樊星皓，劉春雨，徐明林，劉帥，趙英明，崔亞珍

（1 中國科學(xué)院長春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所，長春 130033）

（2 中國科學(xué)院大學(xué)，北京 100049）

（3 中國科學(xué)院天基動態(tài)快速光學(xué)成像技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長春 130033）

0 引言

成像光譜儀是一種能同時(shí)獲得目標(biāo)光譜信息、輻射信息和空間信息的光學(xué)遙感儀器，具有圖譜合一的優(yōu)點(diǎn)［1-2］。因此，在地球資源普查、地面測繪、環(huán)境監(jiān)測、醫(yī)療器械、自然災(zāi)害的檢測與預(yù)警等方面有著重要的應(yīng)用［3-6］。

棱鏡和光柵是成像光譜儀最常用的分光元件，但是棱鏡型和光柵型成像光譜儀的光路為離軸系統(tǒng)，存在裝調(diào)困難、穩(wěn)定性不足等問題［7-8］。基于棱鏡-光柵-棱鏡（Prism-Grating-Prism，PGP）組合色散元件的成像光譜儀擁有衍射效率高、光路共軸等優(yōu)點(diǎn)，其組合色散元件由左右兩塊棱鏡和中間的體相位全息光柵組合而成。兩個(gè)棱鏡的作用是抵消光柵的衍射角度，使得某一波長的出射光束與入射光束處于同一軸線，從而使PGP 成像光譜儀整體上為方便安裝的共軸結(jié)構(gòu)。

AIKIO M 最早將PGP 組合色散元件應(yīng)用于機(jī)載成像光譜儀（Airborne Imaging Spectrometer for different Applications，AISA），并論述了PGP 成像光譜儀的特點(diǎn)［9-10］。RASMUS N J 指出了PGP 成像光譜儀存在較大的、會影響光譜探測準(zhǔn)確性的譜線彎曲，并提出采用電子標(biāo)定方法校正譜線彎曲［11］。國內(nèi)的李哲［12］使用了類似的標(biāo)定方法校正了光譜儀的譜線彎曲。但是電子標(biāo)定方法無法解決譜線彎曲造成的探測器使用效率下降的問題，也在一定程度上加大了圖像處理的復(fù)雜性。

在設(shè)計(jì)上，中國科學(xué)院西安光學(xué)精密機(jī)械研究所、蘇州大學(xué)和中國科學(xué)院長春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所等先后對PGP 光譜成像儀進(jìn)行研究和改進(jìn)［13-20］。2014 年，中國科學(xué)院長春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所的張曉龍［15］提出了引入離軸透鏡的方法補(bǔ)償校正譜線彎曲，但是該方法增加了光路的復(fù)雜性；楊增鵬［13］和陳洪福［16］利用棱鏡和光柵的譜線彎曲方向相反的特性，采用棱鏡-光柵（PG）的組合方式校正了譜線彎曲，但打破了PGP 光路的共軸性。2021 年，該機(jī)構(gòu)的李偉［19］使用球面反射鏡配合PG 結(jié)構(gòu)降低了譜線彎曲，但同樣打破了PGP 光路的共軸性，增加了裝調(diào)難度。同年，中國科學(xué)院國家空間科學(xué)中心的武志昆［20］通過降低第一個(gè)棱鏡的頂角配合狹縫離軸的方式在保證光路共軸性的同時(shí)，校正了譜線彎曲，但是該光譜儀的狹縫長度僅為9 mm，視場較小。為了實(shí)現(xiàn)大視場共軸PGP 光譜儀譜線彎曲（smile）的校正，還需探索其他方法。

2020 年，中國科學(xué)院長春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所的張嘉倫［21］在offer 光譜儀的設(shè)計(jì)中，為了克服長狹縫的譜線彎曲問題，使用了彎曲狹縫，取得了比較好的效果，但是并沒有給出彎曲狹縫形狀的計(jì)算方法?；诖?，本文將論證采用彎曲狹縫的方式校正共軸PGP 成像光譜儀中譜線彎曲問題的可行性，并擬給出共軸PGP 成像光譜儀彎曲狹縫形狀的一般計(jì)算方法。

本文首先建立了PGP 矢量色散模型，分析成像光譜儀各個(gè)要素對譜線彎曲大小的影響。然后，根據(jù)分析結(jié)果，確定共軸型PGP 分光元件的譜線彎曲特點(diǎn)，指出引入彎曲狹縫的必要性，并提出狹縫彎曲形狀配合鏡頭畸變校正譜線彎曲的一般方法。最后，利用遺傳算法快速確定狹縫彎曲形狀和鏡頭畸變的最佳參數(shù)組合，并設(shè)計(jì)了一套光學(xué)系統(tǒng)驗(yàn)證該方法的可行性。

1 工作原理

PGP 成像光譜儀結(jié)構(gòu)如圖1 所示，由狹縫、準(zhǔn)直鏡、PGP 組合色散元件、聚焦鏡和探測器組成。望遠(yuǎn)物鏡將來自目標(biāo)的光線會聚在狹縫處，狹縫作為成像光譜儀的視場光闌，只允許落在狹縫內(nèi)的光線進(jìn)入PGP成像光譜儀，經(jīng)狹縫入射的光線經(jīng)過準(zhǔn)直鏡準(zhǔn)直為平行光后進(jìn)入PGP 組合色散元件。不同波長的光線被PGP 色散成為不同角度的平行光，最后通過聚焦鏡會聚在探測器上形成光譜。

