■劉中亮

一、選擇題

1.集合{1,2,3}的真子集有( )。

A.4個 B.6個

C.7個 D.8個

2.已知全集為實(shí)數(shù)集R,集合A={x|x2+2x-8＞0},B={x|log2x＜1},則(?RA)∩B等于( )。

A.[-4,2] B.[-4,2)

C.(-4,2) D.(0,2)

3.如果a＜b＜0,那么下列不等式成立的是( )。

4.已知偶函數(shù)g(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),則a,b,c的大小關(guān)系為( )。

A.a＜b＜cB.c＜b＜a

C.b＜a＜cD.b＜c＜a

5.函數(shù)f(x)=+cos2x圖像的一條對稱軸方程是( )。

6.已知函數(shù)f(x)=sinωx(ω＞0)在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,則ω=( )。

7.已知命題p:-1＜x＜2,q:|x-1|＜1,則p是q的( )。

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

8.函數(shù)y=的單調(diào)遞減區(qū)間為( )。

A.(-∞,2] B.[1,2]

C.[2,+∞) D.[2,3]

9.函數(shù)f(x)=圖像的大致形狀是( )。

10.已知分段函數(shù)f(x)=若互不相等的實(shí)數(shù)x1,x2,x3滿足f(x1)=f(x2)=f(x3),則x1+x2+x3的取值范圍是( )。

11.已知函數(shù)f(x)=x(x+1)(x2+ax+b)的圖像關(guān)于直線x=1對稱,則f(x)的值域?yàn)? )。

12.(多選題)下列是“不等式2x2-5x-3＜0成立”的必要不充分條件的是( )。

13.(多選題)函數(shù)在下列那些區(qū)間上單調(diào)遞增( )。

A.(-∞,-1) B.(-∞,1)

C.(1,+∞) D.(-∞,0)

14.(多選題)若正實(shí)數(shù)a,b滿足a+b=1,則下列說法正確的是( )。

15.(多選題)若a,b,c∈R,a＜b＜0,則下列不等式正確的是( )。

16.(多選題)在△ABC中,下列關(guān)系恒成立的是( )。

17.(多選題)《幾何原本》中的幾何代數(shù)法是以幾何方法研究代數(shù)問題,這種方法是西方數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù),通過這一原理,很多的代數(shù)公理或定理都能夠通過圖形實(shí)現(xiàn)證明,也稱之為無字證明?，F(xiàn)有圖形如圖1所示,C為線段AB上的點(diǎn),且AC=a,BC=b,O為AB的中點(diǎn),以AB為直徑作半圓。過點(diǎn)C作AB的垂線交半圓于D,連接OD,AD,BD,過點(diǎn)C作OD的垂線,垂足為E。則該圖形可以完成的所有的無字證明為( )。

圖1

二、填空題

18.已知集合A={1,a+b,a},集合B=,且A=B,則a-b=____。

19.若x＞0,y＞0,且3x+4y-2xy=0,則x+y的最小值為____。

20.已知定義在R 上的奇函數(shù)f(x)=則f(-1)=_____,不等式f[f(x)]≤7的解集為_____。

21.給出下列四個命題:①函數(shù)f(x)=的對稱軸為x=,k∈Z;②函數(shù)f(x)=sinx+的最大值為2;③?x∈(0,π),sinx＞cosx;④函數(shù)f(x)=在區(qū)間上單調(diào)遞增。

其中正確命題的序號為_____。

三、解答題

22.已知全集U=R,集合A={x||2xa|≥2},集合B=。在①A?B,②A∩B≠?,③A∪(?UB)=A中任選一個為條件,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

23.已知集合A={x|-1＜x＜3},集合B={x|2x2+(5-2k)x-5k＜0},k∈R。

若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要條件,求實(shí)數(shù)k的取值范圍。

24.已知命題p:x2-8x+15≤0,q:x2-2x+1-a2≤0(a＞0)。

若p為q成立的充分不必要條件,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

25.已知定義域?yàn)镽 的奇函數(shù)f(x)=。

(1)求a,b的值。

(2)若對任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)＜0 恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍。

