張 慧 鵬

(運城學院 機電工程系，山西 運城 044000)

引言

圓柱螺旋壓縮彈簧作為一種常用的彈性聯(lián)接件，廣泛地應用在工業(yè)生產(chǎn)、日常生活及各種機械設備中，其在工作中一般承受壓縮力的作用[1]。在螺旋彈簧傳統(tǒng)的設計方法中，首先根據(jù)要求的變形條件及最大工作載荷，參照已有的設計參數(shù)和經(jīng)驗，選擇簧體材料，進而彈簧許用應力初步確定；其次在試選取彈簧旋繞比的基礎上，利用彈簧設計公式計算彈簧絲直徑，彈簧中徑及工作圈數(shù)等基本參數(shù)；最后按照求得的三個基本參數(shù)，利用強度校核公式驗算彈簧實驗載荷和疲勞強度是否滿足要求，若滿足設計要求，則可繼續(xù)計算出彈簧的其他幾何參數(shù)，若不滿足要求，則需重新進行設計[2]。因此傳統(tǒng)的彈簧設計方法，需要工作人員具有一定的彈簧設計經(jīng)驗和較高的設計技能，一般無法獲得最優(yōu)設計方案，且設計效率低下[3]。相對于單目標優(yōu)化設計，多目標優(yōu)化設計可同時兼顧多項設計目標，能夠得到更為均衡的設計參數(shù)，獲得更為良好的整體性能，雖然比單目標優(yōu)化問題復雜，但借助于MATLAB優(yōu)化工具箱進行多目標優(yōu)化問題分析，具有分析速度快，編程簡單高效，計算結(jié)果準確等特點，從而有效縮短設計周期，提高設計質(zhì)量。

本文分析了圓柱螺旋壓縮彈簧設計目標、設計變量和約束條件，建立了基于彈簧結(jié)構(gòu)質(zhì)量最小、自由高度最小和自振頻率最高的優(yōu)化設計數(shù)學模型，采用MATLAB優(yōu)化工具箱求解得到了優(yōu)化的彈簧幾何參數(shù)。這種方法極大減小了彈簧設計工作量，不需要人工反復迭代計算，同時實現(xiàn)彈簧輕量化和工作性能相對最優(yōu)的目的。

1. 數(shù)學模型的建立

1.1 已知參數(shù)

內(nèi)燃機用氣門彈簧結(jié)構(gòu)如圖1所示，其工作性能指標為：工作載荷F=680N，工作行程h=16.59mm，工作頻率fr=25Hz，壽命N≥106循環(huán)次數(shù)，彈簧絲直徑2.5≤d≤9mm，彈簧外徑30≤D≤60mm，工作圈數(shù)n≥3，支撐圈數(shù)n2=1.8，彈簧指數(shù)C≥6，彈簧壓并高度λb=1.1h=18.25mm，彈簧絲材料采用50CrVA，許用切應力[τ]=405MPa。要求在滿足彈簧的強度條件、剛度條件、穩(wěn)定性條件、旋繞比條件和結(jié)構(gòu)尺寸邊界條件等約束條件下，使它的結(jié)構(gòu)質(zhì)量最小、彈簧自由高度最小和自振頻率最高[4]。

圖1 圓柱螺旋彈簧結(jié)構(gòu)簡圖

1.2 選取設計變量

在滿足使用要求的前提下，選擇質(zhì)量較輕的彈簧，可使彈簧小型化，不受或少受布置空間的限制，且能節(jié)省材料，提高經(jīng)濟性，因此選擇彈簧結(jié)構(gòu)質(zhì)量作為第一優(yōu)化設計目標[5]，可表示為：

f1(x)=(n+n2)πD2ρπd2/4

(1)

式中，ρ—彈簧材料密度，ρ=7.8×103kg/m3。

彈簧自由高度是指彈簧不受外力時的高度，彈簧自由高度過大，容易使彈簧穩(wěn)定性變差，故以彈簧自由高度最小作為第二優(yōu)化設計目標[6]，可表示為：

f2(x)=(n+n2-0.5)d+λb

(2)