圖1 PGP 成像光譜儀的工作原理Fig.1 The working principle of PGP imaging spectrometer

成像光譜儀的譜線彎曲（smile）被稱為“微笑畸變”，是由主截面光束和非主截面光束之間的色散差異造成的［20］。狹縫中心的光束在棱鏡和光柵的主截面上入射，狹縫其他位置的光束則在非主截面上入射，故狹縫像會在光譜維方向產(chǎn)生形變，如圖2 所示。從圖中可以看出，譜線彎曲會使探測器的同一行像素接收到多個(gè)通道的光譜能量，從而增加成像光譜儀光譜提取的難度；另外，探測器的左上角、右上角和下面中間部分像素?zé)o法被利用，會降低探測器的使用效率。

圖2 彎曲的狹縫像在探測器上的成像示意圖Fig.2 Schematic image of the curved slit on the detector

2 PGP 矢量色散模型

2.1 模型建立

光束在分光元件上的入射角度、棱鏡的材料、棱鏡的角度和光柵的刻線數(shù)等都對譜線彎曲有影響，為了定量分析各個(gè)因素對譜線彎曲的影響情況，探討譜線彎曲的改善方法，需要建立基于PGP 組合色散元件的矢量色散模型。

來自狹縫任意一點(diǎn)的光束經(jīng)過準(zhǔn)直鏡準(zhǔn)直后入射到PGP 組合色散元件上的光路情況如圖3 所示，光束先后經(jīng)過棱鏡1 折射、光柵衍射和棱鏡2 折射后出射。

圖3 PGP 組合色散元件中的光路示意圖Fig.3 Schematic diagram of optical path in PGP combined dispersive element

因?yàn)椴ＡР牧蠈Σ煌ㄩLλ的光的折射率有所區(qū)別，所以不同波長的光經(jīng)棱鏡折射后光矢量方向也會有所差別，而經(jīng)光柵衍射后這種方向上的差別還會進(jìn)一步增大。為了方便敘述，將經(jīng)過某一界面折射或者衍射后的波長為λ的光矢量統(tǒng)一表示為Li(λ)。圖3 中L0為來自狹縫的入射光束的光矢量，為方便研究，取L0為單位向量，向量方向由光束的入射角度θ決定，可以表示為

光矢量L0入射到PGP 組合色散元件上，先后在各個(gè)界面發(fā)生折射，根據(jù)矢量折射定律，折射前的光矢量Li(λ)與折射后的光矢量Li+1(λ)的關(guān)系為［13］

式中，ni和ni+1分別為光束在第i個(gè)界面處的入射介質(zhì)和出射介質(zhì)的折射率，Ni為第i個(gè)界面的法向量，αi和α'i分別為光束在界面i處的入射角和折射角。其中，Ni和棱鏡的角度βi有關(guān)，而αi則同時(shí)受Li(λ)和Ni的影響，因此，Ni和αi可以表示為

光束在經(jīng)過光柵界面后的傳播方向主要由光柵的衍射特性決定，任意空間角度的入射光線在平面光柵上衍射的普適光柵方程為［13］

式中，μj為光線的入射角，μk為光線的衍射角，均為光矢量在子午面內(nèi)的投影與光柵法線的夾角；?j為光線的入射方位角，?k為光線的衍射方位角，均為光矢量與主截面的夾角；λ為入射波長，dG為光柵常數(shù)，m為衍射級次。

采用光柵的+1 級衍射，光束經(jīng)光柵衍射后繼續(xù)向前傳播，最終不同波長的光束沿光矢量L5(λ)所表示的方向出射。聯(lián)立式（1）～（5），可以得到出射光矢量L5(λ)是（λ、β1、β2、dG、θ、n1、n2、n3）的函數(shù)。為方便描述，令L5(λ)在子午面和弧矢面的投影角度分別為ξt和ξs，如圖3 所示。

為滿足PGP 成像光譜儀的光路共軸特性，需控制參數(shù)，以保持氦氖激光器的光（632.8 nm）能直視通過光學(xué)系統(tǒng)，方便裝調(diào)過程。即參數(shù)（β1、β2、dG、n1、n2、n3）需要滿足

式中，θ0為狹縫中心的光束在PGP 上的入射角度，即θ=0 時(shí)，波長為632.8 nm 的光束經(jīng)過PGP 組合色散元件后傳播方向不發(fā)生改變。

2.2 譜線彎曲與目標(biāo)函數(shù)

譜線彎曲表現(xiàn)為狹縫像在探測器上的彎曲現(xiàn)象，其彎曲量的大小可以用狹縫端點(diǎn)的光束和狹縫中心的光束在探測器光譜維方向上交點(diǎn)的差值來表示［16］。假設(shè)準(zhǔn)直鏡和聚焦鏡的焦距均為f'，則在該模型中，不同波長λ的譜線彎曲大小可以表征為

