潘進

（通快（中國）有限公司，江蘇蘇州，215400）

0 引言

由于步進電機的本身控制精度較高，誤差不累計、無接觸老化、機械堅固性的特點，是自動控制領(lǐng)域比較依賴的電氣產(chǎn)品[1]。步進電機被廣泛的運用在各種工業(yè)控制場合，比如機器人、機床、打印機、掃描儀等。步進電機的典型控制結(jié)構(gòu)是開環(huán)控制，一般有開環(huán)控制、閉環(huán)控制和混合伺服模式控制三種控制方式。開環(huán)控制一般是給電機輸入一系列電壓脈沖，以精確的步距改變靜止位置，最后一個位置以脈沖停止后保持。但是在一些比較嚴格的控制系統(tǒng)中，步進電機的精度和性能還遠達不到工程師們的要求，于是開發(fā)了步進電機閉環(huán)控制方法，即引入編碼器等測量器件結(jié)合PID算法實現(xiàn)對步進電機轉(zhuǎn)矩、速度、位置的閉環(huán)控制，常用的方法大多采用硬件電流環(huán)，加上軟件控制位置閉環(huán)和速度閉環(huán)的方式進行電機三環(huán)閉環(huán)控制。但是近年來人們發(fā)現(xiàn)可以將伺服電機矢量控制的思想引入到步進電機控制中來，因此人們又在在閉環(huán)控制的基礎(chǔ)上又實現(xiàn)了混合伺服控制。混合式步進電機采用永磁轉(zhuǎn)子，定子和轉(zhuǎn)子均采用齒形磁結(jié)構(gòu)，既能產(chǎn)生永磁轉(zhuǎn)矩，又能產(chǎn)生磁阻轉(zhuǎn)矩。該混合步進電機最初設(shè)計為用于低速應(yīng)用的交流兩相同步電機。理論上，該電機可以看作是多極同步電機。近年來對低速大扭矩電機的需求使得混合步進電機與傳統(tǒng)交流電機相比更具吸引力，由于混合式步進電機在機械原理上類似伺服電機，因此人們很容易的想到將伺服的矢量控制方法引入到步進電機的控制系統(tǒng)中，從而提升步進電機控制系統(tǒng)的性能和控制精度。矢量控制（SVPWM）方式原則上是適用于同步電機的，其目的是產(chǎn)生一個圓形的磁場，為了達到控制電機的目的，我們使用理想磁通圓作為理想基圓，本文提出的矢量控制算法式是基于兩相混合式步進電機的，由于傳統(tǒng)的伺服電機三相橋結(jié)構(gòu)的控制方式不能直接用在兩相混合式步進電機的控制系統(tǒng)中，因此，本文將用雙H橋的電氣拓撲重新推導(dǎo)一些參數(shù)。

基于此，本文主要從混合伺服模式的方向提出了一種基于兩相混合式步進電機的矢量控制的方法，將步進電機近似成一個伺服電機，在文中完整的推導(dǎo)出了矢量空間調(diào)制的方法，包括坐標變換、扇區(qū)判斷、矢量合成時長的計算以及使用定時器產(chǎn)生SVPWM波的方法。

1 兩相混合式步進電機的數(shù)學(xué)模型

兩相混合式步進電機定子和轉(zhuǎn)子均為凸極。繞組自感和互感的關(guān)系如式（1）～式（3）。式中，L0分量為步進電機的平均自感，L1分量為自感的基本分量;LAA分量繞組A自感，LBB分量表示繞組B的自感，MAB分量為繞組A的互感，MBA分量表示繞組B互感; θ分量為轉(zhuǎn)子的機械角度位置，用電氣度表示。

定子和轉(zhuǎn)子之間的互感可以表示為下式， 式中Msr分量為定子與轉(zhuǎn)子之間的最大互感。

磁轉(zhuǎn)矩Te矩角特性方程如式（6），式中Nr分量表示轉(zhuǎn)子的機械齒數(shù)，L1分量表示定子繞組的自感基波分量，θ分量為轉(zhuǎn)子的角度，Msr分量表示定子與轉(zhuǎn)子的最大互感系數(shù)，Im分量表示轉(zhuǎn)子勵磁電流。

