方家瑞， 殷 濤， 賀 亮*

(1. 華南師范大學(xué)物理與電信工程學(xué)院， 廣州 510006； 2. 深圳市云韜量子科技有限公司， 深圳 518000)

光晶格中的冷原子體系一直是凝聚態(tài)物理的研究熱點(diǎn)。它為研究量子多體系統(tǒng)提供了一個(gè)具有良好操控性的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，是量子模擬[1]的最佳實(shí)驗(yàn)體系之一。近年來，超冷量子氣體系統(tǒng)常被用于研究各種準(zhǔn)粒子的物理性質(zhì)[2,3]，極化子即為其中的一個(gè)研究對(duì)象。在固體物理中，極化子的最初定義是能帶電子與光學(xué)格波聲子相互作用形成的準(zhǔn)粒子。在實(shí)際的研究工作中，原子與聲子耦合之后形成的準(zhǔn)粒子也被稱為極化子。人們可以利用非平衡的玻色子-費(fèi)米子混合體系[4]和費(fèi)米子-費(fèi)米子混合體系[5]研究原子類的極化子。在合適的參數(shù)條件下，很多實(shí)驗(yàn)體系[6-8]均可觀測極化現(xiàn)象，比如原子之間通過原子-聲子耦合誘導(dǎo)而來的長程相互作用。此外，通過偶極分子晶體[9]，納米粒子[10]和混合原子-離子耦合體系[11]同樣能實(shí)現(xiàn)原子-聲子的耦合，觀測到極化效應(yīng)。研究極化子體系，有助于人們了解離子晶體和極性半導(dǎo)體的物理性質(zhì)，同時(shí)在新一代量子器件的開發(fā)方面，這些研究工作也具有良好的應(yīng)用前景。

隨著實(shí)驗(yàn)技術(shù)的發(fā)展，極化子體系的粒子組份并不僅限于一種[12]。然而在相關(guān)的研究工作中[4-8]，極化子的種類一般只有1種，少有關(guān)于多組份極化子體系的討論。本文研究光晶格中的多體極化子在 Mott絕緣體區(qū)域的系統(tǒng)性質(zhì)，包括單組份和雙組份的極化子體系。首先通過嚴(yán)格求解得到了二維光晶格中的單組份極化子在深Mott絕緣體區(qū)域下的量子相，包括極化子的填充數(shù)為1/2和1/4的2種情況。進(jìn)一步地，利用Hartree-Fock平均場近似計(jì)算得到深Mott絕緣體區(qū)域下的雙組份極化子在填充數(shù)分別為1/2和1/4時(shí)體系的量子相。

1 模型與方法

考慮有2種組份的玻色子分布在由第三種玻色子形成的玻色-愛因斯坦凝聚(BEC)的背景下，對(duì)應(yīng)的粒子質(zhì)量分別為m1、m2和mB，2種玻色子被激光束縛在二維光晶格中。

晶格中的玻色子本身具備動(dòng)能，同時(shí)存在相互作用，這一部分的系統(tǒng)性質(zhì)可以用2組份的玻色-哈伯德模型來描述，對(duì)應(yīng)的哈密頓量HI為：

(1)

h.c.，

(2)

(3)

(4)

在深Mott體區(qū)域，哈密頓量式(3)中極化子的躍遷能一項(xiàng)可以忽略不計(jì)。對(duì)于極化子在空間分布的所有結(jié)構(gòu)，系統(tǒng)的能量都可以通過式(3)嚴(yán)格求解。因此，可以通過數(shù)值求解所有分布狀態(tài)對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)能量，其中最小的能量對(duì)應(yīng)的情況就是系統(tǒng)基態(tài)下的粒子分布。在粒子填充數(shù)較小的情況下，利用上述方法可以簡便有效地得到系統(tǒng)的量子相。當(dāng)粒子填充數(shù)變大時(shí)，體系對(duì)應(yīng)的希爾伯特空間維度隨填充數(shù)指數(shù)增長，遍歷所有構(gòu)型求解體系基態(tài)的方法費(fèi)時(shí)費(fèi)力，可采用Hartree-Fock平均場近似式[17]

niσ1njσ2≈〈niσ1〉njσ2+niσ1〈njσ2〉-〈niσ1〉〈njσ2〉

(5)