式中，θmax為來自狹縫邊緣的光束在PGP 上的入射角度。

因?yàn)槌錾涔馐噶縇5(λ)是（λ、β1、β2、dG、θ、n1、n2、n3）的函數(shù)，所以可以推得式（7）中Smile(λ) 是（f'、λ、β1、β2、dG、θmax、n1、n2、n3）的函數(shù)。為了簡化分析過程，忽略影響微弱的折射率ni，著重研究λ、β1、β2、dG和θmax對譜線彎曲的影響，且為方便計(jì)算，棱鏡和光柵的保護(hù)玻璃均取為H-K9L。

經(jīng)分析可知，在滿足式（6）共軸條件時(shí)，β1、β2、dG的任意組合均不能滿足消除譜線彎曲的條件。圖4 給出了光柵刻線數(shù)在280 lp/ mm、聚焦鏡焦距為80 mm 時(shí)的分析實(shí)例，展示了該參數(shù)下中心波長（600 nm）的光在不同棱鏡角度β1、β2組合下的譜線彎曲情況。從圖中可得：1）當(dāng)棱鏡角度和光柵常數(shù)滿足一定條件時(shí)，能夠消除中心波長的譜線彎曲，如圖中藍(lán)色虛線所示；2）消除中心波長譜線彎曲時(shí)β1、β2的集合和滿足光路共軸條件時(shí)的β1、β2沒有交集，即滿足式（6）共軸條件時(shí)PGP 成像光譜儀在中心波長處不可避免地具有較大的譜線彎曲，如圖中紅色實(shí)線所示；3）光線在PGP 上的入射角度對譜線彎曲影響較大，減小光線入射角度θmax雖然可以在一定程度上降低譜線彎曲的大小，但同樣無法消除譜線彎曲。

圖4 光柵刻線數(shù)為280 lp/ mm 時(shí)的譜線彎曲Fig.4 The smile when grating line is 280 lp/ mm

因此，可以認(rèn)為中心波長的譜線彎曲是共軸PGP 成像光譜儀的固有問題，無法通過改變β1、β2、dG組合的方式校正，同時(shí)，也無法通過改變?nèi)肷涔饩€的角度θ來校正該譜線彎曲。

為了進(jìn)一步研究其他波長的譜線彎曲情況，令狹縫長度為22 mm，準(zhǔn)直鏡和聚焦鏡的焦距均為80 mm，通過PGP 矢量色散模型對400～800 nm 波長的狹縫像進(jìn)行分析，結(jié)果如圖5、6 所示。其中，圖6 給出了狹縫像在探測器上的成像情況，并用彎曲量Δy(λ，l)代替了Smile(λ)，從而更好地描述狹縫所有位置的譜線彎曲情況。在分析時(shí)，取棱鏡1 角度為9.27°，棱鏡2 角度為10.26°，此時(shí)滿足光柵的布拉格衍射條件，衍射效率最高［12］。

圖5 400～800 nm 工作波段的譜線彎曲情況Fig.5 The smile from 400～800 nm

圖6 探測器上的狹縫像Fig.6 The slit image on the detector

從圖5 可以看出，PGP 成像光譜儀的狹縫像在400～800 nm 工作波段內(nèi)均彎向短波方向，且波長越短，彎曲量Δy(λ，l)越大。從圖6 可以看出，當(dāng)狹縫像均彎向短波方向時(shí)，較難處理，例如通過聚焦鏡的畸變難以校正所有波長的譜線彎曲。因此，擬用彎曲狹縫來改變不同波長狹縫像的彎曲情況，從而改善狹縫像在工作波段內(nèi)均彎向短波方向的問題，為譜線彎曲的校正創(chuàng)造條件。彎曲狹縫的形狀可由狹縫在0.25L、0.5L、0.75L和L處的彎曲量h1、h2、h3、h4表示，如圖7 所示。

圖7 彎曲狹縫示意圖Fig.7 Schematic diagram of curved slit

從圖5 和6 可以知，為了校正譜線彎曲，狹縫應(yīng)彎向長波方向，并且彎曲狹縫的形狀選擇也較為關(guān)鍵。如果只根據(jù)PGP 成像光譜儀的固有譜線彎曲大小來設(shè)置狹縫形狀，則譜線彎曲的校正效果并不理想。例如，圖5 中600 nm 波長（中心波長）處的譜線彎曲可以擬合為半徑為198 mm 的圓弧，如果用此處的譜線彎曲來決定狹縫形狀，則狹縫應(yīng)當(dāng)是一個(gè)半徑為198 mm、與圖7 中x軸相切、彎向長波方向的圓弧。此時(shí)，光譜儀的譜線彎曲情況如圖8 所示。

圖8 圓弧形狹縫在400～800 nm 工作波段的譜線彎曲情況Fig.8 The smile of the circular slit from 400 nm to 800 nm

從圖中可以看出，400～800 nm 的譜線彎曲情況有所緩解，其中600 nm 狹縫邊緣處的譜線彎曲基本得到了校正，而其他波長相對于600 nm 波長有較大的譜線彎曲剩余。另一方面，0.25L、0.5L、0.75L處每個(gè)波段均有較大的譜線彎曲剩余，說明該狹縫形狀并非最優(yōu)解。

