曾 實(shí)

(清華大學(xué) 工程物理系，北京 100084)

離心機(jī)在運(yùn)行過(guò)程中，無(wú)論工況調(diào)整，還是因?yàn)楣收蠈?dǎo)致的工況波動(dòng)，總是要經(jīng)歷過(guò)渡過(guò)程。這個(gè)過(guò)程中，因?yàn)殡x心機(jī)的水力學(xué)狀況隨時(shí)間發(fā)生變化，離心機(jī)的分離情況也隨之而變化。比如，在調(diào)整了分流比后，離心機(jī)從一個(gè)分流比過(guò)渡到另一個(gè)分離比。過(guò)渡過(guò)程中，離心機(jī)內(nèi)部流場(chǎng)產(chǎn)生變化，影響物質(zhì)的輸運(yùn)，分離狀態(tài)也從一個(gè)狀態(tài)變化到另一個(gè)狀態(tài)。這些變化表現(xiàn)為分離系數(shù)的變化。

本課題研究了離心機(jī)水力學(xué)的過(guò)渡過(guò)程[1]，能夠在一定簡(jiǎn)化情況下，獲得離心機(jī)在過(guò)渡過(guò)程中的流場(chǎng)。在已知流場(chǎng)時(shí)，可通過(guò)求解描述流場(chǎng)中各組分的物質(zhì)輸運(yùn)方程，即豐度方程，對(duì)離心機(jī)的分離狀態(tài)進(jìn)行分析。與求解過(guò)渡過(guò)程中時(shí)間相關(guān)的流場(chǎng)相比，求解時(shí)間相關(guān)的豐度方程比較復(fù)雜。鑒于徑向平均法[2]能夠簡(jiǎn)化豐度方程，通過(guò)分析簡(jiǎn)化的豐度方程，使求解大為簡(jiǎn)化和快速。因此，本文基于徑向平均法的思想，給出描述在過(guò)渡過(guò)程中離心機(jī)豐度軸向分布的方程，避免在離心機(jī)分離分析中求解復(fù)雜的方程。

1 豐度方程

為了使某時(shí)刻流場(chǎng)擾動(dòng)為相對(duì)于當(dāng)時(shí)滯留量情況下的擾動(dòng)，引入變密度的等溫剛體模型概念[1]。這個(gè)模型在流場(chǎng)中各處引入了源匯。為區(qū)別于模擬供料和取料所引入的集中在某個(gè)局部區(qū)域的源匯[3]，這里把流場(chǎng)各處都存在的源匯稱為彌散性源匯，僅指應(yīng)用變密度等溫剛體模型所引入的彌散性質(zhì)量源匯。圖1為離心機(jī)軸向剖面示意圖。圖中，Z和a分別為轉(zhuǎn)子的高度和半徑，以角速度Ω轉(zhuǎn)動(dòng)。不失一般性，假定下部為精取料端，P為精料，上部為貧取料端，W為貧料。供料為F，在軸向位置ZF處供入。

圖1 離心機(jī)軸向剖面示意圖Fig.1 Illustration of the cross section of a gas centrifuge

存在源匯和把離心機(jī)內(nèi)流場(chǎng)視為軸對(duì)稱的情況下，描述離心機(jī)中氣體同位素混合物總質(zhì)量守恒方程為：

(1)

(2)

(3)

在公式(2)中，τr,i和τz,i分別是第i組分在r和z方向上的質(zhì)量通量：

τr,i=Jr,i+ρuCi

(4)

τz,i=Jz,i+ρwCi

(5)

ρi為混合物第i組分密度，Ci為第i組分豐度：

ρi=ρCi

(6)

Jr,i和Jz,i分別是第i組分在r和z方向上的擴(kuò)散流通量：

(7)

(8)

式中，T0為氣體平均溫度，Mi為第i組分的摩爾質(zhì)量數(shù)，D為互擴(kuò)散系數(shù)，R0為普適氣體常數(shù)。下面關(guān)系成立：

