陶慶，張勁東，陶庭寶，邱旦峰

（南京航空航天大學(xué)電子信息工程學(xué)院，南京 211106）

引 言

相控陣?yán)走_(dá)因其特有的電子轉(zhuǎn)向陣列天線，具有靈活的波束調(diào)轉(zhuǎn)能力，并可以根據(jù)任務(wù)要求快速調(diào)整波束指向和停留時間，此功能使得相控陣?yán)走_(dá)能夠快速自適應(yīng)的定位目標(biāo)并調(diào)整停留時間［1］。對于不同應(yīng)用背景的多目標(biāo)跟蹤任務(wù)，如何合理地分配波束在目標(biāo)上的駐留時間，使得相控陣?yán)走_(dá)對目標(biāo)的跟蹤性能維持在最佳狀態(tài)，成為了充分發(fā)揮相控陣?yán)走_(dá)優(yōu)勢的關(guān)鍵。

到目前為止，在目標(biāo)跟蹤中已經(jīng)有一些雷達(dá)資源最優(yōu)分配方面的優(yōu)秀研究。對于限定系統(tǒng)性能條件下最小化雷達(dá)資源使用量的研究，文獻(xiàn)［2］采用單波束分時對多個目標(biāo)進(jìn)行照射并跟蹤，通過調(diào)整波束寬度同時照射方位角接近的目標(biāo)，大幅提高照射每個目標(biāo)的駐留時間，在提高跟蹤精度的同時有效地節(jié)約了雷達(dá)用于跟蹤的時間資源；文獻(xiàn)［3］提出了先解決波束的分配問題再考慮波束駐留時間的兩步分解算法。這樣可以在獲得較高的資源利用率的同時，還能保證各目標(biāo)的跟蹤性能。對于有限的資源條件下最優(yōu)化資源使用量的研究，文獻(xiàn)［4?6］采用基于信息論的多目標(biāo)跟蹤資源分配方法，通過計算每個目標(biāo)的信息增量，在一定的時間資源下使得跟蹤精度達(dá)到最高。上述研究具有一個共同缺點，即無法自適應(yīng)地根據(jù)所跟蹤目標(biāo)與環(huán)境的特性做出最優(yōu)策略調(diào)整。實際上，在雷達(dá)觀測下的目標(biāo)并不是同等對待的，需要對威脅度高的目標(biāo)分配更多的資源進(jìn)行精密跟蹤，而對于威脅度低的目標(biāo)只需要粗跟蹤來維持航跡即可。針對該問題，文獻(xiàn)［7?8］采用協(xié)方差控制的雷達(dá)資源管理方法，對不同目標(biāo)采用不同的跟蹤誤差協(xié)方差水平，保證系統(tǒng)資源不被浪費(fèi)，但是其對于機(jī)動目標(biāo)性能較差。

隨著機(jī)器學(xué)習(xí)不斷地發(fā)展完善，相關(guān)的理論和研究成果不斷涌現(xiàn)。目前還沒有運(yùn)用機(jī)器學(xué)習(xí)做雷達(dá)資源管理的相關(guān)研究，而與機(jī)器學(xué)習(xí)相結(jié)合的目標(biāo)跟蹤研究已初見成效。文獻(xiàn)［9］使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對船舶路徑跟蹤誤差進(jìn)行逼近，通過路徑跟蹤誤差歷史數(shù)據(jù)來預(yù)測之后的路徑跟蹤誤差，使得船舶路徑跟蹤誤差估計的效率更高。文獻(xiàn)［10］針對卡爾曼濾波中新息殘差的理論值與實際值不一致導(dǎo)致跟蹤精度下降問題，利用支持向量機(jī)回歸算法預(yù)測目標(biāo)下一個方位并不斷減小誤差，實現(xiàn)目標(biāo)的快速跟蹤。

