■陳 猛

指數(shù)與對數(shù)的比較大小是函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用載體,又是邏輯推理與化歸思想的體現(xiàn),是提高同學(xué)們數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)的有效途徑。下面通過幾道例題的分析,希望對同學(xué)們的學(xué)習(xí)有所幫助。

例1設(shè)a=log3e,b=e1.5,c=,則( )。

A.b＜a＜cB.c＜a＜b

C.c＜b＜aD.a＜c＜b

解:因為b=e1.5＞2=log39＞log34=c==1,而1＞log3e=a,所以a＜c＜b。應(yīng)選D。

感悟:比較指數(shù)與對數(shù)的大小,可利用指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,同時引入0,1等中間量進行求解。

例2設(shè)x,y,z為正數(shù),且2x=3y=5z,則( )。

A.2x＜3y＜5zB.5z＜2x＜3y

C.3y＜5z＜2xD.3y＜2x＜5z

解:令2x=3y=5z=t,x,y,z為正數(shù),則t＞1,所以。,即2x＞3y。,即2x＜5z。

綜上可得,3y＜2x＜5z。應(yīng)選D。

感悟:針對已知條件中的連等式,可借助新的參數(shù)作為變量,表示題目中的相關(guān)量,再通過作差或作商來比較大小。

例3設(shè)a=log0.20.3,b=log20.3,則( )。

A.a+b＜ab＜0 B.ab＜a+b＜0

C.a+b＜0＜abD.ab＜0＜a+b

解:因為a=log0.20.3＞log0.21=0,b=log20.3＜log21=0,所以ab＜0。

感悟:根據(jù)已知條件(或選項)構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小。

例4若a＞b＞1,0＜c＜1,則( )。

A.ac＜bcB.abc＜bac

C.alogbc＜blogacD.logac＜logbc

解:因為冪函數(shù)y=xc(0＜c＜1)在(0,+∞)上是增函數(shù),又a＞b＞1,所以ac＞bc,A 不正確。冪函數(shù)y=xc-1(c-1＜0)在(0,+∞)上是減函數(shù),由a＞b＞1,可得bc-1＞ac-1,所以abc＞bac,B不正確。由a＞b＞1,可得lga＞lgb＞0,所以alga＞blgb＞0。因為lgc＜0,所 以。又,所以,即alogbc＜blogac,C 正確。由函數(shù)y=logax與y=logbx(a＞b＞1,0＜x＜1)的圖像(圖略)知在x=c處的函數(shù)值滿足logac＞logbc,D 不正確。應(yīng)選C。

感悟:利用函數(shù)的圖像與性質(zhì)比較函數(shù)值的大小,可以達到學(xué)以致用的目的。