張榆紅，張益鑫，張 超，包軍民

(西安工程大學(xué) 電子信息學(xué)院，陜西 西安 710048)

線性調(diào)頻(Liner Frequency Modulation，LFM)信號廣泛應(yīng)用于雷達(dá)、通信、聲納和生物醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域，是一種低截獲概率雷達(dá)非平穩(wěn)信號。同時，線性調(diào)頻信號還可以表征多種頻率時變特性復(fù)雜的其他信號，其檢測和參數(shù)估計具有重大的意義[1]。迄今為止，已有很多國內(nèi)外學(xué)者提出了一些有效的檢測與估計方法。其中，極大似然估計(Maximum Likelihood Estimation，MLE)方法占有重要地位，其估計值精度高，可以逼近克拉美羅(Cramer-Rao Lower Bound，CRLB)[2]界，但由于要優(yōu)化非線性代價函數(shù)，其運算復(fù)雜度也高。以Wigner-Ville分布(Wigner-Ville Distribution，WVD)[3]和短時傅里葉變換(Short Time Fourier Transform，STFT)[4]為代表的常規(guī)線性時頻分析方法中，短時傅里葉變換是最早提出的時頻分析方法，其主要原理是通過加窗來處理觀測信號，對窗內(nèi)的信號進(jìn)行傅里葉變換，該方法雖然能夠避免交叉項的干擾，但是在低信噪比下性能嚴(yán)重下降；WVD的主要原理是對信號相關(guān)函數(shù)進(jìn)行某種線性變換，該類方法具有理想的分辨率和高能量聚集性，但是在分析多分量線性調(diào)頻信號時會出現(xiàn)嚴(yán)重的交叉項。聯(lián)合WVD和Hough變換得到的WHT(Wigner-ville Hough Transform)[5-6]能夠降低交叉項的影響，但是不能完全消除其影響，且計算量巨大，不利于工程上的應(yīng)用。小波變換(Wavelet Transform，WT)[7]屬于多分辨率分析方法，與短時傅里葉變換不同的是，它可以隨著信號的變化自動調(diào)節(jié)窗的寬度，但是由于小波基的選取太難，并且不同的小波基會有不同的分析結(jié)果，所以小波變換的實時性能比較差。分?jǐn)?shù)階傅里葉變換(Fractional Fourier Transform，F(xiàn)rFT)[8]是在傅里葉變換的基礎(chǔ)上提出的新理論，其實質(zhì)是對線性調(diào)頻信號進(jìn)行不同階數(shù)的分?jǐn)?shù)階傅里葉變換，然后根據(jù)信號能量聚集性的差異，利用峰值搜索來實現(xiàn)對目標(biāo)信號的檢測和參數(shù)估計，但是分?jǐn)?shù)階傅里葉變換需要進(jìn)行二維搜索，計算量太大。

以上方法都是在高斯噪聲背景下進(jìn)行的。而在實際應(yīng)用中，水聲噪聲、大氣噪聲、多用戶干擾和雷達(dá)雜波等廣泛的噪聲類型都屬于非高斯噪聲，這些噪聲類型都表現(xiàn)出明顯的脈沖特性，可以用脈沖噪聲來描述[9]。但在強脈沖噪聲背景下，上述檢測方法的性能嚴(yán)重下降。Alpha穩(wěn)定分布噪聲模型因具有顯著的脈沖特性和厚重拖尾，可以很好地表征這類噪聲。文獻(xiàn)[10]把分?jǐn)?shù)低階協(xié)方差應(yīng)用到了WHT和LV’s Distribution (LVD)，提出了FLOWHT(Fractional Lower Oder Wigner-ville Hough Transform)和FLOLVD(Fractional Lower Oder LV’s Distribution)方法。FLOLVD抑制脈沖噪聲的能力優(yōu)于FLOWHT，可以實現(xiàn)脈沖噪聲環(huán)境中線性調(diào)頻信號的參數(shù)估計，但是該方法依賴于噪聲的先驗知識，并且當(dāng)分?jǐn)?shù)低階矩的數(shù)值不合適時，算法性能會嚴(yán)重下降。在文獻(xiàn)[11]中提出了一種非線性變換函數(shù)A-NTA，并將其應(yīng)用到LVD，能夠很好地抑制強脈沖噪聲，并且不依賴于噪聲的先驗知識，但是該方法僅是針對抑制強脈沖噪聲，在脈沖噪聲較弱或者當(dāng)處于極低信噪比時，其檢測性能嚴(yán)重下降，限制性比較大。在文獻(xiàn)[12]中，使用Sigmoid函數(shù)處理的信號全部假設(shè)為實信號，在遇到復(fù)信號的時候，該方法就可能失效了。

