賈亞娟　鄭建波　周紅芳

摘 要：目前采空區(qū)探測(cè)的方法主要有地震勘探、地面瞬變電磁法，高密度電法等，然而在地形地貌復(fù)雜的地區(qū)開(kāi)展傳統(tǒng)地面勘探時(shí)，工作難度大、效率低、成本高，與上述方法相比，時(shí)間域航空電磁法可以快速地、大面積地進(jìn)行采空區(qū)的勘查，工作效率大大提高，特別是在地形條件復(fù)雜的山區(qū)等，更能凸顯其優(yōu)勢(shì)。

關(guān)鍵詞：采空區(qū) 航空電磁 視電阻率 成像

1 引言

近年來(lái)，我國(guó)的軌道交通有了日新月異的發(fā)展，在幾條貫穿全國(guó)的主干線基礎(chǔ)上已經(jīng)建成了四通八達(dá)的交通網(wǎng)。為了使人們的出行更加快速、方便，開(kāi)展城際高速鐵路和城際軌道交通建設(shè)成為當(dāng)前的工作重點(diǎn)。然而部分城市在過(guò)去很長(zhǎng)一段時(shí)間對(duì)地下煤炭和礦產(chǎn)資源的開(kāi)采留下了大量采空區(qū)，這對(duì)城際軌道交通建設(shè)埋下了巨大安全隱患。對(duì)采空區(qū)進(jìn)行精細(xì)探測(cè)成為保障軌道交通安全的關(guān)鍵。然而全域視電阻率成像方法并未應(yīng)用于時(shí)間域航空電磁數(shù)據(jù)成像當(dāng)中，與地面和井中電磁法相比，航空電磁法的發(fā)射波形十分復(fù)雜，不再是簡(jiǎn)單的階躍電流波形，而當(dāng)前的全域視電阻率成像方法并未考慮實(shí)際發(fā)射電流波形的影響，這將導(dǎo)致時(shí)間域航空電磁數(shù)據(jù)成像精度受到很大影響。為此，本文開(kāi)展任意發(fā)射波形時(shí)間域航空電磁數(shù)據(jù)全域視電阻率成像算法研究，對(duì)提高時(shí)間域航空的電磁數(shù)據(jù)解釋水平具有積極的促進(jìn)作用。

2 時(shí)間域航空電磁響應(yīng)模擬

針對(duì)當(dāng)前軌道交通采空區(qū)勘探過(guò)程中航空電磁觀測(cè)數(shù)據(jù)成像技術(shù)的不足，開(kāi)展任意發(fā)射波形時(shí)間域航空電磁快速成像算法研究，利用時(shí)間域褶積算法模擬任意電流發(fā)射波形時(shí)間域航空電磁響應(yīng)，基于反函數(shù)定理開(kāi)發(fā)考慮發(fā)射波形的全域視電阻率成像方法和數(shù)據(jù)處理軟件，最終實(shí)現(xiàn)時(shí)間域航空電磁數(shù)據(jù)快速、高精度成像，進(jìn)而推動(dòng)軌道交通采空區(qū)航空電磁勘探技術(shù)的發(fā)展。

2.1 時(shí)間域航空電磁階躍響應(yīng)快速數(shù)值模擬

從頻率域麥克斯韋方程組出發(fā)推導(dǎo)一維介質(zhì)模型頻率域航空電磁響應(yīng)表達(dá)形式，利用漢克爾變換算法獲得頻率航空電磁響應(yīng)。采用基于正弦變換的頻時(shí)轉(zhuǎn)換技術(shù)將頻率域航空電磁響應(yīng)轉(zhuǎn)換到時(shí)間域，完成階躍發(fā)射波形時(shí)間域航空電磁響應(yīng)快速數(shù)值模擬。在階躍響應(yīng)模擬過(guò)程中考慮航空電磁觀測(cè)系統(tǒng)的裝置形式和飛行高度的影響。

2.2 基于時(shí)間域褶積算法的任意電流發(fā)射波形時(shí)間域航空電磁響應(yīng)模擬

時(shí)間域航空電磁系統(tǒng)實(shí)際發(fā)射波形十分復(fù)雜，而且發(fā)射波形對(duì)觀測(cè)響應(yīng)影響嚴(yán)重，要獲得準(zhǔn)確的航空電磁成像結(jié)果必須考慮發(fā)射波形的影響，為此本項(xiàng)目采用時(shí)間域階躍響應(yīng)與發(fā)射電流時(shí)間導(dǎo)數(shù)褶積的方法模擬任意發(fā)射波形時(shí)間域航空電磁響應(yīng)。開(kāi)發(fā)任意發(fā)射波形時(shí)間域航空電磁響應(yīng)模擬算法是實(shí)現(xiàn)考慮發(fā)射波形的全域視電阻率成像算法的基礎(chǔ)。