電壓方程如式（7），其中 RA分量表示A相繞組的內(nèi)阻，RB分量表示B相繞組的內(nèi)阻，ke分量表示反電動勢系數(shù)，ωr分量表示轉(zhuǎn)子實際的速度。

圖1為電機空間坐標矢量圖，定子繞組A相和B相在靜止的α和β軸上，α和β軸為正交坐標系，轉(zhuǎn)子的永磁體磁鏈軸為d軸。使用坐標變換，αβ坐標系中的電流被轉(zhuǎn)換為dq坐標系中的電流。因此電機輸出的轉(zhuǎn)矩可以通過坐標變換后控制d軸和q軸來改變電流大小以達到控制轉(zhuǎn)矩的目的[2]。

圖1 兩相步進電機矢量圖

下面是Park變換，我們將定子電流iα和iβ放在d軸和q軸上，id和iq可以表示為：

反Park比變換，從dq坐標系變換到αβ坐標系轉(zhuǎn)換的電流只需反轉(zhuǎn)即可。

我們將式（9）代入式（6），重新排列后即可得到式（10）。

根據(jù)公式（1）和（2），轉(zhuǎn)子永磁磁通軸為d軸，Ld和Lq可表示為：

因此，對于兩相混合式步進電機，電機的轉(zhuǎn)矩是由d軸分量和q軸分量共同產(chǎn)生的，其電磁轉(zhuǎn)矩表達式形式為式（12）。

2 兩相步進電機SVPWM模塊

三相伺服電機一般采用SVPWM，即基于一組三相三橋臂逆變器。在本文中，因為兩相混合式步進電機只有兩相，一因此采用了雙H逆變橋結(jié)構(gòu)（見圖2）控制思路，參考三相伺服電機的SVPWM的概念推導(dǎo)，對兩相SVPWM算法進行了分析。

圖2 雙H橋電路拓撲圖

如果八功率晶體管可以分別控制，可得到16個基本向量見圖3(a)，但這需要多個PWM引腳，并要求高性能的控制核心。因此，針對H橋的導(dǎo)通方式，采用了一種上下互補導(dǎo)通和對角同時導(dǎo)通的兩相H橋，如圖3(b)所示。經(jīng)過分析，雙H橋的拓撲結(jié)構(gòu)可以產(chǎn)生4個非零矢量和2個零矢量。它們各自的的狀態(tài)表示如表1所示。

圖3

表1 基本空間電壓矢量

取位于扇區(qū)的參考電壓矢量,例如在滿足約束條件時，即t1+t2+t0=Ts(Ts表示頻率載波周期，t0表示零矢量的作用時間，即不起作用的時間，t1和t2是表示扇區(qū)內(nèi)的兩個相鄰基本矢量作用時間)，當a=b=c=d=0時輸出的開關(guān)狀態(tài)為零狀態(tài)，根據(jù)SVPWM的基本原理和原理和伏秒平衡原理，可以得到式(13)。當載波頻率高時式(14)可近似表示為(13)。

經(jīng)計算可得式(15)～ (17)：

當電機突然加速或負載突然變化時，計算出的轉(zhuǎn)矩變化比較大，SVPWM計算出來的矢量幅值可能超過母線電壓，如圖3(b)所示。因此，必須對計算出來的電壓矢量進行限制，以保證給定的電壓矢量在矢量圖的實心圓內(nèi)。約束條件如下:

當計算出的電壓矢量超出約束條件式（18）時，重新給定電壓矢量的公式為式(19)：

若在不滿足式（18）約束條件的情況下出現(xiàn)t1+t2>Ts的情況，則t1和t2應(yīng)表示為：

SVPWM的推導(dǎo)過程分為了四步：第一步進行坐標變換，第二步需要進行扇區(qū)判斷，第三步進行矢量時長的計算，第四步使用單片機生成CVPWM的波形。經(jīng)過了坐標變換從Vd、Vq得到了靜止坐標系下的Uα分量和Uβ分量，從而得到了合成矢量Uref，然后更具Uα和Uβ值的大小進行扇區(qū)判斷，如果Uα>0，Uβ>0，則矢量處于第一扇區(qū)，如果Uα<0，Uβ>0，則矢量處于第二扇區(qū)，如果Uα<0，Uβ>0，則適量處于第三扇區(qū)，如果Uα>0，Uβ<0，則矢量處于第四扇區(qū)[3]。