為了進(jìn)一步校正剩余的譜線彎曲，需要適當(dāng)調(diào)整彎曲狹縫的形狀，并改變準(zhǔn)直鏡、聚焦鏡的畸變等光學(xué)參數(shù)，還要考慮鏡頭畸變帶來的光譜彎曲（keystone）等問題。如果直接使用Zemax 軟件對系統(tǒng)進(jìn)行校正譜線彎曲的優(yōu)化，則容易陷入局部極小值，難以實(shí)現(xiàn)最優(yōu)解。另外，Zemax 軟件不容易對狹縫形狀進(jìn)行直接優(yōu)化，需要在優(yōu)化時(shí)根據(jù)經(jīng)驗(yàn)手動調(diào)節(jié)狹縫的形狀，因此成像光譜儀光學(xué)系統(tǒng)的優(yōu)化過程可能需要較多時(shí)間，并且要求工作人員有較豐富的設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)。

為了避免在設(shè)計(jì)時(shí)陷入局部極小值，并開發(fā)一種校正譜線彎曲的普適性方法，擬用遺傳算法來快速確定狹縫彎曲形狀和鏡頭畸變的最佳參數(shù)組合，并將該最佳參數(shù)組合作為初始結(jié)構(gòu)輸入到Zemax 軟件中進(jìn)行設(shè)計(jì)和驗(yàn)證。

2.3 遺傳算法

遺傳算法是一種模擬生物進(jìn)化過程的智能算法。它適用于多維變量的優(yōu)化過程，具有良好的全局搜索能力［22］。

使用遺傳算法首先要建立目標(biāo)函數(shù)，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)換為可以量化表示的數(shù)學(xué)表達(dá)式。在對校正譜線彎曲的共軸PGP 成像光譜儀的初始結(jié)構(gòu)選擇時(shí)，需要著重注意的是狹縫形狀和鏡頭畸變等參數(shù)對譜線彎曲和光譜彎曲的影響。其中譜線彎曲是光譜在光譜維方向的形變，而光譜彎曲是光譜在空間維方向的形變，因此，在建立目標(biāo)函數(shù)時(shí)，應(yīng)盡可能使光譜在光譜維和空間維的形變均為零。

擬采用彎曲狹縫形狀和鏡頭的畸變相互配合的方式來尋求一種譜線彎曲的校正，校正思路如圖9 所示。其中，狹縫形狀、準(zhǔn)直鏡畸變、聚焦鏡畸變相互影響，在目標(biāo)函數(shù)建立時(shí)需要對這些參量進(jìn)行耦合分析。

圖9 校正譜線彎曲成像光譜儀的設(shè)計(jì)流程Fig.9 Flow chart of the design of the eliminate smile imaging spectrometer

聚焦鏡的畸變Dist2會使狹縫像在空間維產(chǎn)生Δx2的位移，在光譜維產(chǎn)生Δy2的位移，如圖5 所示。而準(zhǔn)直鏡的畸變Dist1會使狹縫像在空間維產(chǎn)生Δx1的位移，在光譜維產(chǎn)生的位移趨近于零，可忽略不計(jì)。調(diào)整Dist1和Dist2的大小使Δx1+Δx2=0，則準(zhǔn)直鏡和聚焦鏡的組合只影響?yīng)M縫像的彎曲量Δy(λ，l)，而不影響?yīng)M縫像在空間維的長度。因此，波長為λ的狹縫像在狹縫長度為l處的彎曲量Δy(λ，l)可以表示為

而波長為λ的狹縫像相比于狹縫在空間維上的偏移量Δx可以表示為

當(dāng)Δx(λ)=0 時(shí)，狹縫像在空間維沒有形變，即沒有光譜彎曲。

經(jīng)過上述分析，譜線彎曲的校正過程需要綜合調(diào)節(jié)彎曲狹縫的形狀h1、h2、h3、h4和鏡頭的畸變Dist1、Dist2，且譜線彎曲的大小與波長λ緊密相關(guān)。選取400 nm、500 nm、600 nm、700 nm 和800 nm 共5 個(gè)波長進(jìn)行分析，考察其狹縫像的彎曲情況。因此，目標(biāo)函數(shù)可以表示為

式中，F(xiàn)m為PGP 成像光譜儀狹縫像彎曲情況的綜合反映，其值越小表示系統(tǒng)譜線彎曲越??；wij與wk為相應(yīng)項(xiàng)的權(quán)重。因此，通過建立目標(biāo)函數(shù)可以將尋找狹縫形狀和鏡頭畸變的最佳組合問題轉(zhuǎn)化為尋找目標(biāo)函數(shù)Fm的最優(yōu)解問題。

用遺傳算法對目標(biāo)函數(shù)Fm進(jìn)行優(yōu)化，具體過程為：

1）編碼和初始化種群。首先，將參數(shù)h1、h2、h3、h4、Dist1、Dist2在一定范圍內(nèi)隨機(jī)取值，并組成一個(gè)編碼串，每個(gè)編碼串代表一個(gè)潛在解。其中，參數(shù)被稱為基因，由這6 個(gè)參數(shù)組成的編碼串被稱為染色體。然后，隨機(jī)產(chǎn)生多個(gè)染色體。可以認(rèn)為每個(gè)個(gè)體攜帶一個(gè)染色體，而所有個(gè)體組成初始種群N。