本文基于上述研究工作，將相控陣?yán)走_(dá)多目標(biāo)跟蹤環(huán)境中的所有目標(biāo)按照一定的威脅度分為有威脅和無威脅兩類，針對不同類別的目標(biāo)選擇不同的資源分配方式。對于能對我方產(chǎn)生威脅的目標(biāo)，例如不斷向我方逼近的目標(biāo)，該類目標(biāo)要以高跟蹤精度為目的對其進(jìn)行資源分配；而為對我方?jīng)]有威脅的目標(biāo)，例如己方目標(biāo)或不斷遠(yuǎn)離我方的目標(biāo)，只需滿足一定的跟蹤精度來維持航跡，以節(jié)省跟蹤時間為目的對其進(jìn)行資源分配。在此基礎(chǔ)上，以目標(biāo)位置估計的貝葉斯克拉美羅下界（Bayesian Cramer?Rao lower bound，BCRLB）作為分配準(zhǔn)則，建立了多目標(biāo)跟蹤資源分配模型，并采用遺傳算法對其求解。針對模型的非線性性質(zhì)導(dǎo)致求解過程消耗大量時間的問題，進(jìn)一步提出采用反向傳播（Back propagation，BP）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法來代替求解過程，將前面復(fù)雜的求解過程轉(zhuǎn)換成了網(wǎng)絡(luò)模型擬合問題。仿真結(jié)果證明了本文方法在保證了所有目標(biāo)的跟蹤維持在最佳狀態(tài)的同時，極大地縮短了計算所消耗的時間。

1 系統(tǒng)模型

1.1 信噪比模型

假設(shè)雷達(dá)的發(fā)射功率為Pt，根據(jù)雷達(dá)方程，可得到接收的回波功率為

式中，Gt，Gr為雷達(dá)發(fā)射與接收天線增益，λ為雷達(dá)所用波長，σ為目標(biāo)的雷達(dá)散射截面積（Radad cross sec?tion，RCS），R為目標(biāo)與雷達(dá)間距離。設(shè)在第i個目標(biāo)在第k個采樣間隔中波位駐留在目標(biāo)上的時間為T ik，發(fā)射信號的脈沖重復(fù)周期為Tpri，則相參積累的脈沖數(shù)為由此得到脈沖回波信噪比為

式中，k0為玻爾茲曼常數(shù)，B為發(fā)射信號的帶寬，F(xiàn)N為雷達(dá)接收機(jī)噪聲系數(shù)，T0為標(biāo)準(zhǔn)室溫。可以看出，除了駐留時間，其他參數(shù)都是已知的確定值，回波信噪比是以駐留時間為唯一變量的函數(shù)。

1.2 運(yùn)動模型

為了證明本文方法同樣適用于機(jī)動目標(biāo)的跟蹤，所以將勻速直線運(yùn)動CV，圓周運(yùn)動CT，勻加速運(yùn)動CA，作為目標(biāo)的運(yùn)動方式。它們具有相同的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程［11］

式中：Xk為目標(biāo)在第k個采樣間隔T時的狀態(tài)向量，F(xiàn)為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，Wk-1為過程噪聲，其是均值為零，協(xié)方差為Qk-1的高斯白噪聲。不同的運(yùn)動模型下的狀態(tài)向量、狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣和過程噪聲是不同的，以下給出它們的表達(dá)式。

（1）CV模型

（2）CT模型

（3）CA模型

式中：I2為二階單位矩陣，“?”表示笛卡爾積，式（4～6）中出現(xiàn)的參數(shù)與其表示的意義如表1所示。

表1 式（4~6）狀態(tài)方程中包含的參數(shù)及表示意義Table 1 Parameters and representations included in Eqs.（4—6）

1.3 量測模型

在本文中，測量目標(biāo)的距離和方位角，假設(shè)雷達(dá)在第k個采樣間隔照射第i個目標(biāo)，則目標(biāo)i的量測方程可以表示為

式中

式中：和為目標(biāo)i相對于雷達(dá)的距離和方位角，(x0，y0)為雷達(dá)所在位置。式（7）中∝CN(0，)表示量測噪聲，其為零均值高斯分布且具有協(xié)方差

