○王文英

“會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界”是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)（2022年版）》）的課程目標(biāo)。如何將“三會(huì)”素養(yǎng)落地是數(shù)學(xué)教學(xué)研究的主要內(nèi)容，本文擬就培養(yǎng)“數(shù)學(xué)的眼光”談?wù)勛约旱乃伎寂c實(shí)踐。

一、如何理解“數(shù)學(xué)的眼光”

什么是“數(shù)學(xué)的眼光”？《課標(biāo)（2022年版）》指出：數(shù)學(xué)為人們提供了一種認(rèn)識(shí)與探究現(xiàn)實(shí)世界的觀察方式。簡(jiǎn)而言之，“數(shù)學(xué)的眼光”就是數(shù)學(xué)的觀察方式。觀察是有目的、有計(jì)劃的知覺(jué)活動(dòng)，是以視覺(jué)為主，包含著積極的思維活動(dòng)，融其他感覺(jué)為一體的綜合感知。史寧中教授認(rèn)為，學(xué)過(guò)數(shù)學(xué)的人看世界會(huì)抽象，會(huì)一般地看問(wèn)題，數(shù)學(xué)的眼光最主要表現(xiàn)為抽象。

抽象是從許多事物中舍棄個(gè)別的、非本質(zhì)屬性，得到共同的、本質(zhì)屬性的思維過(guò)程，是形成概念的必要手段?！墩n標(biāo)（2022年版）》指出，數(shù)學(xué)中的抽象主要是指對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象，通過(guò)抽象得到數(shù)學(xué)的研究對(duì)象，形成數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、法則和方法。因此，練就“數(shù)學(xué)的眼光”應(yīng)著力培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力。

數(shù)學(xué)抽象主要包括兩個(gè)方面：數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系。這就意味著，數(shù)學(xué)抽象不僅僅要抽象出數(shù)學(xué)所要研究的對(duì)象，還要抽象出這些研究對(duì)象之間的關(guān)系。數(shù)學(xué)抽象可以理解為過(guò)程，即如何將數(shù)學(xué)的研究對(duì)象從現(xiàn)實(shí)世界的情境中層層剝離，抽象出數(shù)學(xué)的研究對(duì)象及其關(guān)系的過(guò)程。如通過(guò)觀察斜拉橋的鋼索、人字梁、自行車(chē)三腳架，忽略其顏色、材料質(zhì)地等，將其外形畫(huà)下，則都是三角形。再進(jìn)一步觀察，發(fā)現(xiàn)都是三角形但大小不同，其大小與底和高的長(zhǎng)短有關(guān)。這一系列的過(guò)程是抽象。

數(shù)學(xué)抽象還可以理解為結(jié)果，即如何用形式化的語(yǔ)言表征數(shù)學(xué)對(duì)象及事物之間簡(jiǎn)單的聯(lián)系與規(guī)律。如天平保持平衡，通過(guò)觀察，用3x=150 這個(gè)數(shù)學(xué)的式子表示相等關(guān)系，這也是抽象。

數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程應(yīng)該是幫助學(xué)生不斷進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程，在抽象的過(guò)程中，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，了解知識(shí)間的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)事物之間的規(guī)律，并且養(yǎng)成從數(shù)學(xué)的角度觀察現(xiàn)實(shí)世界的意識(shí)和習(xí)慣。如果學(xué)生擁有這樣的意識(shí)和能力，那就具有“數(shù)學(xué)的眼光”。

二、如何練就“數(shù)學(xué)的眼光”

1.培養(yǎng)數(shù)學(xué)觀察的意識(shí)。

讓學(xué)生養(yǎng)成從數(shù)學(xué)角度觀察現(xiàn)實(shí)世界的意識(shí)與習(xí)慣，是練就“數(shù)學(xué)的眼光”的關(guān)鍵。

第一，讓學(xué)生明確“觀察什么”。數(shù)學(xué)觀察不同于語(yǔ)文、美術(shù)等學(xué)科，主要聚焦的是數(shù)量和數(shù)量關(guān)系、圖形和圖形關(guān)系。從一年級(jí)起，教師要有意識(shí)地加以引導(dǎo)。比如一年級(jí)上冊(cè)教材，一開(kāi)始就安排了“數(shù)一數(shù)”“比一比”“分一分”“認(rèn)位置”四個(gè)內(nèi)容。通過(guò)教學(xué)，不僅要讓學(xué)生學(xué)會(huì)怎么數(shù)、怎么比、怎么分、怎么描述位置，更重要的是讓學(xué)生知道，“數(shù)”“比”“分”以及“位置”都是數(shù)學(xué)研究的內(nèi)容，可以從“數(shù)量有多少”“數(shù)量之間有什么關(guān)系”“怎樣確定標(biāo)準(zhǔn)去分類(lèi)”“如何描述物體的位置”這些角度去觀察現(xiàn)實(shí)世界的客觀現(xiàn)象，這些角度既是數(shù)學(xué)觀察的角度，得到的也是數(shù)學(xué)的信息。同時(shí)，隨著年級(jí)的升高，需讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)觀察的其他角度，了解哪些信息是屬于數(shù)學(xué)的信息。

