徐帥 楊贇贇 劉行 何濟洲

(南昌大學(xué)物理系,南昌 330031)

基于一維彈道導(dǎo)體,建立了三端納米線制冷機模型.該模型是由一個中間空腔和左右電子庫組成,中間空腔和兩電子庫通過一維納米線導(dǎo)體進(jìn)行連接.利用朗道方程和基本熱力學(xué)公式推導(dǎo)出兩電子庫之間電荷流和能量流的表達(dá)式,進(jìn)而得出該制冷機模型的工作區(qū)間,然后分析其性能特征并討論制冷機性能優(yōu)化.研究表明:不同的參數(shù)下該制冷機會有不同的制冷區(qū)間,但每個制冷區(qū)間都存在一個溫差上限,超過該溫差,此裝置將不能進(jìn)行制冷.制冷率隨制冷系數(shù)變化的特征曲線為回原點扭葉型曲線,這為衡量該制冷機性能提供了重要指標(biāo).盡可能減小納米線的能級寬度會提高該制冷機的工作性能.

1 引言

根據(jù)塞貝克效應(yīng),熱電裝置可通過吸收熱能來對外輸出功率,根據(jù)珀爾帖效應(yīng),熱電裝置可利用電能來實現(xiàn)對物體的制冷.由此可以看出,熱電裝置在能源利用中發(fā)揮著重要的作用.然而,現(xiàn)有的熱電裝置因為效率低而不能得到廣泛應(yīng)用.因此,人們需要尋找新的熱電材料來提高熱電裝置的功率和效率.隨著納米技術(shù)的發(fā)展,越來越多的納米結(jié)構(gòu)如量子點、納米線、量子阱、超晶格等被報道[1?13].理論和實驗結(jié)果表明,將低維納米結(jié)構(gòu)作為熱電材料可以顯著提高熱電裝置的熱力學(xué)性能.

近年來,許多學(xué)者在三端納米結(jié)構(gòu)熱電裝置的熱力學(xué)性能研究上取得了顯著進(jìn)展.與傳統(tǒng)的雙端熱電裝置相比,三端熱電裝置可以將電子流和熱流分開,從而顯著提高熱電裝置的熱力學(xué)性能.例如,Chen和Zhang等[14?19]具體研究了不同能量過濾體的三端能量選擇性電子器件的熱力學(xué)性能.Edwards等[20,21]提出了一種基于共振隧穿的三端量子點制冷機,它可以將宏觀電子庫冷卻到遠(yuǎn)低于室溫的溫度.隨后,Prance等[22]通過實驗證明了可以利用一個量子點制冷機對6 μm2區(qū)域內(nèi)二維電子氣體進(jìn)行制冷.Jiang等[23?25]分析了具有兩種溫度梯度的三端共振隧穿量子點熱電發(fā)電機的性能.Jordan等[26]則研究了基于半導(dǎo)體超晶格的三端熱機和制冷機.Chen等[27,28]則研究了能量選擇性熱機和制冷機的性能.He等[29?37]研究了不同的三端熱電裝置,包括基于共振隧穿量子阱的三端制冷機和熱機、通過光子和熱能混和驅(qū)動的三端量子點熱機和制冷機、基于半導(dǎo)體異質(zhì)結(jié)的三端熱機模型,并分析了各模型的性能特征和最佳性能.最近,實驗上已經(jīng)實現(xiàn)了在低溫下介觀系統(tǒng)的三端量子點熱電器件[38?41],為納米尺度多端熱電器件的應(yīng)用鋪平了道路.

一維彈道導(dǎo)體是一個沿橫向具有空間約束且長度較短的系統(tǒng),這種較短的長度保證了彈道運輸,如果納米線[5,6,42,43]的長度保持相當(dāng)短,則也可以進(jìn)行彈道輸運.目前,基于納米線的三端熱電器件研究還很少[36],特別是納米線制冷機.由于納米線橫向空間約束,電子能量在兩個橫向方向量子化,而在傳輸方向具有任意能量值.因此,相比于量子點系統(tǒng),納米線制冷機應(yīng)該有更大的制冷率,但制冷系數(shù)減少.另外,把許多平行納米線組裝在一起,可以形成宏觀尺度的熱電制冷機,為新型三端納米線制冷機的應(yīng)用提供理論依據(jù).本文在前人工作的基礎(chǔ)上,提出了基于一維彈道導(dǎo)體的三端納米線制冷機模型.利用朗道爾方程及基本的熱力學(xué)公式推導(dǎo)出兩電子庫之間電荷流和能量流的表達(dá)式,進(jìn)而得出該制冷機模型的工作區(qū)間,分析其性能特征,并討論其性能優(yōu)化.

