張 威， 王文波， 李雙寶

(1. 中國民航大學(xué) 航空工程學(xué)院，天津 300300； 2. 中國民航航空地面特種設(shè)備研究基地，天津 300300；3. 中國民航大學(xué) 理學(xué)院，天津 300300)

針對這一問題，有學(xué)者發(fā)現(xiàn)并聯(lián)三根正剛度彈簧得到的裝置，理論上不僅具有高靜載支撐能力與低動剛度特征，而且還能實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)零剛度，進(jìn)而可用于低頻隔振。其中，Carrella等[4-7]較早研究過具有高靜低動特征的三彈簧并聯(lián)隔振系統(tǒng)的靜力學(xué)與隔振傳遞率特性，結(jié)果表明其具有低頻隔振性能。但是，具有準(zhǔn)零剛度特征的隔振器的設(shè)計(jì)難點(diǎn)在于構(gòu)造負(fù)剛度。其中，橫向線性彈簧并聯(lián)構(gòu)造的負(fù)剛度結(jié)構(gòu)是最常見的形式，其負(fù)剛度原理和復(fù)雜的非線性動力學(xué)現(xiàn)象被Cao等[8-11]進(jìn)行過深入的研究，其中Hao等[12]基于Cao等的研究，對一種用于低頻地面振動測試(ground vibration test,GVT)非線性支撐系統(tǒng)的準(zhǔn)零剛度振子模型的未擾系統(tǒng)動力學(xué)進(jìn)行了研究，得到滿足準(zhǔn)零剛度的結(jié)構(gòu)參數(shù)。近年來在負(fù)剛度彈性元件的構(gòu)造上出現(xiàn)了以磁彈簧[13-14]、剪刀架結(jié)構(gòu)[15]、滾輪-凸輪-彈簧機(jī)構(gòu)(cam-roller-spring mechanisms,CRSM)[16]、碟形彈簧[17-18]、空氣彈簧[19]、新材料構(gòu)造的新結(jié)構(gòu)[20-21]以及梁或桿[22-26]等。其中梁有直梁和曲梁兩種，曲梁又分為兩端受載屈曲梁和兩端固支余弦梁。Benjamin等將兩端固支屈曲梁低頻隔振器用于抗沖擊試驗(yàn)研究，得到其隔振峰值大大降低，但未對其動力學(xué)進(jìn)行理論分析。王云峰等[27]基于拉格朗日原理建立了兩端固支屈曲梁隔振器的動力學(xué)模型，并對其隔振性能進(jìn)行了分析，結(jié)果表明其低頻隔振性能優(yōu)于線性系統(tǒng)。然而兩端固支屈曲梁具有明顯的缺點(diǎn)，即難以精確控制其預(yù)壓力，從而極大限制了其在工程中的應(yīng)用。

由文獻(xiàn)[28]可知余弦梁在不需要兩端施加載荷情況下就具有雙穩(wěn)態(tài)特性，還可通過改變拱高與梁厚得到不同的力與位移關(guān)系，以及實(shí)現(xiàn)負(fù)剛度等。因此，在考慮小變形的情況下，本文提出雙穩(wěn)態(tài)余弦梁非線性隔振器，其由兩端剛性固定的余弦梁負(fù)剛度元件與垂向正剛度線性彈簧并聯(lián)構(gòu)成。通過分析該系統(tǒng)無阻尼未受擾動情況下的動力學(xué)模型，得到滿足該系統(tǒng)準(zhǔn)零剛度平衡點(diǎn)的充要條件。對其進(jìn)行靜力學(xué)分析，提出可以通過改變余弦梁的高厚比，進(jìn)而改變系統(tǒng)的剛度以實(shí)現(xiàn)低頻隔振。本文還定義了雙穩(wěn)態(tài)余弦梁非線性隔振器的準(zhǔn)零剛度平衡點(diǎn)。通過分析雙穩(wěn)態(tài)余弦梁非線性隔振器的力傳遞率，得到了系統(tǒng)的起始隔振頻率值。

1 雙穩(wěn)態(tài)余弦梁非線性隔振器的靜力學(xué)分析

1.1 雙穩(wěn)態(tài)余弦梁

如圖1所示為兩端固支的雙穩(wěn)態(tài)余弦梁結(jié)構(gòu)，其中：l為兩固定端的距離；δ為梁截面厚度；H為初始時(shí)刻梁軸線中點(diǎn)距兩端點(diǎn)連線的垂直距離即梁的拱高；E為彈性模量；I為慣性矩；X為壓縮位移。兩端固支曲梁在文獻(xiàn)[29]中已被研究，但未給出其靜力學(xué)方程。Qiu等研究了兩端固支余弦梁橫向受載時(shí)的回復(fù)力，得其前三階回復(fù)力與位移關(guān)系式(1)。