第二，讓學(xué)生知道“怎么觀察”。如何觀察，包含兩個(gè)方面。一是從哪里著眼。一般來(lái)說(shuō)，是先整體后局部。無(wú)論是主題圖還是現(xiàn)實(shí)情境，整體觀察，初步了解其中包含的數(shù)學(xué)信息，然后局部觀察，具體觀察相應(yīng)的對(duì)象。二是觀察時(shí)做什么。觀察不僅僅是看，還需要想，需要寫(xiě)。要讓學(xué)生養(yǎng)成邊觀察邊思考、邊觀察邊記錄的習(xí)慣，及時(shí)將看到的與已學(xué)的知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，將看到的與想到的記錄下來(lái)。

如這道題（圖1）：涂色部分的面積比空白部分的面積大16平方厘米，空白部分的面積是多少？

圖1

從常規(guī)角度思考，要求空白部分面積需將長(zhǎng)方形面積減去涂色部分的梯形面積，顯然，這里的梯形面積很難求出。然而，一個(gè)學(xué)生在觀察時(shí)，將題意用線段圖表示出來(lái)（圖2），就將問(wèn)題化為相對(duì)簡(jiǎn)單的和差問(wèn)題，用（40-16）÷2 就使問(wèn)題得以解決。

圖2

第三，需要不斷促使學(xué)生觀察進(jìn)階。從一開(kāi)始觀察數(shù)量的多少到關(guān)注數(shù)量之間的關(guān)系，從知道圖形是什么到清楚圖形之間的關(guān)系，教師需要根據(jù)學(xué)生對(duì)知識(shí)掌握的情況對(duì)觀察的視角與內(nèi)容作更高的要求。如在認(rèn)識(shí)乘法后，要求學(xué)生從“幾個(gè)幾”的角度去觀察并描述；在認(rèn)識(shí)數(shù)級(jí)后，引導(dǎo)學(xué)生看到大數(shù)目就會(huì)自動(dòng)分級(jí)，分析億級(jí)、萬(wàn)級(jí)和個(gè)級(jí)上的數(shù)分別是多少。從模糊的整體到清晰的局部，再到相對(duì)精準(zhǔn)的整體，說(shuō)明學(xué)生觀察的視角和能力在不斷進(jìn)階。

2.教會(huì)數(shù)學(xué)抽象的方法。

會(huì)觀察是前提，將觀察的結(jié)果用形式化的方式表示出來(lái)，就實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象，這是練就“數(shù)學(xué)的眼光”的重要體現(xiàn)。

第一，引導(dǎo)比較。抽象需要引導(dǎo)學(xué)生抽取事物的本質(zhì)特征，舍棄其非本質(zhì)特征。需要教師有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生對(duì)不同事物進(jìn)行比較。如教學(xué)《認(rèn)識(shí)圓柱體》，教師可以出示生活中的一些圓柱形的物體，如茶葉罐、蚊香盒、鉛筆等，引導(dǎo)學(xué)生觀察并思考：這些物體的形狀是什么？它們都是不同的物體，為何都稱之為圓柱？這些問(wèn)題驅(qū)使學(xué)生發(fā)現(xiàn)不同圓柱物體的本質(zhì)特征，即“上下一樣粗”“上下是圓形，大小相等，中間是個(gè)曲面”。當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)其相同點(diǎn)之后，教師繼續(xù)追問(wèn)：“它們都是圓柱體，有不同之處嗎？”學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)，同是圓柱，但因高矮、胖瘦不同，其大小不同。透過(guò)現(xiàn)象看到本質(zhì)，這是抽象的關(guān)鍵一步，顯然，通過(guò)比較能夠達(dá)成。

第二，適當(dāng)表征。當(dāng)學(xué)生成功抽取事物的本質(zhì)屬性之后，教師要鼓勵(lì)學(xué)生用形式化的方式將之表示出來(lái)。如上例，教師可以這樣小結(jié)并提問(wèn)：“盡管這些圓柱粗細(xì)、高矮各不相同，但它們有本質(zhì)的相同之處，能否嘗試畫(huà)出一個(gè)圓柱表示它們的相同之處呢？”史寧中教授認(rèn)為，幾何抽象的本質(zhì)就是把三維的物體用二維圖形表現(xiàn)出來(lái)。讓學(xué)生將自己觀察發(fā)現(xiàn)的結(jié)果在紙上畫(huà)出來(lái)，畫(huà)的過(guò)程實(shí)際就是將圓柱形物體抽象成圓柱形的過(guò)程。

第三，賦予意義。當(dāng)抽取出圓柱形之后，教師還需要帶著學(xué)生向前一步，即給出不同大小的圓柱形，讓學(xué)生想象可能表示生活中的哪個(gè)物體。根據(jù)圖形想物體，這一逆向的觀察思考對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念非常有益。教學(xué)中，很多教師容易忽略這一環(huán)節(jié)，往往表征后被認(rèn)為完成了抽象，殊不知，當(dāng)抽象之后賦予其現(xiàn)實(shí)意義，這樣的抽象才更完整。