針對以上問題，綜合LVD[11]的原理及Sigmoid[13-14]的性質(zhì)，筆者提出了一種新的方法——Sigmoid-LVD。首先用非線性函數(shù)Sigmoid處理原始信號，在處理信號后再除以信號的共軛；然后根據(jù)LVD的定義對Sigmoid變換的對稱瞬時自相關(guān)函數(shù)沿時間軸t和時延軸τ進(jìn)行二維傅里葉變換。通過仿真實驗證明，該算法能夠有效地抑制脈沖噪聲，并且不依賴于噪聲的先驗知識，不僅能夠準(zhǔn)確地檢測和估計線性調(diào)頻信號的參數(shù)，而且能夠?qū)崿F(xiàn)對復(fù)信號的檢測和參數(shù)估計，更利于在信號處理中的應(yīng)用。

1 Alpha穩(wěn)定分布噪聲模型

常規(guī)的線性調(diào)頻信號檢測方法多基于高斯假設(shè)，但在實際應(yīng)用中，水聲噪聲、大氣噪聲、多用戶干擾和雷達(dá)雜波等通常表現(xiàn)為非高斯特性，而Alpha穩(wěn)定分布模型可以很好地模擬這種類型的脈沖噪聲。用特征函數(shù)表達(dá)式描述這種模型[15]：

φ(t)=exp{jat-γ|t|α[1+jβsgn(t)ω(t，α)]} ，

(1)

其中，

(2)

(3)

sgn(t)表示符號函數(shù)。

Alpha穩(wěn)定分布可由特征指數(shù)α、分散系數(shù)γ、對稱參數(shù)β和位置參數(shù)a確定。各參數(shù)所代表的含義如下：α為特征指數(shù)，用來度量噪聲脈沖特性的強弱。α越小，表示分布的拖尾越厚。隨著α值的增大，則越趨向于高斯過程。特別地，當(dāng)α=2時，該分布為高斯分布；當(dāng)α=1時，該分布為柯西分布。γ為分散系數(shù)，表征樣本的分散程度，類似于高斯分布中的方差。β為對稱參數(shù)，用于描述分布的斜度。當(dāng)β=0時，一般稱此分布為對稱Alpha穩(wěn)定分布，記為SαS。在SαS分布中，當(dāng)1<α<2時，a表示其均值；當(dāng)β=0，a=0時，該分布為標(biāo)準(zhǔn)SαS分布。

2 LVD原理

LVD無須搜索，也無須引入階數(shù)和旋轉(zhuǎn)角度等非物理屬性。它在時間延遲瞬時自相關(guān)函數(shù)中引入了一個時延變量，并且重新對時間軸進(jìn)行變標(biāo)以消除線性頻率偏移效應(yīng)[9]。為了明確解釋LVD的原理，將一個連續(xù)的無限時間多組分線性調(diào)頻信號定義如下：

(4)

其中，Ai是第i個分量的幅值，fi為第i個分量的中心頻率，ki表示第i個分量的調(diào)頻斜率。

LVD算法能夠?qū)⒕€性調(diào)頻信號的物理特征在中心頻率-調(diào)頻斜率域直接顯示出來。其對稱參數(shù)瞬時自相關(guān)函數(shù)定義如下：

(5)

為了消除類似式(5)中的耦合，用Keystone變換[15]的思想來達(dá)到去耦合的目的。給定一個與(t，τ)相關(guān)的相位函數(shù)G，尺度變換函數(shù)如下：

(6)

其中，h是尺度因子。當(dāng)h=1時，其性能達(dá)到最優(yōu)。tn是尺度變換時間，tn=(τ+a)ht。將尺度變換函數(shù)應(yīng)用到式(5)，得

(7)