圖1 雙穩(wěn)態(tài)余弦梁受橫向載荷示意圖Fig.1 The bistable cosine-shaped beam with cross force

(1)

(2)

所得無量綱的作用力Φi(i=1,2,3)與位移的關(guān)系，如圖2所示。當(dāng)h=1.65時(shí)，Φ1與Φ2在Δ=1處相切。本文考慮當(dāng)h≤1.65時(shí)，即余弦梁受壓過程中其垂向作用力與位移的關(guān)系只滿足F1這種情況作為負(fù)剛度機(jī)構(gòu)。其力與位移的關(guān)系式為

圖2 不同高厚比下余弦梁的力-位移關(guān)系Fig.2 Several solutions of cosine-shaped beam normalized force-displacement relation

(3)

則余弦梁的無量綱力與位移關(guān)系表達(dá)式為

(4)

式(4)對x求導(dǎo)，則余弦梁無量綱剛度位移關(guān)系可表示為

k1=9x2-3h2+4

(5)

1.2 準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)的平衡位置

余弦梁結(jié)構(gòu)可以被設(shè)計(jì)成具有優(yōu)異的抗沖擊性能的機(jī)構(gòu)，如果并聯(lián)一正剛度為K1的垂向線性彈簧，理論上可以在實(shí)現(xiàn)高靜載支撐能力的同時(shí)兼具低動剛度，同時(shí)擁有較好的低頻隔振性能。本文的雙穩(wěn)態(tài)余弦梁非線性隔振系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，如圖3所示。

圖3 雙穩(wěn)態(tài)余弦梁非線性隔振系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖Fig.3 Structure of nonlinear vibration isolator with bistable cosine-shaped beam

不考慮質(zhì)量M和阻尼c，在軸向受載F的作用下，系統(tǒng)的力與位移關(guān)系可表示為

(6)

對式(6)無量綱處理，得系統(tǒng)的無量綱力與位移關(guān)系式為

(7)

將式(7)等式兩邊分別對x求導(dǎo)，得到隔振系統(tǒng)的無量綱剛度與位移關(guān)系式為

(8)

(9)

在工程實(shí)踐中，隔振系統(tǒng)的無量綱剛度比a應(yīng)大于或等于0。根據(jù)式(9)，在平衡位置x=0處的等效剛度比記作a0，其與等效高厚比h的關(guān)系為

(10)

式(10)表明等效剛度比a0與高厚比h有關(guān)。將式(10)分別代入式(7)、式(8)，即可得其無量綱恢復(fù)力的表達(dá)式為

(11)

無量綱剛度的表達(dá)式為

(12)

式(12)與對式(11)求關(guān)于x的一階導(dǎo)數(shù)得到的剛度表達(dá)式一致。由上述定義可以得如下結(jié)論：當(dāng)且僅當(dāng)a=a0時(shí)，隔振系統(tǒng)存在唯一的穩(wěn)定準(zhǔn)零剛度平衡點(diǎn)x=0。

根據(jù)式(8)、式(10)現(xiàn)對本系統(tǒng)的零剛度平衡點(diǎn)個(gè)數(shù)作如下分析：

圖4 不同剛度比a條件下的無量綱剛度曲線Fig.4 Dimensionless stiffness under different stiffness ratio a

圖5 剛度與位移和高厚比的關(guān)系Fig.5 The relationship among stiffness, displacement height-thickness-ratio

2 諧波激勵(lì)力作用下非線性隔振器動力學(xué)模型

當(dāng)雙穩(wěn)態(tài)余弦梁隔振系統(tǒng)承載質(zhì)量為M的被隔振物體后，對該系統(tǒng)施加諧波激勵(lì)力F0cos(Ωt)時(shí)，系統(tǒng)的動力學(xué)方程為

(13)

式(13)無量綱化后得

(14)

3 余弦梁非線性隔振器動力學(xué)分析

3.1 未擾動方程

在不考慮阻尼和外激勵(lì)情況下，余弦梁非線性隔振器的未擾動無量綱動力學(xué)微分方程可表示為

(15)

將式(15)改寫成一階控制方程

(16)

令非線性恢復(fù)力為

F(x,α,β)=αx+ρx3+β

(17)

其對應(yīng)的勢能函數(shù)及Hamiltonian函數(shù)分別為

(18)

