孟凡英

“富有想象力”的教育是指教師充分利用認(rèn)知工具在教學(xué)過(guò)程中有效激發(fā)學(xué)生的情感、想象力和智慧的教育理論與實(shí)踐體系[1]29。認(rèn)知工具既是“富有想象力”教育的理論核心，又是實(shí)施這種教育理念的具體策略和方法。基蘭·伊根教授立足維果茨基的理論，把認(rèn)知工具的研究引向了教育實(shí)踐領(lǐng)域，逐步發(fā)展成為一個(gè)有機(jī)的認(rèn)知工具系統(tǒng)，并把認(rèn)知工具發(fā)展成前后連貫的五個(gè)亞系統(tǒng)，即身體的認(rèn)知、神話的認(rèn)知、浪漫的認(rèn)知、哲學(xué)的認(rèn)知、批判的認(rèn)知（見表1）。每一種認(rèn)知方式中，又包含著若干相互聯(lián)系的具體認(rèn)知方法[2]。

表1 認(rèn)知工具的五個(gè)亞系統(tǒng)

這五種認(rèn)知方式，不僅反映了人類語(yǔ)言能力的發(fā)展規(guī)律，也反映了人類認(rèn)知世界方式的變化過(guò)程?；谶@樣的理論視角，本文試著運(yùn)用認(rèn)知工具五個(gè)亞系統(tǒng)中的具體認(rèn)知方法對(duì)兒童在數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)中進(jìn)行想象力的培養(yǎng)。

一、身體的認(rèn)知——做中學(xué)習(xí)，加深數(shù)學(xué)理解

身體的認(rèn)知是指在掌握語(yǔ)言之前的嬰幼兒時(shí)期，兒童通過(guò)自身的感知覺(jué)系統(tǒng)和情感反應(yīng)機(jī)制與周圍環(huán)境相互作用，并獲得對(duì)世界的基本理解的認(rèn)知方式[1]98。具身認(rèn)知理論的倡導(dǎo)者認(rèn)為，認(rèn)知是身體的認(rèn)知，心智是身體的心智，離開了身體，認(rèn)知和心智根本就不存在。因此，認(rèn)知深深地嵌入身體的感知覺(jué)系統(tǒng)之中，它們對(duì)理解力的支配作用大大超出了我們的想象。在教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)充分讓學(xué)生動(dòng)手做數(shù)學(xué)，在做中感知、理解、體會(huì)、想象，讓學(xué)生的想象力得以萌發(fā)生長(zhǎng)。

例如教學(xué)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)一年級(jí)上冊(cè)《圖形的認(rèn)識(shí)》一課時(shí)，教師經(jīng)過(guò)研究發(fā)現(xiàn)：在培養(yǎng)兒童空間思維時(shí)，不應(yīng)該把“平面”和“立體”完全割裂開來(lái)，而是要以立體圖形為載體，通過(guò)充分探究生活中的立體實(shí)物，引導(dǎo)兒童想象，并從多角度去感知立體圖形上的平面圖形。掌握了這個(gè)規(guī)律，教師在教學(xué)時(shí)，讓學(xué)生充分地看一看、摸一摸、擺一擺、滾一滾、說(shuō)一說(shuō)，調(diào)動(dòng)多種感官，多角度地感知長(zhǎng)方體、正方體、圓柱和球等立體圖形的特點(diǎn)。教學(xué)中教師讓學(xué)生把長(zhǎng)方體、正方體、圓柱和球這4 個(gè)物體進(jìn)行分類，學(xué)生在動(dòng)手玩積木的過(guò)程中，有充足的時(shí)間觀察積木的形狀、觸摸積木、積累搭建積木的經(jīng)驗(yàn)，眼、手、腦并用，形成了豐富的感知。做中學(xué)活躍了課堂氣氛，啟發(fā)了學(xué)生的想象和思考，讓學(xué)生經(jīng)歷了知識(shí)發(fā)生、發(fā)展、形成的過(guò)程，深化了他們對(duì)長(zhǎng)方體、正方體、圓柱和球的認(rèn)識(shí)和理解，以及數(shù)學(xué)思想方法的感悟，最終獲得數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升。

