文岐云，薛 郁**，岑炳玲，唐 媛，盤 薇

(1.廣西大學物理科學與工程技術(shù)學院,廣西南寧 530004；2.廣西醫(yī)科大學,廣西南寧 530021)

當前社會經(jīng)濟有了巨大的發(fā)展，但人們出行時遇到的交通擁堵問題卻日益嚴峻。政府、社會投入了大量資金，期望緩解交通擁堵，然而社會汽車保有量的增長速度遠遠快于道路建設(shè)速度，如何采用有效、科學的方案緩解交通擁堵，是當前人們面臨的一個迫切問題[1]。在過去幾十年里，研究者們從不同的角度提出了各種交通模型，如格子流體力學模型、元胞自動機模型、跟馳模型和耦合映射模型等[2-14]。在這些交通模型中，格子流體力學模型由于具有宏觀離散性和計算的高效性，被人們廣泛研究。1995年Bando等[15]提出了最優(yōu)速度模型(OV模型)，此后，許多學者對OV模型進行了改進研究，在原有模型中加入一些物理效應或交通因素等[3,16]。Nagatani[17]在1998年首次提出了格子流體力學模型，該模型基于交通流流體動力學模型，從宏觀上描述了連續(xù)車流之間的相互作用。運用非線性分析，得到在臨界點附近的用mKdV方程描述的交通流擁堵和交通密度波的傳播。1999年，Konishi等[18]在離散時間的OV模型的基礎(chǔ)上，首次提出了耦合映射(CM)模型中的延遲反饋控制(DFC)方法，通過理論分析和數(shù)值模擬，說明上述方法對控制交通擁堵有抑制作用?；贜agatani和Konishi等的工作，許多研究者考慮不同的重要交通情況和控制參數(shù)，提出了各種控制模型[19-25]，如考慮向后看效應[26]、司機的延遲反應[27,28]、密度差效應[29]、中斷概率影響[11]、上坡和下坡道路[30]、基于非車道格子流體力學模型[31]等。此外，唐鐵橋等[32]提出了改進的雙車道格子流體力學模型。Ge等[27]考慮駕駛員的反應延遲，得到了格子流體力學模型中的依賴于時間的Ginzburg-Landau (TDGL)方程，揭示了交通擁擠與交通流相變之間的關(guān)系。Jin等[33]考慮延遲反饋控制，研究了OV模型中交通流的穩(wěn)定性。此外，由于行人流和交通流具有許多共同的特征，Tian等[34]在Nagatani的二維交通流模型的基礎(chǔ)上提出了一種二維雙向行人流。Cen等[35]提出了考慮延遲時間連續(xù)累積效應的雙向行人流的二維格子流體力學模型。2015年，Ge等[36]在格子流體力學模型中引入了t時刻格子位置j與j+1的流量差作為反饋增益。Redhu等[37]考慮向前看效應，提出了多相的格子流體力學模型。魏麒等[38]研究了斜坡道路考慮平均流量差預期效應的格子流體力學模型。本研究根據(jù)Nagatani的格子流體力學模型，考慮把下游平均優(yōu)化車流量與當前延遲車流量之間的差作為抑制交通阻塞的反饋控制項，建立控制方程。利用線性穩(wěn)定性分析和非線性分析，推導出穩(wěn)定條件以及描述密度波的mKdV方程的解，通過數(shù)值模擬驗證理論分析結(jié)果。通過加入反饋控制項，研究反饋增益大小與反應時間長短對交通流擁堵的抑制作用。

1 模型建立

1998年Nagatani[17]首次提出了格子流體力學模型，方程描述如下。

連續(xù)性方程：

?tρj+ρ0(qj-qj-1)=0，

(1)

動力學方程：

?tqj=aρ0V(ρj+1(t))-aqj，

(2)

其中，下標j表示格子位置；qj=ρjvj代表j格子位置時的交通流量；ρj和vj分別表示t時刻在j格子位置處的交通密度和瞬時速度；ρ0為總的平均密度；參量a表示交通流敏感系數(shù)，是延遲時間τ的倒數(shù)；取交通流優(yōu)化速度函數(shù)V(ρ)如下：

(3)

