陳 希 童夢鈺 張正威

(浙江農(nóng)林大學(xué)風(fēng)景園林與建筑學(xué)院， 杭州 311300)

隨著社會經(jīng)濟(jì)的迅速發(fā)展,能源和環(huán)境問題已經(jīng)成為當(dāng)今世界各國關(guān)注的重點(diǎn)問題之一。能源樁地源熱泵系統(tǒng)是近年來新興的淺層地?zé)崮芾孟到y(tǒng)，具有廣泛的工程應(yīng)用前景和重要的社會經(jīng)濟(jì)意義。但是，按我國現(xiàn)行技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)設(shè)計(jì)能源樁時均采用經(jīng)典的線源模型，并將土壤視為均勻常熱物性介質(zhì)，沒有考慮土壤分層、滲流以及樁基深埋等實(shí)際因素的影響，難以準(zhǔn)確計(jì)算能源樁及樁周土壤的溫度變化。一定程度上會影響能源樁強(qiáng)度和換熱量的計(jì)算，給能源樁項(xiàng)目埋下工程隱患，不利于能源樁技術(shù)的推廣應(yīng)用。

近年來，能源樁的傳熱性能研究開始受到關(guān)注。陳忠購等采用有限差分方法建立了分層滲流土層豎直埋管換熱器的傳熱數(shù)值模型，研究表明：地下水滲流能有效增強(qiáng)換熱器的換熱能力；分層滲流條件下，滲流層所對應(yīng)孔壁的溫度明顯低于其他土層；熱量隨時間的增長逐漸向滲流層集中，形成所謂的“熱漏斗”現(xiàn)象[1]。Diao提出均勻多孔介質(zhì)水平滲流的無限長線熱源模型[2]。文獻(xiàn)[3-4]利用移動熱源法得到均勻滲流條件下有限長線熱源模型。

Choi等利用二維熱-滲耦合模型研究了地下水流方向和流速對豎直埋管換熱器傳熱性能的影響[5]。Tye-Gingras等提出了一種考慮地下水滲流的豎直埋管換熱器熱響應(yīng)函數(shù)[6]。文獻(xiàn)[7-8]報(bào)道了地下水流動對豎直埋管換熱器傳熱影響的研究，表明地下水滲流會顯著提高豎直埋管換熱器的換熱性能。Liuzzo-Scorpo等提出了豎直埋管換熱器的最小間距，并得出即使是很小的地下水滲流速度，最小間距也會顯著減小[10]。文獻(xiàn)[11-12]介紹了對地下水滲流埋管換熱器傳熱試驗(yàn)的研究。白冰建立熱-水-力耦合控制方程研究飽和巖土在熱荷載作用下的固結(jié)問題[13]。上述傳熱解析模型都采用均勻多孔介質(zhì)、滲流發(fā)生在整個介質(zhì)的假定，不能考慮巖土分層和土層內(nèi)滲流的實(shí)際情況。Luo等根據(jù)工程場地水文地質(zhì)環(huán)境，建立了五層分層滲流豎直埋管換熱器傳熱數(shù)值模型，結(jié)果表明含水層傳熱效率明顯[14]。文獻(xiàn)[15-16]介紹了利用虛擬熱匯、移動熱源法和疊加原理建立了考慮土壤分層滲流的有限長線熱源傳熱解析模型，但該模型假定熱源單位長度放熱功率恒定，這與實(shí)際情況不符。

綜上所述，能源樁的傳熱問題屬于熱-水-力多場耦合問題，土層內(nèi)地下水滲流對能源樁的換熱性能有較大影響。由于熱傳導(dǎo)和因溫度變化引起的熱應(yīng)力兩者的特征時間相差幾個量級，故能源樁的傳熱問題可以簡化為熱-流耦合問題，不考慮熱-力相互作用。為此，針對實(shí)際工程地質(zhì)環(huán)境，建立分層滲流土壤能源樁傳熱解析模型，研究分層滲流土壤能源樁的傳熱特性。