2）計(jì)算適應(yīng)度值和自然選擇。首先，計(jì)算每條染色體的計(jì)算適應(yīng)度值，用來評價(jià)每個(gè)個(gè)體的優(yōu)劣。在本算法中，令適應(yīng)度函數(shù)fit 滿足

目標(biāo)函數(shù)值越小，個(gè)體的適應(yīng)度值越大。然后，使用轉(zhuǎn)盤法對所有個(gè)體進(jìn)行選擇。轉(zhuǎn)盤法的選擇是一種概率選擇，評分高的個(gè)體被選中的概率更高，為了避免良好基因被排除，評分低的個(gè)體也有一定機(jī)會入選。

3）交叉與變異。被選中個(gè)體所攜帶的染色體按一定的概率進(jìn)行交配，即染色體上的對應(yīng)基因按一定的概率進(jìn)行交換。然后，某些個(gè)體的基因按照設(shè)定的概率進(jìn)行變異，產(chǎn)生子代染色體。之后攜帶子代染色體的個(gè)體組成新的種群，并按照相同的方式產(chǎn)生下一代種群。

4）終止條件和輸出。終止條件通常為算法所設(shè)定的最大進(jìn)化代數(shù)或者適應(yīng)度函數(shù)值是否若干代沒有變化。若不滿足終止條件，則返回第2）步；若滿足條件則輸出參數(shù)。整個(gè)過程的流程如圖10 所示。

圖10 遺傳算法的流程Fig.10 Flow chart of genetic algorithm

令式（10）中的wij與wk均為5，迭代優(yōu)化50 代，優(yōu)化后的幾種參數(shù)組合以及它們的適應(yīng)度值如表1 所示。

表1 狹縫形狀與鏡組畸變的組合參數(shù)Table 1 Combined parameters of slit shape and lens distortion

注意到四種結(jié)構(gòu)的適應(yīng)度函數(shù)值雖有不同，但Dist1基本均為Dist2約0.75 倍，這是準(zhǔn)直鏡和聚焦鏡的視場大小不同所導(dǎo)致的。準(zhǔn)直鏡和聚焦鏡的視場將在3.2 節(jié)中詳細(xì)分析。選取表1 中的第一行作為校正譜線彎曲PGP 成像光譜儀狹縫形狀和鏡頭畸變的初始結(jié)構(gòu)，計(jì)算了該初始結(jié)構(gòu)的譜線彎曲情況，如圖11 所示。

圖11 彎曲狹縫的PGP 光譜儀的譜線彎曲Fig.11 Smile of PGP spectrometers with the curved slit

通過比較圖5 和圖11 可知，彎曲狹縫PGP 成像光譜儀能大幅降低譜線彎曲，通過彎曲狹縫和鏡頭畸變相互配合的方式，能將-140 μm 大小的譜線彎曲量控制在1.2 μm 以內(nèi)。

該校正共軸PGP 成像光譜儀譜線彎曲的方法雖然引入了彎曲狹縫，但是保證了光譜儀光路的共軸，有利于儀器的緊湊化。并且，該方法所使用的PGP 矢量色散模型充分考慮了各種因素對譜線彎曲的影響，能夠勝任任意光柵常數(shù)的PGP 成像光譜儀譜線彎曲校正，如表2、表3 所示。

表2 光柵刻線數(shù)為280 lp/mm 的組合參數(shù)Table 2 Combined parameters when grating line is 280 lp/mm

表3 光柵刻線數(shù)為250 lp/mm 的組合參數(shù)Table 3 Combined parameters when grating line is 250 lp/ mm

保持光柵刻線數(shù)為280 lp/mm，準(zhǔn)直鏡、聚焦鏡的焦距為80 mm 不變，改變狹縫長度。當(dāng)狹縫長度增加到30 mm、40 mm 時(shí)，遺傳算法也能給出合適的參數(shù)組合，將譜線彎曲控制在1.79 μm 以內(nèi)，如表2 所示。即彎曲狹縫配合鏡頭畸變校正smile 的方法對不同長度的狹縫具有普適性。而表3 則證明了該方法對于不同光柵常數(shù)的共軸PGP 成像光譜儀具有普適性。

從表2 和表3 可以看出，當(dāng)狹縫長度增大到50 mm 時(shí)，雖然剩余smile 變大，但是仍能將直狹縫大于600 μm的譜線彎曲控制在4.7 μm 左右，對超長狹縫共軸PGP 光譜儀的設(shè)計(jì)具有一定的指導(dǎo)意義。

3 成像光譜儀的設(shè)計(jì)

3.1 設(shè)計(jì)指標(biāo)

結(jié)合應(yīng)用需求，設(shè)計(jì)了一臺工作波段為400～800 nm 的共軸 PGP 成像光譜儀，光柵基底材料和棱鏡材料均選用 H-K9L，狹縫長度定為22 mm，棱鏡1 角度為9.27°，棱鏡2 角度為10.26°。該共軸PGP 成像光譜儀的主要設(shè)計(jì)指標(biāo)如表4 所示。

