馬燦洪，黃崢，嚴(yán)彥成，鞏琪娟，黃堃鋒

（廣州大學(xué) 機(jī)械與電氣工程學(xué)院，廣州 510006）

0 引言

在實(shí)際工業(yè)控制系統(tǒng)中，輸入磁滯現(xiàn)象普遍存在，這使系統(tǒng)的跟蹤性能受到限制，嚴(yán)重影響控制系統(tǒng)的收斂時(shí)間和穩(wěn)定性［1］。因此如何補(bǔ)償這種輸入磁滯現(xiàn)象，使系統(tǒng)具有更好的性能是該領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。近年來(lái)，許多學(xué)者針對(duì)這一問(wèn)題提出了解決方案：文獻(xiàn)［2-3］針對(duì)具有PI 磁滯模型的非線性系統(tǒng)，通過(guò)構(gòu)造磁滯逆模型來(lái)補(bǔ)償輸入磁滯的影響。文獻(xiàn)［4］基于磁滯逆模型，設(shè)計(jì)了一種利用自適應(yīng)磁滯逆函數(shù)來(lái)消除未知輸入磁滯的自適應(yīng)控制方法。由于構(gòu)造磁滯逆矩陣非常復(fù)雜，文獻(xiàn)［5］提出了一種自適應(yīng)神經(jīng)控制方法，以保證系統(tǒng)具有一定的跟蹤精度。然而，上述方法都需要消耗大量的溝通資源，而在實(shí)際控制系統(tǒng)中通信資源非常有限，因此如何使控制系統(tǒng)在較少控制量下保持良好性能是一個(gè)值得深入研究的問(wèn)題。

為了保持有效的網(wǎng)絡(luò)控制，在實(shí)踐中應(yīng)盡量減少有限的通信資源的使用。例如，文獻(xiàn)［6］設(shè)計(jì)了一種基于固定閾值策略的事件觸發(fā)控制方案，該方案具有簡(jiǎn)單方便的突出優(yōu)點(diǎn)，但同時(shí)產(chǎn)生了大量的冗余數(shù)據(jù)傳輸。為解決該問(wèn)題，文獻(xiàn)［7］設(shè)計(jì)了一個(gè)相對(duì)閾值事件觸發(fā)方案；文獻(xiàn)［8］提出了基于固定和相對(duì)組合閾值策略的觸發(fā)方案。

另一方面，目前大多數(shù)控制系統(tǒng)都是無(wú)限時(shí)間收斂控制，存在收斂時(shí)間過(guò)長(zhǎng)等問(wèn)題。為此，文獻(xiàn)［8］針對(duì)具有參數(shù)不確定性的非線性系統(tǒng)，提出了一種自適應(yīng)有限時(shí)間控制方法，為連續(xù)自治系統(tǒng)設(shè)計(jì)了有限時(shí)間控制系統(tǒng)。而該系統(tǒng)中的非線性函數(shù)要求都滿足線性增長(zhǎng)條件，但由于建模方法的限制或外界干擾，非線性函數(shù)往往是完全未知的。在這種情況下，可能不滿足線性增長(zhǎng)條件。為了消除這一限制，文獻(xiàn)［10］提出了一種新的非線性系統(tǒng)有限時(shí)間穩(wěn)定性判據(jù)，消除了線性增長(zhǎng)條件。

綜上所述，考慮輸入磁滯后，不確定非線性系統(tǒng)的補(bǔ)償控制設(shè)計(jì)在用于非線性控制增益時(shí)難度較大。在有限通信資源下，設(shè)計(jì)具有輸入磁滯的不確定非線性系統(tǒng)的事件觸發(fā)有限時(shí)間控制具有十分重要的意義。因此，本文提出了一種模糊自適應(yīng)事件觸發(fā)有限時(shí)間約束控制方法，其主要有以下2個(gè)創(chuàng)新點(diǎn)。

（1）文獻(xiàn)［2-5］所提出的方法以犧牲系統(tǒng)的暫態(tài)性能和收斂時(shí)間為代價(jià)，解決了輸入磁滯問(wèn)題。而本設(shè)計(jì)提出了一種模糊自適應(yīng)事件觸發(fā)控制方法，既能實(shí)現(xiàn)輸入磁滯的動(dòng)態(tài)補(bǔ)償，又能保證系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)收斂。