其中，Vmax和ρc分別表示最大速度和安全臨界密度。該函數(shù)在ρ=ρc=ρ0處有一個上界和一個拐點。

在方程(2)中，j+1位置的最優(yōu)流量與j位置的瞬時流量之差決定了j位置處交通流量的變化，表明交通流的流動變化由下游交通流量與當前位置流量來決定。所以，為了揭示下游車流對當前位置交通流演化的影響，在格子流體力學方程的基礎(chǔ)上，把在反應時間內(nèi)下游平均優(yōu)化車流量與當前延遲車流量的差作為延遲反饋控制項，得到以下控制方程：

?tρj+ρ0(qj-qj-1)=0，

(4)

?tqj(t)=aρ0V(ρj+1(t))-aqj(t)+

(5)

其中，td為反應時間，參數(shù)λ為延遲反饋增益。為了抑制交通擁堵的產(chǎn)生，在式(5)中考慮把下游最優(yōu)車流量的平均累積效應與當前延遲車流量的差作為延遲反饋控制。當λ=0時，該模型與Nagatani的模型一致。

利用梯度積分公式對式(5)中的積分進行簡化，并結(jié)合式(4)和式(5)消去瞬時速度，得到密度方程：

(6)

2 線性穩(wěn)定性分析

(7)

(8)

sPj+1(s)-ρj+1(0)+ρ0(Qj+1(s)-Qj(s))=0，

(9)

(10)

(11)

因此，傳遞函數(shù)為

(12)

其中ds是特征多項式，

(13)

|G(jw)|=

(14)

通過解方程(14)，得穩(wěn)定條件：

(15)

圖1反映了傳遞函數(shù)在不同反饋增益λ和反應時間td值的振幅變化。在圖1(a)中，反應時間td的值保持不變，改變反饋增益λ的值；而在圖1(b)中，反饋增益λ的值保持不變，改變反應時間td的值。從圖1可以看出，傳遞函數(shù)的幅值基本都小于1，說明增加反饋增益λ和反應時間td可以有效提高交通系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

圖1 不同反饋增益λ和反應時間td值的伯德圖

3 非線性分析

為了研究在有限擾動作用下產(chǎn)生交通擁堵形成的密度波，采用非線性分析的約化攝動法研究在臨界點附近交通密度波所滿足的方程，并對方程進行求解。在臨界點(ρc,ac)附近，對空間慢變量X和時間慢變量T作變換如下：

X=ε(j+bt),T=ε3t，

(16)

其中,j和t分別表示空間變量和時間變量；參數(shù)ε的取值范圍為0<ε?1；b是待定系數(shù)；在j位置處的密度為

ρj(t)=ρc+εR(X,T)。

(17)

將方程(16)和(17)代入密度方程(6)中，利用泰勒級數(shù)展開，展開到ε的五階，得到非線性偏微分方程如下：

(18)

(19)

為了得到標準的mKdV方程，采用以下變換：

(20)

因此，方程(19)可寫為

(21)

(22)

其中R′0(X,T′)滿足可解性條件：

(23)

通過積分化簡，可得傳播速度c的值：

(24)

因此，得到mKdV方程(20)的扭結(jié)-反扭結(jié)波的解為

(25)

扭結(jié)-反扭結(jié)波的振幅A為

(26)

扭結(jié)-反扭結(jié)波的解代表低密度下的自由流和高密度下的堵塞相組成的共存相，其共存曲線可表示為

ρj=ρc±A，

(27)

其中,ρj=ρc-A表示交通階段中的自由流；ρj=ρc+A表示交通階段中的堵塞相。

圖2為交通控制方程中密度敏感度(ρ,a)相圖。每個圖中都有3對曲線，實線為中性穩(wěn)定線，虛線為共存曲線。根據(jù)交通流穩(wěn)定性條件，將相圖劃分為3個區(qū)域：共存曲線以上的穩(wěn)定區(qū)，中性穩(wěn)定線以下的不穩(wěn)定區(qū)，以及共存曲線與中性穩(wěn)定線之間的亞穩(wěn)定區(qū)。由圖2可以看出，中性穩(wěn)定線和共存曲線隨著反饋增益λ和反應時間td值的增加而下降，表明增加反饋增益λ和反應時間td可以有效地抑制交通擁堵產(chǎn)生。