2 模型與理論分析

三端納米線制冷機的模型如圖1(a)所示,該模型是由一個中間空腔和溫度為Ti(iL,R)的左/右電子庫組成,中間空腔和左/右電子庫通過一維的納米線導(dǎo)體進(jìn)行連接.中間空腔在溫度為TC時與熱庫處于熱平衡狀態(tài).同時各庫的溫度滿足TLTR>TC.電子可以通過左/右一維納米線導(dǎo)體在中間空腔和左/右電子庫之間進(jìn)行傳輸,左/右納米線導(dǎo)體存在一個共振能級EL/ER.兩電子庫之間存在偏置電壓eVμR?μL,其中μL(μR)是左(右)電子庫的化學(xué)勢,e是電子電荷.中間空腔的化學(xué)勢μC可以通過電荷守恒定律來確定.此三端納米線制冷機對中間熱庫制冷的物理過程為:在外部電壓V的驅(qū)動下,電子在右?guī)熘芯哂性讦蘎附近分布(Fermi分布)的能量,當(dāng)某電子在Z方向上的能量分量恰好處于ER時,則該電子有一定幾率從右端電子庫通過右納米線到達(dá)中間空腔,此時該電子的能量由μR減小至ER,而后從中間空腔吸收熱量到達(dá)EL進(jìn)而通過左納米線到達(dá)左端電子庫,最終從左電子庫回到外部電源的正極完成回路.在這個過程中,由于中間空腔與中間熱庫要保持熱平衡,所以將不斷有熱流從中間熱庫流入中間空腔從而達(dá)到了對中間熱庫制冷的目的.

圖1 (a) 三端納米線制冷機模型圖;(b) 傳輸函數(shù)τi(E)作為能量 Ei 的函數(shù)Fig.1.(a) The schematic diagram of a three-terminal nanowire refrigerator;(b) transmission function τi(E) as a function of energy level Ei .

從左/右電子庫到中間腔的電流Ii和能流Ji由朗道方程給出[44]

其中fi(E){exp[(E?μi)/kBTi]+1}?1(iL,R)是左/右電子庫的費米-狄拉克分布函數(shù),fC(E){exp[(E?μC)/kBTC]+1}?1是中間腔的費米-狄拉克分布函數(shù),kB是玻爾茲曼常數(shù),h是普朗克常數(shù),τi(E)是一維導(dǎo)體的傳輸函數(shù).

作為理想的一維導(dǎo)體,能量E可以看作是在橫向尺寸上量子化的,并且不受傳輸方向(X方向)的限制,

其中,n是正整數(shù),m*是電子有效質(zhì)量.

為了更現(xiàn)實地描述一維納米線導(dǎo)體,可以采用鞍點勢傳輸函數(shù)[45],

其中,EinV0+(n?0.5)?ωy,γ?ωx/(2π),V0是電勢高度,?ωx和 ?ωy分別是縱向和橫向角頻率.本文討論的熱電制冷機要求 ?ωy遠(yuǎn)大于溫度kBT和電壓eV,并考慮將E0設(shè)置為接近電子庫的化學(xué)勢.因此,只有最低的能量E0在電子傳輸中起重要作用.因此左/右納米線導(dǎo)體的傳輸函數(shù)可以近似為

其中γ和Ei是能級的寬度和位置,如圖1(b)所示.在γ→0處,傳輸函數(shù)接近階梯函數(shù),即τi(E)Θ(E?Ei).

根據(jù)電荷守恒IL+IR0,可以確定中間腔的化學(xué)勢μC.該制冷機的輸入功率可以定義為

其中I≡IR?IL是通過系統(tǒng)的凈電流.基于中間腔中的能量守恒J+JL+JR0,可以計算出從熱庫吸收的熱流J即制冷率Q˙C的表達(dá)式為

則該制冷機的制冷系數(shù)φ的表達(dá)式為

從等式(1)—(8)可以發(fā)現(xiàn),制冷率和制冷系數(shù)均是溫度Ti和TC,化學(xué)勢μi和μC,能級位置Ei和能級寬度γ的函數(shù).為簡單起見,引入了溫差ΔTTi?TC和平均溫度T(Ti+TC)/2,當(dāng)電壓滿足eVμR?μL時,取μReV/2和μL?eV/2 .在下面的結(jié)果分析過程中,制冷率均以 2(kBT)2/h為單位.

