◎商七一 （武漢紡織大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，湖北 武漢 430000）

引言

盡管高等數(shù)學(xué)和線性代數(shù)從根本上具備一定的差異性，一般都是分開進(jìn)行的，但是這兩門學(xué)科的一些解題思想是可以融會(huì)貫通的．在高等數(shù)學(xué)解題中，由于一些題型難度較大，若學(xué)生轉(zhuǎn)變思維方式將線性代數(shù)的方法運(yùn)用到解題中，會(huì)使解題更加容易，并對(duì)于自身學(xué)習(xí)成績(jī)和思維能力的提高有著重要意義．

一、線性代數(shù)被廣泛運(yùn)用的原因

隨著我國(guó)社會(huì)經(jīng)濟(jì)轉(zhuǎn)型，我們更加重視高質(zhì)量發(fā)展和科學(xué)技術(shù)的重要性．以往多數(shù)人認(rèn)為線性代數(shù)的運(yùn)用范圍有限，但生活中的許多實(shí)際問題，以及某些科研領(lǐng)域、高等數(shù)學(xué)中比較復(fù)雜的問題都能夠運(yùn)用線性代數(shù)更加方便地解決．

其一，就是因?yàn)榇笞匀恢性S多現(xiàn)象都呈現(xiàn)出線性變化的規(guī)律．在物理學(xué)中，整個(gè)物理世界可以被劃分為常見的機(jī)械運(yùn)動(dòng)、電運(yùn)動(dòng)，還有當(dāng)前科研熱門領(lǐng)域的量子力學(xué)運(yùn)動(dòng)．我們認(rèn)識(shí)機(jī)械運(yùn)動(dòng)是從牛頓第二定律開始的，從線性代數(shù)的角度來看，這是一個(gè)基本的線性微分方程，即物體的加速度與所受外力成正比．在電運(yùn)動(dòng)中，我們一定會(huì)從電是如何產(chǎn)生的談起，麥克斯韋方程組就很好地向我們解釋了電的產(chǎn)生，這個(gè)方程組表明了電場(chǎng)強(qiáng)度是與磁場(chǎng)變化率成正比的．量子化學(xué)（量子力學(xué)）是建立在線性Hilbert 空間的理論基礎(chǔ)上的，沒有線性代數(shù)的基礎(chǔ)，就沒有機(jī)會(huì)深入了解量子化學(xué)．而如今量子化學(xué)在材料領(lǐng)域和制藥領(lǐng)域都是不可缺少的科學(xué)技術(shù)．由此可見，線性方程組在生活中、科學(xué)研究領(lǐng)域都發(fā)揮著極其重要的作用．靈活運(yùn)用線性代數(shù)解決實(shí)際問題成了當(dāng)前的熱門研究方向．

其二，隨著科學(xué)研究的不斷深入，我們發(fā)現(xiàn)事物之間的聯(lián)系是普遍多樣的，為了研究單個(gè)變量的變化規(guī)律以及多個(gè)變量之間的關(guān)系，常常引入相關(guān)的線性模型以及一些近似于線性的模型．加上計(jì)算機(jī)的快速發(fā)展，線性化的問題可以通過計(jì)算機(jī)的編程計(jì)算出來．所以通過不斷發(fā)展，線性代數(shù)成了解決這些問題的有力工具．

其三，對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)也有極為重要的作用．由于線性代數(shù)極為抽象，學(xué)生需要具備較縝密的數(shù)學(xué)邏輯，具備完善的數(shù)學(xué)分析能力和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评砟芰Γ虼?，學(xué)好線性代數(shù)對(duì)于數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)極為關(guān)鍵．

二、高校線性代數(shù)教學(xué)的現(xiàn)狀

線性代數(shù)的課程時(shí)長(zhǎng)、考試比重都無法和高等數(shù)學(xué)進(jìn)行比較，所以學(xué)生對(duì)線性代數(shù)的學(xué)習(xí)態(tài)度有所折扣．通過實(shí)地調(diào)研發(fā)現(xiàn)，我國(guó)高校對(duì)于線性代數(shù)的教學(xué)往往都是停留在書本基礎(chǔ)知識(shí)上的，教師根據(jù)課時(shí)要求和教學(xué)要求制訂相關(guān)的計(jì)劃．這種教學(xué)模式一定程度上使學(xué)生的眼光受限．教師的教學(xué)重心如果偏向于教學(xué)進(jìn)度和期末考試成績(jī)，會(huì)使學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和學(xué)習(xí)興趣降低．如果跳出思維限制，學(xué)校通過一定范圍內(nèi)的試點(diǎn)研究，將線性代數(shù)拓展到高等數(shù)學(xué)、大學(xué)物理等其他專業(yè)課上，不妨是一條更好的教學(xué)路徑．

