李小歡，呂月明

(哈爾濱理工大學(xué) 理學(xué)院， 哈爾濱 150080)

0 引 言

A-調(diào)和方程是非線性橢圓型偏微分方程的一個(gè)重要組成部分，在許多領(lǐng)域都有十分廣泛的應(yīng)用，例如物理、彈性理論、非線性分析及位勢(shì)理論等。2009年，Afrouzi等定義了算子J,G,F,T[1]：

T=J+λG-F

2011年,李貫鋒等由一類A-調(diào)和方程-divA(x,?u(x))=f引出了對(duì)應(yīng)的單障礙問(wèn)題[2]。定義映射：K→X′為

(u,?u)=(-f,A(x,?u))

式中：(u,?u)∈K，X=Lp(Ω)×Lp(Ω,n)；X為自反的Banach空間，其對(duì)偶空間為n)。進(jìn)一步通過(guò)單調(diào)算子理論證明了單障礙問(wèn)題解的存在唯一性，從而得到A-調(diào)和方程弱解的存在唯一性。2019年,Kratou等在函數(shù)f適當(dāng)假設(shè)下，對(duì)算子A、B進(jìn)行條件限制，構(gòu)造算子T=J+G-F[3]，其中J、G、F定義如下：

證明算子T是單調(diào)的、弱下半連續(xù)的和強(qiáng)制的，利用Browder定理給出了一類非齊次A-調(diào)和方程

弱解的存在唯一性。

基于以上研究，本文將利用單調(diào)算子理論討論一類具有一般形式的非齊次A-調(diào)和方程divA(x,u,?u)=B(x,u)雙障礙問(wèn)題弱解的存在唯一性，并在弱解存在唯一性的基礎(chǔ)上研究弱解的梯度估計(jì)以及弱解的收斂性。目前，已有很多關(guān)于A-調(diào)和方程解的性質(zhì)的研究成果，相關(guān)內(nèi)容可參閱文獻(xiàn)[4-10]。

總假定1

divA(x,u,?u)=B(x,u)

(1)

式中，算子A(x,u,?u):Ω××n→n關(guān)于x是可測(cè)的，關(guān)于u是連續(xù)的，且算子A、B滿足如下結(jié)構(gòu)條件：

A-調(diào)和方程的弱解概念被提出之后，為A-調(diào)和方程的理論發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。本文主要基于上述算子條件的非齊次A-調(diào)和方程雙障礙問(wèn)題弱解的存在唯一性，研究雙障礙問(wèn)題弱解的梯度估計(jì)以及弱解的收斂性。

設(shè)φ(x)、ψ(x)為Ω上取值于R∪{+∞}的任意函數(shù)，函數(shù)θ(x)∈W1,p(Ω)，定義雙障礙集合

成立。

成立。

成立。

1 雙障礙問(wèn)題弱解的存在唯一性

本節(jié)主要討論非齊次A-調(diào)和方程弱解的存在性。這里設(shè)X=Lp(Ω)×Lp(Ω,n),則X為自反的Banach空間，其對(duì)偶空間為n)。任意取g=(g1,g2)∈X，定義

首先，證明與非齊次A-調(diào)和方程相關(guān)的雙障礙問(wèn)題弱解的存在性，為此引入如下的定義及引理。

定義4[12]設(shè):K→X′為一映射，若對(duì)于任意的u,v∈K，都有

〈u-v,u-v〉≥0

〈uj,v〉→〈u,v〉

引理1[12]設(shè)K是X的一個(gè)非空閉凸子集，映射:K→X′在K上單調(diào)、強(qiáng)制、弱連續(xù)，則存在u∈K，對(duì)任意的v∈K，都有