1 傳熱模型

常見的樁基礎(chǔ)從地表至樁頂(承臺底)為上覆土層，樁身范圍通常為軟弱土層，樁底土層為持力層，土質(zhì)較硬，承受上部結(jié)構(gòu)傳來的荷載。為了不失一般性，分層滲流土中能源樁的簡化物理模型如圖1所示，其中，Vi為第i層土層內(nèi)的等效滲流速度；ci(i=1,2,3)為第i層土層的比熱容；ai(i=1,2,3)為第i層土層的熱擴(kuò)散系數(shù)；ki(i=1,2,3)為第i層土層的導(dǎo)熱系數(shù)；ρi(i=1,2,3)為第i層土層的密度。為了方便求解，對模型作如下假定：

圖1 分層滲流模型示意Fig.1 The schematic diagram of the layered seepage model

1)將地表下土按水平方向自上而下劃分為三層，第一層為地表至樁頂(承臺底)，第二層為樁身范圍內(nèi)土層，第三層為樁底下土層。各土層內(nèi)土壤為均勻各相同性介質(zhì)。

2)忽略樁身的幾何尺寸，將樁體近似為軸心線上的有限長線熱源。

3)以恒定功率ql均勻持續(xù)放熱，熱源長度與樁身相同。

4)能源樁與土接觸良好，忽略接觸熱阻。

5)假定三層土初始溫度均為T0，且分布均勻。

6)地表溫度等于土的初始溫度。

7)土過余溫度θi=Ti-T0，i表示第i層土，(i=1,2,3)。

8)各土層內(nèi)有相同的沿水平方向的滲流，等效滲流速度為Vi(i=1,2,3)。

2 傳熱方程及其解

2.1 熱傳導(dǎo)方程

圖1物理問題的數(shù)學(xué)描述如下所述。

2.1.1導(dǎo)熱方程

z≥0,r≥0,t≥0,i=1,2,3

(1)

式中：θi(i=1,2,3)為第i層土壤的過余溫度；φ、z、r分別為柱坐標(biāo)體系的三個變量；t為時間；ρw為水的密度，取其為定值1 000 kg/m3；cw為水的比熱容，取其為定值4 200 J/(kg·K)；vi(i=1,2,3)為實(shí)際滲流速度。

2.1.2邊界條件

(2a)

(2b)

θi(r,φ,z,t)|r→∞=0i=1,2,3

(2c)

θ1(r,φ,z,t)|z=0=0

(2d)

θ1(r,φ,z,t)|z=H1=θ2(r,φ,z,t)|z=H1

(2e)

(2f)

θ2(r,φ,z,t)|z=H1+H2=θ3(r,φ,z,t)|z=H1+H2

(2g)

(2h)

θ3(r,φ,z,t)|z→∞=0

(2i)

式中：ql為能源樁熱源的單位長度換熱量；H1、H2為第一、二層土層厚度。

2.1.3初始條件

θi(r,φ,z,t)|t=0=0i=1,2,3

(3)

2.2 問題的解

采用拉普拉斯變換法對方程進(jìn)行求解，根據(jù)式(1)～(3)可求得土層內(nèi)過余溫度解析解。

2.2.1第一層土層的過余溫度

0≤z≤H1

(4)

(τ1+τ2)}dτ2dτ1dτ

dτ2dτ1dτ

式中：J0(x)為零階第一類柱Bessel函數(shù)；λ是使用分離變量法求解時設(shè)定的本征值；τ、τ1、τ2為自然域下關(guān)于時間的積分變量。

2.2.2第二層土層的過余溫度

H1≤z≤H1+H2

(5)

2.2.3第三層土層的過余溫度

z≥H1+H2

(6)

2.3 模型驗(yàn)證

模型退化：取三層土層熱物性一致、滲流速度一致、第一層土層厚度H1=0、第二層土層厚度H2=H時，式(4)～(6)可轉(zhuǎn)化為：

z≥0,t≥0,r≥0,V≥0

(7)