三、學(xué)習(xí)線性代數(shù)具備的條件

線性代數(shù)的核心在于行列式，幾乎所有內(nèi)容都緊密聯(lián)系著行列式．學(xué)生需要具備完善的邏輯思維能力、抽象思維能力和豐富的聯(lián)想能力．線性代數(shù)的學(xué)習(xí)僅僅依靠死記硬背數(shù)學(xué)公式是行不通的，學(xué)生需要靈活變通，多想想怎么做、為什么這樣做、還要怎么做．因此，在日常高校線性代數(shù)的學(xué)習(xí)過程中，教師應(yīng)該更加注重對(duì)學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)和基礎(chǔ)解題能力的培養(yǎng)．與此同時(shí)，教師也應(yīng)該多融入其他知識(shí)，將線性代數(shù)靈活運(yùn)用，將理論與實(shí)際結(jié)合、線代與高數(shù)結(jié)合、數(shù)學(xué)與生活結(jié)合，才能夠更好地將知識(shí)融會(huì)貫通，讓學(xué)生更加深刻地理解線性代數(shù)．在學(xué)習(xí)線性代數(shù)的過程中，我們應(yīng)該注意以下幾點(diǎn)．

（一）具備抽象思維能力

在線性代數(shù)這門學(xué)科之中，很多知識(shí)點(diǎn)都是較為抽象的概念，例如向量、矩陣和特征值等概念都需要學(xué)生利用抽象思維去理解才能夠體會(huì)其含義．同時(shí)，各知識(shí)點(diǎn)之間也存在著抽象的聯(lián)系，需要學(xué)生深刻地掌握各知識(shí)點(diǎn)才能進(jìn)一步探究?jī)烧咧g的聯(lián)系．大學(xué)線性代數(shù)學(xué)科知識(shí)的學(xué)習(xí)不同于初高中的知識(shí)，其難度是較大的，不具備一定的數(shù)學(xué)知識(shí)基礎(chǔ)和抽象思維能力是難以跟上課程進(jìn)度的．教師在教學(xué)線性代數(shù)時(shí)，要將其當(dāng)作一種數(shù)學(xué)工具來進(jìn)行教學(xué)，要求學(xué)生在課前對(duì)課本進(jìn)行預(yù)習(xí)理解，帶著疑問來聽課，對(duì)每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)都應(yīng)該做到詳盡講解，并大量地利用工程技術(shù)的范例，將知識(shí)點(diǎn)糅合在實(shí)際運(yùn)用當(dāng)中，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)．這種理論結(jié)合實(shí)際的教學(xué)方法能夠?qū)⒊橄蟮母拍罡泳唧w化并深刻體現(xiàn)線性代數(shù)作為工具的使用．抽象思維能力是線性代數(shù)學(xué)習(xí)的一大重要條件．

（二）具備邏輯思維能力

邏輯思維能力的訓(xùn)練是貫穿整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的，在其他學(xué)科以及生活中也有著廣泛的運(yùn)用．線性代數(shù)是一門邏輯思維能力要求較高的學(xué)科．在線性代數(shù)的教學(xué)中，知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)應(yīng)該是環(huán)環(huán)相扣、由淺入深的．遞進(jìn)式的知識(shí)點(diǎn)能夠幫助學(xué)生更好地理解整合所學(xué)內(nèi)容，鍛煉學(xué)生的邏輯思維能力．這種環(huán)環(huán)相扣的教學(xué)方式對(duì)于課堂效率的提高也有著極大的輔助作用．在線性代數(shù)的學(xué)習(xí)中具備一定的邏輯能力是必要條件，搭建線性代數(shù)的學(xué)習(xí)框架知識(shí)結(jié)構(gòu)，將知識(shí)點(diǎn)串接起來，才能更好地將線性代數(shù)運(yùn)用到解題之中．線性代數(shù)的學(xué)習(xí)能夠進(jìn)一步鍛煉學(xué)生的邏輯思維能力，使得學(xué)生的邏輯思維能力達(dá)到一個(gè)新的臺(tái)階，讓學(xué)生在解題的過程中更好地挖掘出重要內(nèi)容．