(9)

這里，NC為同位素混合氣體中的組分?jǐn)?shù)目。在過(guò)渡過(guò)程狀態(tài)，?ρi/?t≠0。綜合公式(4)～(8)，代入式(2)得：

(10)

分析離心機(jī)的分離，需要求解方程(10)，求解的邊界條件如下。在徑向上，轉(zhuǎn)子壁面存在物質(zhì)無(wú)滲透條件：

τr,i|r=a=0

(11)

而在軸心，存在自然邊界條件：

(12)

為表示簡(jiǎn)單，記：

(13)

FD,i和FC,i分別是在轉(zhuǎn)子軸向位置z處的第i組分?jǐn)U散流通量和對(duì)流輸運(yùn)通量。

在轉(zhuǎn)子的軸向截面位置z處，第i組分的通量FL,i為：

(14)

除了條件(11)、(12)外，求解還需要下面兩個(gè)軸向方向的條件。在轉(zhuǎn)子輕取料端，

(15)

在轉(zhuǎn)子重取料端，

(16)

由方程(10)可見(jiàn)，用數(shù)值方法求解不復(fù)雜，重點(diǎn)要關(guān)注豐度的軸向分布，得到更為簡(jiǎn)單的方程，也使方程的求解更加簡(jiǎn)單。令：

(17)

Ψ并不是針對(duì)穩(wěn)態(tài)情況所定義的流函數(shù)，只是在定義的形式上與流函數(shù)相同，則：

(18)

其中，F(xiàn)T=Ψ(a,z)。把式(10)乘以r然后對(duì)r積分：

(19)

由此解出?Ci/?r：

(20)

把(1)式乘以r，然后對(duì)r積分，得到：

(21)

這樣在式(20)右端的第3和第4項(xiàng)就是：

(22)

把式(20)乘以Ψ并從0到a對(duì)r積分，得式(18)右端第2項(xiàng)：

(23)

把上式代入式(18)，結(jié)合式(14)、(15)，得

(24)

2 方程的簡(jiǎn)化

2.1 應(yīng)用徑向平均法的簡(jiǎn)化

(25)

類似地，左端第3項(xiàng)為：

(26)

這樣，方程(24)可寫(xiě)成：

(27)

上式即是描述過(guò)渡過(guò)程、流場(chǎng)中存在源匯時(shí)離心機(jī)內(nèi)豐度軸向分布的微分方程。相對(duì)于方程(10)，方程(27)大為簡(jiǎn)化，僅是一元變系數(shù)時(shí)間相關(guān)的微分方程，求解簡(jiǎn)單。

在取料端，有：

(28)

根據(jù)公式(1)、(2)，應(yīng)用單純軸向流假設(shè)，有：

(0

(29)

(ZF

(30)

(0

(31)

(ZF

(32)

從公式(29)、(30)，得到：

(33)

(34)

類似地，

(35)

把公式(34)、公式(35)分別代入公式(27)，得：

(0

(36)

(37)

2.2 單純軸向流假設(shè)下的進(jìn)一步簡(jiǎn)化

方程(36)、(37)的求解仍然比較復(fù)雜。充分利用單純軸向流的假設(shè)可進(jìn)一步簡(jiǎn)化。注意，雖然根據(jù)方程(29)、(30)有FT=P(0

(38)

應(yīng)用方程(33)，方程(36)、(37)就是：

(39)

(40)

至此，得到了描述過(guò)渡過(guò)程中、在單純軸向流假設(shè)下描述豐度軸向分布的微分方程。研究中，在半徑方向經(jīng)常用約化高度x代替r作為變量，x的定義為x=A2[1-(r/a)2]，其中速度系數(shù)A2=M(Ωa)2/2R0T0，這里M為氣體的平均摩爾質(zhì)量。這樣，以x為變量的豐度方程可寫(xiě)成為：

(0

(41)

(ZF

(42)