式中：和分別為目標(biāo)距離和方位角估計均方差的克拉美羅界［12］

式中：c為光速，β和λ分別為回波信號的帶寬和波長，γ為天線孔徑，由式（10）可以看出量測噪聲的協(xié)方差與有關(guān)。

1.4 貝葉斯費(fèi)舍爾信息矩陣

BCRLB包含了目標(biāo)運(yùn)動狀態(tài)和駐留時間等一系列變量，同時為這些變量參數(shù)估計的均方誤差（Mean square error，MSE）提供了一個下限，所以本文將它作為評估目標(biāo)跟蹤精度的標(biāo)準(zhǔn)。假設(shè)目標(biāo)估計的狀態(tài)為，它是量測方程的函數(shù)，則目標(biāo)狀態(tài)估計的MSE可表示為

式中J()為目標(biāo)狀態(tài)的貝葉斯信息矩陣（Bayesian information matrix，BIM），它可以表示為［13］

式中JS()為目標(biāo)先驗Fisher信息矩陣（Fisher information matrix，F(xiàn)IM），它取決于目標(biāo)的狀態(tài)，可表示為

JD()表示數(shù)據(jù)的FIM，其表達(dá)式為

將式（13，14）代入式（12），可得

根據(jù)式（9，10）可知是關(guān)于的函數(shù)，因此J()也是關(guān)于的函數(shù)。

1.5 互信息（Mutual information，MI）準(zhǔn)則

除了BCRLB，雷達(dá)回波和路徑增益矩陣之間的MI亦可作為目標(biāo)跟蹤性能的量化指標(biāo)。若發(fā)射信號S已知，即發(fā)射脈沖波形s已知，接收信號Y與路徑增益矩陣H間的MI可計算為

式中：h(*)為隨機(jī)變量的微分熵。要計算I(Y；H|S)，需要計算h(Y|S)和h(W)。已知發(fā)射信號S條件下的接收信號Y的概率密度函數(shù)為

式中：yτ為雷達(dá)回波信號，sτ為l×1的向量，表示發(fā)射脈沖采樣，l為采樣長度，其中

式中表示隨機(jī)變量hτ的方差，由式（17，18）可得條件微分熵h(Y|S)計算如下

進(jìn)而有

式中為環(huán)境噪聲強(qiáng)度，將式（19，20）代入式（16）中可得到

式中：MI表示互信息量I(Y；H|S)。

2 基于威脅度的多目標(biāo)時間資源分配優(yōu)化算法

2.1 基于BCRLB的分配準(zhǔn)則

BCRLB不僅為離散時間系統(tǒng)的無偏估計提供了MSE的下界，而且還常用于判斷估計的有效性，因此可以將它作為衡量目標(biāo)跟蹤有效性以及時間分配的指標(biāo)，本文以目標(biāo)距離估計的BCRLB作為時間分配的標(biāo)準(zhǔn)，計算得到

式中表示目標(biāo)距離估計的BCRLB，目標(biāo)狀態(tài)估計的BCRLB矩陣表達(dá)式為

從式（15～17）中可以看出也是關(guān)于時間變量的方程。

2.2 多目標(biāo)跟蹤駐留時間最優(yōu)分配算法

對于多目標(biāo)的跟蹤，以同一個標(biāo)準(zhǔn)來對所有的目標(biāo)進(jìn)行資源分配是不合理的。如不斷遠(yuǎn)離雷達(dá)的目標(biāo)，這類目標(biāo)對我方?jīng)]有威脅，對其進(jìn)行長時間照射獲取高精度的跟蹤沒有意義，浪費(fèi)雷達(dá)的資源。為了有效地控制環(huán)境和所跟蹤的目標(biāo)，將需要跟蹤的目標(biāo)以威脅度V為標(biāo)準(zhǔn)劃分為兩類，其中V可由目標(biāo)的速度與距離共同決定。目標(biāo)與雷達(dá)距離越近，相對雷達(dá)徑向速度越大，其威脅度越大，反之威脅度就越小。因此定義臨界距離[Rmin，Rmax]與臨界徑向速度[v?min，v?max]。目標(biāo)威脅度可通過V=VR·Vv?得到。其中VR，Vv?表達(dá)式為