表4 成像光譜儀的主要設(shè)計(jì)指標(biāo)Table 4 The main indexes of imaging spectrometer

3.2 準(zhǔn)直鏡與聚焦鏡

成像光譜儀的準(zhǔn)直鏡和聚焦鏡均采用焦距為80 mm、F數(shù)為3.5 的鏡頭。準(zhǔn)直鏡和聚焦鏡的視場分別受狹縫長度l和像面大小（空間維長度H×光譜維長度V）的影響，即

式中，w1與w2分別為準(zhǔn)直鏡和聚焦鏡的視場角，fz為準(zhǔn)直鏡的焦距，fj為聚焦鏡的焦距，b為狹縫長度；H為像面空間維的長度，由于準(zhǔn)直鏡和聚焦鏡的焦距相等，故數(shù)值上H=b=22 mm；V為像面光譜維的長度，其數(shù)值大小由光線在光譜維的色散角度和聚焦鏡的焦距共同決定。由PGP 的矢量色散模型可知，400 nm 光束的光譜色散角度約為-3.77°，800 nm 光束的光譜色散角度約為2.72°，可以計(jì)算得到像面光譜維的長度V=9.07 mm。故由式（12）可知準(zhǔn)直鏡和聚焦鏡的視場角分別為2w1=15.7°和2w2=20.2°

在設(shè)計(jì)準(zhǔn)直鏡和聚焦鏡時(shí)，應(yīng)該使準(zhǔn)直鏡的最大畸變接近-0.9%，聚焦鏡的最大畸變接近-1.16%。為確保PGP 成像光譜儀與前端望遠(yuǎn)物鏡達(dá)到光路匹配，要求成像光譜儀準(zhǔn)直鏡的光路為物方遠(yuǎn)心光路。在實(shí)際設(shè)計(jì)中，準(zhǔn)直鏡采用反向設(shè)計(jì)，即設(shè)計(jì)為像方遠(yuǎn)心光路，如圖12 所示。而聚焦鏡無需使用像方遠(yuǎn)心結(jié)構(gòu)，從而減小限制條件以方便系統(tǒng)像差的校正，其初步優(yōu)化結(jié)果如圖13 所示。

圖12 準(zhǔn)直鏡的光路結(jié)構(gòu)Fig.12 Optical path diagram of collimator lens

圖13 聚焦鏡的光路結(jié)構(gòu)Fig.13 Optical structure diagram of the focusing lens

3.3 整體優(yōu)化

各部分設(shè)計(jì)完成后，將準(zhǔn)直鏡、聚焦鏡和 PGP 組合色散元件的結(jié)構(gòu)參數(shù)輸入ZEMAX 中，在軟件中進(jìn)行光路拼接。拼接時(shí)注意使PGP 元件恰好位于準(zhǔn)直鏡和聚焦鏡的光闌位置，這樣被PGP 色散的不同波長的光束都恰好能充滿聚焦鏡的光瞳。

拼接完成后，在ZEMAX軟件中根據(jù)h1、h2、h3、h4這4 個(gè)彎曲狹縫的形狀參數(shù)設(shè)置系統(tǒng)的視場。本系統(tǒng)所用的狹縫參數(shù)如表1 中序號1 所示，根據(jù)狹縫參數(shù)，該彎曲狹縫的形狀可以擬合為式（13）所示的多項(xiàng)式。目前的加工工藝可以對這種4 次項(xiàng)多項(xiàng)式表示的狹縫進(jìn)行高精度加工，其實(shí)際加工效果如圖14 所示。

圖14 彎曲狹縫加工示意圖Fig.14 Schematic diagram of processed curved slits

在軟件中完成系統(tǒng)的視場設(shè)置后，用RAGX、RAGY 等操作數(shù)將Δx(λ)和Δy(λ，l)的優(yōu)化目標(biāo)設(shè)置為0，從而限制光學(xué)系統(tǒng)譜線彎曲和光譜彎曲的大小。把點(diǎn)列圖和調(diào)制傳遞函數(shù)（Modulation Transfer Function，MTF）的大小作為鏡頭成像質(zhì)量的評價(jià)指標(biāo)，對光學(xué)系統(tǒng)進(jìn)行優(yōu)化以提高其成像質(zhì)量。PGP 成像光譜儀光學(xué)系統(tǒng)的最終優(yōu)化結(jié)果如圖15 所示。該P(yáng)GP 成像光譜儀光柵刻線數(shù)為280 lp/mm、棱鏡1 角度為9.27°，棱鏡2 角度為10.26°，系統(tǒng)共使用13 片玻璃，包絡(luò)尺寸為180 mm×28 mm×28 mm。

圖15 PGP 光譜儀的光學(xué)結(jié)構(gòu)Fig.15 Optical structure diagram of the PGP spectrometer

3.4 像質(zhì)評價(jià)