(19)

3.2 平衡點(diǎn)分岔

本節(jié)先建立雙參數(shù)分岔圖來揭示該系統(tǒng)的解在參數(shù)空間中分布的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。根據(jù)系統(tǒng)式(16)可通過空間曲面表示其平衡點(diǎn)。由1.2節(jié)分析可知?jiǎng)偠缺萢≥0，所以有ρ≥0，又因ρ的取值不會改變平衡點(diǎn)的位置，為了便于分析，故可令ρ=3。這一取值也與第4章的幾何參數(shù)對應(yīng)的響應(yīng)分析結(jié)果相同。

式(16)、式(17)即可表示成

(20)

F(x,α,β)=αx+3x3+β

(21)

圖6 系統(tǒng)式(20)的平衡點(diǎn)與靜態(tài)分岔圖Fig.6 The equilibrium surfacein space and static bifurcation diagram of the system (20)

圖7 系統(tǒng)式(20)平衡點(diǎn)與兩個(gè)參數(shù)α，β的關(guān)系Fig.7 The relationship between equilibria of system (20) and two parameters α,β

以上相平面圖8顯示了系統(tǒng)式(20)依賴一個(gè)參數(shù)α的連續(xù)變化的轉(zhuǎn)遷動力學(xué)行為。當(dāng)α<0時(shí)，系統(tǒng)除了表現(xiàn)出與杜芬方程相似的標(biāo)準(zhǔn)雙阱動力學(xué)行為，同時(shí)表現(xiàn)出類鞍點(diǎn)和類同宿軌道等非標(biāo)準(zhǔn)的動力學(xué)行為。當(dāng)α≥0時(shí),系統(tǒng)主要表現(xiàn)為單阱動力學(xué)行為。事實(shí)上從圖9(b)中也可以直接得出系統(tǒng)式(20)是一個(gè)具有轉(zhuǎn)遷動力學(xué)的系統(tǒng)即從雙勢能阱向單勢能阱轉(zhuǎn)化，點(diǎn)劃線表示α<0系統(tǒng)具有雙勢能阱；實(shí)線、虛線分別表示α=0或α>0時(shí)，系統(tǒng)具有單勢能阱。

圖8 系統(tǒng)式(20)的代表性相圖以及平衡點(diǎn)Fig.8 Representative phase portraits and equilibria of the system (20)

圖9 參數(shù)α對非線性恢復(fù)力、勢能的影響Fig.9 Effect of parameter α on nonlinear restoring force and potential energy

通過本節(jié)的研究還可以得到系統(tǒng)式(20)的存在穩(wěn)定的零剛度平衡點(diǎn)的條件為α=0，β=0。根據(jù)非線性恢復(fù)力式(21)對位移x求一階導(dǎo)數(shù)得其非線性剛度為

K(x)=α+9x2

(22)

由相平面圖8的分析可知β=0系統(tǒng)才具有對稱性，當(dāng)α取值從0～-2的過程系統(tǒng)式(20)具有轉(zhuǎn)遷行為，只有當(dāng)(α,β)=(0,0)時(shí)系統(tǒng)才有穩(wěn)定的零剛度平衡點(diǎn)即(α,β)=(0,0)是系統(tǒng)具有準(zhǔn)零剛度平衡點(diǎn)的充要條件。

3.3 系統(tǒng)隔振動力學(xué)響應(yīng)與周期解的穩(wěn)定性分析

如圖3所示，考慮到該系統(tǒng)為單自由度非線性隔振系統(tǒng)且受諧波力激勵(lì)F0cos(Ωt)作用時(shí)，當(dāng)其承載一定質(zhì)量為M的物體后，系統(tǒng)正好處于平衡位置u=0處，此時(shí)系統(tǒng)的剛度為零。其黏性阻尼為c。根據(jù)式(7)和式(10)可得承載質(zhì)量M與系統(tǒng)參數(shù)之間的關(guān)系為

(23)

隔振系統(tǒng)運(yùn)動微分方程可以寫成

(24)

式中：u=X-H；Fr為諧波力激勵(lì)下系統(tǒng)的恢復(fù)力。

由式(11)和式(23)可得

(25)

因此，式(24)的無量綱形式為

(26)

其中，幾何參數(shù)比為

(27)

考慮到無量綱微分方程，假設(shè)其具有諧波形式的周期解。運(yùn)用平均法求解無量綱運(yùn)動微分方程式(26)。

設(shè)

x=Acos(wt+θ)

(28)

(29)

考慮對式(28)、式(29)中的A，θ求導(dǎo)，且令φ=wt+θ。得

(30)