（三）具備其他能力

數(shù)學(xué)知識(shí)是枯燥和無趣的，特別是像高等數(shù)學(xué)，其知識(shí)的理論性極強(qiáng)，這就不僅需要學(xué)生具備抽象思維能力和邏輯思維能力，還需要學(xué)生能夠在枯燥的線性代數(shù)概念中探究出趣味性，具備良好的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．學(xué)生應(yīng)在課前進(jìn)行預(yù)習(xí)，在課上認(rèn)真聽講，在課后進(jìn)行知識(shí)脈絡(luò)的整理和練習(xí)，達(dá)到對(duì)知識(shí)的靈活運(yùn)用．因此，對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣、良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣以及對(duì)知識(shí)的運(yùn)用能力也是學(xué)習(xí)線性代數(shù)的一些必要條件．

四、線性代數(shù)作為解題工具的核心內(nèi)容

線性代數(shù)學(xué)習(xí)的核心內(nèi)容是線性方程組，其解題的方法和依據(jù)也是來于知識(shí)點(diǎn)矩陣以及矩陣的初等變換．矩陣的初等變換中也包含著相當(dāng)多的內(nèi)容，但知識(shí)點(diǎn)的難易程度是有區(qū)別的．因此，在進(jìn)行核心解題方法的教學(xué)時(shí)，教師要把握知識(shí)點(diǎn)的難易程度，由易到難地層層深入．同時(shí)，學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中要對(duì)矩陣的初等變換知識(shí)給予充分的重視，因?yàn)橹挥性趯W(xué)習(xí)時(shí)跟上步伐理解，在訓(xùn)練中將知識(shí)熟練運(yùn)用，強(qiáng)化運(yùn)算，才能夠在實(shí)際運(yùn)用線性代數(shù)這一工具進(jìn)行解題時(shí)，熟練把握．線性代數(shù)作為數(shù)學(xué)解題工具，在計(jì)算機(jī)解題中也有著很多的運(yùn)用，數(shù)學(xué)編程軟件Matlab 在現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究中的應(yīng)用非常廣泛，同時(shí)學(xué)生也可以利用這一軟件進(jìn)行解題，將高等數(shù)學(xué)的知識(shí)轉(zhuǎn)化為線性方程組的知識(shí)．學(xué)生利用軟件解題能夠提高正確度和效率．從以上種種可以發(fā)現(xiàn)，線性代數(shù)是十分重要的數(shù)學(xué)工具．

五、線性代數(shù)方法作為解題工具的學(xué)習(xí)方法

線性代數(shù)是數(shù)學(xué)中極為重要的一個(gè)分支，主要研究向量以及線性變化，能夠解決生活中的許多問題．所以在日常授課過程中，教師應(yīng)該注重教學(xué)方法，注重對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的講解，引導(dǎo)學(xué)生掌握正確的線性代數(shù)學(xué)習(xí)方法，逐漸引導(dǎo)學(xué)生用線性代數(shù)的知識(shí)解決高等數(shù)學(xué)以及其他生活中的問題．