在ZEMAX 中對3.3 節(jié)中的PGP 成像光譜儀進(jìn)行了譜線彎曲分析，該光譜儀使用的狹縫形狀如式（13）所示。分析結(jié)果表明，設(shè)計(jì)的彎曲狹縫PGP 成像光譜儀具有較強(qiáng)的校正譜線彎曲的能力，其在400～800 nm的譜線彎曲均小于1 μm，且在0.091 個(gè)像元以內(nèi)。該成像光譜儀各視場的光譜彎曲均小于0.7μm，且小于0.7個(gè)像元，如圖16 和17 所 示。

圖16 PGP 光譜儀的譜線彎曲Fig.16 Smile of PGP spectrometer

圖17 PGP 光譜儀的光譜彎曲Fig.17 Keystone of PGP spectrometer

圖18 給出了該光學(xué)系統(tǒng)狹縫像的點(diǎn)列圖情況，圖中每個(gè)方格代表一個(gè)探測器的像元大小，結(jié)果顯示，系統(tǒng)對間隔為2 nm 的狹縫像具有良好的區(qū)分能力，故能滿足2 nm 光譜分辨率的設(shè)計(jì)要求。圖19 則給出了該光學(xué)系統(tǒng)在不同波長下彌散斑的均方根半徑情況。結(jié)果顯示，在400～800 nm 波長范圍內(nèi)，經(jīng)過狹縫不同位置的光線在像面上的彌散斑半徑均不大于5.4 μm，能滿足成像要求。

圖18 系統(tǒng)的點(diǎn)列圖Fig.18 Spot diagrams

圖19 點(diǎn)列圖半徑的均方根值隨波長的變化關(guān)系曲線Fig.19 RMS spot radius versus wavelength

圖20 為該光學(xué)系統(tǒng)的衍射能量集中度曲線，其中橫坐標(biāo)為距離像點(diǎn)質(zhì)心距離，縱坐標(biāo)表示一定范圍內(nèi)能量所占總能量的比例，不同顏色曲線則表示不同狹縫位置的情況?？梢姡幸晥龅哪芰考卸仍?×2像元包圍框內(nèi)均達(dá)到90%，符合設(shè)計(jì)要求。

圖20 能量集中度曲線Fig.20 Energy concentration diagram

MTF 能夠全面反映光學(xué)系統(tǒng)的成像質(zhì)量，圖21 給出了400 nm、600 nm 和800 nm 波長在Nyquist 頻率45.5 lp/ mm 處的調(diào)制傳遞函數(shù)情況。從結(jié)果可見，800 nm 波段在Nyquist頻率處的MTF 值均優(yōu)于0.6；400 nm和600 nm 波長在Nyquist 頻率處的MTF 值優(yōu)于0.4，像質(zhì)良好，滿足成像質(zhì)量要求。

圖21 多個(gè)波段的調(diào)制傳遞函數(shù)曲線Fig.21 The modulation transfer function of multiple wavelengths

3.5 小結(jié)

分析可知，彎曲狹縫對于矯正光譜儀的譜線彎曲和光譜彎曲有較好的效果，但有利也有弊，弊端是此彎曲狹縫光譜儀與望遠(yuǎn)物鏡聯(lián)合使用時(shí)，可能會導(dǎo)致觀測的瞬時(shí)視場與探測器像元存在幾何配準(zhǔn)問題。如果狹縫與譜線（狹縫像）都是平直的，則探測器獲得的數(shù)據(jù)可以直接使用；如果狹縫平直而譜線彎曲，則需要進(jìn)行光譜定標(biāo)，對譜線進(jìn)行校正；如果狹縫彎曲而譜線平直，則需要將探測器的譜線與狹縫進(jìn)行幾何配準(zhǔn)，圖22 和23 給出了狹縫平直譜線彎曲和狹縫彎曲譜線平直的兩種情況。

圖22 平直狹縫與彎曲譜線的對應(yīng)關(guān)系Fig.22 The correspondence between straight slit and curved spectral lines

圖23 中，Y400、Y405分別為狹縫中心點(diǎn)在400 nm、405 nm 所對應(yīng)像點(diǎn)在探測器上的ysp坐標(biāo)大??；ysp=A1x3+B1x2+C1x+Y400和ysp=A2x3+B2x2+C2x+Y405分別表示400 nm 狹縫像和405 nm 狹縫像的彎曲程度，因?yàn)椴煌ㄩL的譜線彎曲大小不同，因此A1與A2、B1與B2、C1與C2的值并不相同，在光譜定標(biāo)時(shí)，每個(gè)通道的譜線彎曲情況要進(jìn)行分別標(biāo)定和校正，光譜儀的通道數(shù)一般在100 個(gè)以上，工作量很大。另外，從400 nm 和405 nm 的狹縫像可以看到，存在同一個(gè)像元承接相鄰兩個(gè)譜段狹縫像的情況，會影響數(shù)據(jù)準(zhǔn)確性。

圖23 彎曲狹縫與平直譜線的對應(yīng)關(guān)系Fig.23 The correspondence between curved slit and straight spectral lines

