殷 琳 舒 恩 樓夢麟 蔡海兵

1）寧波工程學(xué)院, 建筑與交通工程學(xué)院, 浙江寧波315211

2）安徽理工大學(xué), 土木建筑學(xué)院, 安徽淮南232001

3）同濟(jì)大學(xué), 土木工程學(xué)院, 上海200092

引言

有限元法是地下結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)分析的常用方法（劉晶波等，2006；杜修力等，2017；陳國興等，2019），采用有限元法對地下結(jié)構(gòu)進(jìn)行地震反應(yīng)分析時(shí)，通常將三維模型簡化為平面應(yīng)變模型進(jìn)行計(jì)算（王國波等，2015；莊海洋等，2019）這是因?yàn)榈卣饡r(shí)，地下結(jié)構(gòu)橫斷面變形以平面內(nèi)的剪切變形為主（Hashash 等，2001），平面應(yīng)變模型適合描述此變形模式，且地下結(jié)構(gòu)動力分析模型涉及一定范圍的土體，三維數(shù)值模型自由度大，計(jì)算耗時(shí)長，對計(jì)算設(shè)備要求高。

將地下結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)分析的有限元模型簡化為二維平面應(yīng)變模型時(shí)，核心問題是中柱的模擬，即將中柱三維空間梁簡化為二維平面梁時(shí)，相關(guān)力學(xué)參數(shù)合理等效問題。韓文星（2005）和田雪娟（2010）對該問題進(jìn)行了研究，雖對簡化模型相關(guān)參數(shù)取值問題進(jìn)行了說明，但未分析簡化后模型的計(jì)算誤差水平，其他學(xué)者采用二維平面應(yīng)變模型進(jìn)行分析時(shí)也存在同樣的問題。

本文以大開地鐵車站為例，分別建立二維和三維有限元模型，對地鐵車站結(jié)構(gòu)進(jìn)行地震反應(yīng)計(jì)算，并以三維模型的計(jì)算結(jié)果作為對比基準(zhǔn)，分析不同二維簡化模型計(jì)算誤差，討論不同簡化方法的合理性。

1 地下結(jié)構(gòu)中柱簡化方法

1.1 現(xiàn)行方法

關(guān)于中柱等效二維平面應(yīng)變的等效問題，目前常用以下方法：

（1）方法1：調(diào)整彈性模量（莊海洋等，2009）

通過調(diào)整彈性模量，保證中柱等效前、后的抗彎剛度相同，彈性模量調(diào)整系數(shù)取為中柱縱向間距的倒數(shù)，彈性模量調(diào)整公式為：

式中，E?為等效后中柱彈性模量；α1為彈性模量調(diào)整系數(shù)，取中柱縱向間距的倒數(shù)；E為等效前中柱彈性模量。

（2）方法2：調(diào)整彈性模量和密度（杜修力等，2018）

通過調(diào)整彈性模量和密度，保證中柱等效前、后的截面抗彎剛度和質(zhì)量均相同，彈性模量和密度調(diào)整系數(shù)均取為中柱縱向間距的倒數(shù)，彈性模量調(diào)整公式如式（1）所示，密度調(diào)整公式為：

式中， ρ?為等效后中柱密度；α2為密度調(diào)整系數(shù)，取中柱縱向間距的倒數(shù)，數(shù)值上等于α1；ρ為等效前中柱密度。

1.2 本文建議方法

為合理建立等效簡化模型，應(yīng)考慮以下因素：

（1）對中柱橫向剛度、密度和阻尼特性等動力特性進(jìn)行等效。地下結(jié)構(gòu)二維平面應(yīng)變模型相當(dāng)于平面模型沿縱向連續(xù)，且縱向尺寸為單位長度，因此將中柱彈性模量除以中柱縱向間距等效其橫向剛度，這是現(xiàn)行方法1 采用的等效方法。將中柱彈性模量除以中柱縱向間距等效其橫向剛度，同時(shí)將中柱密度除以中柱縱向間距等效中柱密度，這是現(xiàn)行方法2 采用的等效方法，本文采用該等效方法。由于考慮材料阻尼特性時(shí)，目前一般采用無量綱參數(shù)阻尼比，可不進(jìn)行調(diào)整。