V≤r這一類的目標(biāo)視為無威脅目標(biāo)，對其進(jìn)行維持跟蹤；V＞r這一類的目標(biāo)視為有威脅目標(biāo)，對其進(jìn)行精跟蹤。該算法的目的是使所有目標(biāo)的跟蹤維持在最佳狀態(tài)，此問題的模型可以表示為

式中Ttrack為采樣間隔中用于跟蹤的總時間，N為所跟蹤目標(biāo)的總數(shù)，m為無威脅目標(biāo)的個數(shù)，n為有威脅目標(biāo)的個數(shù)，γ設(shè)定為區(qū)分目標(biāo)是否具有威脅的臨界值，η為所設(shè)定的跟蹤誤差閾值。針對上述模型中為兩個目標(biāo)函數(shù)求解問題，本文提出了一種基于威脅度的多目標(biāo)跟蹤駐留時間最優(yōu)分配算法。通過該算法可以求出每個目標(biāo)的駐留時間。這樣可以在每個跟蹤周期開始之前獲得下一個跟蹤周期中各個目標(biāo)所需的駐留時間。根據(jù)所分配的時間采用擴(kuò)展卡爾曼濾波（Extended Kalman filter，EKF）來估計各個目標(biāo)的狀態(tài)。該兩步優(yōu)化算法具體步驟如下。

（1）根據(jù)所有目標(biāo)在第k個采樣周期的狀態(tài)，求出每個目標(biāo)威脅度，以Vk=γ為界限將所有目標(biāo)分為兩類。不同類別的目標(biāo)采用不同的標(biāo)準(zhǔn)來進(jìn)行資源分配。

（3）令B()=η，計算出，如果＞0.005Ttrack，令=，反之則=0.005Ttrack；

（6）利用遺傳算法求解出，保存,i=1,2,…,N，與各個目標(biāo)狀態(tài)相對應(yīng)。

3 基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的多目標(biāo)跟蹤駐留時間擬合

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種性能優(yōu)異的機(jī)器學(xué)習(xí)算法，它不僅在分類問題中有較好的應(yīng)用，而且對于連續(xù)值的回歸預(yù)測也有著良好的穩(wěn)定性。因為可以通過各個目標(biāo)的狀態(tài)計算得到對應(yīng)的駐留時間，因此可以把每一個采樣間隔中的所有目標(biāo)狀態(tài)作為特征，對應(yīng)的駐留時間作為輸出，得到w組訓(xùn)練數(shù)據(jù)的形式為

圖1 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)Fig.1 BP neural network structure

式中g(shù)(z)為激活函數(shù)。根據(jù)前向傳播所計算的輸出值hθ(x)，將其與對應(yīng)樣本的輸出值作對比計算代價函數(shù)，使用梯度下降法并結(jié)合反向傳播算法調(diào)整所有層的參數(shù)，以最小化代價函數(shù)，直到調(diào)整后的參數(shù)滿足訓(xùn)練目標(biāo)精度或者達(dá)到訓(xùn)練次數(shù)。其整體的代價函數(shù)為

通過上述過程即可得出神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)通過訓(xùn)練數(shù)據(jù)學(xué)習(xí)出的模型，具體流程如圖2所示。

圖2 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合流程圖Fig.2 BP neural network fitting flowchart

4 計算機(jī)仿真實驗

為了驗證所提算法的有效性，本節(jié)設(shè)計了兩個對比試驗：（1）雷達(dá)在相同背景下經(jīng)過時間資源優(yōu)化分配與平均分配，對比分析兩種分配模式下的雷達(dá)跟蹤性能與駐留時間分配結(jié)果；（2）分別通過時間資源優(yōu)化分配算法與BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法，比較兩種方法所得到的時間分配結(jié)果以及計算所耗時間。

4.1 仿真參數(shù)