（2）為了節(jié)省通信資源，提出了一種事件觸發(fā)控制策略。在此基礎(chǔ)上，又提出了一種保證系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)跟蹤性能的有限時(shí)間控制方法。利用所提出的控制方法，系統(tǒng)中的非線性函數(shù)可以是完全未知的，并且只要求它們是連續(xù)的。

1 模型與問(wèn)題陳述

1.1 系統(tǒng)模型的分析

本文考慮一類具有未知磁滯的不確定非線性系統(tǒng)如下

式 中：x=[x1，…，xn]T∈Rn是 系 統(tǒng) 的 狀 態(tài) 變 量；φi(·) ∈R，(i= 1，…，n)是系統(tǒng)中的不確定非線性函數(shù)；g(x) ∈R是系統(tǒng)中已知的光滑非線性函數(shù)；u(t)是系統(tǒng)的輸入信號(hào)；η∈R表示未知的常量參數(shù)。

考慮執(zhí)行器的磁滯將設(shè)計(jì)的控制信號(hào)轉(zhuǎn)換為vc=M(uc)，表示輸出信號(hào)。根據(jù)文獻(xiàn)［11-13］，磁滯模型可以表示為

1.2 事件觸發(fā)控制器的設(shè)計(jì)

由于通信信道帶寬和計(jì)算能力的限制，為了節(jié)省通信網(wǎng)絡(luò)的網(wǎng)絡(luò)資源，考慮以下事件觸發(fā)方案

式中：c＞0，v＞0，k＞0，? ＞0且(k- 1)(? - 1) = 1。

1.3 近似函數(shù)的研究

在模糊自適應(yīng)控制方案中，采用模糊邏輯系統(tǒng)（FLS）逼近未知的連續(xù)函數(shù)。

假設(shè)1：g(x) ≠0；η≠0，η的符號(hào)已知。

假設(shè)2：期望信號(hào)r已知且有界，存在n+ 1 階導(dǎo)數(shù)。

2 自適應(yīng)事件觸發(fā)補(bǔ)償控制的設(shè)計(jì)與分析

本節(jié)針對(duì)通信資源有限的磁滯系統(tǒng)，設(shè)計(jì)了一種擴(kuò)展的自適應(yīng)模糊事件觸發(fā)控制方案，以保證跟蹤性能。

該系統(tǒng)中所有信號(hào)都是有界的，事件觸發(fā)機(jī)制保證了跟蹤誤差性能。

2.1 模糊自適應(yīng)補(bǔ)償反步設(shè)計(jì)

首先，引入以下誤差方程

下一節(jié)將詳細(xì)說(shuō)明步驟n和本文所提出的事件觸發(fā)機(jī)制。

2.2 模糊自適應(yīng)補(bǔ)償事件觸發(fā)控制器設(shè)計(jì)

本文提出了一種事件觸發(fā)通信方案，其觸發(fā)條件基于控制信號(hào)uc(t)的變化，是一種非周期性的事件觸發(fā)機(jī)制。具體來(lái)說(shuō)，當(dāng)控制信號(hào)uc(t)的變化超過(guò)一個(gè)閾值時(shí)，才對(duì)觸發(fā)器的輸出信號(hào)進(jìn)行更新，使更新間隔變長(zhǎng)，從而節(jié)省資源。在系統(tǒng)運(yùn)行過(guò)程中，隨著系統(tǒng)狀態(tài)逐漸趨于穩(wěn)定，觸發(fā)器更新的頻率逐漸減小，只需消耗更小的資源便能保持系統(tǒng)穩(wěn)定。

事件觸發(fā)方案的定義如下

那么經(jīng)過(guò)引理1分析，式（34）可表示為

式 中：γ?n(0)，β(0)，ω(0) ≥0；qn，C1，C2是 正 設(shè) 計(jì) 參數(shù)。結(jié)合虛擬控制律式（25）和自適應(yīng)律式（37）、式（38）、式（39），根據(jù)引理1和引理3分析可得