3 性能特征分析

在制冷機的研究過程中,首先需要考慮其工作區(qū)間.給定左右納米線的能級位置EL1.5kBT,ER?3kBT.在γ→0的情況下,制冷率隨溫差 ΔT和外加電壓V變化的三維投影圖如圖2(a)所示.圖2(a)中的黑色曲線表示制冷率0 的情況,可以判斷曲線的左側(cè)區(qū)域?qū)儆谠撝评錂C的工作區(qū)間(即0,P>0).圖2(b)繪制了在不同的能級寬度γ(γ0,0.5kBT,kBT)下的制冷區(qū)間,可以看出在能級寬度γ取不同值的情況下,制冷機的工作區(qū)間也會有所不同,并且隨著能級寬度γ的增大相應(yīng)的制冷區(qū)間會隨之減小;而當(dāng)能級寬度確定,溫差存在一個最大值 ΔTmax,如當(dāng)γ0.5kBT時,對應(yīng)的 ΔTmax/T≈0.122 ;當(dāng)能級寬度確定,對于不同的溫差 ΔT≤ΔTmax,電壓具有不同的起始值Vmin和截止電壓Vmax,如當(dāng)γ0.5kBT,ΔT/T0.09時,Vmin≈1.275kBT/e,Vmax≈4.235kBT/e.

圖2 (a)在γ→0的情況下制冷機的工作區(qū)間;(b)當(dāng)γ取不同的值時對工作區(qū)間的影響Fig.2.(a) The working region of the refrigerator in the case of γ→0 ;(b) the working regions at given different value γ.

圖3 在 γ→0時(a)制冷率和(b)制冷系數(shù)隨著能級位置變化的三維圖;(c)—(f)分別是 γ=0.5和 γ=1 對應(yīng)的制冷率和制冷系數(shù)的三維圖Fig.3.Three-dimensional graphs for (a) the cooling rate and (b) the coefficient of performance varying with the energy level positions under γ→0;(c)–(f) are the three-dimensional graphs for the cooling rate and the coefficient of performance at givenγ=0.5 and γ=1,respectively.

對于給定的參數(shù)EL1.5kBT,ER?5kBT和 ΔT/T0.05,可以繪制出在不同的能級寬度γ下,制冷率和制冷系數(shù)φ與電壓V的關(guān)系曲線,如圖4所示.從圖4(a)中可以看出,當(dāng)能級寬度γ確定,隨著電壓V的增大,制冷率先增大后減小,呈拋物線對稱分布.而從圖4(b)中可以看出,當(dāng)能級寬度γ確定,隨著電壓V的增大,制冷系數(shù)φ表現(xiàn)為先迅速增大后緩慢減小,這與制冷率隨電壓V的變化曲線不一樣.圖4(c)繪制了制冷率與制冷系數(shù)φ的特征曲線,從圖中可以清晰地看出制冷率和制冷系數(shù)之間的特征曲線是閉環(huán)型的,這意味著在最大制冷系數(shù)下制冷率不會消失,制冷機無法在可逆狀態(tài)下運行,制冷系數(shù)的最大值無法達(dá)到卡諾值TC/(Ti?TC),在這些閉合曲線中,存在兩個特殊點:最大制冷率的點和最大制冷系數(shù)的點.作為制冷機,人們總是希望在獲得盡可能大的制冷率的同時也獲得盡量大的制冷系數(shù),或者在獲得盡可能大的制冷系數(shù)的同時也盡量提升相應(yīng)的制冷率,因此該制冷機的最佳工作區(qū)間應(yīng)位于-φ特征圖的負(fù)斜率范圍內(nèi),即

圖4 (a) 制冷率關(guān)于電壓的函數(shù)圖像;(b) 制冷系數(shù)關(guān)于電壓的函數(shù)圖像;(c) 制冷機的 ?φ 特征圖Fig.4.(a) The cooling rate as a function of voltage;(b) the coefficient of performance as a function of voltage;(c) the characteristic curves of ?φ at given different value γ.

4 優(yōu)化性能分析

根據(jù)(1)—(8)式和極值條件

可通過數(shù)值計算來優(yōu)化制冷率和相應(yīng)的制冷系數(shù).在不同的能級寬度γ下,分別得到優(yōu)化制冷率和優(yōu)化制冷率下對應(yīng)的制冷系數(shù)隨電壓V變化的曲線圖,如圖5所示,其中給定參數(shù)ΔT/T0.05.從圖5中看出,隨著能級寬度γ的增大,優(yōu)化制冷率和對應(yīng)的制冷系數(shù)大致呈減小的趨勢.從圖5(a)中可以看出,對于一個確定的能級寬度γ,優(yōu)化制冷率的大小隨著電壓V的增大而表現(xiàn)出單調(diào)遞增,但遞增的速率是逐漸減小,直到eV≈5kBT左右時,優(yōu)化制冷率達(dá)到飽和值,而從圖5(b)可以看出,對于一個確定的能級寬度γ,隨著電壓V的增大,優(yōu)化制冷率所對應(yīng)的制冷系數(shù)是先迅速增大后緩慢減小的,此時存在一個特殊的電壓Vφ,使得優(yōu)化制冷率所對應(yīng)的制冷系數(shù)達(dá)到最大.通過圖5(c)可以看出,對于一個確定的能級寬度γ,優(yōu)化的左能級位置EL,opt則是隨著電壓的增大幾乎呈線性增加,在能級寬度γ→0 的情況下,左能級位置的優(yōu)化值大致滿足EL,opt≈0.5eV.右能級位置的優(yōu)化值則未在圖中示出,其優(yōu)化值是一個大的負(fù)值,即?ER,opt?kBT.