26.已知函數(shù)f(x)=lg(2+x)+lg(2-x)。

(1)記函數(shù)g(x)=10f(x)+3x,求函數(shù)g(x)的值域。

(2)若對任意m∈(0,2),x∈[0,1],都有f(x)＜m2-m-lg25+a恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

27.已知函數(shù)f(x)=sin2x-cos2x-)。

(2)求函數(shù)f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間。

28.為了加強(qiáng)“平安校園”建設(shè),有效遏制涉校案件的發(fā)生,保障師生安全,某校決定在學(xué)校門口利用一側(cè)原有墻體,建造一間墻高為3m,底面為24m2,且背面靠墻的長方體形狀的校園警務(wù)室。由于此警務(wù)室的后背靠墻,無需建造費(fèi)用,甲工程隊(duì)給出的報(bào)價為:屋子前面新建墻體的報(bào)價為每平方米400元,左右兩面新建墻體報(bào)價為每平方米300元,屋頂和地面以及其他報(bào)價共計(jì)14400元。設(shè)屋子的左右兩面墻的長度均為xm(1≤x≤5)。

(1)當(dāng)左右兩面墻的長度為多少時,甲工程隊(duì)報(bào)價最低?求出最低報(bào)價。

(2)現(xiàn)有乙工程隊(duì)也要參與此警務(wù)室的建造競標(biāo),其給出的整體報(bào)價為元(a＞0),若無論左右兩面墻的長度為多少米,乙工程隊(duì)都能競標(biāo)成功,試求a的取值范圍。

29.已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ),其中A＞0,ω＞0,0＜φ＜π,函數(shù)f(x)圖像上相鄰兩個對稱中心之間的距離為,且在x=處取得最小值-2。

(1)求函數(shù)f(x)的解析式。

(2)若將函數(shù)f(x)圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2 倍(縱坐標(biāo)不變),再將其向左平移個單位,得到函數(shù)g(x)圖像,求函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間。

30.已知a∈R,函數(shù)f(x)=。

(1)當(dāng)a=4時,解不等式f(x)＞0。

(2)若關(guān)于x的方程f(x)-log2[(a-4)x+2a-5]=0有兩個不相等的實(shí)根,求a的取值范圍。

一、選擇題

1.提示:集合{1,2,3}的元素個數(shù)為3,故真子集的個數(shù)為23-1=7。應(yīng)選C。

2.提示:由A={x|x＜-4 或x＞2},B={x|0＜x＜2},可得?RA={x|-4≤x≤2},所以(?RA)∩B=(0,2)。應(yīng)選D。

3.提示:對于A,因?yàn)閍＜b＜0,兩邊同乘以,所以,A 錯誤。對于B,因?yàn)?兩邊同乘以-1,所以,B正確。對于C,a＜b＜0,兩邊同乘以a,所以ab＜a2,C 錯誤。對于D,a＜b＜0,兩邊同乘以b,所以b2＜ab,D 錯誤。應(yīng)選B。

4.提示:由題意知g(x)為偶函數(shù),且在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以a=g(-log25.1)=g(log25.1)。又2=log24＜log25.1＜log28=3,1＜20.8＜2,所以20.8＜log25.1＜3,故b＜a＜c。應(yīng)選C。

7.提示:p:-1＜x＜2。q:|x-1|＜1?q:-1＜x-1＜1?q:0＜x＜2。由上可得,p?/q,q?p,所以p是q的必要不充分條件。應(yīng)選B。

8.提示:由-x2+4x-3≥0,即(x-1)·(x-3)≤0,可得函數(shù)的定義域?yàn)閇1,3]。由y=2t在R 上單調(diào)遞增,t=在[1,2]上單調(diào)遞增,在[2,3]上單調(diào)遞減,可得y=的單調(diào)遞減區(qū)間為[2,3]。應(yīng)選D。

9.提示:函數(shù)f(x)=0＜a＜1。由f(x)=得f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函數(shù),其圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱,排除B,D。當(dāng)x＞0時,f(x)=logax(0＜a＜1)是單調(diào)遞減函數(shù),排除A。應(yīng)選C。

