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        地下結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)的平面計算模型研究1

        2022-02-03 08:12:24樓夢麟蔡海兵
        震災(zāi)防御技術(shù) 2022年4期
        關(guān)鍵詞:中柱平面有限元

        殷 琳 舒 恩 樓夢麟 蔡海兵

        1)寧波工程學(xué)院, 建筑與交通工程學(xué)院, 浙江寧波315211

        2)安徽理工大學(xué), 土木建筑學(xué)院, 安徽淮南232001

        3)同濟大學(xué), 土木工程學(xué)院, 上海200092

        引言

        有限元法是地下結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)分析的常用方法(劉晶波等,2006;杜修力等,2017;陳國興等,2019),采用有限元法對地下結(jié)構(gòu)進行地震反應(yīng)分析時,通常將三維模型簡化為平面應(yīng)變模型進行計算(王國波等,2015;莊海洋等,2019)這是因為地震時,地下結(jié)構(gòu)橫斷面變形以平面內(nèi)的剪切變形為主(Hashash 等,2001),平面應(yīng)變模型適合描述此變形模式,且地下結(jié)構(gòu)動力分析模型涉及一定范圍的土體,三維數(shù)值模型自由度大,計算耗時長,對計算設(shè)備要求高。

        將地下結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)分析的有限元模型簡化為二維平面應(yīng)變模型時,核心問題是中柱的模擬,即將中柱三維空間梁簡化為二維平面梁時,相關(guān)力學(xué)參數(shù)合理等效問題。韓文星(2005)和田雪娟(2010)對該問題進行了研究,雖對簡化模型相關(guān)參數(shù)取值問題進行了說明,但未分析簡化后模型的計算誤差水平,其他學(xué)者采用二維平面應(yīng)變模型進行分析時也存在同樣的問題。

        本文以大開地鐵車站為例,分別建立二維和三維有限元模型,對地鐵車站結(jié)構(gòu)進行地震反應(yīng)計算,并以三維模型的計算結(jié)果作為對比基準(zhǔn),分析不同二維簡化模型計算誤差,討論不同簡化方法的合理性。

        1 地下結(jié)構(gòu)中柱簡化方法

        1.1 現(xiàn)行方法

        關(guān)于中柱等效二維平面應(yīng)變的等效問題,目前常用以下方法:

        (1)方法1:調(diào)整彈性模量(莊海洋等,2009)

        通過調(diào)整彈性模量,保證中柱等效前、后的抗彎剛度相同,彈性模量調(diào)整系數(shù)取為中柱縱向間距的倒數(shù),彈性模量調(diào)整公式為:

        式中,E?為等效后中柱彈性模量;α1為彈性模量調(diào)整系數(shù),取中柱縱向間距的倒數(shù);E為等效前中柱彈性模量。

        (2)方法2:調(diào)整彈性模量和密度(杜修力等,2018)

        通過調(diào)整彈性模量和密度,保證中柱等效前、后的截面抗彎剛度和質(zhì)量均相同,彈性模量和密度調(diào)整系數(shù)均取為中柱縱向間距的倒數(shù),彈性模量調(diào)整公式如式(1)所示,密度調(diào)整公式為:

        式中, ρ?為等效后中柱密度;α2為密度調(diào)整系數(shù),取中柱縱向間距的倒數(shù),數(shù)值上等于α1;ρ為等效前中柱密度。

        1.2 本文建議方法

        為合理建立等效簡化模型,應(yīng)考慮以下因素:

        (1)對中柱橫向剛度、密度和阻尼特性等動力特性進行等效。地下結(jié)構(gòu)二維平面應(yīng)變模型相當(dāng)于平面模型沿縱向連續(xù),且縱向尺寸為單位長度,因此將中柱彈性模量除以中柱縱向間距等效其橫向剛度,這是現(xiàn)行方法1 采用的等效方法。將中柱彈性模量除以中柱縱向間距等效其橫向剛度,同時將中柱密度除以中柱縱向間距等效中柱密度,這是現(xiàn)行方法2 采用的等效方法,本文采用該等效方法。由于考慮材料阻尼特性時,目前一般采用無量綱參數(shù)阻尼比,可不進行調(diào)整。