2.3 基于反函數(shù)定理的全域視電阻率成像方法

通過(guò)分析時(shí)間域航空電磁響應(yīng)隨地下介質(zhì)電性的變化規(guī)律，可知地下介質(zhì)電阻率與時(shí)間域航空電磁觀測(cè)響應(yīng)間存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系?；谶@一單調(diào)特性，利用反函數(shù)定理和泰勒展開(kāi)公式將積分形式轉(zhuǎn)化為級(jí)數(shù)形式，進(jìn)而建立一種基于迭代格式的全域視電阻率成像方法。由于在航空電磁響應(yīng)數(shù)值模擬過(guò)程中考慮了航空電磁系統(tǒng)的裝置形式、飛行高度和發(fā)射電流波形，因此利用其定義的全域視電阻率不再受到裝置形式、飛行高度和發(fā)射電流波形的影響，從而可以實(shí)現(xiàn)快速、高精度成像技術(shù)。開(kāi)發(fā)考慮電流發(fā)射波形的全域視電阻率定義方法是對(duì)時(shí)間域航空電磁數(shù)據(jù)進(jìn)行高精度成像的關(guān)鍵。

3 技術(shù)方案及算法研究

3.1 階躍波形時(shí)間域航空電磁數(shù)值模擬方法

從頻率域麥克斯韋方程組出發(fā)

其中E和H分別為電場(chǎng)和磁場(chǎng)，ω是角頻率，σ、μ、ε分別是地下介質(zhì)電導(dǎo)率、磁導(dǎo)率和介電常數(shù)。通過(guò)引入謝坤諾夫勢(shì)和格林函數(shù)可以獲得一維頻率域航空電磁響應(yīng)：

其中m為發(fā)射源磁矩，h為系統(tǒng)飛行高度，z是接收點(diǎn)坐標(biāo)，rTE是地層對(duì)電磁波的反射系數(shù)，與地層厚度和電阻率有關(guān)，u0是關(guān)于頻率的函數(shù)，J0是0階貝塞爾函數(shù)。利用漢克爾變換技術(shù)可以將（3）式寫成數(shù)值累加形式，通過(guò)合理設(shè)置漢克爾變換系數(shù)即可完成頻率域航空電磁響應(yīng)數(shù)值模擬。

利用頻率域響應(yīng)實(shí)部和虛部的奇偶性，由傅里葉逆變換可以將頻率域航空電磁響應(yīng)轉(zhuǎn)換到間域：

其中Im[ ]表示取虛部。利用正弦函數(shù)和貝塞爾函數(shù)之間的關(guān)系可以得到時(shí)間域航空電磁階躍響應(yīng)：

J1/2為0.5階貝塞爾函數(shù)。在次利用漢克爾變換即可完成時(shí)間域航空電磁階躍響應(yīng)計(jì)算。

3.2 任意電流發(fā)射波形時(shí)間域航空電磁響應(yīng)模擬

對(duì)于任意波形發(fā)射電流的時(shí)間域電磁響應(yīng)一般采用輸入電流與系統(tǒng)響應(yīng)進(jìn)行褶積求得。然而Smith和Lee（2004）通過(guò)對(duì)航空電磁法的研究發(fā)現(xiàn)脈沖響應(yīng)是不穩(wěn)定的，當(dāng)時(shí)間t趨近于0時(shí)，半空間的脈沖響應(yīng)趨近于t-1/2，所以脈沖響應(yīng)在t=0處存在一個(gè)奇點(diǎn)，這對(duì)于瞬變電磁響應(yīng)B（t）及其對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)dB/dt在斷電瞬間的穩(wěn)定性有很大影響。為此本項(xiàng)目采用階躍響應(yīng)與電流波形時(shí)間導(dǎo)數(shù)褶積的方法實(shí)現(xiàn)任意電流發(fā)射波形時(shí)間域航空電磁響應(yīng)模擬。利用脈沖響應(yīng)與階躍響應(yīng)間的微積分關(guān)系可得任意電流發(fā)射波形時(shí)間域航空電磁響應(yīng)：