式(7)表明，對于每個自項，由于引入了新的時間tn，時間變量t和時延變量τ之間的耦合消除了。對式(7)進(jìn)行二維傅里葉變換，得到LVD的定義：

(8)

其中，F(xiàn){·}是傅里葉變換算子。LVD與分?jǐn)?shù)階傅里葉變換(FrFT)等方法相比，不需要任何的搜索步驟，降低了計算難度和時間。

LVD中每個自項均能建模為理想的點擴(kuò)展函數(shù)：

(9)

LVD通過增強自項可以對交叉項達(dá)到抑制且不會造成任何分辨率損失，表現(xiàn)為近似線性的性質(zhì)，因此可得

(10)

下面分別給出無噪聲、高斯噪聲、Alpha噪聲下單分量LVD的檢測結(jié)果。信號參數(shù)為：幅度A=1，中心頻率f0=30 Hz，調(diào)頻斜率k=50 Hz/s，有效時間長度T=1 s，采樣頻率fs=512 Hz。從圖1中可以看出，在無噪聲的情況下LVD可以準(zhǔn)確地檢測和估計信號參數(shù)；在高斯噪聲中，雖然受到噪聲干擾，但是仍可以準(zhǔn)確檢測；在Alpha噪聲下，由于受脈沖噪聲的影響，算法失效。

(a)無噪聲

3 基于Sigmoid-LVD的線性調(diào)頻信號參數(shù)估計方法

3.1 Sigmoid-LVD算法原理

在Alpha穩(wěn)定分布的噪聲環(huán)境下，傳統(tǒng)的線性調(diào)頻信號檢測方法的性能嚴(yán)重下降。在強脈沖和低信噪比下，信號湮沒在噪聲中，傳統(tǒng)的方法無法有效地完成檢測。為了解決該問題，筆者提出了一種新的方法——Sigmoid-LVD，不僅能夠有效地抑制脈沖噪聲，并且不依賴于噪聲的先驗知識，而且可以更加精確地檢測和估計線性調(diào)頻信號的參數(shù)。

在實際應(yīng)用中，非線性函數(shù)可以用來抑制Alpha低階穩(wěn)定噪聲，而理想的非線性變換函數(shù)應(yīng)當(dāng)具備以下兩點[16-17]：(1)能夠消除Alpha穩(wěn)定分布噪聲的影響；(2)不會對信號造成嚴(yán)重的失真。文獻(xiàn)[16]采用了目前在人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中廣泛應(yīng)用的非線性函數(shù)Sigmoid。它的定義如下：

(11)

Sigmoid具有以下3個性質(zhì)[16]：

(1) 如果s(t)是一個SαS過程，其中a=0，β=0，那么Sigmoid[s(t)]是概率密度函數(shù)中均值為零的對稱分布。

(2) 如果s(t)是一個SαS過程，其中a=0，γ>0，則有‖Sigmoid[s(t)]‖α>0，而且當(dāng)1<α≤2時，Sigmoid[s(t)]的平均值為零。

(3) 如果s(t)是一個SαS過程，其中a=0，1<α≤2，則Sigmoid[s(t)]是具有零均值的有限二階矩(稱為二階矩過程)。

在以上3條性質(zhì)的基礎(chǔ)上，可以推出Sigmoid的性質(zhì)4：假設(shè)S(t)=Sigmoid[s(t)]，則S(t)具有與s(t)相同的調(diào)制特性[17]。根據(jù)傅里葉變換的頻移特性，證明過程如下：

證明 設(shè)s2(t)=s(ω0t)，可以得到S2(t)=Sigmoid[s2(t)]=Sigmoid[s(ω0t)]=S(ω0t)。

(12)

由上面的公式可得，s2(t)和s(t)之間的頻移與S2(t)和S(t)之間的頻移是相同的，并且隨著參數(shù)ω0的變化，頻移可以是任意的。因此可得，S(t)與s(t)有相同的調(diào)制特性，即線性調(diào)頻信號經(jīng)過Sigmoid函數(shù)處理后，其中心頻率和調(diào)頻斜率不發(fā)生改變。

把Sigmoid函數(shù)與LVD的定義結(jié)合，其對稱瞬時自相關(guān)函數(shù)為

(13)