自振是彈簧本身的固有振動，彈簧的自振頻率與彈簧的剛度、質(zhì)量、承受載荷大小以及支承情況有關(guān)。當彈簧受到頻率分量接近彈簧固有頻率的外力作用時，容易出現(xiàn)共振現(xiàn)象，從而影響彈簧工作性能，故以彈簧自振頻率最高作為第三優(yōu)化設計目標[7]，可表示為：

(3)

比較優(yōu)化設計目標函數(shù)中各設計參數(shù)之間的關(guān)系，可確定彈簧的簧絲直徑d、中徑D2和工作圈數(shù)n等三個獨立設計參數(shù)作為優(yōu)化設計變量，表示為：

(4)

1.3 確定目標函數(shù)

代入有關(guān)數(shù)據(jù)，并用設計變量表示彈簧結(jié)構(gòu)質(zhì)量表達式，則第一分目標函數(shù)可表示為：

(5)

用設計變量表示彈簧自由高度表達式，則第二分目標函數(shù)可表示為：

f2(x)=x1(x3+1.3)+18.25

(6)

用設計變量表示彈簧自振頻率表達式，且因為優(yōu)化設計算法搜索極小值，故第三分目標函數(shù)可取自振頻率的負數(shù)表示為：

(7)

為了優(yōu)化結(jié)果準確，應使三個分目標函數(shù)的極值在數(shù)量級上保持一致，因此應用目標規(guī)劃法統(tǒng)一目標函數(shù)為：

(8)

2. 確定約束條件

對于彈簧來說，其約束條件除一般的尺寸約束、強度約束外，還應包括剛度約束、振動穩(wěn)定性約束。其約束條件可根據(jù)彈簧功能的要求和結(jié)構(gòu)限制列出，同時可根據(jù)其數(shù)學表達式的不同分類[8]：

2.1 線形不等式約束條件

(1)彈簧絲直徑即制造彈簧的鋼絲直徑，制作彈簧的鋼絲直徑越粗，彈力越大，但抗拉強度極限反而下降，故要求彈簧絲直徑2.5≤d≤9mm，即

g1(X)=2.5-x1≤0

gx(X)=9-x1≥0

(2)彈簧的有效圈數(shù)就是彈簧等節(jié)距的圈數(shù)，圈數(shù)越多，其彈性系數(shù)越小，剛度越小，而圈數(shù)過少，則易影響彈簧使用壽命，故要求彈簧圈數(shù)3≤n≤9，即

g3(X)=3-x3≤0
g4(X)=9-x3≥0

2.2 非線性不等式約束條件

(1)彈簧的彈性系數(shù)與彈簧的線徑成反比，彈簧的外徑越大，彈力越小，但小外徑的彈簧穩(wěn)定性差，故要求彈簧外徑30≤D≤60mm，即

g5(X)=30-(x1+x2)≤0

g6(X)=60-(x1+x2)≥0

(2)彈簧指數(shù)又稱旋繞比，用C=彈簧中徑/彈簧絲直徑表示，其影響彈簧的強度、剛度、穩(wěn)定性及制造的難易。C值大，彈簧較軟，剛性小，易變形，易繞制；C值小，則相反，彈簧較硬，剛性大，不易繞制。根據(jù)彈簧鋼絲直徑規(guī)格可選取4≤C≤9，即

g7(X)=4x1-x2≤0

g8(X)=9x1-x2≥0

(3)彈簧在工作時，彈簧絲橫截面上的扭轉(zhuǎn)切應力如果超過了強度極限，則彈簧可能在受力過程中斷裂，故彈簧實際工作應力應小于許用應力，即簧絲的強度條件是：

(9)

對上述公式代入有關(guān)數(shù)據(jù)，得約束函數(shù)：

(4)彈簧剛度是指載荷增量與變形增量之比，如果剛度不足，彈簧的工作行程將變大，工作性能受到影響，因此應滿足剛度條件，即

(10)

式中，G—彈簧切變模量，G=82.6GPa；λ—彈簧工作時壓縮變形量，λ=18.25/1.1=16.59mm。

對上述公式代入有關(guān)數(shù)據(jù)，得約束函數(shù)：

(5)壓縮彈簧的長度較大時，受載后容易發(fā)生失穩(wěn)現(xiàn)象，為了便于制造和避免失穩(wěn)現(xiàn)象出現(xiàn)，一般推薦彈簧的長徑比在兩端固定時應≤5.3，即：