        (2)從有限單元建模角度來看,二維梁單元是在三維梁單元的基礎(chǔ)上,每個結(jié)點增加了3 個自由度的約束,2 個結(jié)點的梁單元共增加了沿縱向的6 個自由度的約束,從而增大了整體剛度。為降低剛度增大帶來的影響,對材料彈性模量再乘以1 個調(diào)整系數(shù),本文稱該系數(shù)為空間約束影響系數(shù),通過多次計算,建議該系數(shù)取為0.8。

        (3)求解得到二維平面應(yīng)變模型的地震反應(yīng)后,需還原至三維模型。采用二維平面應(yīng)變模型求解得到中柱端部截面內(nèi)力(彎矩、剪力和軸力)后,應(yīng)乘以相應(yīng)系數(shù)得到三維模型中柱端部截面的真實內(nèi)力。因二維平面應(yīng)變模型相當(dāng)于沿地下結(jié)構(gòu)縱向取單位長度的范圍,而實際上地震發(fā)生時,無論是水平還是垂直分量,每根中柱承擔(dān)的地震作用范圍應(yīng)為中柱的縱向間距,所以真實的中柱截面內(nèi)力應(yīng)為二維模型所得結(jié)果再乘以數(shù)值上等于中柱縱向間距的系數(shù),該系數(shù)稱為三維還原調(diào)整系數(shù),真實的中柱端部截面內(nèi)力計算公式為:

        式中,S?為真實的中柱截面內(nèi)力效應(yīng),包括柱端彎矩、剪力和軸力;α3為 三維還原系數(shù),取中柱縱向間距;S為二維等效模型所得的中柱截面內(nèi)力效應(yīng)。

        本文建議的中柱二維等效方法稱為方法3。

        1.3 影響因素分析

        為分析不同影響因素在二維等效模型中的影響程度,將三維還原調(diào)整因素引入到方法1 和方法2 中,即將方法1 和方法2 的計算結(jié)果乘以三維還原系數(shù) α3,分別稱為方法1a 和方法2a,將方法3 計算結(jié)果與方法1 和方法2 計算結(jié)果進行對比,總體上可判斷本文建議方法的合理性。同時,根據(jù)方法2a 與方法1a 的對比結(jié)果可知質(zhì)量密度調(diào)整系數(shù)的影響程度,根據(jù)方法3 與方法2a 的對比結(jié)果可知空間約束因素的影響程度。

        2 算例分析

        本文以大開地鐵車站為例,說明3 種不同中柱等效方法的合理性。大開地鐵車站為單層雙跨框架式結(jié)構(gòu),埋深4.8 m,橫斷面尺寸如圖1 所示,橫斷面寬17 m,高7.17 m,側(cè)壁厚0.85 m,頂板厚0.80 m,底板厚0.85 m。車站周圍土層物理性質(zhì)如表1 所示(曹炳政等,2002)。計算時忽略土體的非線性特性及車站與土體的接觸非線性。

        表1 場地土物理力學(xué)參數(shù)Table 1 Physical parameters of site soil properties

        圖1 大開地鐵車站結(jié)構(gòu)橫斷面(單位:毫米)Fig. 1 Cross section of Subway station(Unit: mm)

        2.1 二維有限元計算模型

        為盡可能減小土層人工邊界反射效應(yīng)的影響,根據(jù)樓夢麟等(2016)的建議,建立二維有限元模型時,在地下結(jié)構(gòu)兩側(cè)向外取5 倍土層深度的有限土層,豎向人工邊界設(shè)置為能夠保證土層沿橫向水平剪切位移的側(cè)移邊界(透射邊界)。豎向范圍取至第6 層土底部至基巖面,該底部結(jié)點約束全部自由度,作為橫向水平地震的輸入面。