式(7)即為均勻介質(zhì)有限長線熱源滲流傳熱模型[4]。

數(shù)值驗(yàn)證：采用MATLAB軟件進(jìn)行編程，計(jì)算中能源樁埋深地層如圖1所示，土層計(jì)算參數(shù)如表1所示。假定能源樁樁徑為600 mm，樁長為20 m，樁頂距地表3 m，樁身換熱功率取50 W/m；邊界和初始條件如式(2)、式(3)。各土層內(nèi)均有相同的沿x軸正方向勻速滲流，等效滲流速度為V=1.0×10-7m/s，計(jì)算時間3個月，x軸正向下游1 m處過余溫度計(jì)算結(jié)果如圖2所示。

表1 各土層熱物性計(jì)算參數(shù)Table 1 Thermal parameters of each soil layer

圖2 數(shù)值驗(yàn)證Fig.2 Numerical verification

可以看出:解析解與數(shù)值解整體趨勢一致且擬合性較好，從而驗(yàn)證了模型的正確性。

3 巖土介質(zhì)傳熱特性分析

土層計(jì)算參數(shù)如表1所示，其他參數(shù)同前文的數(shù)值模型。

3.1 土層過余溫度沿軸向分布

計(jì)算結(jié)果如圖3所示。可見：無滲流工況下，距軸線相同距離處過余溫度相等；有滲流工況下，過余溫度分布呈上游小，下游大的特點(diǎn)。這是由于滲流將上游的熱量輸運(yùn)到下游，進(jìn)而導(dǎo)致了上游溫度變低，下游溫度變高。

—有滲流下游1 m處； —無滲流1 m處； —有滲流上游1 m處。圖3 滲流對上、下游豎向過余溫度分布影響Fig.3 Influence of seepage on vertical excess temperatures upstream and downstream

3.2 土層過余溫度沿徑向分布

不同滲流速度下，樁身中點(diǎn)(z=13 m)處沿徑向分布的過余溫度。計(jì)算結(jié)果如圖4所示。

a—上游； b—下游?！猇2=0.0×10-7 m/s；—V2=1.0×10-7 m/s；—V2=5.0×10-7 m/s；—V2=5.0×10-6 m/s。 圖4 樁身沿徑向分布的過余溫度(z=13 m)Fig.4 Excess temperatures along the radial direction (z=13 m)

可見：離樁中心軸線相同位置，上游的過余溫度隨著滲流速度的增大而減少，熱影響范圍減小，下游的過余溫度隨著滲流速度的增大而增大，熱響應(yīng)范圍增大。滲流速度越大，熱量從上游向下游的輸運(yùn)效應(yīng)越明顯。

3.3 樁壁處過余溫度

樁身中點(diǎn)(z=13 m)樁壁(r=0.3 m)處土層過余溫度如圖5所示。

a—上游； b—下游。—V2=0.0×10-7 m/s；—V2=1.0×10-7 m/s；—V2=5.0×10-7 m/s；—V2=1.0×10-6 m/s。圖5 樁壁過余溫度(z=13 m，r=0.3 m)Fig.5 Excess temperatures in pile walls (z=13 m，r=0.3 m)

可見：當(dāng)滲流速度為0.0×10-7m/s時，上、下游過余溫度曲線均不收斂，隨滲流速度的增大，上游樁壁處過余溫度要小于下游，且溫度曲線趨于穩(wěn)定的時間變短。說明滲流有利于能源樁的換熱，提高了能源樁的換熱效率。

4 影響因素分析

4.1 土層熱物性

土層計(jì)算參數(shù)如表2所示。并假定各土層內(nèi)不存在滲流。能源樁直徑為600 mm，埋深為30 m，放熱功率為50 W/m，計(jì)算時間為3個月。算例1～3為保持樁頂和樁底土層熱物性不變，變化樁身土層的熱物性，計(jì)算結(jié)果如圖6a所示。算例4～6為保持樁身土層熱物性不變，變化樁頂和樁底土層的熱物性，計(jì)算結(jié)果如圖6b所示。