圖5 (a) 優(yōu)化的制冷率隨電壓變化的圖像;(b) 相應(yīng)制冷系數(shù)隨電壓變化的圖像;(c) 最優(yōu)能級位置隨電壓變化的圖像Fig.5.(a) The curves of the optimized cooling rate as a function of voltage;(b) the curves of the corresponding coefficient of performance as a function of voltage;(c) the curves of the optimal energy level position as a function of voltage.

在給定 ΔT/T0.05 和飽和制冷率對應(yīng)的電壓eV5kBT的情況下,可以繪制出優(yōu)化的制冷率和所對應(yīng)的制冷系數(shù)與能級寬度γ的關(guān)系曲線,如圖6所示.從圖6(a),(b)可以看出,優(yōu)化制冷率和對應(yīng)的制冷系數(shù)的大小都是隨能級寬度γ的增大而逐漸減小,從圖6(c)可以看出,優(yōu)化下的左能級EL,opt則是隨著能級寬度的增大而逐漸增大.因此為了獲取優(yōu)化的制冷率,應(yīng)盡可能的減小能級寬度γ的值.

圖6 (a) 優(yōu)化的制冷率隨能級寬度變化的圖像;(b) 相應(yīng)的制冷系數(shù)隨能級寬度變化的圖像;(c) 最優(yōu)能級位置隨能級寬度變化的圖像Fig.6.(a) The curves of the optimized cooling rate as a function of the width of energy level;(b) the curves of the corresponding coefficient of performance as a function of the width of energy level;(c) the curves of the optimal position of energy level as a function of the width of energy level.

最后考慮溫差 ΔT對制冷機性能的影響.為了獲得最大制冷率,首先固定左右能級位置EL2.5kBT,ER?5kBT,電壓eV5kBT,能級寬度γ→0.通過數(shù)值計算繪制出最大制冷率和對應(yīng)的制冷系數(shù)φmax隨溫差 ΔT變化的關(guān)系曲線,如圖7所示.由圖7可以看出,最大制冷率和對應(yīng)的制冷系數(shù)的大小隨著溫差的增大而逐漸減小,當(dāng)ΔT/T≈0.166時,0,φmax→0 .通過分析制冷率和制冷系數(shù)與溫差的變化關(guān)系,似乎可以得出溫差越小則相應(yīng)制冷機的性能越好,然而在溫差ΔT0的情況下,制冷機將失去制冷的意義.因而此處引入卡諾制冷系數(shù)φCTC/(Ti?TC),將最大制冷率所對應(yīng)的制冷系數(shù)除以卡諾制冷系數(shù)作為該制冷機優(yōu)化的評判標(biāo)準(zhǔn).從圖7(b)中可以看出,以卡諾制冷系數(shù)為單位的制冷系數(shù)隨著溫差的增大表現(xiàn)為先增大后逐漸減小的趨勢,并在ΔT/T≈0.084時達(dá)到最大值.

圖7 (a) 最大制冷率隨溫差變化的圖像;(b) 最大制冷率下的制冷系數(shù)和以卡諾制冷系數(shù)為單位的制冷系數(shù)隨溫差變化的圖像Fig.7.(a) The curves of the maximum cooling rate as a function of the temperature difference;(b) the curves of the coefficient of performance at the maximum cooling rate and the coefficient of performance in a unit of Carnot value as a function of the temperature difference.

5 結(jié)論

本文以一維彈道導(dǎo)體為基礎(chǔ),建立了三端納米線制冷機模型.利用朗道爾方程及基本的熱力學(xué)公式推導(dǎo)出了兩電子庫電荷流和能量流的表達(dá)式,進(jìn)而得出了該制冷機模型的工作區(qū)間,分析了該制冷機的性能特征,并討論了其性能優(yōu)化.結(jié)果表明:

1) 制冷機的工作區(qū)間是由各個參數(shù)共同決定,但無論各參數(shù)如何變化,制冷機都存在一個溫差上限,超過這個溫差該裝置將不作為制冷機工作;

2) 最大制冷率和最大制冷系數(shù)在特征曲線中出現(xiàn)的位置是分開的,得到了衡量該制冷機性能的重要指標(biāo);

3) 對于該三端納米線制冷機,其輸出功率或制冷率在超過某一能級位置會出現(xiàn)飽和值;

4) 盡可能減小納米線的能級寬度會提高制冷機的工作性能.