3.創(chuàng)造應(yīng)用數(shù)學(xué)的機(jī)會(huì)。

數(shù)學(xué)與生活是密切聯(lián)系的，引導(dǎo)學(xué)生在日常生活及其他學(xué)科中發(fā)現(xiàn)并研究數(shù)學(xué)問(wèn)題，是練就“數(shù)學(xué)的眼光”的重要途徑。

可以把生活情境引入數(shù)學(xué)課堂。首先，將生活情境引入課堂發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題。如一位教師創(chuàng)設(shè)了這樣的情境：茫茫大海上，一艘輪船出了事故，需要緊急救援。作為搜救艇艇長(zhǎng)，了解哪些信息后才能施救？學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)，艇長(zhǎng)必須準(zhǔn)確地了解輪船的位置，即“在什么方向，距離多少”。其次，將生活情境引入課堂幫助理解數(shù)學(xué)知識(shí)?！鞍雮€(gè)月前，媽媽買(mǎi)了一箱蘋(píng)果共20 個(gè)，第一個(gè)星期全家人吃了6 個(gè)，第二個(gè)星期全家人吃了8 個(gè)，現(xiàn)在還剩多少個(gè)？”用這個(gè)生活實(shí)例幫助學(xué)生理解減法的性質(zhì)。再次，還可用生活情境檢驗(yàn)學(xué)生知識(shí)掌握的情況。如教學(xué)《認(rèn)識(shí)圓》后，教師設(shè)計(jì)問(wèn)題：媽媽準(zhǔn)備過(guò)年全家聚餐，是選擇用條形桌、八仙桌還是圓桌？請(qǐng)說(shuō)明理由。以此來(lái)檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)圓的特征的掌握程度。

以主題學(xué)習(xí)探究現(xiàn)實(shí)世界。在教學(xué)中，教師可以通過(guò)組織主題學(xué)習(xí)，給學(xué)生提供應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)探究現(xiàn)實(shí)世界的機(jī)會(huì)。如將常見(jiàn)樹(shù)葉的形狀、周長(zhǎng)、面積，以及包含的“比”等知識(shí)作為學(xué)習(xí)內(nèi)容，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的價(jià)值，探究樹(shù)葉這一常見(jiàn)事物蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)信息，激發(fā)對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的好奇心和對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的求知欲。

三、練就“數(shù)學(xué)的眼光”幾個(gè)注意點(diǎn)

1.“三會(huì)”素養(yǎng)是一個(gè)整體。

“數(shù)學(xué)的眼光”“數(shù)學(xué)的思維”“數(shù)學(xué)的語(yǔ)言”作為“三會(huì)”的具體內(nèi)容，《課標(biāo)（2022年版）》對(duì)它們分別作了闡述，并有具體要求。作為教師，需要明確的是，它們是一個(gè)整體，盡管在培養(yǎng)過(guò)程中有所側(cè)重，但非獨(dú)立存在。如《認(rèn)識(shí)乘法分配律》的教學(xué)，教師設(shè)計(jì)了三個(gè)環(huán)節(jié)：第一，引導(dǎo)學(xué)生觀察不同情境：鼓樂(lè)隊(duì)添服裝、兩輛車(chē)從兩地相對(duì)駛出相遇求路程、兩塊長(zhǎng)方形地求總面積。學(xué)生發(fā)現(xiàn)求解三個(gè)問(wèn)題都可以用兩種方法解決，一種是先相加再相乘，另一種是分別乘再相加。第二，在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生猜想、驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并用含有字母的式子表示，即（a+b）c=ac+bc。第三，應(yīng)用規(guī)律解決實(shí)際問(wèn)題。在這個(gè)過(guò)程中，“三會(huì)”的培養(yǎng)都有具體落實(shí)。

2.培養(yǎng)“數(shù)學(xué)的眼光”有階段性。

在課堂教學(xué)中，培養(yǎng)“數(shù)學(xué)的眼光”并非一蹴而就，需要日積月累，逐步遞進(jìn)。如《用字母表示數(shù)》，教材安排在五年級(jí)教學(xué)，但這并不意味著五年級(jí)才開(kāi)始培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)。符號(hào)意識(shí)的培養(yǎng)從一年級(jí)起就應(yīng)該滲透。比如，白兔和黑兔一共有15 只，其中白兔有8 只，黑兔有多少只？可以鼓勵(lì)學(xué)生用□表示黑兔，用8+□=15 來(lái)表示這道題。隨著□表示未知數(shù)→用字母表示未知數(shù)→字母不僅表示未知數(shù)，還可以表示變化的數(shù)，學(xué)生逐漸使用符號(hào)→體會(huì)字母表示數(shù)的意義→自覺(jué)地用字母表示數(shù)。因此，同樣是符號(hào)意識(shí)的培養(yǎng)，不同學(xué)段應(yīng)該有不同的要求。