表2 各土層熱物性計(jì)算參數(shù)Table 2 Thermal parameters of different soil layers

a—樁身土層熱物理性質(zhì); b—樁頂、樁底土層熱物理性質(zhì)。圖6 土層熱物理性質(zhì)變化對過余溫度的影響Fig.6 Influence of thermophysical index changes on excess temperature

從圖6a可以看出：樁身土層熱物性對過余溫度的分布影響明顯。導(dǎo)熱系數(shù)越大，土層內(nèi)過余溫度越低，反之亦然。從圖6b中可以看出：樁頂和樁底土層熱物性的改變對過余溫度的分布存在一定影響。相鄰?fù)翆拥膶?dǎo)熱性能越好，土層內(nèi)的過余溫度越低，熱響應(yīng)范圍越大，反之亦然。同時，也對樁體的總換熱量有一定影響。

4.2 土層滲流速度

取土層計(jì)算參數(shù)(表1)，計(jì)算樁身(z=13 m)位置過余溫度在滲流作用下的徑向分布平面。滲流速度取0.0×10-7，5.0×10-7，1.0×10-6，5.0×10-6m/s。計(jì)算結(jié)果如圖7、8所示?？梢?，無滲流時，土層內(nèi)過余溫度等溫線為以樁軸線為圓心的同心圓；有滲流時，土層內(nèi)過余溫度等溫線向下游偏移呈橢圓型，上游過余溫度低于下游，滲流速度越大，等溫線偏移越顯著，熱輸運(yùn)效應(yīng)越明顯。且上、下游的過余溫度均小于無滲流情況，說明滲流加快了土層內(nèi)熱量的傳導(dǎo)提高了能源樁的換熱效率。

a—V2=0.0×10-7 m/s; b—V2=5.0×10-7 m/s;c—V2=1.0×10-6 m/s; d—V2=5.0×10-6 m/s。圖7 不同滲流速度下樁身過余溫度分布 (z=13 m)Fig.7 Contours of temperatures in cross sections at different seepage velocities (z=13 m)

a—V2=0.0×10-7 m/s; b—V2=5.0×10-7 m/s;c—V2=1.0×10-6 m/s; d—V2=5.0×10-6 m/s。圖8 不同滲流速度下樁身過余溫度三維視圖Fig.8 Three-dimensional view of excess temperatures at different seepage velocities

將圍繞熱源某一圓周的積分平均溫度定義為它的平均溫度：

(8)

實(shí)際溫度與平均溫度的比值：

(9)

圖9為不同滲流速度下，樁周各點(diǎn)溫度與平均溫度比值?？梢姡寒?dāng)?shù)刃B流速度小于4.5×10-8m/s時，圓周上各點(diǎn)對比平均溫度的比值差別在1%以內(nèi)，因此，可以認(rèn)為該滲流速度為最小可忽略滲流速度。隨滲流速度的增大，樁周各點(diǎn)溫度差變大，上游溫度降低，下游溫度增大，等溫線向下游偏移。

圖9 圓周上各點(diǎn)溫度與平均溫度比值Fig.9 Ratios of temperatures at each point on the circumference to the average temperature

5 結(jié)束語

1)土層導(dǎo)熱系數(shù)越大，土層內(nèi)過余溫度越小；過余溫度在徑向隨著距離的增大呈指數(shù)衰減；樁體上、下相鄰?fù)翆訜嵛镄愿淖儠俄敽蜆兜拙植糠秶鷥?nèi)的過余溫度分布產(chǎn)生影響，對能源樁的總換熱量有一定影響。

2)滲流會不斷將上游的熱量傳輸至下游，使上游土層過余溫度低于下游土層。當(dāng)?shù)刃B流速度小于4.5×10-8m/s時，可以忽滲流帶來的影響。

3)滲流速度越大，土層內(nèi)過余溫度等溫線偏移越顯著，土層過余溫度進(jìn)入穩(wěn)態(tài)的時間越短，能源樁的換熱效率越高。