（2）從有限單元建模角度來看，二維梁單元是在三維梁單元的基礎(chǔ)上，每個(gè)結(jié)點(diǎn)增加了3 個(gè)自由度的約束，2 個(gè)結(jié)點(diǎn)的梁單元共增加了沿縱向的6 個(gè)自由度的約束，從而增大了整體剛度。為降低剛度增大帶來的影響，對材料彈性模量再乘以1 個(gè)調(diào)整系數(shù)，本文稱該系數(shù)為空間約束影響系數(shù)，通過多次計(jì)算，建議該系數(shù)取為0.8。

（3）求解得到二維平面應(yīng)變模型的地震反應(yīng)后，需還原至三維模型。采用二維平面應(yīng)變模型求解得到中柱端部截面內(nèi)力（彎矩、剪力和軸力）后，應(yīng)乘以相應(yīng)系數(shù)得到三維模型中柱端部截面的真實(shí)內(nèi)力。因二維平面應(yīng)變模型相當(dāng)于沿地下結(jié)構(gòu)縱向取單位長度的范圍，而實(shí)際上地震發(fā)生時(shí)，無論是水平還是垂直分量，每根中柱承擔(dān)的地震作用范圍應(yīng)為中柱的縱向間距，所以真實(shí)的中柱截面內(nèi)力應(yīng)為二維模型所得結(jié)果再乘以數(shù)值上等于中柱縱向間距的系數(shù)，該系數(shù)稱為三維還原調(diào)整系數(shù)，真實(shí)的中柱端部截面內(nèi)力計(jì)算公式為：

式中，S?為真實(shí)的中柱截面內(nèi)力效應(yīng)，包括柱端彎矩、剪力和軸力；α3為 三維還原系數(shù)，取中柱縱向間距；S為二維等效模型所得的中柱截面內(nèi)力效應(yīng)。

本文建議的中柱二維等效方法稱為方法3。

1.3 影響因素分析

為分析不同影響因素在二維等效模型中的影響程度，將三維還原調(diào)整因素引入到方法1 和方法2 中，即將方法1 和方法2 的計(jì)算結(jié)果乘以三維還原系數(shù) α3，分別稱為方法1a 和方法2a，將方法3 計(jì)算結(jié)果與方法1 和方法2 計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對比，總體上可判斷本文建議方法的合理性。同時(shí)，根據(jù)方法2a 與方法1a 的對比結(jié)果可知質(zhì)量密度調(diào)整系數(shù)的影響程度，根據(jù)方法3 與方法2a 的對比結(jié)果可知空間約束因素的影響程度。

2 算例分析

本文以大開地鐵車站為例，說明3 種不同中柱等效方法的合理性。大開地鐵車站為單層雙跨框架式結(jié)構(gòu)，埋深4.8 m，橫斷面尺寸如圖1 所示，橫斷面寬17 m，高7.17 m，側(cè)壁厚0.85 m，頂板厚0.80 m，底板厚0.85 m。車站周圍土層物理性質(zhì)如表1 所示（曹炳政等，2002）。計(jì)算時(shí)忽略土體的非線性特性及車站與土體的接觸非線性。

表1 場地土物理力學(xué)參數(shù)Table 1 Physical parameters of site soil properties

圖1 大開地鐵車站結(jié)構(gòu)橫斷面（單位：毫米）Fig. 1 Cross section of Subway station（Unit: mm）

2.1 二維有限元計(jì)算模型

為盡可能減小土層人工邊界反射效應(yīng)的影響，根據(jù)樓夢麟等（2016）的建議，建立二維有限元模型時(shí)，在地下結(jié)構(gòu)兩側(cè)向外取5 倍土層深度的有限土層，豎向人工邊界設(shè)置為能夠保證土層沿橫向水平剪切位移的側(cè)移邊界（透射邊界）。豎向范圍取至第6 層土底部至基巖面，該底部結(jié)點(diǎn)約束全部自由度，作為橫向水平地震的輸入面。

為在振動分析中防止有限單元豎向尺寸的濾波效應(yīng)對地震反應(yīng)計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確性的影響，土層有限元網(wǎng)格的豎向尺寸按最高有效截止頻率為25 Hz 的正弦波對應(yīng)波長的1/16～1/8 控制，單元橫向尺寸不超過豎向的4 倍。