為了消除時間變量t和時延變量τ之間的耦合，把前文中的尺度變換時間tn和式(6)中的尺度變換函數(shù)應(yīng)用到式(13)中，可得

(14)

對式(14)沿時間軸t和時延軸τ進(jìn)行二維傅里葉變換，即為Sigmoid-LVD的定義。定義式為

(15)

3.2 參數(shù)估計方法

假設(shè)脈沖噪聲環(huán)境下的線性調(diào)頻信號為y(t)，則

y(t)=s(t)+n(t) ，

(16)

其中，s(t)為線性調(diào)頻信號，n(t)為Alpha穩(wěn)定分布噪聲。信號經(jīng)過Sigmoid函數(shù)處理后，即Sigmoid[y(t)]，再對其進(jìn)行LVD變換，在中心頻率-調(diào)頻斜率域搜索峰值點即可完成參數(shù)估計。

在文獻(xiàn)[12]中使用Sigmoid函數(shù)時，假設(shè)信號全為實信號，在遇到復(fù)信號時，其能力可能會失效。筆者利用Sigmoid函數(shù)的性質(zhì)4，在參數(shù)ω0中進(jìn)行改變。在進(jìn)行仿真實驗的時候，用Sigmoid函數(shù)處理信號后再除以它們的共軛，以此達(dá)到對復(fù)信號的參數(shù)估計。因為該運算包含在參數(shù)ω0中，根據(jù)性質(zhì)4，其不會對信號造成失真。

4 仿真結(jié)果與分析

4.1 噪聲抑制能力分析

4.1.1 不同脈沖噪聲下對單分量線性調(diào)頻信號的檢測和參數(shù)估計性能分析

為了驗證所提算法在強脈沖噪聲下的檢測性能，該實驗分別在α=1.5和α=0.5的脈沖噪聲環(huán)境下進(jìn)行仿真分析。信號參數(shù)為：幅度A=1，中心頻率f0=30 Hz，調(diào)頻斜率k=50 Hz/s，有效時間長度T=1 s，采樣頻率fs=512 Hz，RGSNR=-8 dB。

實驗結(jié)果如圖2所示。

圖2中的(a)、(b)和(c)分別表示α=1.5時，3種算法的檢測結(jié)果。從圖中可以看出FLOLVD和A-NAT-LVD受到噪聲影響，有一些很小的偽峰干擾，但還是能夠提取信號參數(shù)的，而Sigmoid-LVD明顯受噪聲影響較小，并且中心頻率和調(diào)頻斜率與實際值一樣，證明在α=1.5和RGSNR=-8 dB的脈沖噪聲下，Sigmoid-LVD要比 FLOLVD和A-NAT-LVD抑制噪聲能力強。

圖2中的(d)、(e)和(f)分別表示α=0.5時3種算法的檢測結(jié)果。可以很明顯地看出，F(xiàn)LOLVD湮沒在噪聲中，而A-NAT-LVD和Sigmoid-LVD仍然能夠準(zhǔn)確地檢測和估計目標(biāo)參數(shù)，并且與實際值一致。從圖2(d)～(f)可知，在強脈沖噪聲環(huán)境下Sigmoid-LVD的檢測能力超過FLOLVD，與A-NAT-LVD的效果基本一致。

4.1.2 不同廣義信噪比下對單分量線性調(diào)頻信號的檢測和參數(shù)估計性能分析

為了驗證所提算法在極低信噪比下的優(yōu)越檢測性能，在不同廣義信噪比下進(jìn)行仿真分析。設(shè)置脈沖強度α=0.5，除廣義信噪比以外，其他信號參數(shù)與節(jié)4.1.1的實驗相同。廣義信噪比分別為RGSNR=-8 dB和RGSNR=-15 dB。圖2中已經(jīng)給出了RGSNR=-8 dB時3種算法的檢測結(jié)果圖，從圖2中(d)、(e)和(f)可以看出FLOLVD湮沒在噪聲中，而A-NAT-LVD和Sigmoid-LVD峰值點所對應(yīng)的中心頻率和調(diào)頻斜率與實際值一致。由圖2(d)可得，在α=0.5，RGSNR=-8 dB時，F(xiàn)LOLVD已經(jīng)失效，所以以下實驗不再給出RGSNR=-15 dB時FLOLVD的結(jié)果圖。