(31)

分別將式(28)與式(30)聯(lián)立；將式(28)、式(29)及式(31)代入式(26)中得慢變的幅值和相位角方程

(32)

其中，

I=2Awζsinφ+Aw2cosφ-ρA3cos3φ+fcos(φ-θ)

對式(32)關(guān)于φ從0～2π積分取平均得到關(guān)于A和θ的平均方程

(33)

(34)

其對應(yīng)于隔振系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解，由式(34)可得一階近似解下的幅頻響應(yīng)關(guān)系式

(35)

為了確定解式(28)、式(29)的穩(wěn)定性，引入擾動變量ξ=A-A0，η=θ-θ0，并將其代入式(34)，令

得到

(36)

設(shè)式(36)的解為ξ=ξ0est，η=η0est，可得式(36)的特征方程

其中，

(37)

根據(jù)李雅普諾夫一次近似穩(wěn)定性理論[30]，如果ε1>0，ε2>0，則是奇點(diǎn)(A0,θ0)漸進(jìn)穩(wěn)定的充分條件。ε2<0，則奇點(diǎn)(A0,θ0)不穩(wěn)定，因此ε2=0是穩(wěn)定與不穩(wěn)定區(qū)域的分界線。

4 系統(tǒng)各參數(shù)下的幅頻響應(yīng)

表1 各激勵(lì)幅值下的上、下跳躍點(diǎn)Tab.1 Jump-down and jump-up points under excitation amplitude

圖10 幾何參數(shù)ρ與高厚比h的關(guān)系Fig.10 Relationship between geometric parameters ρ and height-thickness-ratio h

根據(jù)式(35)分析系統(tǒng)各參數(shù)包括阻尼系數(shù)ζ、激勵(lì)幅值f、幾何參數(shù)比ρ，對系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)的影響如圖11～圖13所示。

圖11 不同幾何參數(shù)比ρ下系統(tǒng)幅頻響應(yīng)Fig.11 Amplitude-frequency responses of system with different geometric parameters ρ

圖12 不同阻尼系數(shù)ζ下系統(tǒng)幅頻響應(yīng)Fig.12 Amplitude-frequency responses of system with different damp ratio ζ

圖13 不同激勵(lì)幅值f下系統(tǒng)幅頻響應(yīng)Fig.13 Amplitude-frequency responses of system with different excitation amplitude f

設(shè)定參數(shù)ζ=0.02，f=0.02，可得幾何配置比對系統(tǒng)響應(yīng)的影響見圖11，其中給出了不同幾何配置比ρ值對應(yīng)的幅頻響應(yīng)曲線和線性彈簧隔振系統(tǒng)的響應(yīng)。在頻率比小于1的范圍內(nèi)，隨著幾何參數(shù)比的增加共振幅值會降低同時(shí)共振頻率也會增大。所以當(dāng)ζ=0.02，f=0.02時(shí)，使發(fā)生向下跳躍的頻率低,同時(shí)兼顧共振峰值小，故幾何配置比ρ約為3。圖12與圖13顯示了阻尼系數(shù)和激勵(lì)幅值對幅頻響應(yīng)的影響，由圖可知：當(dāng)阻尼系數(shù)ζ的越大，系統(tǒng)的共振響應(yīng)越小；反之當(dāng)阻尼系數(shù)ζ的越小，系統(tǒng)的共振響應(yīng)越大。但阻尼既不能無限增大也不能無限減小。當(dāng)激勵(lì)幅值f的減小，余弦梁隔振器幅值的響應(yīng)也減小；當(dāng)激勵(lì)幅值f的增大，余弦梁隔振器幅值的響應(yīng)也增大。在取相同參數(shù)值得情況下，非線性隔振器的共振響應(yīng)峰值都要比線性隔振器的大。

5 各參數(shù)對系統(tǒng)力傳遞率的影響

由線性隔振系統(tǒng)力傳遞率的定義：傳到基礎(chǔ)的力與激勵(lì)力幅值之比稱作線性系統(tǒng)的力傳遞率。非線性隔振系統(tǒng)與線性系統(tǒng)的定義應(yīng)當(dāng)類似，所以屈曲梁隔振系統(tǒng)在激勵(lì)力作用下的傳遞率公式為

(38)

其中，式(38)的分子為傳到基礎(chǔ)上的最大作用力包括阻尼與彈性力兩部分，分母為外激勵(lì)幅值。該公式與線性隔振系統(tǒng)傳遞率公式的定義類似。

根據(jù)式(26)可知，傳遞到基礎(chǔ)的作用力關(guān)于無量綱位移x單調(diào)遞增，因此可以得出傳遞率近似公式為

(39)