地下結(jié)構(gòu)側(cè)壁和中柱采用二維梁單元離散，地下結(jié)構(gòu)周圍土層采用四邊形等參元離散，離散后二維模型共有6 356 個(gè)四邊形等參元、69 個(gè)二維梁單元、6 592 個(gè)結(jié)點(diǎn)，施加邊界條件后共有12 860 個(gè)自由度。二維模型的有限元網(wǎng)格示意如圖2 所示。

圖2 有限元網(wǎng)格示意與監(jiān)測點(diǎn)位置（單位：毫米）Fig. 2 The mesh of finite element and observation points（Unit: mm）

2.2 三維有限元計(jì)算模型

為保證三維和二維計(jì)算模型一致，三維模型在豎平面中的計(jì)算范圍和網(wǎng)格尺寸與二維模型保持一致。另外，在縱向取7 跨中柱的地下結(jié)構(gòu)和相應(yīng)的有限土層，縱向有限元網(wǎng)格尺寸與橫向一致。四邊的豎向人工邊界設(shè)置為能夠保證土層沿橫向水平剪切位移的側(cè)移邊界。

三維模型中，地下結(jié)構(gòu)側(cè)壁和頂、底板采用三維板單元離散，中柱采用三維梁單元離散，土體采用八結(jié)點(diǎn)六面體等參元離散，離散后三維模型共有10 136 個(gè)板單元、165 個(gè)三維梁單元、444 920 個(gè)八結(jié)點(diǎn)六面體等參元、467 192 個(gè)結(jié)點(diǎn)，施加邊界條件后共有1 381 252 個(gè)自由度。有限元模型兩側(cè)結(jié)點(diǎn)約束垂向和縱向自由度，底部結(jié)點(diǎn)約束全部自由度，同時(shí)作為地震激勵(lì)的輸入面。

3 輸入地震波及其頻譜特性

本文選擇了3 條有代表性的基巖波作為激振地震波，分別為某大型工程場地安全性評價(jià)得到的基巖人工波、阪神地震中神戶大學(xué)記錄的Kobe 波和汶川地震中四川郫縣走石臺記錄的基巖波，分別稱之為JY 波、Kobe 波和WC 波，峰值加速度分別為1.00、0.27、1.20 m/s2，加速度時(shí)程、傅里葉幅值譜和反應(yīng)譜如圖3所示。

圖3 地震波加速度時(shí)程、傅里葉幅值譜和反應(yīng)譜Fig. 3 Time history of exciting and its Fourier spectrum and its response spectrum

4 基本運(yùn)動方程

二、三維模型各部分采用合適的有限單元離散后的運(yùn)動方程為：

式中，u(t) 、u˙(t)和u¨(t)分 別為體系各自由度的相對位移、相對速度和相對加速度反應(yīng)列向量；u¨g(t)為基巖運(yùn)動加速度向量；m、c和k分別為有限元離散后的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣。

采用逐步積分求解運(yùn)動方程可得各自由度基本未知量，如位移、速度和加速度反應(yīng)時(shí)程。由基本未知量可計(jì)算其他反應(yīng)量，如梁單元的彎矩、剪力和軸力，實(shí)體單元的應(yīng)力、應(yīng)變等。

5 結(jié)果分析

三維模型模態(tài)分析結(jié)果如表2 所示。根據(jù)各階振型的橫向（水平向）參與系數(shù)和計(jì)算所得振型可知，第1 階和第7 階是前2 個(gè)橫向（水平向）的剪切振型，其頻率分別為2.66、2.89 Hz。

表2 三維模型的前7 階自振頻率及橫向（水平向）振型參與系數(shù)Table 2 The first seven natural frequencies of three dimension model and modal participation factor of horizontal direction

二維模型模態(tài)分析結(jié)果如表3 所示，根據(jù)各階振型的橫向（水平向）參與系數(shù)和計(jì)算所得振型可知，第1 階和第3 階是前2 個(gè)橫向（水平向）的剪切振型，其頻率分別為2.64、2.87 Hz。

