預(yù)行程誤差補(bǔ)償模型，可以提高非球面零件的測量精度。但是該誤差還會受到測量速度、測頭探針參數(shù)和接口響應(yīng)等因素的影響，為了進(jìn)一步提升測量精度，還需要更深層次的研究。