二、神話的認(rèn)知——建立模型，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)遷移

神話認(rèn)知，即神話思維、原始思維，是人類發(fā)展處于口語(yǔ)階段的思維。這是一種有別于邏輯思維的“我向”思維方式，是一種以移情、體驗(yàn)和想象力為主要特征的象征性或隱喻性思維方式[1]99。表1 中神話的認(rèn)知第4 點(diǎn)包含了建模。模型思想是指能夠有意識(shí)地用數(shù)學(xué)的概念、原理和方法，理解、描述以及解決現(xiàn)實(shí)世界中一類問(wèn)題的思想。掌握模型思想就是把握現(xiàn)實(shí)世界中一類問(wèn)題的本質(zhì)與規(guī)律，用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)語(yǔ)言描述問(wèn)題的本質(zhì)與規(guī)律，用合適的數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)問(wèn)題的本質(zhì)與規(guī)律，最后得到刻畫一類事物的數(shù)學(xué)模型[3]。數(shù)學(xué)建模可以拓展學(xué)生的思維空間、想象空間，改變“唯書唯上”、習(xí)題演練的現(xiàn)狀，為學(xué)生獲取新知提供組織架構(gòu)，為將來(lái)更高層次的學(xué)習(xí)提供理解基礎(chǔ)，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的價(jià)值。

例如，整數(shù)乘法單元的教學(xué)是在學(xué)生已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生自主探索計(jì)算的方法，理解算理，掌握算法，建構(gòu)模型，發(fā)展想象力。原來(lái)的教材體系將這個(gè)知識(shí)內(nèi)容安排在三年級(jí)下冊(cè)和四年級(jí)下冊(cè)，如果按照教材編排按部就班地進(jìn)行教學(xué)，學(xué)段的跨越、年級(jí)的轉(zhuǎn)換、碎片化的教學(xué)等因素就會(huì)割裂知識(shí)的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，一方面增加了教學(xué)中的“重復(fù)勞動(dòng)”，另一方面無(wú)法讓學(xué)生形成深刻的理解和自主遷移的能力，限制了學(xué)生的思維和想象力的發(fā)展。因此，教師在教學(xué)蘇教版三年級(jí)下冊(cè)《兩位數(shù)乘兩位數(shù)》和四年下冊(cè)《三位數(shù)乘兩位數(shù)》時(shí)，突破了單元和年級(jí)的界限，將兩位數(shù)乘兩位數(shù)（不進(jìn)位）、兩位數(shù)乘兩位數(shù)（進(jìn)位）和三位數(shù)乘兩位數(shù)這三節(jié)課關(guān)聯(lián)起來(lái)進(jìn)行教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：整數(shù)乘法計(jì)算都是先分再合，即先把第一個(gè)乘數(shù)看作一個(gè)整體，第二個(gè)乘數(shù)個(gè)位和十位分別和第一個(gè)乘數(shù)相乘，乘得的積再加起來(lái)。不論怎樣乘，最后都要回歸到一位數(shù)乘一位數(shù)。所以，兩、三位數(shù)乘兩位數(shù)甚至更多位數(shù)，計(jì)算方法是一致的，可以建立整數(shù)乘法筆算的模型（如圖1）進(jìn)行計(jì)算。有了這樣的筆算模型，以后如果遇到三位數(shù)乘三位數(shù)、四位數(shù)乘三位數(shù)……，都可以按照這個(gè)計(jì)算模型進(jìn)行計(jì)算。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生體會(huì)到了數(shù)學(xué)建模的價(jià)值，同時(shí)，有能力去解決更多位數(shù)的整數(shù)乘法計(jì)算，并把建模能力遷移到其他知識(shí)的學(xué)習(xí)中去。

圖1 整數(shù)乘法筆算模型

三、浪漫的認(rèn)知——突破極限，激發(fā)數(shù)學(xué)想象

浪漫的認(rèn)知是指兒童借助于逐步熟練的讀寫能力而發(fā)展起來(lái)的把握世界的思維方式[1]102。表1 浪漫的認(rèn)知中第2 點(diǎn)是現(xiàn)實(shí)的極限，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中體現(xiàn)為極限思想，即運(yùn)用極限概念分析、研究問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)思想。在數(shù)學(xué)教學(xué)中適當(dāng)?shù)貪B透極限思想可以發(fā)展學(xué)生的辯證思維，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)相關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，對(duì)于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有深遠(yuǎn)的意義[4]。極限思想留給學(xué)生更多想象的空間，可以很好地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)想象力。

例如教學(xué)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)《解決問(wèn)題的策略》例2，如圖2。