〈u,v-u〉≥0

成立。

命題1K是X的一個(gè)非空閉凸子集。

證明(1) 對(duì)(u,?u)∈K，(v,?v)∈K，0<λ<1 ，有

λu+(1-λ)v≥λφ+(1-λ)φ=φ

λu+(1-λ)v≤λψ+(1-λ)ψ=ψ

故

φ≤λu+(1-λ)v≤ψ

從而

λ(u,?u)+(1-λ)(v,?v)∈K

即K是凸集。

設(shè)(vi,?vi)為K中的一個(gè)序列并且X中收斂到(v,φ)，其中φ=(φ1,…,φn)∈Lp(Ω,n),即

從而

并且

對(duì)任意的(v,?v)∈K，定義映射：K→X′為(u,?u)=(B(x,u),A(x,u,?u))，從而可得

〈(u,?u)-(v,?v),(u,?u)-(v,?v)〉

=〈(B(x,u)-B(x,v),A(x,u,?u)-A(x,v,?v)),(u-v,?u-?v)〉

命題2在K上是單調(diào)的。即對(duì)于任意的(u,?u),(v,?v)∈K，有

〈(u,?u)-(v,?v),(u,?u)-(v,?v)〉≥0

證明

=〈(B(x,u)-B(x,v),A(x,u,?u)-A(x,v,?v)),(u-v,?u-?v)〉

命題3在K上是強(qiáng)制的，即存在(u,?u)∈K，使得當(dāng)‖(vi,?vi)‖→+∞時(shí)，總有

證明固定(vj,?vj)∈K,?(u,?u)∈K，有

〈(u,?u)-(vj,?vj),(u,?u)-(vj,?vj)〉

≥c2-p(‖u-vj‖p+‖?u-?vj‖p)p=c1‖(vj-?vj)-(u-?u)‖p

(2)

由式(2)可知

(3)

由式(3)可知命題得證。

命題4在K上是弱連續(xù)的。

證明設(shè)(uj,?uj)∈K為一序列且在X中收斂到(u,?u)∈K,只需證明(uj,?uj)在X′中弱收斂到(u,?u)，即對(duì)任意的(v1,v2)∈X，都有

〈(uj,?uj)-(u,?u),(v1,v2)〉→0

〈(uj,?uj)-(u,?u),?uj)-A(x,u,?u))v2+(B(x,uj)-B(x,φ))v1dx

已知在X中(uj,?uj)→(u,?u)，因此?uj在Lp(Ω,n)中總是收斂到?u，由此可知存在子列ujk使得?ujk→?u在Ω中總是幾乎處處成立。由A算子的結(jié)構(gòu)條件，則有

A(x,ujk,?ujk)→A(x,u,?u)

從而

又在Lp(Ω,n)中，?ujk→?u。于是在Lp(Ω)中uj→u，則A(x,uj,?uj)在n)中總是一致有界的。根據(jù)定義3，A(x,uj,?uj)在n)中弱收斂到A(x,u,?u)。

〈(uj,?uj)-〈(u,?u),(v1,v2)〉

定理1由引理1可知，存在(u,?u)∈K，使得對(duì)任意的(v,?v)∈K，都有

〈(u,?u),((v,?v)-(u,?u))〉≥0

成立。

為證明弱解的存在唯一性，給出如下比較引理。

又因?yàn)関∈W1,p(Ω)是方程(1)的一個(gè)上解，故

結(jié)合上式，令min(u,v)=h，

根據(jù)引理2可知u-h=0，因此u=h=min(u,v)≤va.e.于Ω。故u≤va.e.于Ω。

2 雙障礙問(wèn)題弱解的梯度估計(jì)

v-θ=(1-ηp)u+ηpw-θ=(1-ηp)(u-θ)+ηp(w-θ)

因?yàn)?/p>

?(v-u)=?((w-u)ηp)=(?w-?u)ηp+p(w-u)ηp-1?η

從而有

?I1+I2+I3+I4

首先，

(4)

估計(jì)I1，由函數(shù)w的定義可知，|w|≤|φ|+|ψ|,|?w|≤|?φ|+|?ψ|，借助于Young不等式，則有

式中c5=c5(τ1，τ2，τ3，c1)。

下面估計(jì)I2，根據(jù)函數(shù)w的定義、條件(A1)以及Young不等式，有

式中c6=c6(τ4，τ5，τ6，c1)。

下面估計(jì)I3，根據(jù)函數(shù)η的定義、條件(A1)以及Young不等式，有

式中c7=c7(τ7，τ8，τ9，c1,C)。

下面估計(jì)I4，根據(jù)函數(shù)w的定義、條件(B1)以及Young不等式，可得

式中c8=c8(τ10，τ11，c3)。

結(jié)合式(4)與上述I1、I2、I3、I4的估計(jì)可得

式中：c9=c9(τ2,τ5，τ10，τ12，c1，c3，p,R)；c10=c10(c5，c8，p,R,C)。

選擇合適的τ1、τ6、τ7，使得c1τ1+c1pτ6+c1pτ7遠(yuǎn)小于1，于是可得

定理證畢。

3 雙障礙問(wèn)題弱解的收斂性

為證明雙障礙問(wèn)題弱解的收斂性，給出如下引理。

引理4[2]設(shè)xi≥0為n中的一個(gè)點(diǎn)列，存在正常數(shù)M1>0與M2>0且0

證明已知

根據(jù)算子A、B的結(jié)構(gòu)條件及H?lder不等式，可得

于是

其中

因?yàn)?/p>

=H1+H2

其中

下面估計(jì)H1和H2。

因?yàn)?φi在Lp(Ω)中收斂到?φ，

因?yàn)?/p>

所以

即有