10.提示:畫出分段函數(shù)f(x)=的圖像(如圖2)。

圖2

不妨設(shè)x1＜x2＜x3,則x2,x3關(guān)于直線x=3 對稱,故x2+x3=6。x1是圖中線段AB上的點(diǎn)對應(yīng)的橫坐標(biāo),則xB＜x1＜xA,可得,故x1+x2+x3的取值范圍是+6＜x1+x2+x3＜6,即x1+x2+。應(yīng)選D。

11.提示:因?yàn)閒(x)=x(x+1)(x2+ax+b)有兩個零點(diǎn)-1,0,又其圖像關(guān)于直線x=1對稱,所以2,3也是函數(shù)f(x)的兩個零點(diǎn),即f(x)=x(x+1)(x-2)(x-3),所以f(x)=(x2-2x)(x2-2x-3)。令t=x2-2x=(x-1)2-1≥-1,則y=t(t-3)=t2-3t=,所以y≥,即函數(shù)f(x)的值域?yàn)?。?yīng)選B。

13.提示:令t=x2-2x+3,則函數(shù)t在(-∞,1)上遞減,在(1,+∞)上遞增。又y=在R 上遞減,所以函數(shù)在(-∞,1)上遞增,在(1,+∞)上遞減。應(yīng)選A,B,D。

15.提示:對于A,由a＜b＜0,可得0＞,A 不正確。對于B,由a＜b＜0,可得ab＞b2,B正確。對于C,當(dāng)c=0時,a|c|=b|c|,當(dāng)c≠0時,a|c|＜b|c|,C 不正確。對于D,由c2+1＞0,a＜b＜0,可得a(c2+1)＜b(c2+1),D 正確。應(yīng)選B,D。

16.提示:tan(A+B)=tan(π-C)=-tanC,A 不正確。cos(2A+2B)=cos[2(π-C)]=cos(-2C)=cos2C,B 正確。,C 不正確。,D正確。應(yīng)選B,D。

17.提示:由題意得AC+CB=a+b。由射影定理可知CD=。由OD≥CD,可得,A 正確。由射影定理可知CD2=DE·OD,即DE=,由CD≥DE,可得,C 正確。應(yīng)選A,C。

二、填空題

18.提示:因?yàn)榧螦={1,a+b,a},集合B=,且A=B,所以1∈B,0∈A,且a≠0,所以a+b=0,b=1,可得a=-1,所以a-b=-2。

20.提示:函數(shù)f(x)=是定義在R 上的奇函數(shù),當(dāng)x＜0時,-x＞0,則g(x)=f(x)=-f(-x)=-(1-2-x)=2-x-1,所以f(x)=可得f(-1)=2-1=1。

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=在[0,+∞)和(-∞,0)上都單調(diào)遞減,且函數(shù)f(x)的圖像沒有斷開,所以函數(shù)f(x)=在R 上單調(diào)遞減。由不等式f[f(x)]≤7=f(-3),可得f(x)≥-3,所以,解得x≤2,即不等式f[f(x)]≤7 的解集為(-∞,2]。

三、解答題

22.提示:由集合A={x||2x-a|≥2},可得。易得集合B={x|1＜x＜3},所以?UB={x|x≤1或x≥3}。

①由A?B,可得-1≥3或+1≤1,解得a≥8 或a≤0,所以a的取值范圍是(-∞,0]∪[8,+∞)。

②由A∩B≠?,可得-1＞1或+1＜3,解得a＞4或a＜4,所以a的取值范圍是(-∞,4)∪(4,+∞)。

③由?UB={x|x≤1 或x≥3},A∪(?UB)=A,可知 ?U B?A,所以解得a=4,即a的取值范圍是{4}。

23.提示:“x∈A”是“x∈B”的充分不必要條件,則集合A是集合B的真子集。

由2x2+(5-2k)x-5k＜0,可得(xk)(2x+5)＜0,當(dāng)k＜時,B=,不合題意;當(dāng)k=時,B=?,不合題意;當(dāng)k＞時,B=,只需滿足k≥3。