為了便于代碼的實現(xiàn)，我們需要將扇區(qū)的判斷比較直觀的描述出來，根據(jù)三相伺服電機SVPWM的理論我們將N=4C+2B+A的方法引入進來，如下式,我們定義N=1+A+2B,這樣我們只需要在程序中判斷N的數(shù)值即可得到矢量所在的扇區(qū)。合成矢量所處的象限與N的關(guān)系如表2所示。

表2 扇區(qū)與N的關(guān)系

當我們扇區(qū)判斷完成后下一步則開始矢量時長的計算，根據(jù)觀察以下得出式：

再結(jié)合式（15）和式（16），得出第一扇區(qū)：

同樣，我們求出和合成矢量Uref分布在其他扇區(qū)時，其等效于相鄰的兩個基本非零矢量的作用時間。

當矢量Uref在第二扇區(qū)時，Uref相鄰的兩個非零矢量的作用時間t1，t2分別為：

當矢量Uref在第三扇區(qū)時，Uref相鄰的兩個非零矢量的作用時間t1，t2分別為：

當矢量Uref在第四扇區(qū)時，Uref相鄰的兩個非零矢量的作用時間t1，t2分別為：

我們設(shè)Tx=Ts/Td*Uα，Ty=Ts/Td*Uβ則可以得到合成的矢量分布在不同扇區(qū)下基本相鄰電壓矢量的時間t1和t2關(guān)系如表3。

表3 矢量時長與扇區(qū)編號的關(guān)系

計算完矢量時長之后，下一步則需要生成svpwm波形了，svpwm波形很難使用定時器模擬出來，所以推薦帶有硬件pwm的MCU，本文推薦使用STM32F303系列，該單片機為M4內(nèi)核，內(nèi)部帶有FPU硬件除法器，主頻72MHz，外設(shè)內(nèi)容豐富，通過高級定時器1生成PWM波來模擬5段式SVPWM。[4]每個扇區(qū)對應(yīng)的SVPWM波形如圖4所示，我們需要將比較值實時的輸入進定時器，由此就可以動態(tài)的生成SVPWM波形，實現(xiàn)矢量控制了，當然想要系統(tǒng)穩(wěn)定還需要加入PID調(diào)節(jié)算法，調(diào)節(jié)我們的電流環(huán)、角度環(huán)、速度環(huán)，然后一個完整的混合式步進控制系統(tǒng)才算完全[5]。

圖4 五段式SVPWM

3 總結(jié)

在步進電機中，由于缺乏轉(zhuǎn)子繞組，重量和慣性減少，而動態(tài)增加。此外，可靠性、無接觸老化、機械堅固性和零速度扭矩的可用性是吸引人的特點，使步進電機在上述領(lǐng)域廣泛應(yīng)用步進電機的典型控制結(jié)構(gòu)是開環(huán)控制。給電機輸入一系列電壓脈沖，以精確的步驟改變靜止位置。最后一個位置在切斷電源后保持[6]。這種方法雖然簡單有效，但有一些缺點和局限性，因為步進行為可能產(chǎn)生機械共振、振動、噪聲和老化，并且控制的帶寬本質(zhì)上減少了。然而，步進電機在紡織工業(yè)中的應(yīng)用之所以吸引人，主要是因為它是一種低成本的解決方案。隨著自動化技術(shù)的發(fā)展，混合伺服必然會受到更加廣泛的關(guān)注和使用，本文提出的一種適用于兩相混合式步進電機的矢量控制技術(shù)，實現(xiàn)了任意細分和恒扭矩的功能，因此可以用于更高要求的場合，提升了步進電機的用途[7]。本文從數(shù)學(xué)模型開始推導(dǎo)，兩相混合式步進電機的SVPWM技術(shù)共分為4步，第一步坐標變換、第二步扇區(qū)判斷、第三步矢量作用時長計算和第四步SVPWM波形產(chǎn)生，我們在文中已經(jīng)一一推導(dǎo)完成。