圖2 密度敏感度(ρ,a)相圖

4 數(shù)值模擬

采用周期邊界條件進行數(shù)值模擬，驗證線性穩(wěn)定性分析和非線性分析的結(jié)論。為了便于模擬，對方程(6)應用差分方法進行離散，得到差分方程如下：

ρj(t+2Δt)=2ρj(t+Δt)-ρj(t)-

(28)

數(shù)值模擬考慮道路離散格子單元數(shù)N=100，交通流初始狀態(tài)均勻，密度為ρ0=ρc=0.25，敏感度系數(shù)a=1.65，最大速度Vmax=2，模擬的時間步長Δt=0.1，交通流的初始擾動設(shè)置為

其中,w=1,2,…,5表示初始的5個時間步長。

數(shù)值模擬結(jié)果如圖3、圖4和圖5所示。圖3顯示了密度隨時間變化的情況，從圖中可以清楚地觀察到扭結(jié)-反扭結(jié)密度波。在圖3(a)中，當反饋增益λ=0.0和反應時間td=0.0時，密度波的振幅急劇振蕩。對比圖3(b)、(c)和對比圖3(c)、(d)、(e)可知，密度波振幅波動隨反饋增益λ和反應時間td的增加而減小，有利于交通流的穩(wěn)定。

圖3 不同反饋增益λ和反應時間td下的3個格點處的密度-時間圖

圖4為密度波的時空演化圖。當不考慮反饋增益λ和反應時間td時，出現(xiàn)了扭結(jié)-反扭結(jié)的交通波現(xiàn)象，且波動幅度較大。當引入反饋增益λ和反應時間td時，密度波的波動減小。由于交通振蕩的幅度與車輛系統(tǒng)的穩(wěn)定性成正比，因此可知反饋增益λ和反應時間td的增加有利于車輛交通系統(tǒng)的穩(wěn)定。

圖4 不同反饋增益λ和反應時間td下密度波的時空演化圖

在不同反饋增益λ和反應時間td下，縱坐標為ρ25(t)-ρ25(t-1)與橫坐標為ρ25(t)相空間密度差的散點圖如圖5所示。在不考慮反饋增益λ和反應時間td的情況下，圖5(a)表現(xiàn)出明顯的滯后現(xiàn)象和混沌行為，可以看出交通系統(tǒng)趨于不穩(wěn)定。對比圖5(b)、(c)、(d)和(e)可知，隨著反饋增益λ和反應時間td的增加，滯后曲線逐漸縮小。在圖5(e)中，滯后曲線縮小成一個點，說明交通擁堵得到了有效緩解。

圖5 不同反饋增益λ和反應時間td在site-25處的散點圖

5 結(jié)論

本研究引入下游平均優(yōu)化車流量與當前延遲車流量的差作為延遲反饋控制，提出了具有延遲反饋控制的交通流格子流體力學模型。通過線性穩(wěn)定性分析，得到了傳遞函數(shù)和穩(wěn)定條件；通過非線性分析得到了mKdV方程的扭結(jié)-反扭結(jié)密度波解。結(jié)果表明，反饋增益λ和反應時間td能有效緩解交通擁堵。為了驗證理論分析，進行數(shù)值模擬，詳細研究了在反饋控制作用下的密度-時間圖和密度波的時空演化圖。交通密度波的振蕩減小表明反饋控制實現(xiàn)了抑制交通堵塞的控制策略。通過分析瞬時的交通密度差變化的散點圖，發(fā)現(xiàn)在反饋增益λ=0時存在交通滯后和混沌現(xiàn)象。當加入反饋控制時，密度與密度差的空間散點圖縮小為一個狹窄的有限區(qū)域，形成一個具有一定周期的極限環(huán)的穩(wěn)態(tài)。交通滯后曲線的收縮表明交通系統(tǒng)的穩(wěn)定性得到增強，有效地抑制了交通擁堵。仿真結(jié)果與理論分析結(jié)果一致，說明考慮下游平均優(yōu)化車流量與當前延遲車流量的差作為反饋控制，有助于提高對交通系統(tǒng)的控制。