在實驗場景中，假設(shè)相控陣?yán)走_(dá)位于坐標(biāo)原點，且分時對各目標(biāo)進(jìn)行跟蹤，本次仿真設(shè)置所跟蹤的目標(biāo)數(shù)為N=3，每個目標(biāo)的運(yùn)動方式都不一樣，他們的初始狀態(tài)如表2所示。其中做圓周運(yùn)動目標(biāo)的角速度為ω=0.005 rad/s，跟蹤幀的總時間資源和采樣間隔設(shè)置為Ttrack=1.2 s和T=2 s，雷達(dá)的發(fā)射功率為Pt=3×103W，跟蹤誤差閾值為η=150 m，脈沖重復(fù)周期設(shè)為Tpri=10-3s，傳輸信號的帶寬及波長為β=2 MHz，λ=0.003 m。天線的孔徑為γ=1 m，光速為c=3×108m/s。本次試驗選取30幀數(shù)據(jù)，目標(biāo)跟蹤的均方根誤差（Root mean square error，RMSE）可計算為

表2 目標(biāo)的初始狀態(tài)參數(shù)Table 2 Initial state parameters of the target

式中NMC為蒙特卡洛模擬次數(shù)，本次仿真取為目標(biāo)的實際位置為在第h次蒙特卡洛模擬中獲得的目標(biāo)估計位置。目標(biāo)的真實軌跡與預(yù)測軌跡如圖3所示。

取多組不同的目標(biāo)初始狀態(tài)，得到多個不同的運(yùn)動軌跡，每條軌跡以30個采樣間隔為一段滑窗來取3段數(shù)據(jù)，從而得到以各個目標(biāo)的狀態(tài)為輸入，對應(yīng)目標(biāo)優(yōu)化后的駐留時間為輸出的數(shù)據(jù)集，數(shù)據(jù)量為2萬，將得到的數(shù)據(jù)代入BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中訓(xùn)練，得到相應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)模型。考慮到所選數(shù)據(jù)量有限，為了避免過擬合，網(wǎng)絡(luò)層數(shù)為3，隱藏層神經(jīng)元個數(shù)定為10，訓(xùn)練次數(shù)設(shè)為300次，訓(xùn)練目標(biāo)精度為1e-6。

4.2 仿真結(jié)果及分析

為了證明本文提出時間資源分配方法的有效性，將平均分配時間資源方案用作比較試驗，即波束在每一個目標(biāo)上駐留時間Ti=TtrackN。

由圖3可知每個目標(biāo)的運(yùn)動軌跡，再根據(jù)其運(yùn)動狀態(tài)計算出各個目標(biāo)的威脅度，可知目標(biāo)1對我方?jīng)]有威脅，目標(biāo)2，3對我方有威脅。圖4所示為各個目標(biāo)在優(yōu)化方案下的BCRLB和與其對應(yīng)的RMSE，隨著迭代次數(shù)的增加，RMSE逐漸下降，并且慢慢趨近于BCRLB?？梢娨訠CRLB作為跟蹤性能的指標(biāo)具有一定的合理性。

圖3 目標(biāo)的真實軌跡與預(yù)測軌跡Fig.3 Real trajectory and predicted trajectory of tar?get

圖4 優(yōu)化方案下各目標(biāo)的BCRLB和RMSEFig.4 BCRLB and RMSE of the each target under optimization scheme

為了說明本文所提算法相較于平均分配方案的優(yōu)勢，圖5給出了兩種方案下各個目標(biāo)的BCRLB。結(jié)合圖6可知，對于平均分配方案，由于目標(biāo)1與雷達(dá)距離不斷增大，且目標(biāo)的BCRLB與目標(biāo)和雷達(dá)間的距離呈正比，所以對應(yīng)的BCRLB也隨之增大，目標(biāo)2和目標(biāo)3的BCRLB也隨著目標(biāo)向雷達(dá)靠近呈下降趨勢。對于優(yōu)化分配方案，目標(biāo)1對我方不存在威脅，雷達(dá)對其進(jìn)行維持跟蹤來描述航跡。相較于其他目標(biāo)，目標(biāo)1所分配的駐留時間很少，因此目標(biāo)1的BCRLB遠(yuǎn)大于平均方案。但隨著目標(biāo)的遠(yuǎn)離，為了維持跟蹤，所以分配給目標(biāo)1的駐留時間不斷增加。而目標(biāo)2，3向雷達(dá)靠近，具有威脅性，雷達(dá)分配給它們更多的駐留時間來進(jìn)行精跟蹤，所以優(yōu)化方案下目標(biāo)2和目標(biāo)3的BCRLB要小于平均方案，且分配到的駐留時間大于平均方案。