        為在振動分析中防止有限單元豎向尺寸的濾波效應(yīng)對地震反應(yīng)計算結(jié)果準(zhǔn)確性的影響,土層有限元網(wǎng)格的豎向尺寸按最高有效截止頻率為25 Hz 的正弦波對應(yīng)波長的1/16~1/8 控制,單元橫向尺寸不超過豎向的4 倍。

        地下結(jié)構(gòu)側(cè)壁和中柱采用二維梁單元離散,地下結(jié)構(gòu)周圍土層采用四邊形等參元離散,離散后二維模型共有6 356 個四邊形等參元、69 個二維梁單元、6 592 個結(jié)點,施加邊界條件后共有12 860 個自由度。二維模型的有限元網(wǎng)格示意如圖2 所示。

        圖2 有限元網(wǎng)格示意與監(jiān)測點位置(單位:毫米)Fig. 2 The mesh of finite element and observation points(Unit: mm)

        2.2 三維有限元計算模型

        為保證三維和二維計算模型一致,三維模型在豎平面中的計算范圍和網(wǎng)格尺寸與二維模型保持一致。另外,在縱向取7 跨中柱的地下結(jié)構(gòu)和相應(yīng)的有限土層,縱向有限元網(wǎng)格尺寸與橫向一致。四邊的豎向人工邊界設(shè)置為能夠保證土層沿橫向水平剪切位移的側(cè)移邊界。

        三維模型中,地下結(jié)構(gòu)側(cè)壁和頂、底板采用三維板單元離散,中柱采用三維梁單元離散,土體采用八結(jié)點六面體等參元離散,離散后三維模型共有10 136 個板單元、165 個三維梁單元、444 920 個八結(jié)點六面體等參元、467 192 個結(jié)點,施加邊界條件后共有1 381 252 個自由度。有限元模型兩側(cè)結(jié)點約束垂向和縱向自由度,底部結(jié)點約束全部自由度,同時作為地震激勵的輸入面。

        3 輸入地震波及其頻譜特性

        本文選擇了3 條有代表性的基巖波作為激振地震波,分別為某大型工程場地安全性評價得到的基巖人工波、阪神地震中神戶大學(xué)記錄的Kobe 波和汶川地震中四川郫縣走石臺記錄的基巖波,分別稱之為JY 波、Kobe 波和WC 波,峰值加速度分別為1.00、0.27、1.20 m/s2,加速度時程、傅里葉幅值譜和反應(yīng)譜如圖3所示。

        圖3 地震波加速度時程、傅里葉幅值譜和反應(yīng)譜Fig. 3 Time history of exciting and its Fourier spectrum and its response spectrum

        4 基本運動方程

        二、三維模型各部分采用合適的有限單元離散后的運動方程為:

        式中,u(t) 、u˙(t)和u¨(t)分 別為體系各自由度的相對位移、相對速度和相對加速度反應(yīng)列向量;u¨g(t)為基巖運動加速度向量;m、c和k分別為有限元離散后的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣。

        采用逐步積分求解運動方程可得各自由度基本未知量,如位移、速度和加速度反應(yīng)時程。由基本未知量可計算其他反應(yīng)量,如梁單元的彎矩、剪力和軸力,實體單元的應(yīng)力、應(yīng)變等。

        5 結(jié)果分析

        三維模型模態(tài)分析結(jié)果如表2 所示。根據(jù)各階振型的橫向(水平向)參與系數(shù)和計算所得振型可知,第1 階和第7 階是前2 個橫向(水平向)的剪切振型,其頻率分別為2.66、2.89 Hz。

        表2 三維模型的前7 階自振頻率及橫向(水平向)振型參與系數(shù)Table 2 The first seven natural frequencies of three dimension model and modal participation factor of horizontal direction

        二維模型模態(tài)分析結(jié)果如表3 所示,根據(jù)各階振型的橫向(水平向)參與系數(shù)和計算所得振型可知,第1 階和第3 階是前2 個橫向(水平向)的剪切振型,其頻率分別為2.64、2.87 Hz。