彎曲狹縫對應(yīng)的狹縫像是平直的，如果將探測器獲得的數(shù)據(jù)不加校正直接使用，那狹縫邊緣的目標(biāo)會被認(rèn)為與中心目標(biāo)在同一直線上，即圖像數(shù)據(jù)與目標(biāo)實(shí)際空間位置并不相同，類似于畸變。能夠注意到任意光譜通道與彎曲狹縫的對應(yīng)關(guān)系都是相同的，因此可以通過彎曲狹縫的表達(dá)式y(tǒng)sl=A0x3+B0x2+C0x進(jìn)行數(shù)據(jù)修正（幾何配準(zhǔn)），使探測器上的數(shù)據(jù)點(diǎn)回歸正確的空間位置，即對空間維進(jìn)行校正。通過兩種方法的比較可得，彎曲狹縫的幾何配準(zhǔn)更簡單一些，且光譜的準(zhǔn)確性更高。

另一方面，彎曲狹縫在制作時(shí)，采用飛秒激光設(shè)備對薄金屬材料進(jìn)行微米級加工。首先根據(jù)表達(dá)式在電腦中畫出彎曲狹縫的圖形，然后激光設(shè)備在加工時(shí)對電腦設(shè)計(jì)好的圖形進(jìn)行走位，以達(dá)到彎曲狹縫的效果。在設(shè)計(jì)時(shí)狹縫各處在ysl方向的寬度相同，即在推掃方向上邊緣區(qū)域和中心區(qū)域?qū)?yīng)的地面分辨率相同，因此在推掃時(shí)能實(shí)現(xiàn)條帶區(qū)域的全覆蓋，如圖24 所示。在狹縫加工完成后使用二次元測量儀對狹縫的輪廓進(jìn)行檢測，以保證狹縫的加工精度，二次元測量儀和狹縫在儀器下的檢測實(shí)拍圖分別如圖25 和26所示。

圖24 彎曲狹縫的推掃示意圖Fig.24 The push process of curved slit

圖25 二次元測量儀Fig.25 Quadratic element measuring instrument

圖26 狹縫測量結(jié)果Fig.26 Slit measurement results

為了將本文使用了彎曲狹縫的PGP 成像光譜儀與其他類型的成像光譜儀相比較，引入了筒長狹縫比和體積狹縫比的概念。文獻(xiàn)［13］中的系統(tǒng)與本文設(shè)計(jì)的成像光譜儀相似，不過該文獻(xiàn)中的利用的是棱鏡和光柵的譜線彎曲相反的特點(diǎn)校正了譜線彎曲，該儀器的尺寸大小約為175 mm×33 mm×33 mm，狹縫長度為14 mm，筒長與狹縫長度的比值為12.5，而本文中儀器筒長與狹縫長度的比值為8.2，因此，在相同的筒長下，采用本文設(shè)計(jì)的光譜儀的狹縫更長，采用相同望遠(yuǎn)物鏡時(shí)能實(shí)現(xiàn)更大的視場。

文獻(xiàn)［23］中的系統(tǒng)為offer系統(tǒng)，能夠?qū)崿F(xiàn)40 mm的長狹縫設(shè)計(jì)，系統(tǒng)的尺寸為310 mm×220 mm×125 mm，筒長與狹縫長度的比值更小，為7.75。但是offer 系統(tǒng)是一種離軸反射結(jié)構(gòu)，體積較大，如果評價(jià)成像光譜儀體積與狹縫長度的比值的話，文獻(xiàn)［23］中系統(tǒng)數(shù)值比值為213 125，而本文中的系統(tǒng)該數(shù)值比值為6 414。綜合來看，采用了彎曲狹縫的PGP 成像光譜儀更加緊湊，更容易實(shí)現(xiàn)小型化。

4 結(jié)論

本文提出了利用彎曲狹縫配合準(zhǔn)直鏡和聚焦鏡畸變的方法校正共軸PGP 成像光譜儀譜線彎曲的設(shè)計(jì)思路，給出了普適性的設(shè)計(jì)方法，并證明了該方法的可行性。通過建立的PGP 矢量色散模型分析得到PGP在滿足光路共軸條件下一定會產(chǎn)生較大的譜線彎曲，闡明了使用彎曲狹縫校正共軸PGP 成像光譜儀的必要性。利用遺傳算法確定了狹縫彎曲形狀的數(shù)學(xué)表達(dá)式和準(zhǔn)直鏡、聚焦鏡畸變的大小，并設(shè)計(jì)了一個(gè)狹縫長度為22 mm，工作波段為400～800 nm，光譜分辨率為2 nm，F(xiàn)數(shù)為3.5 的彎曲狹縫PGP 成像光譜儀光學(xué)系統(tǒng)，該系統(tǒng)譜線彎曲小于1 μm，光譜彎曲小于0.7 μm。

該方法在校正譜線彎曲的基礎(chǔ)上保留了PGP 成像光譜儀的光路共軸性，有利于光譜儀的緊湊化和批量化生產(chǎn)、裝調(diào)。該方法具有普適性，對不同狹縫長度、不同光柵常數(shù)的共軸PGP 成像光譜儀均能快速給出合適的組合參數(shù)。但是本文未能進(jìn)行彎曲狹縫成像光譜儀的實(shí)際成像實(shí)驗(yàn)，在之后的研究中若能進(jìn)行相關(guān)的成像和光譜反演實(shí)驗(yàn)，則能夠?qū)澢M縫PGP 成像光譜儀的性能有更清晰的認(rèn)識。