圖2 分?jǐn)?shù)計(jì)算數(shù)形結(jié)合圖

上面算式、下面圖形，數(shù)形結(jié)合。教師問(wèn)：請(qǐng)你想象一下，如果就這樣一直分下去，你能想到什么？學(xué)生通過(guò)觀察算式，依托極限思想的力量，找出了算式中每一個(gè)數(shù)的變化規(guī)律，結(jié)合圖像無(wú)限平均分小正方形，越往下分下去，數(shù)變得越來(lái)越小，圖形也變得越來(lái)越小，體會(huì)到“無(wú)限”“逼近”“趨近于”等字眼所蘊(yùn)含的意義，體悟極限思想中所蘊(yùn)含的思維方法，并體會(huì)它在解決實(shí)際數(shù)學(xué)問(wèn)題中的作用。借助數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，學(xué)生的想象力得到極大的發(fā)揮。

四、哲學(xué)的認(rèn)知——探根究底，培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維

到了青少年時(shí)期，學(xué)習(xí)內(nèi)容開始以科學(xué)知識(shí)為主體，這正是學(xué)生系統(tǒng)習(xí)得理論語(yǔ)言的時(shí)期。他們開始更加關(guān)注事物之間的聯(lián)系，開始發(fā)現(xiàn)原以為毫無(wú)聯(lián)系的細(xì)節(jié)和經(jīng)驗(yàn)，實(shí)際上是由各種規(guī)律和理論把它們聯(lián)系在一起的。在人生的這個(gè)階段，他們正在發(fā)展對(duì)世界的系統(tǒng)認(rèn)知，即哲學(xué)認(rèn)知[1]105。在課堂教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生的思辯精神，其實(shí)就是讓學(xué)生能夠從整體上認(rèn)識(shí)客觀世界，從不同的角度觀察、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，從而用不同的方法解決問(wèn)題。

例如教學(xué)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)《怎樣圍長(zhǎng)方形面積最大》，在解決了長(zhǎng)方形周長(zhǎng)一定的情況下，長(zhǎng)和寬越接近面積越大，以及接近成正方形時(shí)面積最大這兩個(gè)問(wèn)題后，教師繼續(xù)追問(wèn):12 根1 米長(zhǎng)的木條，如果一面靠墻，怎樣圍長(zhǎng)方形面積最大？ 通過(guò)畫示意圖，有些學(xué)生得出結(jié)論：一面靠墻，長(zhǎng)是寬的2 倍時(shí)長(zhǎng)方形的面積最大?？刹糠謱W(xué)生發(fā)現(xiàn)之前已經(jīng)得出結(jié)論：周長(zhǎng)相等，圍成正方形時(shí)面積最大。為什么會(huì)有矛盾的結(jié)論出現(xiàn)呢？經(jīng)過(guò)激烈地討論，學(xué)生們一致認(rèn)為，問(wèn)題就出在這面墻身上，因?yàn)橐幻婵繅α?，長(zhǎng)方形就不是封閉圖形了，所以結(jié)論也就隨之發(fā)生了改變。教師提示學(xué)生抓住長(zhǎng)是寬的2 倍這個(gè)關(guān)鍵信息再繼續(xù)往下思考，看圖發(fā)揮想象力。這時(shí)有學(xué)生說(shuō)出了“鏡面原理”，其他學(xué)生豁然開朗：如果在墻的對(duì)面還有一個(gè)完全相同的長(zhǎng)方形，墻這邊和墻那邊合起來(lái)就圍成了一個(gè)邊長(zhǎng)是6 米的正方形，周長(zhǎng)相等的情況下，正方形的面積最大，那它的一半也一定是最大的，所以在這里，長(zhǎng)是寬的2 倍時(shí)，圖形面積最大。教師趁機(jī)引導(dǎo)學(xué)生感受：雖然題目的具體信息改變了，但是本質(zhì)規(guī)律還是不變的，都是周長(zhǎng)相等的情況下，圍成正方形的面積最大。殊途同歸，這就是數(shù)學(xué)中的變中有不變的辯證思想。在一次次的主動(dòng)探究過(guò)程中，學(xué)生找到了知識(shí)間的相互聯(lián)系，建立了知識(shí)結(jié)構(gòu)，走向了數(shù)學(xué)的深度學(xué)習(xí)。

五、批判的認(rèn)知——質(zhì)疑思辨，走向深度學(xué)習(xí)