        表3 二維模型的前7 階自振頻率及橫向(水平向)振型參與系數(shù)Table 3 The first seven natural frequencies of two dimension model and modal participation factor of horizontal direction

        時程分析時,選用Rayleigh 比例阻尼作為阻尼模型,因本文算例的基頻較高,Rayleigh 阻尼系數(shù)的計算采用系統(tǒng)前2 個水平剪切振動模態(tài)對應(yīng)的圓頻率(舒恩,2020),即計算阻尼系數(shù)時,三維模型采用2.66、2.89 Hz,二維模型采用2.64、2.87 Hz。

        三維和二維簡化模型計算得到的地震反應(yīng)分別如表4 和表5 所示。表4 中中柱地震反應(yīng)未列出軸力,是因為單層雙跨結(jié)構(gòu)在僅有水平地震作用下可認(rèn)為是反對稱結(jié)構(gòu),中柱近似無軸力(許紫剛等,2019)。

        由表4 可知,無論是何種地震波激勵,方法3 均優(yōu)于方法1 和方法2。需注意,方法1 和方法2 計算結(jié)果均為負(fù)誤差,說明計算結(jié)果偏小,從工程安全性角度評價,方法1 和方法2 偏于不安全。方法1 和方法2計算誤差水平相當(dāng),方法1 所得柱頂計算結(jié)果誤差略大于方法2,但所得柱底計算結(jié)果誤差略小于方法2,說明材料密度的等效對中柱地震反應(yīng)的影響較小。方法1a 的計算誤差明顯小于方法1,且方法2a 的計算誤差明顯小于方法2,說明二維模型計算結(jié)果不能直接等效為三維真實情況,借用方法3 的三維還原系數(shù)可改善相應(yīng)的計算精度。方法3 計算誤差明顯小于方法2a,說明空間約束因素對中柱計算結(jié)果有較大影響。

        由表4 和表5 可知,本文采用的3 種二維等效模型對地下結(jié)構(gòu)整體的運動反應(yīng)影響較小,因采用平面應(yīng)變問題求解地下結(jié)構(gòu)的橫向水平地震反應(yīng)在力學(xué)基本原理上符合工程實際情況,但由于中柱平面應(yīng)變等效是人為的主觀假定,因此不同方法下計算得到的中柱截面內(nèi)力相差較大,相比之下,方法3 的近似計算精度遠高于方法1 和方法2。從本文算例結(jié)果來看,無論采用哪種方法,計算得到的加速度和位移誤差水平相近,位移和加速度反應(yīng)誤差均在13%以內(nèi),當(dāng)采用方法3 時,柱彎矩和剪力誤差≤7%,較方法1 和方法2 得到了明顯改進。

        表4 中柱地震反應(yīng)峰值Table 4 Peak seismic response of the inner column

        表5 關(guān)鍵點地震反應(yīng)峰值Table 5 Peak seismic response of observation points

        6 結(jié)論

        (1)對地下結(jié)構(gòu)進行地震反應(yīng)分析時,可將三維模型簡化為平面應(yīng)變二維模型進行計算。簡化時應(yīng)重點關(guān)注結(jié)構(gòu)中柱的等效方法,如果簡化方法選擇不當(dāng),可能會給地下結(jié)構(gòu)內(nèi)力計算帶來較大誤差,應(yīng)重視中柱的等效問題。

        (2)現(xiàn)行簡化方法1 和方法2 會低估中柱地震反應(yīng),最大低估程度可達77.24%,從工程安全性角度評價,方法1 和方法2 偏于不安全。本文提出的方法3 可明顯減小中柱地震反應(yīng)誤差,使中柱彎矩和剪力誤差≤7%。

        (3)方法1、方法2 和方法3 均可得到誤差較小的加速度和位移反應(yīng),3 種方法誤差水平相近,方法3可使加速度和位移計算誤差≤13%。

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