故實(shí)數(shù)k的取值范圍是[3,+∞)。

24.提示:由x2-2x+1-a2≤0(a＞0),可得1-a≤x≤1+a。由x2-8x+15≤0,可得3≤x≤5。

因?yàn)閜為q成立的充分不必要條件,所以解得a≥4,即實(shí)數(shù)a的取值范圍是[4,+∞)。

25.提示:(1)因?yàn)閒(x)是R 上的奇函數(shù),所以f(0)=0,即=0,解得b=1,這時f(x)=。由f(1)=-f(-1),可得,解得a=2,所以函數(shù)f(x)=。故a=2,b=1。

(2)由(1)得f(x)=,且f(x)在R 上為減函數(shù)。

因?yàn)閒(x)是奇函數(shù),所以f(t2-2t)＜-f(2t2-k)=f(-2t2+k)。又因?yàn)閒(x)是R上的減函數(shù),所以t2-2t＞-2t2+k,即對一切t∈R都有3t2-2t-k＞0,所以Δ=4+12k＜0,解得k＜,即實(shí)數(shù)。

26.提示:(1)由f(x)=lg(2+x)+lg(2-x)=lg(4-x2),x∈(-2,2),可得函數(shù)g(x)=10f(x)+3x=4-x2+3x,x∈(-2,2),可知g(x)的對稱軸為x=。

當(dāng)x∈時,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增,當(dāng)x∈時,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減,所以g(x)max=。又g(-2)=-6,g(2)=6,故函數(shù)g(x)的值域?yàn)椤?/p>

(2)對任意m∈(0,2),x∈[0,1],都有f(x)＜m2-m-lg25+a恒成立,即f(x)max＜m2-m-lg25+a恒成立。當(dāng)x∈[0,1]時,函數(shù)f(x)=lg(4-x2)單調(diào)遞減,f(x)max=f(0)=2lg2,所以2lg2＜m2-m-lg25+a恒成立,即a＞-m2+m+2恒成立,所以a＞(-m2+m+2)max,m∈(0,2)。當(dāng)m=時,(-m2+m+2)max=,所以a＞,即實(shí)數(shù)a∈。

故當(dāng)左右兩側(cè)墻的長度為4m 時,甲工程隊(duì)的報(bào)價最低,最低報(bào)價為28800元。

故0＜a＜12,即a∈(0,12)。

29.提示:(1)由題意得f(x)的最小正周期為,解得ω=4。由函數(shù)f(x)在處取得最小值-2,可得A=2,這時f(x)=2sin(4x+φ)。由=-2,可得,k∈Z。令k=0,可得φ=,所以函數(shù)f(x)=。

(2)由函數(shù)f(x)=圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2 倍(縱坐標(biāo)不變),可得y=,再向左平移個單位得函數(shù)g(x)==2cos2x。令-π+2kπ≤2x≤2kπ,k∈Z,可得g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為,k∈Z。

30.提示:(1)當(dāng)a=4 時,函數(shù)f(x)=。由f(x)＞0,可得＞0=log21,所以+4＞1,即x(1+3x)＞0,解得x＞0或x＜。故當(dāng)a=4 時,不等式f(x)＞0 的解集為。

(2)由題意得方程f(x)==log2[(a-4)x+2a-5],該方程等價于由此化簡整理得(a-4)x2+(a-5)x-1=,所以[(a-4)x-1](x+1)=。

當(dāng)a=4時,x=-1,不合題意,舍去;當(dāng)a=3 時,x1=x2=-1,不合題意,舍去;當(dāng)a≠3且a≠4時,x1=,x2=-1且x1≠x2,由+a＞0,即a-4+a＞0 得a＞2(a≠3且a≠4),由+a＞0,即-1+a＞0得a＞1(a≠3且a≠4)。

依題意知,若原方程由兩個不相等的實(shí)根,則a＞2(a≠3且a≠4),故所求a的取值范圍為a∈(2,3)∪(3,4)∪(4,+∞)。