（一）重視基礎(chǔ)知識(shí)的訓(xùn)練

基礎(chǔ)知識(shí)一直都是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重中之重，“基礎(chǔ)不牢，地動(dòng)山搖”．線性代數(shù)的學(xué)習(xí)更是如此．線性代數(shù)是一個(gè)基本概念較多、公式復(fù)雜多變的學(xué)科．線性代數(shù)的知識(shí)相對(duì)于其他許多數(shù)學(xué)知識(shí)，概念較抽象，解題思路更為復(fù)雜，但是對(duì)線性代數(shù)概念的理解是學(xué)好線性代數(shù)的重要前提．學(xué)生只有充分地理解了概念以及概念之間的聯(lián)系，才能夠在解題時(shí)以較快的速度找尋出解題思路．線性代數(shù)概念知識(shí)中的很多說法，例如解方程的冪等問題都是高中階段就接觸過的知識(shí)，但是這些概念又是在以往學(xué)習(xí)的知識(shí)上進(jìn)行了變形和深入，需要學(xué)生有著良好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)．學(xué)生只有具備了一些基礎(chǔ)性的理論知識(shí)才能在這個(gè)基礎(chǔ)上進(jìn)行更大難度的學(xué)習(xí)．重難點(diǎn)知識(shí)都是在基礎(chǔ)知識(shí)上的升華，學(xué)生需要自己組合、靈活運(yùn)用，只有熟練地把握基礎(chǔ)知識(shí)，在解答難題時(shí)才能信手拈來．學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中將知識(shí)進(jìn)行整合梳理，加強(qiáng)對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的探索學(xué)習(xí)是學(xué)習(xí)線性代數(shù)方法的重要保障．

例如，運(yùn)用線性代數(shù)中二次型理論求高等數(shù)學(xué)極值問題中未知數(shù)這類問題時(shí)，如果采用高等數(shù)學(xué)的方法，解題的計(jì)算量將會(huì)較大，稍有不注意就有可能算錯(cuò)，但是采用二次型理論建立矩陣進(jìn)行求解，先求出矩陣的特征值，再根據(jù)特征值對(duì)應(yīng)的特征向量能夠較快地求出未知數(shù)的值．這類問題的難度并不大，其核心就是基礎(chǔ)知識(shí)的運(yùn)用，因此重視基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)，加強(qiáng)對(duì)其運(yùn)用的訓(xùn)練能夠極大地縮短高等數(shù)學(xué)解題的時(shí)間，提高學(xué)習(xí)效率．

（二）注重各知識(shí)點(diǎn)之間邏輯的學(xué)習(xí)，熟練融合運(yùn)用

線性代數(shù)的知識(shí)點(diǎn)多且具有一定的復(fù)雜性，要想將線性代數(shù)的知識(shí)學(xué)好并將其運(yùn)用到高等數(shù)學(xué)的解題中就需要有著較好的知識(shí)整合能力，將各知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)組合成完備的知識(shí)體系，才能夠發(fā)掘各知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系．在這個(gè)過程中，學(xué)生能夠很好地提高知識(shí)梳理能力、知識(shí)綜合分析能力與理解能力．在線性代數(shù)中，有些知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)不是單一的，而是必須融合以往學(xué)習(xí)的知識(shí)點(diǎn)才能理解掌握的，這就深刻體現(xiàn)了知識(shí)點(diǎn)之間聯(lián)系的緊密性和復(fù)雜性．學(xué)生要想將線性代數(shù)的方法運(yùn)用到高等數(shù)學(xué)的解題中就需要對(duì)線性代數(shù)的知識(shí)進(jìn)行整體的把握，在實(shí)際訓(xùn)練中多加練習(xí)．解題方法的靈活處理是學(xué)習(xí)的關(guān)鍵，注重各知識(shí)點(diǎn)之間的邏輯學(xué)習(xí)，掌握各知識(shí)點(diǎn)之間的轉(zhuǎn)換規(guī)律，才能夠?yàn)榻忸}提供更好的思路，同時(shí)為提升學(xué)生的學(xué)習(xí)效率打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)．

例如，運(yùn)用線性代數(shù)中正交變換判斷二次曲面的類型這類問題中，如果采用高等數(shù)學(xué)的知識(shí)，也需要建立直角坐標(biāo)來消除中間項(xiàng)進(jìn)行確認(rèn)．這樣的解題方法會(huì)增大題目的難度，同時(shí)讓學(xué)生不易理解，熟練掌握的難度較大．在進(jìn)行這類問題的求解時(shí)運(yùn)用正交變換能夠使夾角和長(zhǎng)度保持不變，圖形也不會(huì)發(fā)生變化．根據(jù)方程式化簡(jiǎn)的結(jié)果判斷圖形，具體步驟如下，將方程式改寫為函數(shù)的形式，求出其二次型矩陣進(jìn)而得出特征值：寫出各特征值對(duì)應(yīng)的單位特征向量，進(jìn)行計(jì)算后就可以得出二次曲面方程的標(biāo)準(zhǔn)方程，這樣就能夠直觀地判斷二次曲面的類型了．綜上所述可以觀察到，這類問題的解答中運(yùn)用了二次型理論以及正交變換，二者的聯(lián)合解題使得解法更為直觀易懂．因此注重各知識(shí)點(diǎn)之間的邏輯學(xué)習(xí)，熟悉融合運(yùn)用，對(duì)于邏輯思維能力的提升有較大的幫助．