(11)

代入有關(guān)數(shù)據(jù)，可得約束函數(shù)：

(6)氣門彈簧的作用是克服氣門關(guān)閉過程中氣門及傳動件的慣性力，保證氣門及時落座并緊緊貼合，為防止彈簧在運行中發(fā)生強烈顫振影響密閉性能，彈簧的自振頻率通常至少應當是工作頻率的10倍以上，即

(12)

可得約束函數(shù)：

經(jīng)過分析，這是一個三維非線性優(yōu)化設計問題，具有12個約束條件。

3. 利用MATLAB求解

3.1 編寫目標子函數(shù)文件th_f.m

function f=th_mb(x)

f1=1.9236e-5*x(1)^2*x(2)*(x(3)+1.8);

f2=x(1)*(x(3)+1.3)+18.25;

f3=-3.56e5*x(1)/(x(2)^2*x(3));

f=((f1-0.0608)/0.0608)^2+((f2-40.3827)/40.3827)^2+((f3+1236.1)/(-1236.1))^2;

3.2 編寫非線性不等式約束子函數(shù)文件th_ys.m

function[c,ceq]=th_ys(x)

c(1)=30-(x(1)+x(2));

c(2)=(x(1)+x(2))-60;

c(3)=4*x(1)-x(2);

c(4)=x(2)-9*x(1);

c(5)=x(2)^0.86/x(1)^2.86-0.1462;

c(6)=1-251.9118*x(1)^4/(x(2)^3*x(3));

c(7)=((x(3)+1.3)*x(1)+18.25)/x(2)-5.3;

c(8)=1-1424*x(1)/(x(2)^2*x(3));

ceq=[];

3.3 編寫調(diào)用子函數(shù)的主函數(shù)文件th_z.m

x0=[2.5;21;3];

lb=[2.5;21;3];

ub=[9;57.5;9];

b=zeros(6,3);

b(1,1)=-1;b(2,1)=1;

b(3,2)=-1;b(4,2)=1;

b(5,3)=-1;b(6,3)=1;

c=[-2.5;9;-21;57.5;-3;9];

[x,fval]=fmincon(@th_mb,x0,b,c,[],[],lb,ub,@th_ys)

3.4 優(yōu)化設計結(jié)果分析

各參數(shù)優(yōu)化設計結(jié)果可見表1。由表1可以看出，彈簧質(zhì)量優(yōu)化和高度優(yōu)化結(jié)果相同，這說明彈簧質(zhì)量和高度優(yōu)化目標一致，二者優(yōu)化后參數(shù)無差異。多目標優(yōu)化與質(zhì)量和高度單目標優(yōu)化相比，雖然彈簧結(jié)構(gòu)質(zhì)量增加8.55%，自由高度增加2.57%，但自振頻率增加6.75%，能更好防止氣門彈簧產(chǎn)生共振；與頻率單目標優(yōu)化相比，雖然自振頻率減少14.60%，但質(zhì)量相應減少17.29%，高度減少5.97%，經(jīng)濟效益相對更好。

因此，多目標優(yōu)化相對于單目標優(yōu)化，雖然在單個指標方面沒有達到最優(yōu)，但是各項指標更加均衡，彈簧綜合性能更優(yōu)，優(yōu)化效果顯著。

表1 各優(yōu)化設計結(jié)果比較

4. 結(jié)論

在分析圓柱螺旋壓縮氣門彈簧尺寸約束、強度約束、剛度約束、振動穩(wěn)定性約束的基礎上，以結(jié)構(gòu)質(zhì)量、自由高度最小、自振頻率最大為優(yōu)化設計目標，采用Matlab優(yōu)化函數(shù)對彈簧進行優(yōu)化設計。優(yōu)化結(jié)果表明，所建立的彈簧優(yōu)化設計數(shù)學模型更符合彈簧設計要求，優(yōu)化后的設計參數(shù)更為均衡，彈簧綜合工作性能更好，因此彈簧多目標優(yōu)化設計是一種行之有效的優(yōu)化設計方法，且利用MATLAB有關(guān)函數(shù)進行優(yōu)化設計，編程簡單，算法可靠，結(jié)果準確，能夠有效提高設計效率。