需要特別指出，方程(41)、(42)不能用于z=ZF處。

2.3 初始條件和邊界條件

實(shí)際上，由于無(wú)法知道離心機(jī)內(nèi)部情況，難以給定初始條件。不過(guò)，對(duì)充氣開(kāi)始的最初情況，可能是比較容易給出的，且任何其他狀態(tài)，都是最初過(guò)程過(guò)渡過(guò)去的。此時(shí)，分離不充分，可大致認(rèn)為：

(43)

上面的條件可認(rèn)為是一種假設(shè)。

在任何時(shí)候，上下兩端的邊界條件是：

(44)

自然，在兩端有：

(45)

(46)

因此，還必須給定在整個(gè)離心機(jī)中質(zhì)量守恒的條件：

(47)

3 討論

方程(27)是分析離心機(jī)內(nèi)豐度軸向分布一般形式的微分方程。方程中與流場(chǎng)相關(guān)的量在求解流場(chǎng)后均已知，可進(jìn)行豐度方程的求解。這個(gè)流場(chǎng)不限于數(shù)值求解、本征函數(shù)法求解還是其他方法求解得到的流場(chǎng)。但是，對(duì)于過(guò)渡過(guò)程，流場(chǎng)的求解復(fù)雜，每一個(gè)時(shí)間步都需要進(jìn)行流場(chǎng)的求解，而且目前除了文獻(xiàn)[1]中的嘗試外，還未見(jiàn)求解離心機(jī)過(guò)渡過(guò)程流場(chǎng)的研究。因此，這里對(duì)分離的分析也需以文獻(xiàn)[1]中的流場(chǎng)結(jié)果為基礎(chǔ)，也就是說(shuō)，需引入變密度等溫剛體模型、單純軸向流的簡(jiǎn)化。這樣，需要把一般形式的豐度方程(27)變?yōu)楦鼮楹?jiǎn)化的方程(36)和(37)。

按Cohen的做法[2]，可以略去豐度方程中軸向反擴(kuò)散項(xiàng)，即豐度對(duì)軸向坐標(biāo)的二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，以進(jìn)一步簡(jiǎn)化方程，但基于下面的考慮，在這里保留此項(xiàng)。由于存在時(shí)間導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，去掉此項(xiàng)也難以像在穩(wěn)態(tài)情況下那樣得到某種條件的解析解(如低豐度)，因而必須數(shù)值求解；而數(shù)值求解時(shí)此項(xiàng)所增加的計(jì)算量可以忽略不計(jì)。當(dāng)然，在將來(lái)實(shí)踐中如證實(shí)軸向反擴(kuò)散在過(guò)渡過(guò)程中的作用可以忽略，也可去掉此項(xiàng)使方程更加簡(jiǎn)化。

這里對(duì)方程(47)進(jìn)行一下說(shuō)明。根據(jù)守恒方程(2)得到：

(48)

由于：

(49)

從而得到方程(47)。

4 結(jié)論

應(yīng)用徑向平均法，本文導(dǎo)出了針對(duì)分析離心機(jī)過(guò)渡過(guò)程分離的豐度軸向分布的一般微分方程。在已知流場(chǎng)情況下，求解微分方程可得離心機(jī)中豐度的軸向分布。但一般情況下難以獲得過(guò)渡過(guò)程中的流場(chǎng)，基于變密度等溫剛體模型和單純軸向流假設(shè)下所得的過(guò)渡過(guò)程的流場(chǎng)，可用于豐度方程的求解。

僅應(yīng)用單純軸向流假設(shè)而不應(yīng)用變密度等溫剛體模型求解豐度方程不可行，這導(dǎo)致離心機(jī)中密度不隨時(shí)間變化，不符合過(guò)渡過(guò)程的一般情況。應(yīng)用變密度等溫剛體模型在流場(chǎng)中引入了彌散性質(zhì)量源匯，為了求解，要求各組分的源匯必須已知。