（三）注重教師的科學(xué)引導(dǎo)作用

鑒于線性代數(shù)知識(shí)的復(fù)雜性，學(xué)生的自主學(xué)習(xí)是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，很多重難點(diǎn)的地方需要教師的點(diǎn)撥才能夠達(dá)到更好的學(xué)習(xí)效果．首先，教師需要做好備課工作，注重基礎(chǔ)知識(shí)的講解，在教學(xué)的過程中根據(jù)實(shí)際案例或者概念知識(shí)的背景來講解，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的印象，要求學(xué)生通過理解的方式對(duì)知識(shí)進(jìn)行記憶，而不是死記硬背．其次，為了更高效地進(jìn)行線性代數(shù)知識(shí)的講解，教師需要營(yíng)造一個(gè)和諧的學(xué)習(xí)環(huán)境．在目前的大學(xué)教育中，學(xué)習(xí)環(huán)境有著極大的提升空間，學(xué)校的制度缺乏靈活性，不夠人性化，學(xué)習(xí)風(fēng)氣以及學(xué)習(xí)氛圍比較浮躁．因此學(xué)校需要根據(jù)學(xué)校的實(shí)際情況，進(jìn)行系統(tǒng)科學(xué)的分析，改善不良的風(fēng)氣，但不能采用“一刀切”，要形成完善、科學(xué)的人性化學(xué)生管理機(jī)制，不斷完善學(xué)校的各種基礎(chǔ)設(shè)施等，讓學(xué)生能夠在更加舒適的環(huán)境中學(xué)習(xí)生活．除此之外，線性代數(shù)課堂趣味性的提升可以吸引學(xué)生的注意力，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)的興趣．最后，教師需要對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況進(jìn)行整體的把握，在課堂內(nèi)外積極給學(xué)生進(jìn)行答疑，幫助學(xué)生解決線性代數(shù)學(xué)習(xí)過程中存在的疑問，鞏固線性代數(shù)知識(shí)的教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生更高效地學(xué)習(xí)線性代數(shù)，并將其運(yùn)用到高等數(shù)學(xué)的解題之中．

（四）將線性代數(shù)融入日常生活

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)這門學(xué)科，不應(yīng)該僅僅局限于對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)．學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的是解決生活生產(chǎn)中的問題．如果僅僅局限于書本知識(shí)，沒有將線性代數(shù)運(yùn)用到實(shí)際生活中，就難以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，有悖于數(shù)學(xué)教學(xué)的初衷．所以相關(guān)教師應(yīng)該革新教學(xué)方法，將枯燥的書本公式轉(zhuǎn)化為解決生活生產(chǎn)中難題的得力助手．例如，建筑工程中材料用量的計(jì)算需要線性代數(shù)，天氣預(yù)報(bào)也會(huì)運(yùn)用線性代數(shù)進(jìn)行建模分析，高等數(shù)學(xué)的諸多問題都與線性代數(shù)相互貫通，等等．這些實(shí)際生活中常見的事物都能夠用線性代數(shù)進(jìn)行計(jì)算分析．如果教師教會(huì)學(xué)生應(yīng)用線性代數(shù)解決實(shí)際問題的方法，一定能夠有效地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，在鍛煉學(xué)生線性代數(shù)計(jì)算能力、理解基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，滿足當(dāng)代多元化教學(xué)、素質(zhì)育人的要求．

結(jié)語

高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)難度是較大的，保證線性代數(shù)方法在高等數(shù)學(xué)中的運(yùn)用教學(xué)需要學(xué)生和教師兩方的共同努力．在學(xué)習(xí)的過程中，學(xué)生需要端正學(xué)習(xí)態(tài)度，注重線性代數(shù)知識(shí)框架的搭建．教師需要引導(dǎo)學(xué)生，幫助學(xué)生鞏固理解重難點(diǎn)知識(shí)的作用，提高學(xué)生對(duì)知識(shí)的綜合運(yùn)用能力．