處理極化子之間的長程相互作用項(xiàng)。在研究單組份極化子體系時(shí)，本文利用哈密頓量式(3)遍歷所有構(gòu)型直接求解體系基態(tài)；對(duì)于含有雙組份極化子的體系，則利用Hartree-Fock平均場近似簡化模型之后，再求解體系的量子相。

2 結(jié)果與討論

2.1 平均場近似下的有效哈密頓量

利用式(5)將不同格點(diǎn)極化子相互作用按距離從最近鄰、次近鄰、次次近鄰等依次展開：

(6)

其中，常數(shù)項(xiàng)C的定義為:

(7)

(8)

(9)

2.2 非平庸參數(shù)區(qū)域的討論

即總粒子數(shù)與總格點(diǎn)數(shù)的比值，其中符號(hào)〈ni〉表示對(duì)應(yīng)算符的期望值，L是系統(tǒng)線性尺寸，本文取L=12，L2=144對(duì)應(yīng)二維情況。不同組份的極化子數(shù)量保持一致，即ρb=ρd。在Mott絕緣體區(qū)域，系統(tǒng)更容易形成穩(wěn)定的周期性結(jié)構(gòu)，因此本文選擇研究這一區(qū)域體系的量子相，包括只含有b組分和同時(shí)含有b、d這2種組份的極化子體系。

對(duì)于僅有b組份一種極化子的情況，能量

在系統(tǒng)的基態(tài)取最小值。體系基態(tài)可以通過遍歷所有系統(tǒng)構(gòu)型得到。對(duì)于含有b、d這2種極化子的系統(tǒng)，可以在滿足E1最小的結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上，進(jìn)一步求解使能量

取最小值的d組份極化子的分布結(jié)構(gòu)。

2.3 極化子的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

對(duì)于單、雙組份的極化子體系，不同組份的極化子在晶格中的分布如圖1和圖2所示。

對(duì)于存在偶極排斥相互作用的單組份極化子體系，對(duì)應(yīng)2種不同的填充數(shù)，系統(tǒng)都可以在整個(gè)空間上形成穩(wěn)定的密度波結(jié)構(gòu)。當(dāng)填充數(shù)變小時(shí)，極化子之間的平均距離變大。因?yàn)榕紭O排斥作用使不同極化子趨于互相遠(yuǎn)離，但有限的系統(tǒng)尺寸使粒子之間不能無限遠(yuǎn)離，最終極化子形成圖1所示的結(jié)構(gòu)。

圖1 不同填充數(shù)時(shí)b組份粒子隨空間坐標(biāo)的分布Figure 1 The particle distribution of b species in real space corresponding to different filling factors注：系統(tǒng)處于Mott絕緣體區(qū)域，系統(tǒng)線性尺寸L=12。

圖2 不同填充數(shù)2組份極化子體系的量子相Figure 2 The quantum phases of the system with two-component polaron for different filling factors注：系統(tǒng)處于Mott絕緣體區(qū)域，系統(tǒng)線性尺寸L=12。

3 結(jié)論

研究了二維光晶格中的單組份和雙組份極化子在Mott絕緣體區(qū)域的量子相。在BEC背景下，光晶格中的玻色子與BEC聲子庫存在耦合，形成準(zhǔn)粒子(極化子)。極化子-極化子之間的相互作用可以通過Lang-Firsov變換得到，體系的有效哈密頓量形式為拓展的玻色-哈伯德模型。在考慮其中一種極化子本身存在偶極排斥相互作用的情況下，分別通過嚴(yán)格求解體系的有效哈密頓量和平均場近似的方法得到了單組份和雙組份極化子在填充數(shù)分別為1/2和1/4時(shí)體系的量子相。結(jié)果表明：當(dāng)系統(tǒng)處于Mott絕緣體相時(shí)，不同組份和填充數(shù)的極化子體系都能夠在晶格中形成密度波。極化子之間的平均距離隨填充數(shù)減少而增加；密度波的結(jié)構(gòu)取決于極化子的填充數(shù)、組份以及玻色子與BEC聲子之間的散射長度。

在后續(xù)的工作中，可以進(jìn)一步研究體系隨躍遷強(qiáng)度增大后從Mott絕緣體相到超流相的相變邊界以及有限溫情況下的系統(tǒng)性質(zhì)。