批判的認(rèn)知，也稱諷喻認(rèn)知。從青年時(shí)期開始，人們意識(shí)到系統(tǒng)的哲學(xué)思維方式并非無(wú)所不能的，而是有限的。他們開始重新體悟那些理論，甚至重新看待那些客觀可靠的理論語(yǔ)言。他們?cè)絹?lái)越意識(shí)到，在語(yǔ)言能夠表達(dá)的可能意義和語(yǔ)言實(shí)際表達(dá)出來(lái)的意義之間存在一個(gè)巨大的鴻溝，在準(zhǔn)確表達(dá)自己的意愿和深刻把握世界對(duì)象方面，他們所掌握的理論語(yǔ)言已經(jīng)難以勝任。對(duì)理論語(yǔ)言局限性的認(rèn)識(shí)使人們能更加理智靈活地看待語(yǔ)言在理論思維中的使用，以達(dá)到反諷和解放的效果。因此，基蘭·伊根將這一階段稱為“喻諷階段”[1]106。表1 批判的認(rèn)知中第4 點(diǎn)是基本知識(shí)懷疑，在數(shù)學(xué)教學(xué)中可以體現(xiàn)為批判性思維的培養(yǎng)。批判性思維是以一種合理的、反思的、心靈開放的方式進(jìn)行思考，從而能夠清晰、準(zhǔn)確地表達(dá)、邏輯嚴(yán)謹(jǐn)?shù)赝评?、合理地論證，以及培養(yǎng)思辨精神。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)根據(jù)情況與需要在不同的方面與環(huán)節(jié)之間做出靈活的轉(zhuǎn)換，甚至創(chuàng)設(shè)讓學(xué)生懷疑的機(jī)會(huì)，“逼”著學(xué)生突破思維定勢(shì)，走向深度學(xué)習(xí)。

例如教學(xué)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)《3 的倍數(shù)的特征》，學(xué)生通過(guò)自主探索、小組合作、交流匯報(bào)，總結(jié)出3 的倍數(shù)的特征：各位上數(shù)的和是3 的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)就是3 的倍數(shù)。教材中提出一個(gè)問(wèn)題：如果一個(gè)數(shù)不是3 的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)各位上數(shù)的和會(huì)是3 的倍數(shù)嗎？找?guī)讉€(gè)這樣的數(shù)算一算。學(xué)生找了很多不同的數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證，沒(méi)有找出一個(gè)能打破這個(gè)規(guī)律的數(shù)，所以最后一致得出結(jié)論：如果一個(gè)數(shù)不是3 的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)各位上數(shù)的和也不是3 的倍數(shù)。教師繼續(xù)追問(wèn)：對(duì)于3 的倍數(shù)的特征大家還有疑問(wèn)嗎？經(jīng)過(guò)這一問(wèn)，班里的“小小數(shù)學(xué)家們”開始思考，小手舉了起來(lái)：老師，我們都是一個(gè)一個(gè)數(shù)列舉出來(lái)的，可是我們沒(méi)有列舉完，可能后面就有一個(gè)數(shù)，就能打破這個(gè)結(jié)論呢？這個(gè)學(xué)生的假設(shè)點(diǎn)燃了全班同學(xué)思考的熱情，教師鼓勵(lì)學(xué)生像數(shù)學(xué)家解決問(wèn)題一樣：發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證、得出結(jié)論。結(jié)果學(xué)生居然真把問(wèn)題解決了。他們得出結(jié)論：假設(shè)一個(gè)數(shù)為ab，ab=10a+b=9a+a+b,從這個(gè)算式中可以推出：9a一定是3 的倍數(shù)，所以只要a+b 的和是3 的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)就是3 的倍數(shù)。

尊重學(xué)生、理解學(xué)生，給學(xué)生創(chuàng)造可以質(zhì)疑思辯的場(chǎng)域，學(xué)生就會(huì)用批判的眼光去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題，從而創(chuàng)造性的解決問(wèn)題。在這樣的學(xué)習(xí)過(guò)程中學(xué)生不再是被動(dòng)地接受，而是主動(dòng)地探究，學(xué)習(xí)的過(guò)程也不斷地從淺表學(xué)習(xí)進(jìn)入深度學(xué)習(xí)。在生動(dòng)活潑、自主開放的學(xué)習(xí)環(huán)境中，教師循著學(xué)生的思維軌跡，參與學(xué)生思維的發(fā)生、發(fā)展與表達(dá)，最終引領(lǐng)學(xué)生提升思維品質(zhì)，走向深度學(xué)習(xí)。