表3 二維模型的前7 階自振頻率及橫向（水平向）振型參與系數(shù)Table 3 The first seven natural frequencies of two dimension model and modal participation factor of horizontal direction

時(shí)程分析時(shí)，選用Rayleigh 比例阻尼作為阻尼模型，因本文算例的基頻較高，Rayleigh 阻尼系數(shù)的計(jì)算采用系統(tǒng)前2 個(gè)水平剪切振動模態(tài)對應(yīng)的圓頻率（舒恩，2020），即計(jì)算阻尼系數(shù)時(shí)，三維模型采用2.66、2.89 Hz，二維模型采用2.64、2.87 Hz。

三維和二維簡化模型計(jì)算得到的地震反應(yīng)分別如表4 和表5 所示。表4 中中柱地震反應(yīng)未列出軸力，是因?yàn)閱螌与p跨結(jié)構(gòu)在僅有水平地震作用下可認(rèn)為是反對稱結(jié)構(gòu)，中柱近似無軸力（許紫剛等，2019）。

由表4 可知，無論是何種地震波激勵(lì)，方法3 均優(yōu)于方法1 和方法2。需注意，方法1 和方法2 計(jì)算結(jié)果均為負(fù)誤差，說明計(jì)算結(jié)果偏小，從工程安全性角度評價(jià)，方法1 和方法2 偏于不安全。方法1 和方法2計(jì)算誤差水平相當(dāng)，方法1 所得柱頂計(jì)算結(jié)果誤差略大于方法2，但所得柱底計(jì)算結(jié)果誤差略小于方法2，說明材料密度的等效對中柱地震反應(yīng)的影響較小。方法1a 的計(jì)算誤差明顯小于方法1，且方法2a 的計(jì)算誤差明顯小于方法2，說明二維模型計(jì)算結(jié)果不能直接等效為三維真實(shí)情況，借用方法3 的三維還原系數(shù)可改善相應(yīng)的計(jì)算精度。方法3 計(jì)算誤差明顯小于方法2a，說明空間約束因素對中柱計(jì)算結(jié)果有較大影響。

由表4 和表5 可知，本文采用的3 種二維等效模型對地下結(jié)構(gòu)整體的運(yùn)動反應(yīng)影響較小，因采用平面應(yīng)變問題求解地下結(jié)構(gòu)的橫向水平地震反應(yīng)在力學(xué)基本原理上符合工程實(shí)際情況，但由于中柱平面應(yīng)變等效是人為的主觀假定，因此不同方法下計(jì)算得到的中柱截面內(nèi)力相差較大，相比之下，方法3 的近似計(jì)算精度遠(yuǎn)高于方法1 和方法2。從本文算例結(jié)果來看，無論采用哪種方法，計(jì)算得到的加速度和位移誤差水平相近，位移和加速度反應(yīng)誤差均在13%以內(nèi)，當(dāng)采用方法3 時(shí)，柱彎矩和剪力誤差≤7%，較方法1 和方法2 得到了明顯改進(jìn)。

表4 中柱地震反應(yīng)峰值Table 4 Peak seismic response of the inner column

表5 關(guān)鍵點(diǎn)地震反應(yīng)峰值Table 5 Peak seismic response of observation points

6 結(jié)論

（1）對地下結(jié)構(gòu)進(jìn)行地震反應(yīng)分析時(shí)，可將三維模型簡化為平面應(yīng)變二維模型進(jìn)行計(jì)算。簡化時(shí)應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注結(jié)構(gòu)中柱的等效方法，如果簡化方法選擇不當(dāng)，可能會給地下結(jié)構(gòu)內(nèi)力計(jì)算帶來較大誤差，應(yīng)重視中柱的等效問題。

（2）現(xiàn)行簡化方法1 和方法2 會低估中柱地震反應(yīng)，最大低估程度可達(dá)77.24%，從工程安全性角度評價(jià)，方法1 和方法2 偏于不安全。本文提出的方法3 可明顯減小中柱地震反應(yīng)誤差，使中柱彎矩和剪力誤差≤7%。

（3）方法1、方法2 和方法3 均可得到誤差較小的加速度和位移反應(yīng)，3 種方法誤差水平相近，方法3可使加速度和位移計(jì)算誤差≤13%。