上式中是發(fā)射電流，是時(shí)間域階躍響應(yīng)。可以利用高斯積分方法完成褶積計(jì)算。

3.3 基于反函數(shù)定理的全域視電阻率成像方法

在實(shí)際工作過(guò)程中，探測(cè)結(jié)束后觀測(cè)裝置和飛行高度已經(jīng)成為已知量，此時(shí)航空電磁響應(yīng)可以簡(jiǎn)寫為。通過(guò)分析時(shí)間域航空電磁響應(yīng)隨地下介質(zhì)電性的變化關(guān)系可知，由于響應(yīng)是關(guān)于電阻率ρ的單調(diào)函數(shù)，根據(jù)反函數(shù)定理知，必然存在一個(gè)電阻率值ρ唯一地對(duì)應(yīng)著一個(gè)值，為此，采用泰勒展開(kāi)的辦法，將磁感應(yīng)強(qiáng)度的積分表達(dá)式展成級(jí)數(shù)形式，取其線性主部，建立起迭代關(guān)系的視電阻率定義式。在初始電阻率的鄰域內(nèi)對(duì)進(jìn)行泰勒展開(kāi)：

取其線性主部建立迭代關(guān)系的視電阻率定義式完成視電阻率計(jì)算：

其中。通過(guò)設(shè)定迭代終止條件：

其中是實(shí)測(cè)航空電磁數(shù)據(jù)，是電阻率為的半空間模型航空電磁理論響應(yīng)，ε是迭代終止誤差。

基于反函數(shù)定理和泰勒展開(kāi)公式建立一種基于迭代格式的全域視電阻率成像方法，在此過(guò)程中考慮實(shí)際航空電磁觀測(cè)系統(tǒng)工作過(guò)程中的裝置形式和飛行高度，可以實(shí)現(xiàn)時(shí)間域航空電磁數(shù)據(jù)快速成像。在時(shí)間域航空電磁全域視電阻率成像過(guò)程中，考慮實(shí)際電流發(fā)射波形的影響，通過(guò)時(shí)間域褶積算法模擬實(shí)際電流發(fā)射波形時(shí)間域航空電磁響應(yīng)，實(shí)現(xiàn)任意發(fā)射波形航空電磁響應(yīng)視電阻率成像，有效提高了航空電磁成像精度。

4 結(jié)論

本文研究的航空電磁全域視電阻率成像算法不受裝置形式、飛行高度的影響，同時(shí)考慮了實(shí)際發(fā)射電流波形，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)時(shí)間域航空電磁數(shù)據(jù)快速、高精度成像。該成果不但可以為城際鐵路建設(shè)過(guò)程中的采空區(qū)探測(cè)提供更加準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)解釋結(jié)果，同樣可以應(yīng)用于礦產(chǎn)勘查、環(huán)境地質(zhì)調(diào)查等諸多領(lǐng)域，因此具有比較廣泛的應(yīng)用和推廣前景。

陜西省教育廳科研計(jì)劃項(xiàng)目資助（項(xiàng)目編號(hào)：21JK0746）。

參考文獻(xiàn)：

[1]Huang H， Rudd J. 2008. Conductivity-depth imaging of helicopter-borne TEM data based on a pseudolayer half-space model[J].Geophysics，73（3）：F115-F120.

[2]曾友強(qiáng)，謝國(guó)勝，智慶全等. 2019. 小回線源TEM法全域視電阻率成像在某金礦水害中的應(yīng)用[J]. 地球物理學(xué)進(jìn)展，34（2）：0826-0831.

[3]雷棟，胡祥云，張素芳.2006.航空電磁法的發(fā)展現(xiàn)狀[J].地質(zhì)找礦論叢，21（1）： 40-44.

[4]武軍杰，李貅，智慶全等.2017. 電性源地-井瞬變電磁全域視電阻率定義[J].. 地球物理學(xué)報(bào)， 60（4）：1595-1605.

[5]殷長(zhǎng)春，張博，劉云鶴，等. 2015. 航空電磁勘查技術(shù)發(fā)展現(xiàn)狀及展望[J]. 地球物理學(xué)報(bào)，58（8）：2637-2653.

[6]張瑩瑩，李貅，姚偉華，智慶全，李佳.多輻射場(chǎng)源地空瞬變電磁法多分量全域視電阻率定義[J].地球物理學(xué)報(bào)，2015，58（8）：2745-2758.

[7]趙越，李貅，王祎鵬. 2015. 大回線源瞬變電磁全域視電阻率定義[J].地球物理學(xué)進(jìn)展，30（4）：1856-1863.