圖5 優(yōu)化方案和平均分配方案各個目標(biāo)BCRLBFig.5 BCRLB for each objective of the optimization plan and the average allocation plan

圖6 基于BCRLB的時間分配優(yōu)化結(jié)果Fig.6 Time allocation optimization results based on BCRLB

圖7所示為本文所提優(yōu)化模型以MI為目標(biāo)跟蹤性能指標(biāo)下得到的時間資源分配結(jié)果。對比圖6可知，隨著目標(biāo)1的不斷遠(yuǎn)離，雖然兩種性能指標(biāo)下目標(biāo)1分配的時間趨勢相似，但是以MI為指標(biāo)時增長的趨勢要大于以BCRLB為性能指標(biāo)。且目標(biāo)2分配的時間下降趨勢也相對明顯許多，但是目標(biāo)3卻無明顯變化。這是因為目標(biāo)3做勻速直線運(yùn)動，其與雷達(dá)間距離變化為線性關(guān)系，而目標(biāo)1和目標(biāo)2距離變化為非線性的。由此可知，以BCRLB為跟蹤性能指標(biāo)相較于MI具有更好的穩(wěn)定性，更適用于對機(jī)動目標(biāo)進(jìn)行跟蹤。

圖7 基于MI的時間分配優(yōu)化結(jié)果Fig.7 Time allocation optimization results based on MI

取5組數(shù)據(jù)集以外的目標(biāo)狀態(tài)分別代入本文優(yōu)化算法以及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型中，所得的駐留時間分配結(jié)果如圖8所示。圖8可以看出由本文優(yōu)化算法所計算得到的駐留時間分配結(jié)果和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)做回歸預(yù)測所擬合得到的結(jié)果非常相近，幾組數(shù)據(jù)通過神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合得到的駐留時間誤差精度均在5%之內(nèi)。因此使用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來代替駐留時間分配計算合理且可行。

圖8 兩種方法所得各個目標(biāo)駐留時間Fig.8 Dwell time of each target obtained by the two methods

統(tǒng)計本文優(yōu)化算法和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法計算所消耗的時間，結(jié)果如表3所示?？芍?，本文提出的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)做回歸預(yù)測所消耗的時間遠(yuǎn)遠(yuǎn)少于本文所提出的優(yōu)化算法消耗的時間，節(jié)省的時間以千倍計；并且網(wǎng)絡(luò)模型訓(xùn)練所用時間相較于本文優(yōu)化算法已然節(jié)省了10倍左右，這樣就使得在對多種不同場景下的多目標(biāo)進(jìn)行駐留時間分配時，更能體現(xiàn)出BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在計算過程中的高效性。

表3 兩種算法運(yùn)行時耗Table 3 Running time of the two algorithms

5 結(jié)束語

本文提出了基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法的相控陣?yán)走_(dá)多目標(biāo)跟蹤時間資源分配方案。首先根據(jù)目標(biāo)運(yùn)動狀態(tài)，以目標(biāo)威脅度為標(biāo)準(zhǔn)對目標(biāo)類型進(jìn)行劃分。其次推導(dǎo)具有時間變量的目標(biāo)距離估計BCRLB，將其作為分配準(zhǔn)則，根據(jù)目標(biāo)的威脅度來選擇合適的跟蹤方式。最后利用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法代替優(yōu)化過程，快速擬合出各個目標(biāo)分配的駐留時間。仿真結(jié)果表明，本文所提方案可以根據(jù)目標(biāo)是否具有威脅動態(tài)地分配時間資源，同時極大地縮短了計算過程所消耗的時間，證明了該方案的有效性。