圖3描述了RGSNR=-15 dB時，Alpha穩(wěn)定分布噪聲下線性調(diào)頻信號的A-NAT-LVD和Sigmoid-LVD的檢測結(jié)果。從圖中可以看出，A-NAT-LVD湮沒在噪聲中，而Sigmoid-LVD能夠產(chǎn)生明顯的尖峰，且與實際值相符。結(jié)合上節(jié)的實驗和本實驗可得，A-NAT-LVD僅是針對抑制強脈沖噪聲，在脈沖比較弱的時候其檢測能力降低。同時，在強脈沖中，處于極低信噪比的情況下，A-NAT-LVD的參數(shù)檢測和估計能力也不如Sigmoid-LVD。綜上可得，筆者所提的Sigmoid-LVD方法的抑制噪聲能力比FLOLVD和A-NAT-LVD的強。

(a) A-NAT-LVD (RGSNR=-15 dB)

4.1.3 不同脈沖噪聲下對雙分量線性調(diào)頻信號的檢測和參數(shù)估計性能分析

為了驗證所提算法對雙分量線性調(diào)頻信號的檢測能力，對雙分量線性調(diào)頻信號進(jìn)行了仿真分析。設(shè)置脈沖背景噪聲α=1.5和α=0.5，以及RGSNR=-8 dB的Alpha穩(wěn)定分布噪聲。信號參數(shù)與節(jié)4.1.1的實驗相同。圖4描述了不同Alpha穩(wěn)定分布噪聲下雙分量線性調(diào)頻信號的檢測結(jié)果。

(a) FLOLVD(α=1.5)

圖4中(a)、(b)和(c)分別表示α=1.5，RGSNR=-8 dB時，雙分量線性調(diào)頻信號的FLOLVD、A-NAT-LVD和Sigmoid-LVD的檢測結(jié)果。從圖中可得3種算法都可以準(zhǔn)確地進(jìn)行參數(shù)估計，但是A-NAT-LVD中受到噪聲影響產(chǎn)生一些偽峰。

圖4中(d)、(e)和(f)分別表示α=0.5，RGSNR=-8 dB時雙分量線性調(diào)頻信號的FLOLVD、A-NAT-LVD和Sigmoid-LVD的檢測結(jié)果。FLOLVD被湮沒在噪聲中，而A-NAT-LVD和Sigmoid-LVD仍然能夠檢測出目標(biāo)參數(shù)，并且中心頻率和調(diào)頻斜率與實際值一樣。為了進(jìn)一步驗證所提算法的優(yōu)越性能，增加了實驗對比。由于在α=0.5和RGSNR=-8 dB條件下FLOLVD算法已經(jīng)失效，所以增加了α=0.5，RGSNR=-15 dB 時A-NAT-LVD和Sigmoid-LVD的檢測結(jié)果。如圖4(g)和(h)所示，A-NAT-LVD湮沒在噪聲中，Sigmoid-LVD受到噪聲影響有偽峰產(chǎn)生，但仍可進(jìn)行參數(shù)估計。可見在雙分量線性調(diào)頻信號中，Sigmoid-LVD檢測參數(shù)估計能力仍然要高于FLOLVD和A-NAT-LVD的。

4.2 算法估計性能分析

為了驗證所提算法的檢測和參數(shù)估計性能，該實驗對3種算法進(jìn)行了參數(shù)估計，給出了200次蒙特卡羅實驗所得的中心頻率和調(diào)頻斜率估計值的平均值。表1中脈沖噪聲α=1.5，RGSNR=-8 dB，表2中脈沖噪聲α=0.5，RGSNR=-15 dB，其余信號參數(shù)與節(jié)4.1.1的實驗相同。

從表1可以看出，在α=1.5的情況下，F(xiàn)LOLVD和Sigmoid-LVD能夠準(zhǔn)確地對信號參數(shù)進(jìn)行估計，與實際值一致，而A-NAT-LVD受到噪聲影響，其估計值有誤差。

表1 -8 dB下不同算法對線性調(diào)頻信號的參數(shù)估計值比較(α=1.5)