2.3 系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

定理1：考慮具有函數(shù)增益輸入的不確定非線性系統(tǒng)式（1），不確定輸入磁滯模型式（2），中間虛擬控制器式（12）、式（18）、式（25），基于事件觸發(fā)策略的控制器式（28），參數(shù)自適應(yīng)律式（16）、式（22）、式（37）、式（38）和式（39）。以下特性得到保證：（1）系統(tǒng)中所有信號(hào)都是有界的；（2）所有的輸出信號(hào)都能在有限時(shí)間內(nèi)定位到給定信號(hào)的一小塊區(qū)域；（3）有效地避免Zeno行為。

由式（43）可以推導(dǎo)出Vi是有界的。zi，γ?i，β?和ω?都是有界的，另外γi，β和ω都是常量，因此γ?i，β?和ω?也是有界的。同時(shí)，z1=y-r和r是有界的，表明y是有界的?？梢钥闯?，x1在概率上是半全局一致有界的。α1由z1和γ?1組成，因此α1有界，意味著x1也是有界的。同理，xi，i= 3，…，n都是有界的。這意味著控制律us也有界。因此，閉環(huán)系統(tǒng)的所有輸出和跟蹤誤差都是有界的。

注2：0 ＜kj，0＜1；zi，γ?i，β?，αi，ω?都很小且有界。因此，所有的輸出都能定位到給定信號(hào)的一個(gè)小區(qū)域。

根據(jù)上述分析，可以證明本文提出方法可以在有限時(shí)間內(nèi)，使得所有的輸出yj，j= 1，2，…，n都能定位到給定信號(hào)rj，j= 1，2，…，n的一個(gè)小區(qū)域。

3 仿真試驗(yàn)及結(jié)果

仿真結(jié)果表明：該方法保證了單連桿機(jī)械臂的跟蹤控制，且實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的全局一致有界狀態(tài)，保證系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)的性能。系統(tǒng)輸出y（t）和參考輸出r（t）如圖1 所示。跟蹤誤差如圖2 所示。從圖1、圖2 可知，在輸出初值為0.3 的狀態(tài)下，系統(tǒng)可以在有限時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)快速跟蹤，使跟蹤誤差從0.03迅速接近0，并保持在0.05的預(yù)期誤差范圍內(nèi)波動(dòng)，后續(xù)系統(tǒng)輸出與參考輸入幾乎重合，實(shí)現(xiàn)精準(zhǔn)跟蹤。

圖1 系統(tǒng)輸出y（t）和參考輸出r（t）Fig.1 System output y（t） and reference output r（t）

圖2 跟蹤誤差Fig.2 Tracking error

事件觸發(fā)的控制輸入如圖3所示。執(zhí)行間隔如圖4 所示。由圖3 可知，藍(lán)線為連續(xù)控制信號(hào)輸入，紅線為階梯式事件觸發(fā)控制輸入，可以很好地節(jié)省帶寬資源。由圖4 可知，帶寬的節(jié)省范圍為0.02～0.44 s。

圖3 事件觸發(fā)的控制輸入Fig.3 Event-triggered control input

圖4 執(zhí)行間隔Fig.4 Inter-execution interval

各時(shí)間段觸發(fā)次數(shù)見(jiàn)表1。由表1 可知，在［0～2） s 節(jié)省了86.0%的帶寬，在［2～4） s 節(jié)省了89.0%的帶寬，在［4～6） s 節(jié)省了88.5%的帶寬，在［6～10］s 節(jié)省了90.5%的帶寬，在10 s 內(nèi)節(jié)省88.9%的帶寬。由此可知，該方法既保證了單臂的跟蹤控制，又達(dá)到了節(jié)省系統(tǒng)帶寬的效果。

表1 各時(shí)間段觸發(fā)次數(shù)Table 1 Trigger times in each time period

4 結(jié)論

針對(duì)具有輸入滯后的不確定非線性系統(tǒng)，提出了一種模糊自適應(yīng)事件觸發(fā)有限時(shí)間約束控制方法。為了消除輸入滯后的影響，同時(shí)解決通信資源有限的問(wèn)題，提出了一種模糊自適應(yīng)事件觸發(fā)控制策略。在此基礎(chǔ)上，提出了一種事件觸發(fā)的有限時(shí)間控制方法，實(shí)現(xiàn)了閉環(huán)系統(tǒng)的有限時(shí)間收斂，同時(shí)節(jié)約了通信帶寬。仿真結(jié)果表明了該方法具有一定有效性，還避免了Zeno行為。