圖14～圖16分別反映了不同系統(tǒng)參數(shù)對非線性隔振系統(tǒng)力傳遞率的影響并與等效線性系統(tǒng)的力傳遞率的對比。由圖14可得隨阻尼系數(shù)ζ的增大，無論線性系統(tǒng)還是非線性系統(tǒng)的傳遞率隨頻率增加，在低頻段峰值均減小在高頻段力傳遞率增加隔振效率變差。圖15反映了隨幾何參數(shù)ρ的增大，非線性隔振系統(tǒng)的共振峰值略有增加，起始隔振頻率越來越大。隨頻率的增大不同幾何參數(shù)下非線性系統(tǒng)的傳遞率最終趨近于相等，但遠(yuǎn)低于線性系統(tǒng)的傳遞率。圖16反映了隨外激勵(lì)幅值f增加，力傳遞率的共振峰值也相應(yīng)增加，其對應(yīng)的共振頻率也增加；頻率增加到一定值后系統(tǒng)力傳遞率的大小也近似相等，外激勵(lì)幅值越小起始隔振頻率也越小。從上述三圖的隔振傳遞率曲線均反映非線性系統(tǒng)隔離低頻振動相比線性系統(tǒng)具有優(yōu)越性。

圖14 阻尼系數(shù)ζ對應(yīng)的力傳遞率Fig.14 Effect of different damp ratio ζ on the force transmissibility

圖15 幾何參數(shù)ρ對應(yīng)的力傳遞率Fig.15 Effect of geometric parameters ρ on the force transmissibility

圖16 外激勵(lì)幅值f下系統(tǒng)的力傳遞率Fig.16 Effect of excitation amplitude f on the force transmissibility

表2 力傳遞率對應(yīng)各參數(shù)下的起始隔振頻率Tab.2 Initial isolation frequency of force transmissibility under various parameters

6 隔振系統(tǒng)仿真分析

根據(jù)隔振系統(tǒng)的需要，初步設(shè)計(jì)余弦梁的結(jié)構(gòu)參數(shù)長l=350 mm，寬b=32.66 mm，拱高h(yuǎn)=4.083 mm，梁厚δ=2.887 mm，彈性模量E=168.9 GPa，泊松比σ=0.22。通過有限元軟件對其靜力學(xué)進(jìn)行分析得其力與位移的關(guān)系與數(shù)值公式計(jì)算的結(jié)果如圖17所示，仿真結(jié)果與理論計(jì)算幾乎一致。

圖17 余弦梁的力與位移關(guān)系曲線Fig.17 The force-displacement relation of cosine-shaped beam

雙穩(wěn)態(tài)余弦梁非線性隔振系統(tǒng)的有限元模型如圖18所示，設(shè)置被隔振質(zhì)量為31.7 kg，線性彈簧剛度為25.43 N/mm，阻尼比值為0.03。在有限元分析模型中通過兩個(gè)分析步來實(shí)現(xiàn)仿真分析：第一步通過施加靜力使余弦梁非線性隔振器處于平衡位置；第二步施加一個(gè)Y軸方向且幅值為15的周期性的余弦激勵(lì)，通過傳遞到基礎(chǔ)的力時(shí)程響應(yīng)均方根值與輸出激勵(lì)的值相比即為余弦梁非線性隔振器的力傳遞率。圖19顯示4 s內(nèi)激勵(lì)頻率為10 Hz時(shí)的輸入、輸出時(shí)域數(shù)據(jù)，其傳遞率為2.26，同理可得其他激勵(lì)頻率下的傳遞率值。在頻率范圍0～50 Hz內(nèi)余弦梁非線性隔振器與線性隔振器的隔振傳遞率，如圖20所示，仿真結(jié)果表明：余弦梁非線性隔振系統(tǒng)的起始隔振頻率12 Hz小于線性隔振系統(tǒng)的起始隔振頻率40 Hz，驗(yàn)證了本文設(shè)計(jì)的余弦梁非線性隔振器的隔振性能優(yōu)于線性隔振器。

圖18 余弦梁非線性隔振器有限元模型Fig.18 The FEA model of cosine-shaped beam nonlinear isolator

圖19 激勵(lì)頻率10 Hz下的時(shí)程曲線Fig.19 The time curve of excitation frequency at 10 Hz

圖20 有限元仿真結(jié)果Fig.20 The result of FEA simulation

7 結(jié) 論