由于在α=0.5，RGSNR=-8 dB時，F(xiàn)LOLVD算法失效，所以表2中給出了α=0.5，RGSNR=-15 dB的情況下A-NAT-LVD和Sigmoid-LVD的估計值，可以得到Sigmoid-LVD的估計值要比A-NAT-LVD的估計值精確18%以上，再一次證明了A-NAT-LVD僅抑制強脈沖噪聲，在脈沖噪聲較弱的情況下，其參數(shù)估計能力下降；在強脈沖噪聲下處于極低信噪比時，其參數(shù)估計能力也嚴(yán)重下降。綜上，Sigmoid-LVD算法的參數(shù)估計能力要強于A-NAT-LVD。

表2 -15 dB下不同算法對線性調(diào)頻信號的參數(shù)估計值比較(α=0.5)

為了進(jìn)一步驗證所提算法的檢測性能和參數(shù)估計性能，分別在不同廣義信噪比下和脈沖噪聲下進(jìn)行仿真分析。除了廣義信噪比和脈沖噪聲外，其他信號參數(shù)與節(jié)4.1.1的實驗相同。圖5中(a)和(b)是在α=1.5時不同廣義信噪比下線性調(diào)頻信號的中心頻率和調(diào)頻斜率的估計誤差性能曲線，廣義信噪比的區(qū)間設(shè)置為[-15 dB，5 dB]，步長為1，每個廣義信噪比下都進(jìn)行200次蒙特卡羅實驗。從圖5中可以看出，所提算法在[-15 dB，-12 dB]之間，隨著廣義信噪比的增大，均方根誤差急劇地減小，在-12 dB時均方根誤差為0。而A-NAT-LVD和FLOLVD的均方根誤差雖然也隨著廣義信噪比的增大在下降，但是下降趨勢不如Sigmoid-LVD，中心頻率均方根誤差在-10 dB時才為零，調(diào)頻斜率均方根誤差在-9 dB時為零?？梢娫趨?shù)相同的情況下，Sigmoid-LVD的抑制噪聲能力要強于A-NAT-LVD和FLOLVD，并且在有誤差的情況下所提算法的誤差要小于A-NAT-LVD和FLOLVD。圖5中(c)和(d)是當(dāng)RGSNR=-8 dB時，不同脈沖強度下線性調(diào)頻信號的中心頻率和調(diào)頻斜率的估計誤差性能曲線，脈沖噪聲的區(qū)間設(shè)置為[0.5，2.0]，步長為0.1，每個脈沖噪聲下都進(jìn)行200次蒙特卡羅實驗。從圖中可以得到所提算法在設(shè)置的脈沖噪聲區(qū)間內(nèi)均方根誤差為零，可以準(zhǔn)確地檢測和估計線性調(diào)頻信號的參數(shù)，而FLOLVD在[0.5，1.2]之間有誤差，中心頻率在α=1.2時誤差減小為零，調(diào)頻斜率在α=1.1時誤差減小為零。A-NAT-LVD在α=1.4時開始產(chǎn)生誤差，并且隨著脈沖噪聲的減弱，誤差越來越大，可得其僅在強脈沖噪聲下有效。從以上結(jié)果可得，Sigmoid-LVD的抑制噪聲能力優(yōu)于A-NAT-LVD和FLOLVD，在強脈沖噪聲和極低信噪比下具有良好的魯棒性。

(a) α=1.5時中心頻率估計誤差

5 結(jié)束語

該文提出了一種在脈沖噪聲下對線性調(diào)頻信號進(jìn)行參數(shù)估計的新方法——Sigmoid-LVD。首先引入了LVD的定義，同時介紹了非線性函數(shù)Sigmoid的性質(zhì)，并加以推導(dǎo)，依據(jù)此性質(zhì)，用Sigmoid函數(shù)來處理原始信號，再除以信號的共軛；然后根據(jù)LVD的定義對Sigmoid變換的對稱瞬時自相關(guān)函數(shù)沿時間軸t和時延軸τ進(jìn)行二維傅里葉變換。仿真結(jié)果表明，Sigmoid-LVD不依賴于噪聲的先驗知識，能夠很好地抑制脈沖噪聲，在強脈沖噪聲和極低信噪比下?lián)碛懈叩膮?shù)估計精度，同時還可以實現(xiàn)對復(fù)信號的參數(shù)估計，有利于在信號處理中的應(yīng)用。